解析几何试题及答案

解析几何试题及答案work Information Technology Company.2020YEAR解析几何1.（21）（本小题满分13分）设λ>0，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线y x 2=上运动，点Q 满足BQ QA λ=，经过Q 点与M x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM MP λ=,求点P 的轨迹方程。

（21）（本小题满分13分）本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学 素养.解：由MP QM λ=知Q ，M ，P 三点在同一条垂直于x 轴的直 线上，故可设.)1(),(),,(),,(),,(2020220y x y x y y x x x M y x Q y x P λλλ-+=-=-则则 ①再设),1,1().(,),,(010111y x y y x x QA BQ y x B --=--=λλ即由解得⎩⎨⎧-+=-+=.)1(,)1(011λλλλy y x x ②，将①式代入②式，消去0y ，得⎩⎨⎧-+-+=-+=.)1()1(,)1(2211λλλλλλy x y x x ③，又点B 在抛物线2x y =上，所以211x y =，再将③式代入211x y =，得222(1)(1)((1)),x y x λλλλλλ+-+-=+-22222(1)(1)(1)2(1),x y x x λλλλλλλλ+-+-=+-++2(1)(1)(1)0.x y λλλλλλ+-+-+= 0,(1),210x y λλλ>+--=因同除以得故所求点P 的轨迹方程为.12-=x y 2.（17）（本小题满分13分）设直线11221212:x+1:y=k x 1k k k k +20l y k l =-⋅=，，其中实数满足，（I ）证明1l 与2l 相交；（II ）证明1l 与2l 的交点在椭圆222x +y =1上.（17）（本小题满分13分）本题考查直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在曲线上的判断与证明，椭圆方程等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力. 证明：（I ）反证法，假设是l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行，有k 1=k 2，代入k 1k 2+2=0，得.0221=+k 此与k 1为实数的事实相矛盾. 从而2121,l l k k 与即≠相交.（II ）（方法一）由方程组⎩⎨⎧-=+=1121x k y x k y ，解得交点P 的坐标),(y x 为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-=.,2121212k k k k y k k x ，而 .144228)()2(22222122212121222121222121221222=++++=-++++=-++-=+k k k k k k k k k k k k k k k k k k y x 此即表明交点.12),(22上在椭圆=+y x y x P（方法二）交点P 的坐标),(y x 满足1211y k x y k x -=⎧⎨+=⎩，121,01.y k x x y k x -⎧=⎪⎪≠⎨+⎪=⎪⎩故知，有121120,20y y k k x x-++=⋅+=代入得，整理后，得,1222=+y x 所以交点P 在椭圆.1222上=+y x3.19.已知椭圆G ：2214x y +=，过点（m ，0）作圆221x y +=的切线l 交椭圆G于A ，B 两点。

（1）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（2）将||AB 表示为m 的函数，并求||AB 的最大值。

（19）解：（Ⅰ）由已知得,1,2==b a 所以.322--=b a c所以椭圆G 的焦点坐标为)0,3(),0,3(-，离心率为.23==a c e（Ⅱ）由题意知，1||≥m .当1=m 时，切线l 的方程1=x ，点A 、B 的坐标分别为),23,1(),23,1(-此时3||=AB 当m=－1时，同理可得3||=AB当1||>m 时，设切线l 的方程为),(m x k y -=由0448)41(.14),(2222222=-+-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-=m k mx k x k y x m x k y 得；设A 、B 两点的坐标分别为),)(,(2211y x y x ，则2222122214144,418km k x x k mk x x +-=+=+； 又由l 与圆.1,11||,1222222+==+=+k k m k km y x 即得相切所以212212)()(||y y x x AB -+-=]41)44(4)41(64)[1(2222242k m k k m k k +--++=2 .3||342+=m m 由于当3±=m 时，,3||=AB 因为 ,2||3||343||34||2≤+=+=m m m m AB且当3±=m 时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2. 4.19．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的离心率为3，右焦点为（），斜率为I 的直线l 与椭圆G 交与A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P （-3,2）.（I ）求椭圆G 的方程；（II ）求PAB ∆的面积. （19）解：（Ⅰ）由已知得c c a ==解得a =，又222 4.b a c =-=所以椭圆G 的方程为221.124x y += （Ⅱ）设直线l 的方程为.m x y +=由⎪⎩⎪⎨⎧=++=141222y x m x y 得.01236422=-++m mx x设A 、B 的坐标分别为),)(,(),,(212211x x y x y x <AB 中点为E ),(00y x ， 则,432210m x x x -=+=400mm x y =+=；因为AB 是等腰△PAB 的底边， 所以PE ⊥AB.所以PE 的斜率.143342-=+--=m mk 解得m=2。

此时方程①为.01242=+x x 解得.0,321=-=x x 所以.2,121=-=y y 所以|AB|=23.此时，点P （—3，2）到直线AB ：02=+-y x 的距离,2232|223|=+--=d 所以△PAB 的面积S=.29||21=⋅d AB5.17．（本小题满分13分）已知直线l ：y=x+m ，m ∈R 。

（I ）若以点M （2,0）为圆心的圆与直线l 相切与点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；（II ）若直线l 关于x 轴对称的直线为l '，问直线l '与抛物线C ：x 2=4y 是否相切？说明理由。

17．本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。

满分13分。

解法一：（I ）依题意，点P 的坐标为（0，m ） 因为MP l ⊥，所以01120m-⨯=--， 解得m=2，即点P 的坐标为（0，2） 从而圆的半径22||(20)(02)22,r MP ==-+-= 故所求圆的方程为22(2)8.x y -+=（II ）因为直线l 的方程为,y x m =+所以直线'l 的方程为.y x m =--由22',4404y x m x x m x y =--⎧++=⎨=⎩得,244416(1)m m ∆=-⨯=- （1）当1,0m =∆=即时，直线'l 与抛物线C 相切 （2）当1m ≠，那0∆≠时，直线'l 与抛物线C 不相切。

综上，当m=1时，直线'l 与抛物线C 相切；当1m ≠时，直线'l 与抛物线C 不相切。

解法二：（I ）设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为22(2).x y r 2-+= 依题意，所求圆与直线:0l x y m -+=相切于点P （0，m ），则224,,2m r r ⎧+=⎪=解得2,2 2.m r =⎧⎪⎨=⎪⎩所以所求圆的方程为22(2)8.x y -+=（II ）同解法一。

6.18.（本小题满分12分）如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A 。

（Ⅰ）求实数b 的值；（Ⅱ）求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程。

18．本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，满分12分。

解：（I ）由22,4404y x b x x b x y=+⎧--=⎨=⎩得，（*）因为直线l 与抛物线C 相切，所以2(4)4(4)0,b ∆=--⨯-=解得b=-1。

（II ）由（I ）可知21,(*)440b x x =--+=故方程即为，解得x=2，代入24, 1.x y y ==得故点A （2，1），因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y=-1的距离，即|1(1)|2,r =--=所以圆A 的方程为22(2)(1) 4.x y -+-= 7.19. （本小题满分14分）设圆C 与两圆222254,54x y x y +=-+=（+）（）中的一个内切，另一个外切. （1）求C 的圆心轨迹L 的方程. （2）已知点3545()5M F ，，（，0），且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及此时点P 的坐标.19． （1）解：设C 的圆心的坐标为(,)x y ，由题设条件知2222|(5)(5)|4,x y x y ++--+=化简得L 的方程为22 1.4x y -=（2）解：过M ，F 的直线l 方程为2(y x =--，将其代入L的方程得215840.x -+=解得1212x x l L T T ==故与交点为 因T 1在线段MF 外，T 2在线段MF 内，故11||||||2,MT FT MF -==22|||||| 2.MT FT MF -<=，若P 不在直线MF 上，在MFP ∆中有|||||| 2.MP FP MF -<=故||||MP FP -只在T 1点取得最大值2。

8.;2||),(),,Q(AB :B.y )0)(41,()1(|}.||,max{|),(,0,0,4,.41:L ,)14.(21002002122122p q p q p L p p p A x x q p q px x x x q p q p x y xOy =≠==+-≥-=ϕϕ有上的作一点对线段证明轴于点的切线交作过点记的两根是方程满足实数给定抛物线上在平面直角坐标系分本小题满分（2）设(,)M a b 是定点，其中,a b 满足240a b a -＞0，≠.过(,)M a b 作L 的两条切线12,l l ，切点分别为22112211(,),'(,)44E p p E P P ，12,l l 与y 分别交于,'F F .线段EF 上异于两端点的点集记为X .证明：112||(,)(,)2P M a b X P P a b φ∈⇔>⇔=；2min max 15(,)1,(1),,44,).D x y y x y x p q p q ϕϕϕ⎧⎫=≤-≥+-⎨⎬⎩⎭(3)设当点（）取遍D 时，求（）的最小值(记为)和最大值(记为 21．解：（１）00011'|()|22AB x p x p k y x p =====，直线AB 的方程为200011()42y p p x p -=-，即2001124y p x p =-，2001124q p p p ∴=-，方程20x px q -+=的判别式2204()p q p p ∆=-=-，两根001,2||22p p p p x ±-==或02p p -，00p p ⋅≥，00||||||||22p pp p ∴-=-，又00||||p p ≤≤， 000||||||||222p p p p ∴-≤-≤，得000||||||||||222p p pp p ∴-=-≤， 0(,)||2p p q ϕ∴=． （２）由240a b ->知点(,)M a b 在抛物线L 的下方，①当0,0a b >≥时，作图可知，若(,)M a b X ∈，则120p p >≥，得12||||p p >；若12||||p p >，显然有点(,)M a b X ∈； (,)M a b X ∴∈12||||p p ⇔>． ②当0,0a b ><时，点(,)M a b 在第二象限，作图可知，若(,)M a b X ∈，则120p p >>，且12||||p p >； 若12||||p p >，显然有点(,)M a b X ∈；(,)M a b X ∴∈12||||p p ⇔>．根据曲线的对称性可知，当0a <时，(,)M a b X ∈12||||p p ⇔>， 综上所述，(,)M a b X ∈12||||p p ⇔>（*）；由（１）知点M 在直线EF 上，方程20x ax b -+=的两根11,22p x =或12p a -， 同理点M 在直线''E F 上，方程20x ax b -+=的两根21,22p x =或22p a -， 若1(,)||2p a b ϕ=，则1||2p 不比1||2p a -、2||2p 、2||2pa -小，12||||p p ∴>，又12||||p p >(,)M a b X ⇒∈，1(,)||2p a b ϕ∴=⇒(,)M a b X ∈；又由（１）知，(,)M a b X ∈1(,)||2p a b ϕ⇒=； 1(,)||2p a b ϕ∴=⇔(,)M a b X ∈，综合（*）式，得证． （３）联立1y x =-，215(1)44y x =+-得交点(0,1),(2,1)-，可知02p ≤≤，过点(,)p q 作抛物线L 的切线，设切点为2001(,)4x x ，则20001142x qx x p -=-， 得200240x px q -+=，解得0x p = 又215(1)44q p ≥+-，即2442p q p -≤-，0x p ∴≤t =，20122x t t ∴≤-++215(1)22t =--+，0max max ||2x ϕ=，又052x ≤，max 54ϕ∴=； 1q p ≤-，0|2|2x p p p ∴≥=+-=，0min min ||12x ϕ∴==． 9.21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，直线:2l x =-交x 轴于点A ，设P 是l 上一点，M 是线段OP 的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP （1）当点P 在l 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程；（2）已知T （1，-1），设H 是E 上动点,求HO +HT 的最小值，并给出此时点H 的坐标；（3）过点T （1，-1）且不平行与y 轴的直线l 1与轨迹E 有且只有两个不同的交点，求直线1l 的斜率k 的取值范围。