第5章第2节 因素模型与APT
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APT模型的推导
APT模型的推导
多因素模型：
单因素APT：
多因素APT：
构建一个套利组合，则
如果组合风险充分分散， 与各证券的个别风险无关，则
为保证这是一个无风险套利组合，要求与各风险因素 相关的系数均为0，即：
j=1,2,须为0，否则将出现无风险套利机会。因此，
根据线性代数知识，可令：
一定存在k+1个常数 ，使得：
那么， 的点乘为：
由上式可得：
E（Ri）= 满足
bik是第i个证券对第K个共同（系统）因素的敏感系数， ，所以
设组合仅与因素1相关，则
APT模型是证券i的预期收益率与k个因素风险报酬的线性模型。
多因素模型：
单因素APT：
多因素APT：
构建一个套利组合，则
如果组合风险充分分散， 与各证券的个别风险无关，则
为保证这是一个无风险套利组合，要求与各风险因素 相关的系数均为0，即：
j=1,2,须为0，否则将出现无风险套利机会。因此，
根据线性代数知识，可令：
一定存在k+1个常数 ，使得：
那么， 的点乘为：
由上式可得：
E（Ri）= 满足
bik是第i个证券对第K个共同（系统）因素的敏感系数， ，所以
设组合仅与因素1相关，则
APT模型是证券i的预期收益率与k个因素风险报酬的线性模型。
第六章因子模型和套利定价理论(APT)
因子模型还给我们提供关于证券回报率 生成过程的一种新视点
– 更准确
CAPM与APT
– 建立在均值—方差分析基础上的CAPM是一 种理论上相当完美的模型，它解释了为什么 不同的证券会有不同的回报率。除CAPM理 论外，另一种重要的定价理论是由Stephen Ross在70年代中期建立的套利定价理论 (APT)。在某种意义上来说，它是一种比 CAPM简单的理论。
• 最优投资组合理论+市场均衡=CAPM
• 因子模型+无套利=APT
• CAPM是建立在一系列假设之上的非常理想化 的模型，这些假设包括Harry Markowitz建立均 值-方差模型时所作的假设。这其中最关键的假 设是，所有投资者的无差异曲线建立在证券组 合回报率的期望和标准差之上。
• 相反，APT所作的假设少得多。APT的基本假 设之一是，当投资者具有在不增加风险的前提 下提高回报率的机会时，每个人都会利用这个 机会，即，个体是非满足的。另外一个重要的 假设是，证券市场证券种类特别多，并且彼此 之间独立。
rt a b1GDPt b2INFt et
• 平面在GDP增长率方向的斜率（=2.2）表示证券B的回报 率对GDP增长率变化的敏感度。
• 平面在通货膨胀率方向的斜率（=0.7）表示证券B的回报 率对通货膨胀率变化的敏感度。
到一条符合这些点的直线。这条直线的斜率 为2，说明A的回报率与GDP增长率有正的关 系。GDP增长率越大，A的回报率越高。
– 写成方程的形式，A的回报率与GDP预期增 长率之间的关系可以表示如下
•
•
• 这里
rt a bGDPt et
• rt =A在 t 时的回报率,
•GDPt =GDP在 t 时的预期增长率,
– 更准确
CAPM与APT
– 建立在均值—方差分析基础上的CAPM是一 种理论上相当完美的模型，它解释了为什么 不同的证券会有不同的回报率。除CAPM理 论外，另一种重要的定价理论是由Stephen Ross在70年代中期建立的套利定价理论 (APT)。在某种意义上来说，它是一种比 CAPM简单的理论。
• 最优投资组合理论+市场均衡=CAPM
• 因子模型+无套利=APT
• CAPM是建立在一系列假设之上的非常理想化 的模型，这些假设包括Harry Markowitz建立均 值-方差模型时所作的假设。这其中最关键的假 设是，所有投资者的无差异曲线建立在证券组 合回报率的期望和标准差之上。
• 相反，APT所作的假设少得多。APT的基本假 设之一是，当投资者具有在不增加风险的前提 下提高回报率的机会时，每个人都会利用这个 机会，即，个体是非满足的。另外一个重要的 假设是，证券市场证券种类特别多，并且彼此 之间独立。
rt a b1GDPt b2INFt et
• 平面在GDP增长率方向的斜率（=2.2）表示证券B的回报 率对GDP增长率变化的敏感度。
• 平面在通货膨胀率方向的斜率（=0.7）表示证券B的回报 率对通货膨胀率变化的敏感度。
到一条符合这些点的直线。这条直线的斜率 为2，说明A的回报率与GDP增长率有正的关 系。GDP增长率越大，A的回报率越高。
– 写成方程的形式，A的回报率与GDP预期增 长率之间的关系可以表示如下
•
•
• 这里
rt a bGDPt et
• rt =A在 t 时的回报率,
•GDPt =GDP在 t 时的预期增长率,
第五章因素模型课件
当然，我们还必须知道因素的预期值F和它的标准 差δ F，进而可以导出弯曲的马氏有效集。最后， 对于一个给定的无风险利率，切点组合可以被确 定。
证券对因子共同作出反应的假设，使得我们没有 必要直接估计证券之间的协方差，而只需要通过 证券的敏感性和因素的方差即可获得协方差。
2）分散化
单因素模型的第二个有意义的特征与分散化有 关。在前面已经说明，分散化导致系统风险的 平均化和个别风险的降低。对任何因素模型， 除了术语上用因素风险和非因素风险分别代替 系统风险和非系统风险外，上述特征总是成立
ri iI iI rI iI
式中：r i代表某一给定时期证券i的收益率 I代表市场指数
rI代表相同时期市场指数I的收益率 ε iI是随机误差项
ßiI 代表了证券市场线的斜率，它表明了每当市 场收益变化1%，证券收益变化的程度。用市 场模型来描述证券收益，可以帮助我们确定系 统性风险和非系统性风险，证券系统性风险等 于市场收益的标准差乘以ß值，因此，β 代表了 股票相对于市场的系统风险，非系统性风险等 于非系统性收益的标准差σ ε 。如果β >1，表 明了此股票的风险大于市场的风险，反之，则 表明了股票的风险小于市场的风险；如果截距 aiI为正，则证券的表现要优于市场，反之，则 劣于市场。
• 两边求期望得 E(Ri ) i i E(G)
• 假定上例中，α i =4%，β i =2，则 Ri 4% 2G i
这一关系也可用下面的图形表示
ri
24
·
20
·
16
·
12
·
8
·
4
0
2
4
6
8 GDP
为了阐明图中所反映的数量关系，我们使用 一元回归分析的统计技术做一条直线来拟合 图中的点。那么，图中这条直线的回归方程 则为Ri=4%+2GDP
证券对因子共同作出反应的假设，使得我们没有 必要直接估计证券之间的协方差，而只需要通过 证券的敏感性和因素的方差即可获得协方差。
2）分散化
单因素模型的第二个有意义的特征与分散化有 关。在前面已经说明，分散化导致系统风险的 平均化和个别风险的降低。对任何因素模型， 除了术语上用因素风险和非因素风险分别代替 系统风险和非系统风险外，上述特征总是成立
ri iI iI rI iI
式中：r i代表某一给定时期证券i的收益率 I代表市场指数
rI代表相同时期市场指数I的收益率 ε iI是随机误差项
ßiI 代表了证券市场线的斜率，它表明了每当市 场收益变化1%，证券收益变化的程度。用市 场模型来描述证券收益，可以帮助我们确定系 统性风险和非系统性风险，证券系统性风险等 于市场收益的标准差乘以ß值，因此，β 代表了 股票相对于市场的系统风险，非系统性风险等 于非系统性收益的标准差σ ε 。如果β >1，表 明了此股票的风险大于市场的风险，反之，则 表明了股票的风险小于市场的风险；如果截距 aiI为正，则证券的表现要优于市场，反之，则 劣于市场。
• 两边求期望得 E(Ri ) i i E(G)
• 假定上例中，α i =4%，β i =2，则 Ri 4% 2G i
这一关系也可用下面的图形表示
ri
24
·
20
·
16
·
12
·
8
·
4
0
2
4
6
8 GDP
为了阐明图中所反映的数量关系，我们使用 一元回归分析的统计技术做一条直线来拟合 图中的点。那么，图中这条直线的回归方程 则为Ri=4%+2GDP
APT与风险收益多因素模型ppt课件
因素组合 1、因素组2合、无风险资产
.2009年9月
29
10.5 因素的确定
确定思路：
▪ 利用系统风险因素
➢ 如Chen, Roll, Ross(1986)
▪ 利用公司特征经验来代替系统风险
➢ 如Fama & French(1996)
.2009年9月
30
10.6 多因素资本资产定价模型与 套利定价理论
2. 签订一份协议（远期利率协议），该协议规定 该交易者可以按11%的价格6个月后从市场借 入资金1051万元（等于1000e0.10×0.5）。
.2009年9月
12
3. 按12%的利率贷出一笔1年期的款项金 额为1000万元。
4. 1年后收回1年期贷款，得本息1127万元 （等于1000e0.12×1），并用1110万元 （等于1051e0.11×0.5）偿还1年期的债务 后，交易者净赚17万元（1127万元-1110 万元）。
.2009年9月
23
套利组合及套利过程
▪ 做D多头： （0.07+0.5F）×100万 ▪ 做C空头：-（0.06+0.5F）×100万
0.01 ×100万=1万 ▪ 结果是：套利组合的收益为正；收益无风险，
即套利组合对因素的敏感度为零；净投资为零 ▪ 结果：均衡下CD必然重叠，而D点是直线组合
点，则C必然在直线上.
▪ 最早由美国学者斯蒂芬·罗斯于1976年提 出，这一理论的结论与CAPM模型一样，也 表明证券的风险与收益之间存在着线性关 系.
▪ 三个基本假设
➢ 证券收益能用因素模型表示 ➢ 有足够多的证券来分散特有风险 ➢ 有效的证券市场不允许持续性的套利机会
.2009年9月
.2009年9月
29
10.5 因素的确定
确定思路：
▪ 利用系统风险因素
➢ 如Chen, Roll, Ross(1986)
▪ 利用公司特征经验来代替系统风险
➢ 如Fama & French(1996)
.2009年9月
30
10.6 多因素资本资产定价模型与 套利定价理论
2. 签订一份协议（远期利率协议），该协议规定 该交易者可以按11%的价格6个月后从市场借 入资金1051万元（等于1000e0.10×0.5）。
.2009年9月
12
3. 按12%的利率贷出一笔1年期的款项金 额为1000万元。
4. 1年后收回1年期贷款，得本息1127万元 （等于1000e0.12×1），并用1110万元 （等于1051e0.11×0.5）偿还1年期的债务 后，交易者净赚17万元（1127万元-1110 万元）。
.2009年9月
23
套利组合及套利过程
▪ 做D多头： （0.07+0.5F）×100万 ▪ 做C空头：-（0.06+0.5F）×100万
0.01 ×100万=1万 ▪ 结果是：套利组合的收益为正；收益无风险，
即套利组合对因素的敏感度为零；净投资为零 ▪ 结果：均衡下CD必然重叠，而D点是直线组合
点，则C必然在直线上.
▪ 最早由美国学者斯蒂芬·罗斯于1976年提 出，这一理论的结论与CAPM模型一样，也 表明证券的风险与收益之间存在着线性关 系.
▪ 三个基本假设
➢ 证券收益能用因素模型表示 ➢ 有足够多的证券来分散特有风险 ➢ 有效的证券市场不允许持续性的套利机会
.2009年9月
因素模型与套利定价理论
套利定价方程
2.两因素模型的APT定价公式
❖E(Ri)=λ0+λ1bi1+ λ2bi2
❖λ1 ：考虑一个充分多样化的组合，该组合对第一种
因素的敏感度等于1，对第二种因素的敏感度等于0，
则该组合的预期收益率δ1= Rf+λ1，
λ1=
δ1- Rf
❖λ2 ：考虑一个充分多样化的组合，该组合对第一 种因素的敏感度等于0，对第二种因素的敏感度等 于1，则该组合的预期收益率δ2= Rf+λ2，
掌握
CAPM难题
❖运用CAPM模型面临的两大难题： • 一是寻找有效集的工作量，特别是计算协方
差的数目随着资产数目的增加而程指数增长 ------因素模型解决 • 依赖市场资产组合-----套利定价理论解决
APT理论的逻辑
Ri iiRMi
RpppRpp
系统风险与非系统风险
多因素模型的提出
❖ 单指数模型将所有的系统风险都归结为单一因素， 实际上，一方面系统风险包括多种因素，如经济 周期、利率和通货膨胀的不确定性等；另一方面， 不同的因素对不同的股票的影响力是不同的。因 此，要想准确地分析对股票收益的影响，还需要 将影响其收益的系统风险进行进一步的分解。
❖ 推导这种关系------推导出套利定价方程 ❖ APT模型的本质逻辑：104页
套利定价方程
1.单因素模型的APT定价公式 ❖ E(Ri)=λ0+λ1bi ❖ λ0和λ1的含义：如果bi=0（剔除共同因素对期望
收益率的影响），则 E(Ri)= λ0， λ0表示因素风 险为零时的证券期望收益率，则λ0=Rf。如果 bp=1,则E(Rp)=Rf+λ1, λ1= E(Rp)-Rf,即λ1敏 感系数为1的资产组合的期望收益率高出无风险收 益率的部分，即单位因素风险的溢价，记 E(Rp)=δ1，所以套利定价方程又可表示为 E(Ri)=Rf+bi(δ1-Rf)
投资学[]APTPPT课件
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29
根据APT，该股票的期望收益率为
r rf 1.0I 0.5R 0.75c
6% 1 6% 0.5 2% 0.75 4% 16%
股票当前的预期收益率E(r) = 15％(因为所有因素的 预期到的变动都定义为0 )。基于风险的要求收益率 超过了实际的预期收益率，我们可以得出结论说该 股票定价过高。
ri rf bi (1 rf ) rf bi1 ri rf i (rm rf )
显然，若纯因子组合是市场组合
即1 rm , bi代表i，则APT与CAPM一致。
若纯因子组合不是市场组合，APT与CAPM可能组合，则APT与 CAPM不一定一致，CAPM仅仅是APT的 特例。当且仅当纯因子组合是市场组合时， CAPM与APT等价。
2 2 rf
这样可将APT的表达式可以改写为
ri rf (1 rf )bi1 (2 rf )bi2
第1因子的风险价格
第2因子的风险价格
20
在多因子模型下
ri 0 1bi1 2bi2 ,..., mbim
rf (1 rf )bi1 （2 rf )bi2 ,..., (m rf )bim
2. 在CAPM中，市场组合居于不可或缺的地 位（若无此，则其理论瓦解），但APT即 使在没有市场组合条件下仍成立。
– APT模型可以得到与CAPM类似的期望回报-b 直线关系，但并不要求组合一定是市场组合， 可以是任何风险分散良好的组合
23
ri rf bi (1 rf ) ri rf i (rm rf )
• APT的局限：决定资产的价格可能存在多种 因素，模型本身不能确定这些因素是什么和 因素的数量，实践中因素的选择常常具有经 验性和随意性。
根据APT，该股票的期望收益率为
r rf 1.0I 0.5R 0.75c
6% 1 6% 0.5 2% 0.75 4% 16%
股票当前的预期收益率E(r) = 15％(因为所有因素的 预期到的变动都定义为0 )。基于风险的要求收益率 超过了实际的预期收益率，我们可以得出结论说该 股票定价过高。
ri rf bi (1 rf ) rf bi1 ri rf i (rm rf )
显然，若纯因子组合是市场组合
即1 rm , bi代表i，则APT与CAPM一致。
若纯因子组合不是市场组合，APT与CAPM可能组合，则APT与 CAPM不一定一致，CAPM仅仅是APT的 特例。当且仅当纯因子组合是市场组合时， CAPM与APT等价。
2 2 rf
这样可将APT的表达式可以改写为
ri rf (1 rf )bi1 (2 rf )bi2
第1因子的风险价格
第2因子的风险价格
20
在多因子模型下
ri 0 1bi1 2bi2 ,..., mbim
rf (1 rf )bi1 （2 rf )bi2 ,..., (m rf )bim
2. 在CAPM中，市场组合居于不可或缺的地 位（若无此，则其理论瓦解），但APT即 使在没有市场组合条件下仍成立。
– APT模型可以得到与CAPM类似的期望回报-b 直线关系，但并不要求组合一定是市场组合， 可以是任何风险分散良好的组合
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ri rf bi (1 rf ) ri rf i (rm rf )
• APT的局限：决定资产的价格可能存在多种 因素，模型本身不能确定这些因素是什么和 因素的数量，实践中因素的选择常常具有经 验性和随意性。
APT模型
APT 模型套利定价理论(Arbitrage Pricing Theory,简称APT)是由斯蒂夫•罗斯(Stephen Ross)于1976年提出的（在《经济理论杂志》上发表了经典论文“资本资产定价的套利理论”）。
他试图提出一种比CAPM 传统更好的解释资产定价的理论模型。
经过十几年的发展，APT 在资产定价理论中的地位已不亚于CAPM 。
APT 的研究思路研究者拓展问题的思路是：首先，分析市场是否处于均衡状态；其次，如果市场是非均衡的，分析投资者会如何行动；再次，分析投资者的行为会如何影响市场并最终使市场达到均衡；最后，分析在市场均衡状态下，证券的预期收益由什么决定。
套利定价理论认为，套利行为是现代有效率市场形成（亦即市场均衡价格形成）的一个决定因素。
套利定价理论认为，如果市场未达到均衡状态的话，市场上会存在无风险的套利机会。
一、因素模型套利定价理论的出发点是假设证券的回报率与未知数量的未知因素相联系。
套利定价理论是利用因素模型来描述资产价格的决定因素和均衡价格的形成机理的。
因素模型是一种统计模型。
（一）单因素模型：单因素模型认为证券收益率受到一种因素的影响，一般可以用下面的方程来表示单因素模型：这里， 是因素值， 是证券对这一影响因素的敏感度，即因素F 对于风险资产i 的收益率的影响程度，称它为灵敏度(sensitivity)或者因素负荷（factor loading ）。
如果因素等于零，这种证券的收益率等于因素每变动一个单位，收益率 增减 单位。
是随机误差项，它是一个期望值为零、标准差等于 的随机变量。
根据单因素模型中参数的估计，证券i 的预期收益率可以写成：其中 项表示因素预期值为零时证券i 的预期收益率。
（二）多因素模型在现实经济中，影响预期收益率改变的因素往往有若干种，因此用多因素模型取代单因素模型分析证券的收益率，将会更切合实际。
我们首先从多因素模型的特列：两因素模型入手。
1.两因素模型假定收益率决定模型中含有两种因素，模型表达如下：（11.5）这里， 和 是影响证券收益率的两个因素； 和 是证券i 对这两个因素的灵敏度；同前面一样， 为随机误差项； 是当两个因素为零时证券i 的预期收益率。
6第五章 因素模型
其 中 ， E [ ei ] = 0 , c o v ( ei , e j ) = 0
cov(ei , f1) = 0,cov(ei , f2 ) = 0
28
在两因素模型中， 在两因素模型中 ， 对于证券 i ， 其 回报率的均值
ri = ai + bi1 f1 + bi2 f2
其回报率的方差
证券i对因素2的敏感度 对因素2
16
其回报率的均值（期望值） 对于证券i，其回报率的均值（期望值）为
ri = ai + bi f
其回报率的方差
因素风险
（5.3） 5.3）
非因素风险
2 2 f 2 ei
σ = bi σ +σ
2 i
而言， 对于证券i和j而言，它们之间的协方差为
σij = cov(ri , rj ) = cov(ai + bi f + ei , aj + bj f + ej )
Cov ( Ri , RM )
24
CAPM中 与市场组合M的关系为： CAPM中，资产i 与市场组合M的关系为：
Ri − rf = ( Rm − rf ) β i
单指数模型为： 单指数模型为：
Ri − r f = α i + ( Rm − r f ) β i
其中： 超过CAPM CAPM预测的期望 其中：αi是资产i超过CAPM预测的期望 收益部分。 收益部分。 为零。 CAPM理论认为， CAPM理论认为，均衡状态下αi为零。 理论认为
第五章 因素模型
在之前的理论应用中， 在之前的理论应用中，为了得到投 资者的最优投资组合，要求知道： 资者的最优投资组合，要求知道：
–预期收益率率均值向量 预期收益率率均值向量 –预期收益率方差-协方差矩阵 预期收益率方差预期收益率方差 –无风险利率 无风险利率
cov(ei , f1) = 0,cov(ei , f2 ) = 0
28
在两因素模型中， 在两因素模型中 ， 对于证券 i ， 其 回报率的均值
ri = ai + bi1 f1 + bi2 f2
其回报率的方差
证券i对因素2的敏感度 对因素2
16
其回报率的均值（期望值） 对于证券i，其回报率的均值（期望值）为
ri = ai + bi f
其回报率的方差
因素风险
（5.3） 5.3）
非因素风险
2 2 f 2 ei
σ = bi σ +σ
2 i
而言， 对于证券i和j而言，它们之间的协方差为
σij = cov(ri , rj ) = cov(ai + bi f + ei , aj + bj f + ej )
Cov ( Ri , RM )
24
CAPM中 与市场组合M的关系为： CAPM中，资产i 与市场组合M的关系为：
Ri − rf = ( Rm − rf ) β i
单指数模型为： 单指数模型为：
Ri − r f = α i + ( Rm − r f ) β i
其中： 超过CAPM CAPM预测的期望 其中：αi是资产i超过CAPM预测的期望 收益部分。 收益部分。 为零。 CAPM理论认为， CAPM理论认为，均衡状态下αi为零。 理论认为
第五章 因素模型
在之前的理论应用中， 在之前的理论应用中，为了得到投 资者的最优投资组合，要求知道： 资者的最优投资组合，要求知道：
–预期收益率率均值向量 预期收益率率均值向量 –预期收益率方差-协方差矩阵 预期收益率方差预期收益率方差 –无风险利率 无风险利率
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“无风险套利”行为的特点
1、不承担风险：风险因素相抵消或近似无风险 2、瞬时性：当市场存在错误定价时，市场上的少 数理性投资者（不管其风险厌恶程度和财富水平如何） 都愿意持有一个无限的头寸，产生巨大的市场力量， 将价格推至均衡
套利的意义
套利是从纠正价格或收益率的异常中获利，在
一个高度竞争的、流动性强的市场中，套利行
第五章 因素模型与 APT
第二节 套利及无套利法则
APT提出的背景
CAPM基于众多的假设，其中的一些假设与
现实不相吻合
检验CAPM时，难以得到真正的市场组合， 致使CAPM不易被检验 一些经验结果与CAPM相悖
一、APT的提出
Stephen Ross在1976年提出了一种新的资本资产均 衡理论即套利定价理论（APT)
（a）短期国库券可提供6%的收益率，如市场认为该股 票是公平定价的，求出该股票的期望收益率。
（b）假定下面第一列给出的三种宏观因素的值是市场 预测值，而实际值在第二列给出。在这种情况下，计算 该股票修正后的期望收益率。 要素 预期变化率(%) 实际变化率（％）
通货膨胀
行业生产 石油价格
5
3 2
4
6 0
推动价格重回均衡
APT强调的是无套利均衡，当套利机会存在，每个投资
者都愿意尽可能多地持有头寸，因此，不需很多投资者 就会给价格带来压力，使价格恢复均衡。因此，由无套 利观点得出的价格的意义更大
二者各有优劣，侧重点不同
CAPM用β来解释风险大小，但没揭示风险来源；APT用多
个因素共同来解释证券价格的波动，获得了明确的结论
（2）如存在，如何套利？
练习二
考虑单因素APT模型。股票A和股票B的 期望收益率分别为12%和16%，无风险收 益率为5%。假设股票B的β值为1.1。如果 不存在套利机会，求股票A的β值？
练习三
考虑如下一种特定股票收益的多因素证券收益模型：
要素 通货膨胀 行业生产 石油价格 因子载荷 1.2 0.5 0.3 风险价格（％） 6 8 3
为将纠正价格偏差，最终使市场趋于均衡（一 个不存在套利机会的价格水平）
套利行为是现代有效市场的一个决定因素
套利的基本形式
空间套利：在一个市场上低价买进在另一市场上
高价卖出
时间套利：同时买卖在不同时点交割的同种资产
工具套利（相关金融工具）：利用同一标的资产
的现货及各种衍生证券的价格差异套利
两者的本质相同，都是证券的均衡收益率决定模型，研究对 象相同——风险资产的定价，应用的核心都是寻找价格被误 定的证券 在一定条件约束下，APT导出的风险收益关系与CAPM的结
论完全一样
存在一种经济环境，此时APT和CAPM的假设都成立，且收益率通
过单一因素（市场收益率）形成时， APT与CAPM是一致的
无套利原则说明证券之间的价格可从技术角度予以
确定——金融工程的基本思路
APT逻辑核心：根据无套利均衡原则，在因素模
型下，具有相同因素敏感性的资产（组合）应提
供相同的期望收益率。否则，套利机会便产生， 投资者的套利行为将使套利机会消失，均衡价格 得以形成
第三节 单因素和 多因素APT模型
罗斯在提出APT时，首
风险套利
r
A
10 7 6
D
C
风险 补偿
rf 4%
0.5 1.0
四、APT的分析思路
首先，识别哪些因素对市场起广泛影响 然后估计出每个证券对每个因素的敏感度 接下来证实是否存在套利机会并求解出一 种可能的套利机会 最后，构建套利组合，获取收益
五、APT与CAPM的比较
ri
rh
h l
1
0
rl
单因素资产 定价线
bh bl
bi
套利行为将对证券价格产生影响，其预期收益率也将作出调整 投资者为获利必尽可能购入h，使其价格上升，预期收益率下降， 最终到达APT定价线 在均衡时，所有证券都落在套利定价线上
对APT的理解
两个充分分散化的投资组合Ａ和Ｂ，若 bA bB ，就必定有 E (rA ) E (rB ) ，否则要出现套利机 会
该模型由一个多因素收益生成函数导出，其理论基础为
一价定律
该模型推导出的资产收益率决定于一系列影响因素，而
不象CAPM那样基于一个风险因子，这与许多经验结果 相吻合。而套利活动则保证了市场均衡的实现
APT对CAPM中的投资者风险厌恶等假设条件作了放松，
从而较CAPM具有更强的现实解释能力
二、APT的基本假设
的风险价格？
练习六
假定F1和F2为两个独立的经济因素。无风险收益率为6%，
并且，所有的股票都有独立的公司特有（风险）因素，
其标准差为45%。下面是优化的资产组合。
资产组合
F1的β值
F2的β值
期望收益率
A
B
1.5
2.2
2.0
-0.2
31%
27%
在这个经济体系中，试进行期望收益- β关系的分析。
有效的套利组合是有吸引力的,不需要额外资金、 无额外风险、收益为正
用数学表示就是：
w 0
i 1 i
n
为得到无风险证券组合，须消除因
子风险和非因子风险。满足下面三
个条件： （1）所包括的证券种类尽量多；
（2）组合中每个ωi足够小；
（3）对每个因子而言，所安排的 ωi使得组合的因子敏感度为零。
先考察的是单因素模型
2006年@贺莉萍
投资学第5章
一、套利组合及其构建
根据APT，投资者会尽力发掘构造套利 组合的可能，以便在不增加风险的情况 下增加自己的财富
什么是套利组合？
套利组合是同时满足下列三个条件的证券组合：
零投资：不需追加任何额外投资 — 自融资功能
无风险 正收益
APT被认为是广义的CAPM，是CAPM的修正和补充， CAPM可看作是APT在某些更严格假设下的特例
APT与CAPM的不同
两种理论市场均衡的得出不同
CAPM是典型的收益/风险占优所主导的市场均衡，认为：
当均衡价格被打破时，投资者将在一定程度上改变其组 合，这些有限的组合改变的加总将产生大量的买卖行为，
r i 0 r j 0 1 bi bj
ri 0 1bi
证券的预期收益率与它 的影响因素线性相关
三、APT的意义
ri 0 bij j
j 1 m
若bij＝0，则资产为无风险资产，则
0 rf ri rf bij j
j 1
ri 0 bi11 bi 2 2 ... bik k
（二）套利定价模型推导
假设构造一个套利组合：以无风险利率借入1元钱，投资
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在两种资产上，构造一个自融资组合。假设无风险利率
为 ，两个资产是i和j，在因素模型的假定下，套利组合 的收益为（忽略残差）：
ri r i bi F ei
市场是完全竞争的、无摩擦的——套利的可实施性 当投资者具有在不增加风险的前提下提高回报率的
机会时，每个人都会利用这个机会，即个体是非满
足的——套利的主观性 投资者都一致认为任一证券i的回报率满足k因素模 型 市场上的证券的种类远远大于因子的数目k
三、什么是套利？
套利：指利用证券之间的错误定价来赚取无风险利润 的行为。
例：如何构造套利组合？
基于三个约束条件，可以构造无数个满足套利条件 的潜在套利组合
实例：假定一个投资者持有3种证券，其预期收益
率分别为15%、21%和12%，敏感度依次为0.9、3.0.
和1.8。假定每一种证券的市值为100万元，总市值
为300万元。
W1 W2 W3 0 0.9W1 3W2 1.8W3 0 0.15W1 0.21 W2 0.12W3 0
从上式可以求出无限多组解，在此假定W1等于0.1， 解出W2=0.075，W3=-0.175。
0.15W1 0.21 W2 0.12W3 0.00975
结论
APT基本思想：如投资者能找到套利机会，则所 有投资者都会利用它，买卖行为导致套利机会最
终消失，套利组合的预期收益等于0时，市场处
性，不同的研究使用了不同的宏观经济指标
每项因素都要计算相应的贝塔值，所以在对资产估值的
实际应用中，CAPM比APT使用得更广泛
练习一
考虑单因素APT模型。资产组合A的β值为
1.2，期望收益率为14%。资产组合B的β值
为0.7，期望收益率为9%。无风险收益率
为5%。
（1）是否存在套利机会？
四、无套利法则和无套利均衡
一价法则和等值等价法则统称为无套利法则
“一价法则”
“等值等价法则”
两种具相同风险的资产不能以不同的期望收益率出售，否则会
出现套利机会
在一个均衡的资本市场中，所有资产将遵循“无 套利法则”
无套利均衡分析方法是现代金融学研究的基本方
法，是定价理论中最基本的原则之一
APT对证券收益率的解释力更强，但在理论的严密性上相
对不足
APT模型更具体地表现为寻找套利机会
APT的假定少于CAPM，APT不需要市场组合，使其更
容易检验、适用性更强。—— APT成为CAPM的一个
较好的替代理论
六、APT的局限性
APT在实际应用上仍存在一些没解决的问题
因子识别问题。实践中因素的选择常具有经验性和随意
rp w(ri bi F ) (1 w)(r j b j F ) 1 0 [ w(ri r j ) r j 0 ] [ w(bi b j ) b j ]F