解析几何综合运用练习题-含答案
高二数学解析几何练习题带答案
高二数学解析几何练习题带答案一、直线与平面的交点1. 已知直线AB的坐标为A（2，3，5）和B（-1，4，2），平面P 的方程为2x-y+z-1=0，求直线AB与平面P的交点。
解：设交点为M（x，y，z），则M同时满足直线AB的参数方程和平面P的方程，即：x = 2 + t(-1-2)y = 3 + t(4-3)z = 5 + t(2-5)代入平面P的方程得：2(2 + t(-1-2)) - (3 + t(4-3)) + (5 + t(2-5)) - 1 = 0化简得：-3t + 7 = 0解得t = 7/3代入直线AB的参数方程得：x = 2 + 7/3(-1-2) = -5/3y = 3 + 7/3(4-3) = 20/3z = 5 + 7/3(2-5) = -6/3所以，直线AB与平面P的交点为M(-5/3, 20/3, -6/3)。
二、直线的位置关系2. 设直线l1：(x-2)/3=y/2=(z-1)/4，直线l2：(x+1)/2=(y-3)/4=(z+2)/6，判断直线l1和直线l2的位置关系。
解：直线l1和l2方向向量分别为v1=(3,2,4)和v2=(2,4,6)。
若两条直线平行，则v1与v2平行或其比例相等。
计算v1与v2的比例：3/2 = 2/4 = 4/6 = 1/2所以，v1与v2的比例相等，即直线l1和l2平行。
若两条直线相交，则设交点为M(x,y,z)，满足直线l1和l2的参数方程。
由直线l1的参数方程可得：x = 2 + 3ty = 2tz = 1 + 4t代入直线l2的参数方程得：(2 + 3t + 1)/2 = (2t - 3)/4 = (1 + 4t + 2)/6化简得：3t + 1 = 4t - 6 = 4t + 3解得t = -7/3代入直线l1的参数方程得：x = 2 + 3(-7/3) = -19y = 2(-7/3) = -14/3z = 1 + 4(-7/3) = -19/3所以，直线l1和l2的交点为M(-19, -14/3, -19/3)。
解析几何练习题及答案
解析几何一、选择题1．已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的斜率是()A.3B．－3C.33D．－33解析：斜率k ＝－1－33－－3＝－33，故选D.答案：D2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是()A．1B．－1C．－2或－1D．－2或1解析：①当a ＝0时，y ＝2不合题意．②a ≠0，x ＝0时，y ＝2＋a .y ＝0时，x ＝a ＋2a，则a ＋2a＝a ＋2，得a ＝1或a ＝－2.故选D.答案：D3．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为()A．4B．21313C.51326D．71020解析：把3x ＋y －3＝0转化为6x ＋2y －6＝0，由两直线平行知m ＝2，则d ＝|1－－6|62＋22＝71020.故选D.4．(2014皖南八校联考)直线2x －y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是()A．x ＋2y －1＝0B．2x ＋y －1＝0C．2x ＋y －5＝0D．x ＋2y －5＝0解析：由题意可知，直线2x －y ＋1＝0与直线x ＝1的交点为(1,3)，直线2x －y ＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线的方程是y －3＝－2(x －1)，即2x ＋y －5＝0.故选C.答案：C5．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值围是()A.π6，D．π3，π2解析：由题意，可作直线2x ＋3y －6＝0的图象，如图所示，则直线与x 轴、y 轴交点分别为A (3,0)，B (0,2)，又直线l 过定点(0，－3)，由题知直线l 与线段AB 相交(交点不含端点)，从图中可以看出，直线l B.答案：B6．(2014一模)过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为()A．x －2y ＋4＝0B．2x ＋y －7＝0C．x －2y ＋3＝0D．x －2y ＋5＝0解析：直线2x ＋y －5＝0的斜率为k ＝－2，∴所求直线的斜率为k ′＝12，∴方程为y －3＝12(x －2)，即x －2y ＋4＝0.答案：A7．过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为____________．解析：由题意知截距均不为零．设直线方程为x a ＋yb ＝1，b ＝6，＋1b＝1，＝3＝3＝4＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0.答案：x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝08．(2014质检)若过点A (－2，m )，B (m,4)的直线与直线2x ＋y ＋2＝0平行，则m 的值为________．解析：∵过点A ，B 的直线平行于直线2x ＋y ＋2＝0，∴k AB ＝4－m m ＋2＝－2，解得m ＝－8.答案：－89．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值围是________．解析：由直线PQ 的倾斜角为钝角，可知其斜率k <0，即2a －1＋a 3－1－a <0，化简得a －1a ＋2<0，∴－2<a <1.答案：(－2,1)10．已知k ∈R ，则直线kx ＋(1－k )y ＋3＝0经过的定点坐标是________．解析：令k ＝0，得y ＋3＝0，令k ＝1，得x ＋3＝0.＋3＝0，＋3＝0，＝－3，＝－3，所以定点坐标为(－3，－3)．答案：(－3，－3)三、解答题11．已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x sin α＋y ＋1＝0，试求α的值，使(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.解：(1)法一当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2.当sin α≠0时，k 1＝－1sin α，k 2＝－2sin α.要使l 1∥l 2，需－1sin α＝－2sin α，即sin α＝±22，∴α＝k π±π4，k ∈Z .故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.法二由l 1∥l 22α－1＝0，α≠0，∴sin α＝±22，∴α＝k π±π4，k ∈Z .故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.(2)∵l 1⊥l 2，∴2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0.∴α＝k π，k ∈Z .故当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2.12．设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0.(1)证明l 1与l 2相交；(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证明：(1)假设l 1与l 2不相交，则l 1∥l 2即k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得k 21＋2＝0，这与k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)法一＝k 1x ＋1，＝k 2x －1解得交点P而2x 2＋y 2＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1.即P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．即l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．法二交点P 的坐标(x ，y－1＝k 1x ，＋1＝k 2x ，故知x ≠0.1＝y －1x，2＝y ＋1x.代入k 1k 2＋2＝0，得y －1x ·y ＋1x＋2＝0，整理后，得2x 2＋y 2＝1.所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上．第八篇第2节一、选择题1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()A．x 2＋(y －2)2＝1B．x 2＋(y ＋2)2＝1C．(x －1)2＋(y －3)2＝1D．x 2＋(y －3)2＝1解析：由题意，设圆心(0，t )，则12＋t －22＝1，得t ＝2，所以圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1，故选A.答案：A2．(2014模拟)动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为()A．x 2＋y 2＝32B．x 2＋y 2＝16C．(x －1)2＋y 2＝16D．x 2＋(y －1)2＝16解析：设P (x ，y )，则由题意可得2x －22＋y 2＝x －82＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16，故选B.答案：B3．(2012年高考卷)已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则()A．l 与C 相交B．l 与C 相切C．l 与C 相离D．以上三个选项均有可能解析：x 2＋y 2－4x ＝0是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，而点P (3,0)到圆心的距离为d ＝3－22＋0－02＝1<2，点P (3,0)恒在圆，过点P (3,0)不管怎么样画直线，都与圆相交．故选A.答案：A4．(2012年高考卷)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是()A．x ＋y －1＝0B．x ＋y ＋3＝0C．x －y ＋1＝0D．x －y ＋3＝0解析：由题知圆心在直线上，因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选项C 符合，故选C.答案：C5．(2013年高考卷)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是()A．x ＋y －2＝0B．x ＋y ＋1＝0C．x ＋y －1＝0D．x ＋y ＋2＝0解析：与直线y ＝x ＋1垂直的直线方程可设为x ＋y ＋b ＝0，由x ＋y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，可得|b |12＋12＝1，故b ＝± 2.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形分析知b ＝－2，则直线方程为x ＋y －2＝0.故选A.答案：A6．(2012年高考卷)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长度等于()A．25B．23C.3D．1解析：因为圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离d ＝|0＋3×0－2|12＋32＝1，半径r ＝2，所以弦长|AB |＝222－12＝2 3.故选B.答案：B 二、填空题7．(2013年高考卷)直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________．解析：圆的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25，故圆心为(3,4)，半径r ＝5.又直线方程为2x －y ＋3＝0，∴圆心到直线的距离为d ＝|2×3－4＋3|4＋1＝5，∴弦长为2×25－5＝220＝4 5.答案：458．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为________．解析：因为圆C 的圆心(1,1)到直线l 的距离为d ＝|1－1＋4|12＋－12＝22，又圆半径r ＝ 2.所以圆C 上各点到直线l 的距离的最小值为d －r ＝ 2.答案：29．已知圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上，半径为1且与直线4x －3y ＝0相切，则圆C 的标准方程是________．解析：∵圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上，∴设圆心C (m,3m )．又圆C 的半径为1，且与4x －3y ＝0相切，∴|4m －9m |5＝1，∴m ＝±1，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝1.答案：(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝110．圆(x －2)2＋(y －3)2＝1关于直线l ：x ＋y －3＝0对称的圆的方程为________．解析：已知圆的圆心为(2,3)，半径为1.则对称圆的圆心与(2,3)关于直线l 对称，由数形结合得，对称圆的圆心为(0,1)，半径为1，故方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案：x 2＋(y －1)2＝1三、解答题11．已知圆C ：x 2＋(y －2)2＝5，直线l ：mx －y ＋1＝0.(1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点；(2)若圆C 与直线相交于点A 和点B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．(1)证明：法一直线方程与圆的方程联立，消去y 得(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0，∵Δ＝4m 2＋16(m 2＋1)＝20m 2＋16>0，∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点．法二直线l ：mx －y ＋1恒过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C ：x 2＋(y －2)2＝5部，∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点．(2)解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，由方程(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0，得x 1＋x 2＝2mm 2＋1，∴x ＝mm 2＋1.当x ＝0时m ＝0，点M (0,1)，当x ≠0时，由mx －y ＋1＝0，得m ＝y －1x，代入x ＝m m 2＋1，得＋1＝y －1x，化简得x 2＝14.经验证(0,1)也符合，∴弦AB 的中点M 的轨迹方程为x 2＝14.12．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，|＝|4＋2a |a 2＋1，|2＋|DA |2＝22，|＝12|AB |＝2，解得a ＝－7，或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.第八篇第3节一、选择题1．设P 是椭圆x225＋y216＝1上的点．若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于()A．4B．5C．8D．10解析：由方程知a ＝5，根据椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.故选D.答案：D2．(2014二模)P 为椭圆x24＋y23＝1上一点，F 1，F 2为该椭圆的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则PF 1→·PF 2→等于()A．3B．3C．23D．2解析：由椭圆方程知a ＝2，b ＝3，c ＝1，1|＋|PF 2|＝4，1|2＋|PF 2|2－4＝2|PF 1||PF 2|cos 60°∴|PF 1||PF 2|＝4.∴PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|cos 60°＝4×12＝2.答案：D3．(2012年高考卷)椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为()A.14B．55C.12D．5－2解析：本题考查椭圆的性质与等比数列的综合运用．由椭圆的性质可知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，又|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，故(a －c )(a ＋c )＝(2c )2，可得e ＝c a ＝55.故应选B.答案：B4．(2013年高考卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos∠ABF ＝45，则C 的离心率为()A.35B．57C.45D．67解析：|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB ||BF |cos∠ABF ＝100＋64－2×10×8×45＝36，则|AF |＝6，∠AFB ＝90°，半焦距c ＝|FO |＝12|AB |＝5，设椭圆右焦点F 2，连结AF 2，由对称性知|AF 2|＝|FB |＝8，2a ＝|AF 2|＋|AF |＝6＋8＝14，即a ＝7，则e ＝c a ＝57.故选B.答案：B5．已知椭圆E ：x2m ＋y24＝1，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与l ：y ＝kx＋1被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是()A．kx ＋y ＋k ＝0B．kx －y －1＝0C．kx ＋y －k ＝0D．kx ＋y －2＝0解析：取k ＝1时，l ：y ＝x ＋1.选项A 中直线：y ＝－x －1与l 关于x 轴对称，截得弦长相等．选项B 中直线：y ＝x －1与l 关于原点对称，所截弦长相等．选项C 中直线：y ＝－x ＋1与l 关于y 轴对称，截得弦长相等．排除选项A、B、C，故选D.答案：D6．(2014省实验中学第二次诊断)已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P ，使asin∠PF 1F 2＝csin∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值围为()A．(0，2－1)D．(2－1,1)解析：由题意知点P 不在x 轴上，在△PF 1F 2中，由正弦定理得|PF 2|sin∠PF 1F 2＝|PF 1|sin∠PF 2F 1，所以由a sin∠PF 1F 2＝csin∠PF 2F 1可得a|PF 2|＝c |PF 1|，即|PF 1||PF 2|＝c a ＝e ，所以|PF 1|＝e |PF 2|.由椭圆定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以e |PF 2|＋|PF 2|＝2a ，解得|PF 2|＝2a e ＋1.由于a －c <|PF 2|<a ＋c ，所以有a －c <2ae ＋1<a ＋c ，即1－e <2e ＋1<1＋e ，1－e 1＋e<2，1＋e2，解得2－1<e .又0<e <1，∴2－1<e <1.故选D.答案：D 二、填空题7．设F 1、F 2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点距离为________．解析：∵|OM |＝3，∴|PF 2|＝6，又|PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|PF 1|＝4.答案：48．椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．解析：不妨设|F 1F 2|＝1，∵直线MF 2的倾斜角为120°，∴∠MF 2F 1＝60°.∴|MF 2|＝2，|MF 1|＝3，2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝2＋3，2c ＝|F 1F 2|＝1.∴e ＝ca＝2－ 3.答案：2－39．(2014模拟)过点(3，－5)，且与椭圆y225＋x29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________．解析：由题意可设椭圆方程为y225－m＋x29－m＝1(m <9)，代入点(3，－5)，得525－m ＋39－m＝1，解得m ＝5或m ＝21(舍去)，∴椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.答案：y220＋x24＝110．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.解析：1|＋|PF 2|＝2a ，1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，即4a 2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，∴|PF 1||PF 2|＝2b 2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝b 2＝9，∴b ＝3.答案：3三、解答题11．(2012年高考卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0，1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．解：(1)由椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 12－b 2＝1，＝1，2＝2，2＝1.故椭圆C 1的方程为x22＋y 2＝1.(2)由题意分析，直线l 斜率存在且不为0，设其方程为y ＝kx ＋b ，由直线l 与抛物线C 2＝kx ＋b ，2＝4x ，消y 得k 2x 2＋(2bk －4)x ＋b 2＝0，Δ1＝(2bk －4)2－4k 2b 2＝0，化简得kb ＝1.①由直线l 与椭圆C 1kx ＋b ，y 2＝1，消y 得(2k 2＋1)x 2＋4bkx ＋2b 2－2＝0，Δ2＝(4bk )2－4(2k 2＋1)(2b 2－2)＝0，化简得2k 2＝b 2－1.②＝1，k 2＝b 2－1，解得b 4－b 2－2＝0，∴b 2＝2或b 2＝－1(舍去)，∴b ＝2时，k ＝22，b ＝－2时，k ＝－22.即直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2.12．(2014海淀三模)已知椭圆C ：x2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一角为60°的菱形的四个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx 交椭圆C 于A ，B 两点，在直线l ：x ＋y －3＝0上存在点P ，使得△PAB 为等边三角形，求k 的值．解：(1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一角为60°的菱形的四个顶点．所以a ＝3，b ＝1，椭圆C 的方程为x23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，y 轴与直线l ：x ＋y －3＝0的交点为P (0,3)，又因为|AB |＝23，|PO |＝3，所以∠PAO ＝60°，所以△PAB 是等边三角形，所以直线AB 的方程为y ＝0，当直线AB 的斜率存在且不为0时，则直线AB 的方程为y ＝kx ，y 2＝1，kx ，化简得(3k 2＋1)x 2＝3，所以|x 1|＝33k 2＋1，则|AO |＝1＋k233k 2＋1＝3k 2＋33k 2＋1.设AB 的垂直平分线为y ＝－1kx ，它与直线l ：x ＋y －3＝0的交点记为P (x 0，y 0)，＝－x ＋3，＝－1k x ，0＝3k k －1，0＝－3k －1.则|PO |＝9k 2＋9k －12，因为△PAB 为等边三角形，所以应有|PO |＝3|AO |，代入得9k 2＋9k －12＝33k 2＋33k 2＋1，解得k ＝0(舍去)，k ＝－1.综上，k ＝0或k ＝－1.第八篇第4节一、选择题1．设P 是双曲线x216－y220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于()A．1B．17C．1或17D．以上答案均不对解析：由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝8，又|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c －a ＝6－4＝2>1，∴|PF 2|＝17.故选B.答案：B2．(2013年高考卷)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x2sin 2θ＝1的()A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等解析：双曲线C 1的半焦距c 1＝sin 2θ＋cos 2θ＝1，双曲线C 2的半焦距c 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，故选D.答案：D3．(2012年高考卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为()A.x220－y25＝1B．x25－y220＝1C.x280－y220＝1D．x220－y280＝1解析：由焦距为10，知2c ＝10，c ＝5.将P (2,1)代入y ＝bax 得a ＝2b .a 2＋b 2＝c 2,5b 2＝25，b 2＝5，a 2＝4b 2＝20，所以方程为x220－y25＝1.故选A.答案：A4．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2等于()A.14B．35C.34D．45解析：∵c 2＝2＋2＝4，∴c ＝2,2c ＝|F 1F 2|＝4，由题可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝22，|PF 1|＝42，由余弦定理可知cos∠F 1PF 2＝422＋222－422×42×22＝34.故选C.答案：C5．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为()A.x242－y232＝1B．x2132－y252＝1C.x232－y242＝1D．x2132－y2122＝1解析：在椭圆C 1中，因为e ＝513，2a ＝26，即a ＝13，所以椭圆的焦距2c ＝10，则椭圆两焦点为(－5,0)，(5,0)，根据题意，可知曲线C 2为双曲线，根据双曲线的定义可知，双曲线C 2中的2a 2＝8，焦距与椭圆的焦距相同，即2c 2＝10，可知b 2＝3，所以双曲线的标准方程为x242－y232＝1.故选A.答案：A6．(2014八中模拟)若双曲线x29－y216＝1渐近线上的一个动点P 总在平面区域(x －m )2＋y 2≥16，则实数m 的取值围是()A．[－3,3]B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C．[－5,5]D．(－∞，－5]∪[5，＋∞)解析：因为双曲线x 29－y 216＝1渐近线4x ±3y ＝0上的一个动点P 总在平面区域(x －m )2＋y 2≥16，即直线与圆相离或相切，所以d ＝|4m |5≥4，解得m ≥5或m ≤－5，故实数m 的取值围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．选D.答案：D 二、填空题7．(2013年高考卷)已知F 为双曲线C ：x29－y216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由题知，双曲线中a ＝3，b ＝4，c ＝5，则|PQ |＝16，又因为|PF |－|PA |＝6，|QF |－|QA |＝6，所以|PF |＋|QF |－|PQ |＝12，|PF |＋|QF |＝28，则△PQF 的周长为44.答案：448．已知双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C 的方程为________．解析：双曲线中，顶点与较近焦点距离为c －a ＝1，又e ＝ca＝2，两式联立得a ＝1，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，∴方程为x 2－y23＝1.答案：x 2－y23＝19．(2014市第三次质检)已知点P 是双曲线x2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)和圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一个交点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则该双曲线的离心率为________．解析：依题意得，线段F 1F 2是圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一条直径，故∠F 1PF 2＝90°，∠PF 1F 2＝30°，设|PF 2|＝m ，则有|F 1F 2|＝2m ，|PF 1|＝3m ，该双曲线的离心率等于|F 1F 2|||PF 1|－|PF 2||＝2m3m －m ＝3＋1.答案：3＋110．(2013年高考卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析：设点P 在双曲线右支上，由题意，在Rt△F 1PF 2中，|F 1F 2|＝2c ，∠PF 1F 2＝30°，得|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c ，根据双曲线的定义：|PF 1|－|PF 2|＝2a ，(3－1)c ＝2a ，e ＝ca ＝23－1＝3＋1.答案：3＋1三、解答题11．已知双曲线x 2－y22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点？解：法一设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋1－k .＝kx＋1－k，2－y22＝1，得(2－k2)x2－2k(1－k)x－(1－k)2－2＝0(2－k2≠0)．①∴x＝x1＋x22＝k1－k2－k2.由题意，得k1－k2－k2＝1，解得k＝2.当k＝2时，方程①成为2x2－4x＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．∴不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P(1,1)是线段AB的中点．法二设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若直线l的斜率不存在，即x1＝x2不符合题意，所以由题得x21－y212＝1，x22－y222＝1，两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－y1＋y2y1－y22＝0，即2－y1－y2x1－x2＝0，即直线l斜率k＝2，得直线l方程y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，＝2x－1，2－y22＝1得2x2－4x＋3＝0，Δ＝16－24＝－8<0，即直线y＝2x－1与双曲线无交点，即所求直线不合题意，所以过点P(1,1)的直线l不存在．12．(2014质检)中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos∠F 1PF 2的值．解：(1)由已知c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a 、b ，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m 、n ，－m ＝4，·13a＝3·13m，解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2.∴椭圆方程为x249＋y236＝1，双曲线方程为x29－y24＝1.(2)不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝10，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝213，∴cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝102＋42－21322×10×4＝45.第八篇第5节一、选择题1．(2014模拟)抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为()B．(1,0)解析：抛物线y ＝2x 2，即其标准方程为x 2＝12y C.答案：C2．抛物线的焦点为椭圆x24＋y29＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为()A．x 2＝－45y B．y 2＝－45x C．x 2＝－413yD．y 2＝－413x解析：由椭圆方程知，a 2＝9，b 2＝4，焦点在y 轴上，下焦点坐标为(0，－c )，其中c ＝a 2－b 2＝5，∴抛物线焦点坐标为(0，－5)，∴抛物线方程为x 2＝－45y .故选A.答案：A3．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．不确定解析：如图所示，设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线为l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |，故圆与抛物线准线相切．故选C.答案：C4．(2014高三统一考试)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，则线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为()A.53B．83C.103D．10解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中x 1>0，x 2>0，过A ，B 两点的直线方程为x ＝my ＋1，将x ＝my ＋1与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4＝0，y 1y 2＝－4，1＋1＝3x 2＋1，1x 2＝y 214·y 224＝y 1y 2216＝1，解得x 1＝3，x 2＝13，故线段AB 的中点到该抛物线的准线x ＝－1的距离等于x 1＋x 22＋1＝83.故选B.答案：B5．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为()A.34B．1C.54D．74解析：∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54.故选C.答案：C6．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值围是()A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)解析：∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知|MF |＝y 0＋2.以F 为圆心、|FM |为半径的圆的标准方程为x 2＋(y －2)2＝(y 0＋2)2.由于以F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4<y 0＋2，∴y 0>2.故选C.答案：C 二、填空题7．动直线l 的倾斜角为60°，且与抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．解析：设直线l 的方程为y ＝3x ＋b ，＝3x ＋b ，2＝2py消去y ，得x 2＝2p (3x ＋b )，即x 2－23px －2pb ＝0，∴x 1＋x 2＝23p ＝3，∴p ＝32，则抛物线的方程为x 2＝3y .答案：x 2＝3y8．以抛物线x 2＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8.所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64.答案：x 2＋(y －4)2＝649．(2012年高考卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．解析：∵抛物线y 2＝4x ，∴焦点F 的坐标为(1,0)．又∵直线l 倾斜角为60°，∴直线斜率为3，∴直线方程为y ＝3(x －1)．联立方程y ＝3x －1，y 2＝4x ，解得x 1＝13，y 1＝－233，或x 2＝3，y 2＝23，由已知得A 的坐标为(3,23)，∴S △OAF ＝12|OF |·|y A |＝12×1×23＝ 3.答案：310．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 72，4，则|PA |＋|PM |的最小值是________．解析：设点M 在抛物线的准线上的射影为M ′.由已知可得抛物线的准线方程为x ＝－12，焦点F 坐标为12，0.求|PA |＋|PM |的最小值，可先求|PA |＋|PM ′|的最小值．由抛物线的定义可知，|PM ′|＝|PF |，所以|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PM ′|，当点A 、P 、F 在一条直线上时，|PA |＋|PF |有最小值|AF |＝5，所以|PA |＋|PM ′|≥5，又因为|PM ′|＝|PM |＋12，所以|PA |＋|PM |≥5－12＝92.答案：92三、解答题11．若抛物线y ＝2x 2上的两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线l ：y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，数m 的值．解：法一如图所示，连接AB ，∵A 、B 两点关于直线l 对称，∴AB ⊥l ，且AB 中点M (x 0，y 0)在直线l 上．可设l AB ：y ＝－x ＋n ，＝－x ＋n ，＝2x 2，得2x 2＋x －n ＝0，∴x 1＋x 2＝－12，x 1x 2＝－n2由x 1x 2＝－12，得n ＝1.又x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝－x 0＋n ＝14＋1＝54，即点M －14，由点M 在直线l 上，得54＝－14＋m ，∴m ＝32.法二∵A 、B 两点在抛物线y ＝2x 2上．1＝2x 21，2＝2x 22，∴y 1－y 2＝2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)．设AB 中点M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2x 0，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4x 0.又AB ⊥l ，∴k AB ＝－1，从而x 0＝－14.又点M 在l 上，∴y 0＝x 0＋m ＝m －14，即－14，m∴AB 的方程是y 即y ＝－x ＋m －12，代入y ＝2x 2，得2x 2＋x x 1x 2＝－m －122＝－12，∴m ＝3212．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解：(1)直线AB 的方程是y y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4知4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，即C (4λ＋1,42λ－22)，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.。
高中数学解析几何深度练习题及答案
高中数学解析几何深度练习题及答案1. 平面几何题目一：已知平面上三点A(1, -2)，B(3, 4)，C(7, 1)，求证：三角形ABC为等腰三角形。
解答：首先计算AB、AC、BC的长度，分别利用两点之间的距离公式：AB = √[(3-1)^2 + (4-(-2))^2] = √[4 + 36] = √40AC = √[(7-1)^2 + (1-(-2))^2] = √[36 + 9] = √45BC = √[(7-3)^2 + (1-4)^2] = √[16 + 9] = √25由于AB的平方等于BC的平方，即AB^2 = BC^2，可以得出AB = BC。
因此，三角形ABC为等腰三角形。
题目二：已知平面上直线L1过点A(2, -1)，斜率为k，与直线L2：3x + ky + 5 = 0 互相垂直，求k的值。
解答：首先计算直线L2的斜率：L2: 3x + ky + 5 = 0化简得：ky = -3x - 5因此，L2的斜率k2为 -3/k。
由于L1与L2互相垂直，根据垂直直线的特性可知斜率k1与k2之积为 -1。
即 k * (-3/k) = -1。
解上述方程可以得出：k^2 = 3，因此k的两个解为k = √3 和 k = -√3。
题目三：已知直线L1：4x + 3y - 2 = 0 与直线L2垂直，并且直线L2通过点A(5,-1)，求直线L2的方程式。
解答：由于L1与L2垂直，它们的斜率之积为 -1。
L1的斜率为 -4/3，所以L2的斜率为 3/4。
通过点斜式可以得到L2的方程式：y - (-1) = (3/4)(x - 5)化简得到：y = (3/4)x + 2因此，直线L2的方程式为：y = (3/4)x + 2。
2. 空间几何题目一：已知直线L1：x = 3 - 2t，y = 5 + 3t，z = -1 + 4t，求直线L1的参数方程。
解答：直线的参数方程为x = x0 + at，y = y0 + bt，z = z0 + ct，其中(a, b, c)为直线的方向向量。
利用解析几何求解问题的练习题
利用解析几何求解问题的练习题一、平面几何解析在解析几何中，平面几何是其中一项重要内容。
平面上的点可以用坐标表示，通过运用解析几何的知识，可以解决一些与平面相关的问题。
下面将给出一些实践练习题，通过解析几何的方法，来求解这些问题。
1. 在平面上给定三个点，A(1, 2)，B(3, -1)，C(5, 4)，求线段AB和AC的长度。
解析：根据两点间距离公式，线段AB的长度为√[(3-1)²+((-1)-2)²]，即√(2²+(-3)²)=√(4+9)=√13。
线段AC的长度为√[(5-1)²+(4-2)²]，即√(16+4)=√20=2√5。
2. 在平面上给定三个点，D(1, 1)，E(4, 5)，F(6, -2)，判断三个点是否共线。
解析：根据向量叉积的性质，若向量DE和向量DF的叉积等于0，则说明三个点共线。
计算向量DE的坐标表示为(4-1, 5-1)=(3, 4)，向量DF的坐标表示为(6-4, -2-5)=(2, -7)。
计算向量叉积：(3)(-7)-(4)(2)=-21-8=-29，不等于0，因此这三个点不共线。
3. 在平面直角坐标系中，给定圆的圆心坐标为O(2, -1)，半径为3，求圆上一点P的坐标，使得向量OP与x轴的夹角为45°。
解析：根据题意，向量OP与x轴的夹角为45°，则向量OP的斜率为tan(45°)=1。
由向量OP的斜率可以得出设定点P的坐标为P(x, y)，根据直角三角形的性质得出向量OP的长度为√((x-2)²+(y+1)²)=3。
由此可以构建方程：√((x-2)²+(y+1)²)=3、(y+1)/(x-2)=1。
解方程组可以得出x=2+√2，y=-1+√2。
二、立体几何解析除了平面几何，解析几何也涉及到立体几何的内容。
通过解析几何的方法，可以解决与立体相关的问题。
解析几何经典练习题(含答案)
解析几何经典练习题(含答案)题目一：已知平面直角坐标系中两点A（-3，4）和B（5，-2），求直线AB的斜率和方程。
解答：直线AB的斜率可以使用斜率公式计算：斜率 = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，A的坐标为(x1, y1) = (-3, 4)，B的坐标为(x2, y2) = (5, -2)。
斜率 = (-2 - 4) / (5 - (-3)) = -6 / 8 = -3/4直线AB的方程可以使用点斜式来表示：y - y1 = m(x - x1)其中，m为斜率，(x1, y1)为直线上的任意一点。
将斜率和点A的坐标代入得到方程：y - 4 = (-3/4)(x + 3)化简得到直线AB的方程为：4y - 16 = -3x - 9整理得到标准形式方程：3x + 4y = 7答案：直线AB的斜率为 -3/4，方程为 3x + 4y = 7。
题目二：已知直线L的斜率为2，经过点A（3，-1），求直线L的方程。
解答：直线L的方程可以使用点斜式来表示：y - y1 = m(x - x1)其中，m为斜率，(x1, y1)为直线上的任意一点。
将斜率和点A的坐标代入得到方程：y - (-1) = 2(x - 3)化简得到直线L的方程为：y + 1 = 2x - 6整理得到标准形式方程：2x - y = 7答案：直线L的方程为 2x - y = 7。
题目三：已知直线L的方程为 3x + y = 5，求直线L的斜率和经过点A （2，-1）的方程。
解答：直线L的斜率可以从方程的标准形式中直接读取：3x + y = 5将方程转化成斜截式形式：y = -3x + 5可以看出直线L的斜率为-3。
经过点A（2，-1）的直线方程可以使用点斜式来表示：y - y1 = m(x - x1)其中，m为斜率，(x1, y1)为直线上的任意一点。
将斜率和点A的坐标代入得到方程：y - (-1) = -3(x - 2)化简得到通过点A的直线方程为：y + 1 = -3x + 6整理得到标准形式方程：3x + y = 5答案：直线L的斜率为-3，经过点A（2，-1）的方程为 3x + y = 5。
2023年高考优质解析几何大题练习【含答案】
新高考优质解析几何大题练习一．解答题（共30小题）1．（2022秋•浙江月考）如图，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，且经过点A（2p，m）（m＞0），|AF|＝5．（1）求p和m的值；（2）点M，N在C上，且AM⊥AN．过点A作AD⊥MN，D为垂足，证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．2．（2022秋•浙江月考）已知点A（2，1）在双曲线C：﹣＝1（b＞0）上．（Ⅰ）求双曲线C的渐近线方程；（Ⅱ）设直线l：y＝k（x﹣1）与双曲线C交于不同的两点E，F，直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N．当△AMN的面积为时，求k的值．3．（2022秋•玄武区校级月考）设A，B为双曲线C：﹣＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，直线l过右焦点F且与双曲线C的右支交于M，N两点，当直线l垂直于x轴时，△AMN为等腰直角三角形．（1）求双曲线C的离心率；（2）已知AB＝4，若直线AM，AN分别交直线x＝1于P，Q两点，若D（t，0）为x 轴上一动点，当直线l的倾斜角变化时，若∠PDQ为锐角，求t的取值范围．4．（2022•南京模拟）已知点F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A为双曲线C的右顶点，已知，且点F2到一条渐近线的距离为2．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l：y＝mx+n与双曲线C交于两点M，N，直线OM，ON的斜率分别记为k OM，k ON，且，求证：直线l过定点，并求出定点坐标．5．（2022春•开福区校级月考）已知双曲线C的渐近线方程为，且过点P（3，）．（1）求C的方程；（2）设Q（1，0），直线x＝t（t∈R）不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ 与C交于另一点D，过Q点作QN⊥AD于N，证明：直线AD过定点M，且点N在以QM为直径的圆上．6．（2022秋•皇姑区校级月考）已知椭圆Γ的方程为，圆C与x轴相切于点T（2，0），与y轴正半轴相交于A，B两点，且|AB|＝3，如图．（1）求圆C的方程；（2）如图，过点（0，1）的直线l与椭圆Γ相交于P，Q两点，求证：射线AO平分∠PAQ．7．（2022秋•开福区校级月考）已知双曲线经过点（2，﹣3），两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A，B两点．（1）求双曲线C的方程；（2）若动直线l经过双曲线的右焦点F2，是否存在x轴上的定点M（m，0），使得以线段AB为直径的圆恒过M点？若存在，求实数m的值；若不存在，请说明理由．8．（2022秋•锦州期中）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）与双曲线＝1有相同的焦点；且C的一条渐近线与直线x﹣2y+2＝0平行．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l与双曲线C右支相切（切点不为右顶点），且l分别交双曲线C的两条渐近线于A、B两点，O为坐标原点，试判断△AOB的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由．9．（2022秋•湖北期中）在△ABC中，已知A（﹣1，0），B（﹣2，0），且sin B＝sin A．（1）求顶点C的轨迹E的方程；（2）曲线E与y轴交于P，Q两点，T是直线y＝2上一点，连TP，TQ分别与E交于M，N两点（异于P，Q两点），试探究直线MN是否过定点，若是求定点，若不是说明理由．10．（2022秋•南阳期中）已知动点P到两个定点的距离之和为4，记点P的轨迹为Γ．（1）求Γ的方程；（2）若点Q（0，﹣3），过点T（0，1）的直线l与Γ交于M，N两点，求△QMN面积的最大值．11．（2022•临澧县校级开学）已知椭圆C的方程为+＝1（a＞0），斜率为k（k≠0）的直线与C交于M，N两点．（1）若G为MN的中点，O为坐标原点，且直线OG的斜率为﹣，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，若P是椭圆C的左顶点，直线PM的斜率为k PM，直线PN的斜率为k PN，k PM•k PN＝﹣，F是椭圆的左焦点，要使F在以MN为直径的圆内，求k 的取值范围．12．（2022秋•辽宁期中）如图所示：已知椭圆C：的长轴长为4，离心率．A是椭圆的右顶点，直线l过点M（﹣1，0）交椭圆于C，D两点，记△ACD的面积为S．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求S的最大值．13．（2022•烟台三模）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，（，1）为C与抛物线x2＝2py的交点．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的上顶点为A，斜率为k的直线过抛物线的焦点F且与椭圆交于M，N两点，试探究直线AM，AN的斜率之积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．14．（2022•雨花区校级模拟）如图，已知椭圆，其左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2且垂直于x轴的直线交椭圆于第一象限的点P，且．（1）求椭圆C的方程；（2）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．15．（2022•鞍山模拟）已知O为坐标原点，F1、F2为椭圆C的左、右焦点，|F1F2|＝2，P 为椭圆C的上顶点，以P为圆心且过F1、F2的圆与直线相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点F2作直线l，交椭圆C于M，N两点（l与x轴不重合），在x轴上是否存在一点T，使得直线TM与TN的斜率之积为定值？若存在，请求出所有满足条件的点T的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2022•洛阳模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），A是C上位于第一象限内的动点，它到点B（3，0）距离的最小值为．直线AB与C交于另一点D，线段AD的垂直平分线交C于E，F两点．（1）求p的值；（2）若中，证明A，D，E，F四点共圆，并求该圆的方程．17．（2022•德州二模）已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为（﹣，0），（，0），圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，，动点C的轨迹为曲线G．（1）求曲线G的方程；（2）设直线l与曲线G交于M、N两点，点D在曲线G上，O是坐标原点，判断四边形OMDN的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由．18．（2022•襄城区校级四模）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点到F点的距离为．（1）求抛物线的方程及点A坐标；（2）设斜率为k的直线l过点B（2，0）且与抛物线交于不同的两点M、N，若且，求斜率k的取值范围．19．（2021秋•淄博期末）已知O为坐标原点，A（x1，y1），B（x2，y2）是直线l与抛物线C：y2＝4x的两个交点，满足．试求y1y2的值，并证明直线l恒过定点．20．（2021秋•十堰期末）已知抛物线，，点M（x0，y0）在C2上，且不与坐标原点O重合，过点M作C1的两条切线，切点分别为A，B．记直线MA，MB，MO的斜率分别为k1，k2，k3．（1）当x0＝1时，求k1+k2的值；（2）当点M在C2上运动时，求的取值范围．21．（2021秋•武汉期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，动点M满足|MF2|﹣|MF1|＝2．（1）求动点M的轨迹方程；（2）若动点M在双曲线C上，设双曲线C的左支上有两个不同的点P，Q，点N（4，0），且∠ONP＝∠ONQ，直线NQ与双曲线C交于另一点B．证明：动直线PB经过定点．22．（2021秋•菏泽期末）已知Rt△ABC中，A（﹣1，0），B（1，0），∠CAB＝90°，，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．（1）求曲线E的方程；（2）过点（1，0）的直线l与曲线E交于M，N两点，则在x轴上是否存在定点Q．使得的值为定值？若存在，求出点Q的坐标和该定值；若不存在，请说明理由．23．（2021秋•南京月考）已知双曲线E：﹣＝1（a＞0，b＞0）过点D（3，1），且该双曲线的虚轴端点与两顶点A1，A2的张角为120°．（1）求双曲线E的方程；（2）过点B（0，4）的直线l与双曲线E左支相交于点M，N，直线DM，DN与y轴相交于P，Q两点，求|BP|+|BQ|的取值范围．24．（2018秋•福田区校级期末）已知椭圆C的中心是坐标原点O，它的短轴长2，焦点F（c，0），点A（﹣c，0），且＝2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在过点A的直线与椭圆C相交于P、Q两点，且以线段PQ为直径的圆过坐标原点O，若存在，求出直线PQ的方程；不存在，说明理由．25．（2021•辽宁模拟）已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0），椭圆C2：＝1（a＞b＞0），抛物线与椭圆有共同的焦点F（4，0），且椭圆C2的离心率e＝．（Ⅰ）求椭圆与抛物线的方程；（Ⅱ）直线l1的方程为x＝﹣4，若不经过点P（4，8）的直线l2与抛物线交于A，B（A，B分别在x轴两侧），与直线l1交于点M，与椭圆交于点C，D，设PA，PM，PB的斜率分别为k1，k2，k3，若k1+k3＝2k2．（ⅰ）证明：直线l2恒过定点；（ⅱ）点D关于x轴的对称点为D′，试问△CFD′的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．26．（2021•平邑县校级开学）已知椭圆（a＞b＞0）过点（，0），其焦距的平方是长轴长的平方与短轴长的平方的等差中项．（1）求椭圆的标准方程：（2）直线l过点M（1，0），与椭圆分别交于点A，B，与y轴交于点N，各点均不重合且满足，，求λ+μ．27．（2022秋•青羊区校级月考）已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2＝4x与椭圆有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且|PF1|＝．（1）求椭圆的方程；（2）过F作两条斜率不为0且互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，线段AB 的中点为M，线段CD的中点为N，证明：直线MN过定点，并求出该定点的坐标．28．（2022秋•思明区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的周长为12，AB，AC 边的中点分别为F1（﹣1，0）和F2（1，0），点M为BC边的中点．（1）求点M的轨迹方程；（2）设点M的轨迹为曲线Γ，直线MF1与曲线Γ的另一个交点为N，线段MF2的中点为E，记，求S的最大值．29．（2022秋•迎泽区校级月考）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）与圆O：x2+y2＝12相交于A，B两点，且点A的横坐标为是抛物线C的焦点，过焦点的直线l与抛物线C 相交于不同的两点M，N．（1）求抛物线C的方程．（2）过点M，N作抛物线C的切线l1，l2，P（x0，y0）是l1，l2的交点，求证：点P在定直线上．参考公式：（cx2）′＝2cx，其中c为常数．30．（2022秋•香坊区校级月考）动点M与定点A（1，0）的距离和M到定直线x＝9的距离之比是常数．（1）求动点M的轨迹G的方程；（2）设O为原点，点B（﹣3，0），过点A的直线l与M的轨迹G交于P、Q两点，且直线l与x轴不重合，直线BP、BQ分别与y轴交于R、S两点，求证：|OR|⋅|OS|为定值．新高考优质解析几何大题练习参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2022秋•浙江月考）如图，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，且经过点A（2p，m）（m＞0），|AF|＝5．（1）求p和m的值；（2）点M，N在C上，且AM⊥AN．过点A作AD⊥MN，D为垂足，证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．【答案】（1）p＝2，m＝4；（2）证明见解析．【解答】解：（1）由抛物线定义知：，则p＝2，又A（4，m）（m＞0）在抛物线上，则m2＝4×4，可得m＝4．（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），由（1）知：A（4，4），所以，，又AM⊥AN，所以（x1﹣4）（x2﹣4）+（y1﹣4）（y2﹣4）＝x1x2﹣4（x1+x2）+y1y2﹣4（y1+y2）+32＝0，令直线MN：x＝ky+n，联立C：y2＝4x，整理得y2﹣4ky﹣4n＝0，且Δ＝16k2+16n＞0，所以y1+y2＝4k，y1y2＝﹣4n，则，，综上，n2﹣16k2﹣12n﹣16k+32＝（n﹣4k﹣8）（n+4k﹣4）＝0，当n＝8+4k时，MN：x＝k（y+4）+8过定点B（8，﹣4）；当n＝4﹣4k时，MN：x＝k（y﹣4）+4过定点（4，4），即A，M，N共线，不合题意；所以直线MN过定点B（8，﹣4），又AD⊥MN，故D在以AB为直径的圆上，而AB中点为Q（6，0），即为定值，得证．2．（2022秋•浙江月考）已知点A（2，1）在双曲线C：﹣＝1（b＞0）上．（Ⅰ）求双曲线C的渐近线方程；（Ⅱ）设直线l：y＝k（x﹣1）与双曲线C交于不同的两点E，F，直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N．当△AMN的面积为时，求k的值．【答案】（Ⅰ）y＝±x．（Ⅱ）2．【解答】解：（Ⅰ）因为点A（2，1）在双曲线上，所以﹣＝1，b2＝1，即双曲线C的方程为﹣y2＝1，所以渐近线方程为y＝±x，即y＝±x．（Ⅱ）设直线AE的方程为y＝k1（x﹣2）+1，直线AF的方程为y＝k2（x﹣2）+1，联立，得（1﹣2k1）2x2+（8k12﹣4k1）x﹣8k12+8k1﹣4＝0，所以x A+x E＝﹣＝，所以x E＝﹣2＝，y E＝，所以E（，），同理可得F（，），联立，得M（3，k1+1），同理N（3，k2+1），所以|MN|＝|k1﹣k2|，＝|MN|×2＝|k1﹣k2|＝，所以S△AMN不妨设k1＞k2，即k1＝k2+，所以E（，），又E，F在直线l上，所以，解得，所以k的值为2．3．（2022秋•玄武区校级月考）设A，B为双曲线C：﹣＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，直线l过右焦点F且与双曲线C的右支交于M，N两点，当直线l垂直于x轴时，△AMN为等腰直角三角形．（1）求双曲线C的离心率；（2）已知AB＝4，若直线AM，AN分别交直线x＝1于P，Q两点，若D（t，0）为x 轴上一动点，当直线l的倾斜角变化时，若∠PDQ为锐角，求t的取值范围．【答案】（1）2；（2）（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）．【解答】解：（1）由l⊥x轴，△AMN为等腰直角三角形，可得|AF|＝|NF|＝|MF|，所以a+c＝，即c2﹣ac﹣2a2＝0，可得e2﹣e﹣2＝0，解得e＝2或e＝﹣1（舍），所以双曲线的离心率为2；（2）由AB＝4，可得2a＝4，即a＝2，所以直线PQ的方程为：x＝1，由（1）可得离心率为2，可得c＝4，b＝＝2，所以双曲线的方程为：﹣＝1；由题意可得直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my+4，m≠±，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立，整理可得：（3m2﹣1）y2+24my+36＝0，可得y1+y2＝﹣，y1y2＝，x1+x2＝m（y1+y2）+8＝，x1x2＝（my1+4）（my2+4）＝m2y1y2+4m（y1+y2）+16＝，直线AM的方程为y＝（x+2），直线AN的方程为：y＝（x+2），令x＝1，可得P（1，），Q（1，），∵D（t，0），∴＝（1﹣t，），＝（1﹣t，），∵•＝（1﹣t）2+×＝（1﹣t）2+＝（1﹣t）2+＝（1﹣t）2﹣9，∵∠PDQ为锐角，∴•＞0，∴（1﹣t）2﹣9＞0，∴t＜﹣2或t＞4．∴t的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）．4．（2022•南京模拟）已知点F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A为双曲线C的右顶点，已知，且点F2到一条渐近线的距离为2．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l：y＝mx+n与双曲线C交于两点M，N，直线OM，ON的斜率分别记为k OM，k ON，且，求证：直线l过定点，并求出定点坐标．【答案】（1）；（2）证明解析；定点为（﹣2，0）或（2，0）．【解答】解：（1）由题知，F2（c，0），其中一条渐近线为，即bx﹣ay＝0，所以，解得，所以，（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），将y＝mx+n代入，整理得：（5m2﹣4）x2+10mnx+5n2+20＝0，则，由Δ＝100m2n2﹣4（5m2﹣4）（5n2+20）＝80（n2﹣5m2+4）＞0得n2﹣5m2+4＞0，因为＝，所以，得n2＝4m2，即n＝±2m，所以直线l的方程为y＝m（x±2），所以当n2﹣5m2+4＞0，且n＝2m时，直线l过定点（﹣2，0）；所以当n2﹣5m2+4＞0，且n＝﹣2m时，直线l过定点（2，0）．5．（2022春•开福区校级月考）已知双曲线C的渐近线方程为，且过点P（3，）．（1）求C的方程；（2）设Q（1，0），直线x＝t（t∈R）不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ 与C交于另一点D，过Q点作QN⊥AD于N，证明：直线AD过定点M，且点N在以QM为直径的圆上．【答案】（1）﹣y2＝1．（2）直线AD过定点（3，0）．点N在以QM为直径的圆上．【解答】解：（1）因为双曲线C的渐近线方程为，故设C的方程为﹣y2＝λ（λ≠0），又C过点P（3，）．所以﹣（）2＝λ，解得λ＝1，所以C的方程为﹣y2＝1．（2）证明：显然直线BQ的斜率不为0，设直线BQ为x＝my+1，B（x1，y1），D（x2，y2），A（x1，﹣y1），联立，消去x整理得（m2﹣3）y2+2my﹣2＝0，依题意m2﹣3≠0且Δ＝4m2+8（m2﹣3）＞0，即m2＞2且m2≠3，所以y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，直线AD的方程为y+y1＝（x﹣x1），令y＝0，得x＝+x1＝＝＝＝＝3，所以直线AD过定点（3，0）．过Q点作QN⊥AD于N，设QM的中点为R，若N和M不重合，则△QNM为直角三角形，所以|RN|＝|MQ|，若N和M重合，|RN|＝|MQ|，所以点N在以QM为直径的圆上．6．（2022秋•皇姑区校级月考）已知椭圆Γ的方程为，圆C与x轴相切于点T（2，0），与y轴正半轴相交于A，B两点，且|AB|＝3，如图．（1）求圆C的方程；（2）如图，过点（0，1）的直线l与椭圆Γ相交于P，Q两点，求证：射线AO平分∠PAQ．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解答】解：（1）依题意，设圆心C（2，b），r＝b，，解得，所以所求圆方程为：．（2）证明：x＝0代入圆C方程，得y＝1或y＝4，所以B（0，1），A（0，4），若过B点的直线斜率不存在，此时A，P，Q在y轴上，∠PAB＝∠QAB＝0，射线AO平分∠PAQ；若过B（0，1）的直线l斜率存在，设其方程为y＝kx+1，联立整理得（2k2+1）x2+4kx﹣6＝0，Δ＝16k2+24（2k2+1）＝8（8k2+3）＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），，＝，∴∠PAB＝∠QAB．所以射线AO平分∠PAQ．综上，射线AO平分∠PAQ．7．（2022秋•开福区校级月考）已知双曲线经过点（2，﹣3），两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A，B两点．（1）求双曲线C的方程；（2）若动直线l经过双曲线的右焦点F2，是否存在x轴上的定点M（m，0），使得以线段AB为直径的圆恒过M点？若存在，求实数m的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在M（﹣1，0），使得以线段AB为直径的圆恒过M点．【解答】解：（1）∵两条渐近线的夹角为60°，∴渐近线的斜率或，即或；当时，由，得：a2＝1，b2＝3，∴双曲线C的方程为：；当时，方程无解；综上所述：双曲线C的方程为：．（2）由题意得：F2（2，0），假设存在定点M（m，0）满足题意，则恒成立；①当直线l斜率存在时，设l：y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），由得：（3﹣k2）x2+4k2x﹣（4k2+3）＝0，∴，∴，，∴＝＝0，∴（4k2+3）（1+k2）﹣4k2（2k2+m）+（m2+4k2）（k2﹣3）＝0，整理可得：k2（m2﹣4m﹣5）+（3﹣3m2）＝0，由，得：m＝﹣1；∴当m＝﹣1时，恒成立；②当直线l斜率不存在时，l：x＝2，则A（2，3），B（2，﹣3），当M（﹣1，0）时，，，∴成立；综上所述：存在M（﹣1，0），使得以线段AB为直径的圆恒过M点．8．（2022秋•锦州期中）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）与双曲线＝1有相同的焦点；且C的一条渐近线与直线x﹣2y+2＝0平行．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l与双曲线C右支相切（切点不为右顶点），且l分别交双曲线C的两条渐近线于A、B两点，O为坐标原点，试判断△AOB的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）△AOB的面积为定值2，理由见解答．【解答】解：（1）∵双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）与双曲线＝1有相同的焦点，∴c＝，又C的一条渐近线与直线x﹣2y+2＝0平行，∴＝，又a2+b2＝c2＝5，解得a＝2，b＝1，∴双曲线C的方程为；（2）设直线l的方程为y＝kx+m，联立，可得（4k2﹣1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，∴Δ＝64k2m﹣16（4k2﹣1）（m2+1）＝0，∴4k2＝m2+1，设直线l与x轴交点为D，则OD＝||，＝S△OAD+S△OBD＝＝，∴S△AOB又双曲线的渐近线方程为y＝±x，联立直线l：y＝kx+m，可得A（，），B（，），＝＝＝，∴S△AOB又4k2＝m2+1，＝2，∴△AOB的面积为定值．∴S△AOB9．（2022秋•湖北期中）在△ABC中，已知A（﹣1，0），B（﹣2，0），且sin B＝sin A．（1）求顶点C的轨迹E的方程；（2）曲线E与y轴交于P，Q两点，T是直线y＝2上一点，连TP，TQ分别与E交于M，N两点（异于P，Q两点），试探究直线MN是否过定点，若是求定点，若不是说明理由．【答案】（1）x2+y2＝2（y≠0）；（2）直线MN恒过点（0，）．【解答】解：（1）A（﹣1，0），B（﹣2，0），由sin B＝sin A，得，即，设C（x，y），则，整理得x2+y2＝2（y≠0）；（2）曲线E：x2+y2＝2（y≠0），由题意不妨设P（0，），Q（0，﹣），T（m，）（m≠0），TP：y＝，TQ：y＝，联立，得（m2+2）x2+4mx＝0，得M（，）；联立，得（m2+18）x2﹣12mx＝0，得N（，）．当m≠±3时，直线MN方程为y＝．∴直线MN恒过点（0，）．10．（2022秋•南阳期中）已知动点P到两个定点的距离之和为4，记点P的轨迹为Γ．（1）求Γ的方程；（2）若点Q（0，﹣3），过点T（0，1）的直线l与Γ交于M，N两点，求△QMN面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）由题意可知，P点轨迹为Γ是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，即2a＝4，，所以a＝2，b＝1，所以Γ的方程为：；（2）因为直线l的斜率存在，设直线l的方程：y＝kx+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），，消去y，整理得：（k2+4）x2+2kx﹣3＝0，Δ＝（2k）2+4（k2+4）×3＝16（k2+3）＞0，所以，，所以，所以△QMN面积，设，所以在上单调递减，故当，即k＝0时，△BMN面积取得最大值，最大值为，所以△QMN面积的最大值．11．（2022•临澧县校级开学）已知椭圆C的方程为+＝1（a＞0），斜率为k（k≠0）的直线与C交于M，N两点．（1）若G为MN的中点，O为坐标原点，且直线OG的斜率为﹣，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，若P是椭圆C的左顶点，直线PM的斜率为k PM，直线PN的斜率为k PN，k PM•k PN＝﹣，F是椭圆的左焦点，要使F在以MN为直径的圆内，求k 的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）设M，N两点坐标分别为M（x1，y1），N（x2，y2），G（x0，y0），代入椭圆方程，得，则，可得，因为，所以，所以a2＝4，椭圆C的方程为．（2）设MN方程为y＝kx+m，则，所以（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，所以，，所以，所以＝，所以＝，解得m＝2k（舍）或m＝﹣k，若F在以MN为直径的圆内，则，即，，即4k2﹣12+8k2+3k2﹣12k2+3+4k2＝0，即7k2﹣9＜0，且k≠0，解得且k≠0，所以k的取值范围为．12．（2022秋•辽宁期中）如图所示：已知椭圆C：的长轴长为4，离心率．A是椭圆的右顶点，直线l过点M（﹣1，0）交椭圆于C，D两点，记△ACD的面积为S．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求S的最大值．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）令椭圆E的半焦距为c，依题意，a＝2，＝，解得c＝，则b2＝a2﹣c2＝1，所以椭圆E的标准方程为．（2）依题意，设直线l：x＝ty﹣1，设C（x1，y1），D（x2，y2），由，消去x并整理得：（t2+4）y2﹣2ty﹣3＝0，则y1+y2＝，y1y2＝﹣，|y1﹣y2|＝＝＝，由（1）知A（2，0），|AM|＝3，则有S＝＝＝，令u＝，显然函数y＝在[，+∞）上单调递增，，当且仅当，即＝±1时取等号．显然取等号情况不成立，故当＝时S取得最大值，即S≤，所以S的最大值为．13．（2022•烟台三模）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，（，1）为C与抛物线x2＝2py的交点．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的上顶点为A，斜率为k的直线过抛物线的焦点F且与椭圆交于M，N两点，试探究直线AM，AN的斜率之积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．【答案】（1）；（2）直线AM，AN的斜率之积为定值．【解答】解：（1）由题意可知，，可得a2＝2c2，又a2＝b2+c2，可得a2＝2b2，所以椭圆方程为，将代入方程得：，解得b2＝4，所以a2＝8，所以椭圆C的方程：；（2）直线AM，AN的斜率之积为定值，且定值为．由（1）可得A（0，2），将代入抛物线可得6＝2p，p＝3，所以抛物线方程为x2＝6y，所以，则设直线MN的方程为，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线MN的方程，，消去y，整理得（2+4k2）x2+12kx﹣7＝0，所以，，，所以＝，所以，直线AM，AN的斜率之积为定值．14．（2022•雨花区校级模拟）如图，已知椭圆，其左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2且垂直于x轴的直线交椭圆于第一象限的点P，且．（1）求椭圆C的方程；（2）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1），（2）（0，1）．【解答】解：（1）∵，∴，∵，∴，∵a2＝c2+1，∴，∴椭圆方程为：．（2）动直线l的方程为：，由得，设A（x1，y1），B（x2，y2），则.．由对称性可设存在定点M（0，m）满足题设，则，⇒6（m2﹣1）k2+（3m2+2m﹣5）＝0，由题意知上式对∀k∈R成立，∴m2﹣1＝0且3m2+2m﹣5＝0，解得m＝1．∴存在定点M，使得以AB为直径的适恒过这个点，且点M的坐标为（0，1）．15．（2022•鞍山模拟）已知O为坐标原点，F1、F2为椭圆C的左、右焦点，|F1F2|＝2，P 为椭圆C的上顶点，以P为圆心且过F1、F2的圆与直线相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点F2作直线l，交椭圆C于M，N两点（l与x轴不重合），在x轴上是否存在一点T，使得直线TM与TN的斜率之积为定值？若存在，请求出所有满足条件的点T的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在；．【解答】解：（1）依题意，F1（﹣1，0），F2（1，0），，由椭圆定义知：椭圆长轴长，即，而半焦距c＝1，即有短半轴长b＝1，所以椭圆C的标准方程为：．（2）依题意，设直线l方程为x＝my+1，由消去x并整理得（m2+2）y2+2my﹣1＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，假定存在点T（t，0），直线TM与TN的斜率分别为，，＝，要使k TM⋅k TN为定值，必有﹣1﹣2（1﹣t）+（1﹣t）2＝0，即，当时，∀m∈R，，当时，∀m∈R，，所以存在点，使得直线TM与TN的斜率之积为定值．16．（2022•洛阳模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），A是C上位于第一象限内的动点，它到点B（3，0）距离的最小值为．直线AB与C交于另一点D，线段AD的垂直平分线交C于E，F两点．（1）求p的值；（2）若中，证明A，D，E，F四点共圆，并求该圆的方程．【答案】（1）2；（2）（x﹣9）2+（y﹣2）2＝64．【解答】解：（1）设A（2py2，2py），则，令t＝y2∈[0，+∞），则，对于二次函数m＝4p2t2+（4p2﹣12p）t+9，其对称轴为，当p≥3时，在[0，+∞）上单调递增，其最小值为9，即|AB|的最小值为3，不满足题意，当0＜p＜3时，，所以当时m＝4p2t2+（4p2﹣12p）t+9取得最小值，即所以，解得p＝2或p＝4（舍），所以p＝2；（2）由（1）可得，当时，，点A（1，2），所以，直线AB的方程为y＝﹣x+3，由可得x2﹣10x+9＝0，解得x＝1或x＝9，所以D（9，﹣6），所以AD的中点为N（5，﹣2），所以直线EF的方程为y+2＝1⋅（x﹣5），即y＝x﹣7，设E（x1，y1），F（x2，y2），由可得y2﹣4y﹣28＝0，所以y1+y2＝4，y1y2＝﹣28，所以线段EF的中点为，因为，所以d，D，E，F四点共圆，圆心为M（9，2），半径为8，所以该圆的方程为（x﹣9）2+（y﹣2）2＝64．17．（2022•德州二模）已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为（﹣，0），（，0），圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，，动点C的轨迹为曲线G．（1）求曲线G的方程；（2）设直线l与曲线G交于M、N两点，点D在曲线G上，O是坐标原点，判断四边形OMDN的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由．【答案】；（2）四边形OMDN的面积是定值，其定值为．【解答】解：（1）因为圆E为△ABC的内切圆，所以|CA|+|CB|＝|CP|+|CQ|+|PA|+|QB|＝2|CP|+|AR|+|BR|＝2|CP|+|AB|＝4＞|AB|，所以点C的轨迹为以点A和点B为焦点的椭圆，所以，a＝2，则b＝1，所以曲线G的方程为．（2）由y≠0可知直线l的斜率存在，设直线l方程是y＝kx+m，由平面图形OMDN是四边形，可知m≠0，代入到，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，所以Δ＝16（4k2+1﹣m2）＞0，，．所以，所以，又点O到直线MN的距离，由，得，，因为点D在曲线G上，所以将D点坐标代入椭圆方程得1+4k2＝4m2．由题意四边形OMDN为平行四边形，所以OMDN的面积为，由1+4k2＝4m2，代入得，故四边形OMDN的面积是定值，其定值为．18．（2022•襄城区校级四模）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点到F点的距离为．（1）求抛物线的方程及点A坐标；（2）设斜率为k的直线l过点B（2，0）且与抛物线交于不同的两点M、N，若且，求斜率k的取值范围．【答案】（1），（2）．【解答】解：（1）由抛物线定义可知：，得p＝2，∴抛物线方程为x2＝4y，将点坐标代入抛物线方程得：∴点A坐标为，（2）直线l的方程为y＝k（x﹣2），设M、N两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．联立消去y，整理得：x2﹣4kx+8k＝0，由Δ＞0⇒16k2﹣32k＞0⇒k＜0或k＞2．且x1+x2＝4k，x1x2＝8k，又即（x1﹣2，y1）＝λ（x2﹣2，y2）∴，∵，∴，又，令，∴，又：k＜0或k＞2．∴k的取值范围是．19．（2021秋•淄博期末）已知O为坐标原点，A（x1，y1），B（x2，y2）是直线l与抛物线C：y2＝4x的两个交点，满足．试求y1y2的值，并证明直线l恒过定点．【答案】y1y2＝﹣8，证明见解析．【解答】证明：设l：x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2）．由得y2﹣4my﹣4n＝0．∴y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n，∴x1+x2＝4m2+2n，x1x2＝n2．又•＝﹣4，∴x1x2+y1y2＝n2−4n＝−4，解得n＝2，∴y1y2＝﹣8．∴直线l方程为x＝my+2，∴直线l恒过点（2，0）．20．（2021秋•十堰期末）已知抛物线，，点M（x0，y0）在C2上，且不与坐标原点O重合，过点M作C1的两条切线，切点分别为A，B．记直线MA，MB，MO的斜率分别为k1，k2，k3．（1）当x0＝1时，求k1+k2的值；（2）当点M在C2上运动时，求的取值范围．【答案】（1）k1+k2＝4．（2）（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）．【解答】解：（1）因为x0＝1，所以y0＝﹣1．设过点M并与C1相切的直线方程为y＝k（x﹣1）﹣1．联立方程组整理得x2﹣kx+k+1＝0，则Δ＝（﹣k）2﹣4（k+1）＝k2﹣4k﹣4＝0．由题可知，k1，k2即方程k2﹣4k﹣4＝0的两根，故k1+k2＝4．（2）因为，所以可设过点M并与C1相切的直线的方程为．联立方程组整理得，则．由题可知，k1+k2＝4x0，．又，所以．当x0＞0时，，所以，当且仅当时，等号成立．当x0＜0时，，所以，当且仅当时，等号成立．故的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）．21．（2021秋•武汉期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，动点M满足|MF2|﹣|MF1|＝2．（1）求动点M的轨迹方程；（2）若动点M在双曲线C上，设双曲线C的左支上有两个不同的点P，Q，点N（4，0），且∠ONP＝∠ONQ，直线NQ与双曲线C交于另一点B．证明：动直线PB经过定点．【答案】（1）x2﹣＝1（x≤﹣1）；（2）证明过程见详解，定点（，0）．【解答】解：（1）动点M满足|MF2|﹣|MF1|＝2＜|F1F2|，所以动点M的轨迹为双曲线的左支，且2a＝2，c＝，所以可得a＝1，b2＝c2﹣a2＝10﹣1＝9，所以双曲线的方程为：x2﹣＝1（x≤﹣1）；（2）证明：由题意可得P，Q关于x轴对称，设直线PB的方程为：y＝kx+t，设P（x1，y1），B（x2，y2），则Q（x1，﹣y1），联立，整理可得：（9﹣k2）x2﹣2ktx﹣t2﹣9＝0，则x1+x2＝，x1x2＝，则直线BQ的方程为：y＝（x﹣x2）+y2，因为直线过N（4，0）点，所以0＝（4﹣x2）+y2，整理可得：（x2﹣4）（y2+y1）＝y2（x2﹣x1），即2kx1x2+（t﹣4k）（x1+x2）﹣8t＝0，所以+﹣8t＝0，整理可得：﹣2kt2﹣18k+2kt2﹣8k2t﹣72t+8tk2＝0，即k＝﹣4t，所以直线PB的方程为：y＝﹣4tx+t＝﹣4t（x﹣），可证得：直线PB恒过定点（，0）22．（2021秋•菏泽期末）已知Rt△ABC中，A（﹣1，0），B（1，0），∠CAB＝90°，，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．（1）求曲线E的方程；（2）过点（1，0）的直线l与曲线E交于M，N两点，则在x轴上是否存在定点Q．使得的值为定值？若存在，求出点Q的坐标和该定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）．（2）存在点．【解答】解：（1）由题意，可得，而，所以点P的轨迹为以A，B为焦点，长轴长为的椭圆，由，故，所以曲线E的方程为．（2）当直线l的斜率为不为0时，设直线l的方程为x＝my+1，设定点Q（t，0），联立方程组消x可得（m2+2）y2+2my﹣1＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得，所以＝（my1+1﹣t）（my2+1﹣t）+y1y2＝＝，要使上式为定值，则，解得，此时，当直线l的斜率为0时，，此时，也符合；所以，存在点，使得为定值．23．（2021秋•南京月考）已知双曲线E：﹣＝1（a＞0，b＞0）过点D（3，1），且该双曲线的虚轴端点与两顶点A1，A2的张角为120°．（1）求双曲线E的方程；（2）过点B（0，4）的直线l与双曲线E左支相交于点M，N，直线DM，DN与y轴相交于P，Q两点，求|BP|+|BQ|的取值范围．【答案】（1）．；（2）|BP|+|BQ|的取值范围是（，18﹣6）．【解答】解：（1）由已知可得，结合a2+b2＝c2，解得，故双曲线E的方程；．（2）设直线方程y＝kx+4，M（x1，y1），N（x2，y2），直线DM的方程为y﹣1＝（x﹣3），可得P（0，1﹣），直线DN的方程为y﹣1＝（x﹣3），可得Q（0，1﹣），联立，消去y，整理可得（1﹣3k2）x2﹣24kx﹣54＝0，则，可得，|BP|+||BQ|＝4﹣y M+4﹣y N＝6+＝6+3×＝6+3×＝6+3×＝＝＝8﹣，又，∴3k+5∴|BP|+|BQ|的取值范围是（，18﹣6）．24．（2018秋•福田区校级期末）已知椭圆C的中心是坐标原点O，它的短轴长2，焦点F（c，0），点A（﹣c，0），且＝2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在过点A的直线与椭圆C相交于P、Q两点，且以线段PQ为直径的圆过坐标原点O，若存在，求出直线PQ的方程；不存在，说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意知，b＝，F（c，0），A（﹣c，0），则，，由＝2，得c＝，解得：c＝2．∴a2＝b2+c2＝6，∴椭圆的方程为，离心率为；（2）A（3，0），设直线PQ的方程为y＝k（x﹣3），联立，得（1+3k2）x2﹣18k2x+27k2﹣6＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，．∴＝k2（）＝．由已知得OP⊥OQ，得x1x2+y1y2＝0，即，解得：k＝，符合Δ＞0，∴直线PQ的方程为y＝．25．（2021•辽宁模拟）已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0），椭圆C2：＝1（a＞b＞0），抛物线与椭圆有共同的焦点F（4，0），且椭圆C2的离心率e＝．（Ⅰ）求椭圆与抛物线的方程；（Ⅱ）直线l1的方程为x＝﹣4，若不经过点P（4，8）的直线l2与抛物线交于A，B（A，B分别在x轴两侧），与直线l1交于点M，与椭圆交于点C，D，设PA，PM，PB的斜率分别为k1，k2，k3，若k1+k3＝2k2．（ⅰ）证明：直线l2恒过定点；（ⅱ）点D关于x轴的对称点为D′，试问△CFD′的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）椭圆C2的方程为，抛物线C1的方程为y2＝16x；（Ⅱ）（i）证明见解析；（ii）△CFD'的面积存在最大值，最大值为．【解答】（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c，因为抛物线与椭圆有共同的焦点F（4，0），则y2＝16x且c＝4，因为椭圆C2的离心率为e＝，解得a＝5，所以b2＝a2﹣c2＝9，故椭圆C2的方程为，抛物线C1的方程为y2＝16x；（Ⅱ）（i）证明：当直线l2的斜率k＝0时，不符合题意；当直线l2的存在且不为0时，设直线l2：y＝kx+b，令x＝﹣4，可得y＝﹣4k+b，则点M（﹣4，﹣4k+b），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，可得ky2﹣16y+16b＝0，则Δ＞0，所以，直线PA的斜率，同理可得直线PB的斜率为，直线PM的斜率为，因为k1+k3＝2k2，所以，即，整理可得，，所以b＝4k或b＝﹣4k，当b＝4k时，y1y2＝64，与A，B在x轴两侧矛盾；当b＝﹣4k时，直线l2的方程为y＝kx﹣4k，即直线l2恒过定点（4，0）；（ii）解：设C（x3，y3），D（x4，y4），D'（x4，﹣y4），设直线CD的方程为x＝ty+4（t≠0），代入椭圆C2的方程可得，（9t2+25）y2+72ty﹣81＝0，。
高考数学 解析几何 专题练习及答案解析版
高考数学解析几何专题练习解析版82页【1】1．一个顶点的坐标()2,0，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A.19422=+y x B.14922=+y x C.113422=+y x D.141322=+y x2．已知双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过左焦点F 1的直线交双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3B ．32+C ． 31+D ． 323．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点，且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ） A ．1 B ． 2 C ．3D ．44．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有( )（Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65,2(π B ．)6,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π7．曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ）A ．54B ．45 C ．254D ．425 9． 圆06422=+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ）A.)3,2(-、13B.)3,2(-、13C.)3,2(--、13D.)3,2(-、1310．椭圆12222=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( )A.1222=+y x B.13222=+y x C.12222=+y xD.13222=+y x 11．过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A ，B 两点，设双曲线的左顶点M ，若MAB ∆是直角三角形，则此双曲线的离心率e 的值为 （ ）A ．32B ．2C ．2D ．3 12．已知)0(12222>>=+b a b y a x ，N M ,是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点且直线PN PM ,的斜率分别为21,k k ，021≠k k ，则21k k +的最小值为1,则椭圆的离心率为( ). (A)22 (B) 42 (C) 23 (D)43 13．设P 为双曲线11222=-y x 上的一点，F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若2:3:21=PF PF ，则△PF 1F 2的面积为（ ）A ．36B ．12C ．123D ．2414．如果过点()m P ,2-和()4,m Q 的直线的斜率等于1,那么m 的值为( ) A ．4B ．1C ．1或3D ．1或415．已知动点(,)P x y 在椭圆2212516x y +=上,若A 点坐标为(3,0),||1AM =,且0PM AM ⋅=则||PM 的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．2D ．3 16．直线l 与抛物线交于A,B 两点;线段AB 中点为，则直线l 的方程为A 、B 、、C 、D 、17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞的离心率为32，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =（ ）（A ）1 （B 2 （C 3（D ）2 18．圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为( )A.内切B.相交C.外切D.相离19．已知点P 在定圆O 的圆内或圆周上,动圆C 过点P 与定圆O 相切,则动圆C 的圆心轨迹可能是( ) (A)圆或椭圆或双曲线 (B)两条射线或圆或抛物线 (C)两条射线或圆或椭圆 (D)椭圆或双曲线或抛物线20．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．[6π，3π) B ．(6π，2π)C ．(3π，2π) D ．[6π，2π] 21．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ）A ．23 B ．32C ．32-D ．23- 22．已知点()()0,0,1,1O A -，若F 为双曲线221x y -=的右焦点，P 是该双曲线上且在第一象限的动点，则OA FP ⋅的取值范围为（ ） A ．()21,1-B ．()21,2-C ．()1,2D ．()2,+∞23．若b a ,满足12=+b a ，则直线03=++b y ax 过定点（ ）.A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,61B .⎪⎭⎫ ⎝⎛-61,21C .⎪⎭⎫ ⎝⎛61,21.D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,6124．双曲线1922=-y x 的实轴长为 ( ) A. 4B. 3C. 2D. 125．已知F 1 、F 2分别是双曲线1by a x 2222=-（a>0,b>0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若︒=∠9021PF F ,且21PF F ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ）A ．2B ． 3C ． 4D ． 526．过A(1，1)、B(0，-1)两点的直线方程是( )A.B.C.D.y=x27．抛物线x y 122=上与焦点的距离等于6的点横坐标是（ ）A ．1B ．2 Ｃ．3 Ｄ．428．已知圆22:260C x y x y +-+=，则圆心P 及半径r 分别为 （ ） A 、圆心()1,3P ，半径10r =； B 、圆心()1,3P ，半径10r =；C 、圆心()1,3P -，半径10r =；D 、圆心()1,3P -，半径10r =。
大学解析几何考试题及答案
大学解析几何考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项不是解析几何的研究对象？A. 平面曲线B. 空间曲线C. 空间曲面D. 质点运动答案：D2. 在平面直角坐标系中，点P(x, y)关于原点的对称点的坐标是：A. (-x, -y)B. (x, -y)C. (-x, y)D. (y, x)答案：A3. 如果直线l的方程为2x - 3y + 6 = 0，那么它的斜率k等于：A. 2/3B. -2/3C. 3/2D. -3/2答案：B4. 椭圆的标准方程是：A. (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1B. (x/a)^2 - (y/b)^2 = 1C. (x/a)^2 + (y/b)^2 = 0D. (x/a)^2 - (y/b)^2 = 0答案：A5. 一个圆的圆心在原点，半径为1，那么它的方程是：A. x^2 + y^2 = 1B. x^2 + y^2 = 0C. x^2 + y^2 = 2D. x^2 + y^2 = -1答案：A6. 如果两条直线的方程分别为y = mx + b1和y = mx + b2，那么这两条直线：A. 相交B. 平行C. 重合D. 垂直答案：B7. 抛物线y^2 = 4ax的准线方程是：A. x = -aB. x = aC. y = -aD. y = a答案：A8. 双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的渐近线方程是：A. y = ±(b/a)xB. y = ±(a/b)xC. y = ±(a/b)xD. y = ±(b/a)x答案：D9. 点A(3, 4)关于直线y = x的对称点B的坐标是：A. (4, 3)B. (2, 3)C. (3, 2)D. (4, 5)答案：A10. 直线x = 2y + 3与圆x^2 + y^2 = 25相交于两点，这两点的距离是：A. 2√5B. 4√5C. 5√2D. 10答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 在平面直角坐标系中，点P(2, -1)到原点的距离是_________。
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（题型注释）
1．已知直线1:210l ax y ++=与直线2:(3)0l a x y a --+=，若12//l l ，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．6 D ．1或2 2．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为( )
A ．(x ＋1)2＋y 2＝2
B ．(x －1)2＋y 2
＝1
C ．(x ＋1)2＋y 2＝4
D ．(x －2)2＋y 2
＝4
3．设抛物线C ：y 2
＝2px(p>0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )
A ．y 2＝4x 或y 2＝8x
B ．y 2＝2x 或y 2
＝8x
C ．y 2＝4x 或y 2＝16x
D ．y 2＝2x 或y 2
＝16x
4．双曲线x 2
－2
y m
＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )
A ．m>
1
2
B. m≥1 C ．m>1 D. m>2
二、填空题（题型注释）
5．经过圆x 2＋2x ＋y 2
＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是________．
6．已知抛物线y 2
＝4x 的焦点F 恰好是双曲线22x a
－2
2y b ＝1(a>0，b>0)的右顶点，且双
曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，则双曲线方程为________．
三、解答题（题型注释）
7．已知点A(3,3)，B(5,2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程．
8．如图，在直角坐标系中，已知△PAB 的周长为8，且点A ，B 的坐标分别为(－1,0)，(1,0)．
(1)试求顶点P 的轨迹C 1的方程；
(2)若动点C(x 1，y 1)在轨迹C 1上，试求动点Q 11,322x y ⎛⎫
⎪
⎝⎭
的轨迹C 2的方程．
9．设椭圆C ：22x a ＋22y b ＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为3
5
.
(1)求C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为
4
5
的直线被C 所截线段的中点坐标．
10．如图，F 是椭圆的右焦点，以点F 为圆心的圆过原点O 和椭圆的右顶点，设P 是椭圆上的动点，P 到椭圆两焦点的距离之和等于4.
(1)求椭圆和圆的标准方程；
(2)设直线l 的方程为x ＝4，PM ⊥l ，垂足为M ，是否存在点P ，使得△FPM 为等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
1．C 【解析】
试题分析：1l 的斜率为，2l 的斜率为23k a =-，由12//l l ，有6a =.
考点：直线的斜率.
2．A
【解析】令y ＝0得x ＝－1，所以直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)．因为直线x ＋y
＋3＝0与圆C 相切，所以圆心到直线x ＋y ＋3＝0的距离等于半径，即r 所以圆C 的方程为(x ＋1)2
＋y 2
＝2. 3．C
【解析】由已知得抛物线的焦点A(0,2)，抛物线上点M(x 0，y 0)，则AF ＝，AM ＝由已知得，AF ·AM ＝0，
即y 02
－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，
由|MF|＝55，
又p ＞0，解得p ＝2或p ＝8. 4．C
【解析】依题意，e e 2
，得1＋m>2，所以m>1.
5．x －y ＋1＝0
【解析】所求直线过圆：x 2＋2x ＋y 2
＝0的圆心C(－1,0)，斜率为1，故方程为x －y ＋1＝0.
6．x 2
1
【解析】抛物线的焦点坐标为(1,0)，故在双曲线中a ＝1，由双曲线的渐近线方程为y
，可得b x 2
1.
7．x ＋2y －5＝0或x －6y ＋11＝0 【解析】解：解方程组310
30
x y x y --=⎧⎨
+-=⎩得交点P(1,2)．
(1)若点A，B在直线l的同侧，则l∥AB.
而k AB
由点斜式得直线l的方程为
y－2
－1)，
即x＋2y－5＝0；
(2)若点A，B分别在直线l的异侧，则直线l经过线段AB
由两点式得直线l
即x－6y＋11＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋2y－5＝0或x－6y＋11＝0.
8．
1 (2) x2＋y2＝1
【解析】解：(1)由题意，可得顶点P满足|PA|＋|PB|＝6，
结合椭圆的定义，可知顶点P的轨迹C1是以A，B为焦点的椭圆，且椭圆的半焦距长c＝1，长半轴长a＝3，则b2＝a2－c2＝8.
故轨迹C1
1.
(2)已知点C(x1，y1)在曲线C1上，
1.
x
y，得x1＝3x，y1＝
1，得x2＋y2＝1，
所以动点
C2的方程为x2＋y2＝1.
9．
【解析】解：(1)将(0,4)代入C
1，解得b＝4.
又e
即1
则a＝5.所以C 1.
(2)过点(3,0)y－3)．
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程y－3)代入C的方程，
1，即x2－3x－8＝0，所以x1＋x2＝3.
设AB的中点坐标为，
1＋x2－6)
10． 1 (x－1)2＋y2＝1
(2) 存在点FPM为等腰三角形
【解析】解：(1)1，由已知可得2a＝4，a＝2c，解得a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3.
1，圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设P(x，y)，则M(4，y)，F(1,0)，－2≤x≤2，
∵P(x，y)1，
∴y2＝32.
∴|PF|2＝(x－1)2＋y2＝(x－1)2＋32－4)2，
|PM|2＝|x－4|2，|FM|2＝32＋y2＝12
①若|PF|＝|FM|－4)2＝122，解得x＝－2或x＝4(舍去)，x＝－2时，P(－2,0)，此时P，F，M三点共线，不合题意．∴|PF|≠|FM|；
②若|PM|＝|PF|，则(x－4)2－4)2，解得x＝4，不合题意；
③若|PM|＝|FM|，则(x－4)2＝122，解得x＝4(舍去)或x x y
∴
综上可得，存在点FPM为等腰三角形．。