全国卷新课标高考中档大题专项训练立体几何与空间向量

高考中档大题专项训练-立体几何与空间向量1．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝54，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置，OD ′＝10.(1)证明：D ′H ⊥平面ABCD ； (2)求二面角B －D ′A －C 的正弦值． (1)证明 由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD . 又由AE ＝CF 得AE AD ＝CF CD，故AC ∥EF . 因此EF ⊥HD ，从而EF ⊥D ′H .由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4. 由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3.于是D ′H 2＋OH 2＝32＋12＝10＝D ′O 2，故D ′H ⊥OH . 又D ′H ⊥EF ，而OH ∩EF ＝H ， 所以D ′H ⊥平面ABCD . (2)解 如图，以H 为坐标原点，HF →的方向为x 轴正方向，HD →的方向为y 轴正方向，HD ′—→的方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则H (0,0,0)，A (－3，－1,0)，B (0，－5,0)，C (3，－1,0)，D ′(0,0,3)，AB →＝(3，－4,0)，AC →＝(6,0,0)，AD ′→＝(3,1,3)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面ABD ′的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB →＝0，m ·AD ′→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 1－4y 1＝0，3x 1＋y 1＋3z 1＝0，所以可取m ＝(4,3，－5)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACD ′的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD ′→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧6x 2＝0，3x 2＋y 2＋3z 2＝0，所以可取n ＝(0，－3,1)．于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－1450×10＝－7525.sin 〈m ，n 〉＝29525.因此二面角B －D ′A －C 的正弦值是29525.2．在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O′的直径，FB 是圆台的一条母线．(1)已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH∥平面ABC ；(2)已知EF ＝FB ＝12AC ＝23，AB ＝BC ，求二面角F －BC －A 的余弦值．(1)证明 设FC 中点为I ，连接GI ，HI .在△CEF 中，因为点G ，I 分别是CE ，CF 的中点， 所以GI ∥EF .又EF ∥OB ，所以GI ∥OB .在△CFB 中，因为H 是FB 的中点，所以HI ∥BC .又HI ∩GI ＝I ，BC ∩OB ＝B ， 所以平面GHI ∥平面ABC .因为GH 平面GHI ，所以GH ∥平面ABC .(2)解 连接OO ′，则OO ′⊥平面ABC .又AB ＝BC ，且AC 是圆O 的直径，所以BO ⊥AC . 以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得B (0,23，0)，C (－23，0,0)． 过点F 作FM ⊥OB 于点M ，所以FM ＝FB 2－BM 2＝3，可得F (0，3，3)． 故BC →＝(－23，－23，0)，BF →＝(0，－3，3)． 设m ＝(x ，y ，z )是平面BCF 的法向量． 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC →＝0，m ·BF →＝0，可得⎩⎨⎧－23x －23y ＝0，－3y ＋3z ＝0.可得平面BCF 的一个法向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，1，33，因为平面ABC 的一个法向量n ＝(0,0,1)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝77.所以二面角F －BC －A 的余弦值为77.3．将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23π，11A B 长为π3，其中B1与C 在平面AA1O1O 的同侧．(1)求三棱锥C —O1A1B1的体积；(2)求异面直线B1C 与AA1所成的角的大小． 解 (1)连接O 1B 1，则11A B ＝∠A 1O 1B 1＝π3，∴△O 1A 1B 1为正三角形， ∴111O A B S＝34， ∴111—C O A B V ＝13OO 1·111O A B S ＝312. (2)设点B 1在下底面圆周的射影为B ， 连接BB 1，则BB 1∥AA 1，∴∠BB 1C 为直线B 1C 与AA 1所成角(或补角)，BB 1＝AA 1＝1.连接BC ，BO ，OC ，AB ＝11A B ＝π3，AC ＝2π3， ∴BC ＝π3，∴∠BOC ＝π3，∴△BOC 为正三角形，∴BC ＝BO ＝1，∴tan∠BB 1C ＝BCBB 1＝1， ∴∠BB 1C ＝45°，∴直线B 1C 与AA 1所成的角的大小为45°.4．如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝12为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(2)若二面角P－CD－A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．解(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行．延长AB，DC，相交于点M(M∈平面PAB)，点M即为所求的一个点．理由如下：由已知，BC∥ED，且BC＝ED.所以四边形BCDE是平行四边形．从而CM∥EB.又EB平面PBE，CM平面PBE.所以CM∥平面PBE.(说明：延长AP至点N，使得AP＝PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点) (2)方法一由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P－CD－A的平面角．所以∠PDA＝45°.设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2.过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知PA⊥平面ABCD，从而PA⊥CE.且PA∩AH＝A，于是CE⊥平面PAH.又CE平面PCE，所以平面PCE⊥平面PAH.过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE.所以∠APH是PA与平面PCE所成的角．在Rt△AEH中，∠AEH＝45°，AE＝1，所以AH ＝22. 在Rt△PAH 中，PH ＝ PA 2＋AH 2＝322. 所以sin∠APH ＝AH PH ＝13.方法二 由已知，CD ⊥PA ，CD ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ， 所以CD ⊥平面PAD . 于是CD ⊥PD .从而∠PDA 是二面角P －CD －A 的平面角．所以∠PDA ＝45°. 由∠PAB ＝90°，且PA 与CD 所成的角为90°，可得PA ⊥平面ABCD . 设BC ＝1，则在Rt△PAD 中，PA ＝AD ＝2.作Ay ⊥AD ，以A 为原点，以AD →，AP →的方向分别为x 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，C (2,1,0)，E (1,0,0)． 所以PE →＝(1,0，－2)，EC →＝(1,1,0)，AP →＝(0,0,2)． 设平面PCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PE →＝0，n ·EC →＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝0，x ＋y ＝0.设x ＝2，解得n ＝(2，－2,1)．设直线PA 与平面PCE 所成的角为α， 则sin α＝|n ·AP →||n |·|AP →|＝22×22＋－22＋12＝13. 所以直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值为13.5．如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD⊥平面ABCD ，PA⊥PD，PA ＝PD ，AB⊥AD，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ 5.(1)求证：PD⊥平面PAB ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；(3)在棱PA 上是否存在点M ，使得BM∥平面PCD 若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由． (1)证明 ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，又AB ⊥AD ，AB 平面ABCD ， ∴AB ⊥平面PAD .∵PD 平面PAD ，∴AB ⊥PD ，又PA ⊥PD ，PA ∩AB ＝A ，∴PD ⊥平面PAB .(2)解 取AD 中点O ，连接CO ，PO .∵PA ＝PD ，∴PO ⊥AD . 又∵PO 平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，∵CO 平面ABCD ，∴PO ⊥CO ， ∵AC ＝CD ，∴CO ⊥AD .以O 为原点建立如图所示空间直角坐标系．易知P (0,0,1)，B (1,1,0)，D (0，－1,0)，C (2,0,0)． 则PB →＝(1,1，－1)，PD →＝(0，－1，－1)，PC →＝(2,0，－1)． 设n ＝(x 0，y 0,1)为平面PDC 的一个法向量． 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PD →＝0，n ·PC →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧－y 0－1＝0，2x 0－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－1，x 0＝12.即n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，1.设PB 与平面PCD 的夹角为θ.则sin θ＝|cos 〈n ，PB →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·PB →|n ||PB →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－114＋1＋1×3＝33.(3)解 设在棱PA 上存在点M ，使得BM ∥平面PCD ，则存在λ∈[0,1]使得AM →＝λAP →，因此点M (0,1－λ，λ)，BM →＝(－1，－λ，λ)． ∵BM 平面PCD ，∴BM ∥平面PCD ，当且仅当BM →·n ＝0，即(－1，－λ，λ)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，1＝0，解得λ＝14，∴在棱PA 上存在点M 使得BM ∥平面PCD ，此时AM AP ＝14.。