APT定价模型组题
APT套利定价理论
同时为了满足特征1和2的解，要求 n k 。
• 特征三；套利组合的期望收益率必须为正 值。公式表示为：
x1E r1 x2 E r2 xn E rn 0
当一个组合可以同时满足上述三点要求时， 该组合就是一个套利组合。当市场给出了期 望收益率和敏感性的时候，利用同时特征一 和特征二可以得到无穷多个满足上述特征一 和特征二的组合。最后利用特征三来检验。 如果期望收益率可以大于0，则是套利组合。
套利定价模型
• 假设一个组合中有三种证券，并且满足套 利定价组合，加入证券1和证券2收益率高， 而证券3收益率低。由于每个投资者必定买 入证券1和证券2并卖出证券3，届时他们的 期望收益率做出相应的调整。具体来说由 于不断增加的买方压力，证券1和证券2的 价格将上升，进而导致期望收益率的下降， 相反证券3的价格下降和期望收益率上升。
在实际运用中，通常用市场指数近似代替市 场组合，得到证券i的收益率为： ri ai i Rm i 同时为了分析的需要，通常对随机项 i 做出 如下假设：
COV i , j 0 COV i , R m
E i 0
0
有了随机项的这些假设，可以根据市场模型 求出证券i的期望收益率和方差：
*
E rp* rf 1
1 E rp
r
*ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f
于是 1 称为单位敏感性的组合的期望超额收 益率（即表示高出无风险利率的那部分期望 收益率），也被称作因素风险溢价。用 1 E rp* 表示对因素有单位敏感性的组合的期望收益 1 rf 1 则套利定价的第 率，则可以得到： 二种形式为： E ri rf (1 rf )i
第五讲-套利定价模型(APT)
3.如果检验是基于某种无效率的指数，则风险资产 收益的任何情形都有可能出现，它取决于无效指数的选 择。
该结论断言，即便市场组合是均值-方差效率的， CAPM也是成立的，但使用前述方法得到的SML，也不能够 证明单一风险资产均衡收益同β 风险、市场组合之间存 在某种有意义的关系。
因此，罗尔认为，由于技术上的原因和原理上的模 糊，CAPM是无法检验的。
第五讲 套利定价模型 （APT）
本讲的主要内容：
1、CAPM模型的缺陷 2、因素模型 3、套利组合 4、APT模型 5、CAPM与APT的比较
一、CAPM的局限性
（一）相关假设条件的局限性 1.市场无摩擦假设和卖空无限制假设与现实不符； 2.投资者同质预期与信息对称的假设意味着信息是无
成本的，与现实不符； 3.投资者为风险厌恶的假设过于严格。
根据套利的定义，套利组合要满足三个条件：
条件1：
套利组合要求投资者不追加资金,即套利组合属于自融 资组合.如果我们用xi表示投资者持有证券i金额比例的变化 (从而也代表证券i在套利组合中的权重,注意xi可正可负)， 则该条件可以表示为：
x1 x2 x3 xn 0
条件2：
套利组合对任何因素的敏感度为零，即套利组合没有因素风 险。证券组合对某个因素的敏感度等于该组合中各种证券对该因 素敏感度的加权平均数，因此在单因素模型下该条件可表达为：
五、套利定价模型
投资者的套利活动是通过买入收益率偏高的证券同时 卖出收益率偏低的证券来实现的，其结果是使收益率偏高 的证券价格上升，其收益率将相应回落；同时使收益率偏 低的证券价格下降，其收益率相应回升。这一过程将一直 持续到各种证券的收益率跟各种证券对各因素的敏感度保 持适当的关系为止。下面我们就来推导这种关系：
金融经济学14套利定价理论APT
将无风险证券和切点证券组合作为两个分离的 基金，则可将证券j的收益率表示为 基金，则可将证券 的收益率表示为
% % rj = (1 − β jm ) rf + β jm rm + ε j
% % E ( rj ) = rf + β jm ( E ( rm ) − rf )
这就是传统形式的资本资产定价模型， 这就是传统形式的资本资产定价模型，其 中
% % % βjm =Cov(rj , rm)/σ (rm)
2
单个证券的风险的分解
% % rj = (1 − β jm ) rf + β jm rm + ε j
% % σ i = ∑ [( ris − E ( ri ) ) Pr ob ( s )] = β jm σ m + σ ε
2 2 2
% % E (rj ) = rf + β jm ( E (rm ) − rf )
% % rj = α j + β j1δ%1 + β j 2δ%2 + ..... + β jK δ%K + ε j
风险证券收益率不确定的来源， 风险证券收益率不确定的来源， 一是系统性部分，即影响因素δ不确定， 一是系统性部分，即影响因素δ不确定，是随 机的， 机的， 二是非系统部分，即各风险证券本身的ε 二是非系统部分，即各风险证券本身的ε。
σ
2
( rm ) = h1mσ 1m + h2mσ 2m +L hJmσ Jm
• 市场组合的
E ( rm ) = h1m E ( r1 ) + h2 m E ( r2 ) + L + hJm E ( rJ )
• 具有较大 σ iM 值的证券必须按比例提供较大的预 期收益率以吸引投资者。 期收益率以吸引投资者。
套利定价模型(APT)
APT不要求成立的假设条件 APT不要求成立的假设条件
• 单一投资期 • 不存在税的问题 • 投资者能以无风险利率自由地借入和贷出 资金 • 投资者以回报率的均值和方差选择投资组 合
主要内容
套利与“一价定律” 一 套利与“一价价模型的实现
的收益受某一因素影响） 1.单因素模型（ 所有资产 的收益受某一因素影响） 单因素模型（ 单因素模型
单因素模型定价公式推导
套利组合的预期收益率： 套利组合的预期收益率： rp = x1r1 + x2r2 + x3r3 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + xn rn 约束条件： 约束条件：
x1 + x 2 + x 3 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ x n = 0 b1 x1 + b 2 x 2 + b 2 x 3 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ b n x n = 0
套利定价模型（APT） 定价模型（APT）
—另外一种阐述资产价格形成的逻辑
王志方 zhifang925@
套利定价理论的诞生
1976年，罗斯提出套利定价理论（APT）。 年 罗斯提出套利定价理论（ ）。 该理论认为各种证券的收益率受 某个或者某几 个因素 的影响，各种证券收益率之所以相关， 影响，各种证券收益率之所以相关， 是因为它们都会对这些共同的因素起反应。 是因为它们都会对这些共同的因素起反应。 一样， 同CAPM一样，它预测了（或者说推导出） 一样 它预测了（或者说推导出） 与风险预期收益相关的证券市场线。 与风险预期收益相关的证券市场线。二者不同之 处在于： 建立在均值—方差基础之上 处在于：CAPM建立在均值 方差基础之上，而 建立在均值 方差基础之上， APT建立在“一价定律”之上。 建立在“ 建立在 一价定律”之上。 APT相对于 相对于CAPM更优越的地方还在于其较 相对于 更优越的地方还在于其较 少的假设条件： 少的假设条件：
APT 练习题
4、假定两个资产组合A、B都已充分分散化，E（rA）=12%，E（rB）=9%，如果影响经济的要素只有一个，并且βA=1.2，βB=0.8，可以确定无风险利率是多少？单项选择题：1．如果X与Y都是充分分散化的资产组合，无风险利率为8%：资产组合期望收益率（%）贝塔值X 16 1.00Y 12 0.25据此可推断资产组合X与资产组合Y：（）a．都处于均衡状态 b．存在套利机会c．都被低估 d．都是公平定价的2．根据套利定价理论：（）a．高贝塔值的股票都属于高估定价。
b．低贝塔值的股票都属于低估定价。
c．正阿尔法值的股票会很快消失。
d．理性的投资者将会从事与其风险承受力相一致的套利活动。
3．套利定价理论不同于单因素CAPM模型，是因为套利定价理论：（）a．更注重市场风险。
b．减小了分散化的重要性。
c．承认多种非系统风险因素。
d．承认多种系统风险因素。
4．APT比简单的CAPM模型具有更大的潜在优势，其特征是：（）a．对生产、通胀与利率期限结构的预期变化的确定，可作为解释风险与收益间相互关系的关键因素。
b．对无风险收益率按历史时间进行更好地测度。
c．对给定的资产，按时间变化衡量APT因素敏感性系数的波动性。
d．使用多个因素而非单一市场指数来解释风险与收益的相关性。
5．与CAPM模型相比，套利定价理论：（）a．要求市场均衡。
b．使用以微观变量为基础的风险溢价。
c．指明数量并确定那些能够决定期望收益率的特定因素。
d．不要求关于市场资产组合的限制性假定。
6．在（）情况下，会出现期望收益为正的零投资资产组合。
a．投资者只承受收益减少的风险b．定价公平c．投资机会集与资本配置线相切d．存在无风险套利机会7．从风险-收益关系的角度，（）a．为使市场达到均衡，只有因素风险需要风险溢价 b．只有系统风险与期望收益有关c．只有非系统风险与期望收益有关d．a和be．a和c8．资产组合A的期望收益率为10%，标准差为19%。
6因子模型和套利定价理论(APT)
写成方程的形式，A的收益率与GDP预期增 长率之间的关系可以表示如下
rt a bGDP et t
(6.1)
这里
=A在 t 时的收益率, GDP =GDP在 t 时的预期增长率, t et =A在 t 时的收益率的特有部分, b =A对GDP的预期增长率的敏感度, a =有关GDP的零因素。
经济系统中的某些共同因素影响几乎所有 的公司
商业周期、利率、GDP增长率、技术进步、劳 动和原材料的成本、通货膨胀率 这些变量不可预期的变化将导致整个证券市场 收益率的不可预期变化
定义1：因素模型（或者指标模型）是一种 假设证券的收益率只与不同因素(或者指标) 的运动有关的经济模型。
(6.2)
这里， Ft 是因素在时间 t 的值，对在时 间 t 的所有的证券而言，它是相同的。 bi是 证券 i 对因素 Ft 的敏感度，对证券i 而 言， bi不随时间的变化而变化。eit 是证券 i 在时间 t 的收益率的特有部分。这是一个均 值为0，标准差为 ei ，且与因素 Ft 无关 的随机变量，我们以后简称为随机项。
在这个例子里，第六年的GDP的预期增长率 为2.9%，A的实际收益率是13%。因此，A et 的收益率的特有部分（由 给出）为3.2%。 给定GDP的预期增长率为2.9%，从A的实际 收益率13%中减去A的期望收益率9.8%，就 得到A的收益率的特有部分3.2%。
从这个例子可以看出，A在任何一期的收益 率包含了三种成份：
rt
在图6-1中，零因素是4%，这是GDP的预期 增长率为零时，A的预期收益率。A的收益率 对GDP增长率的敏感度为2，这是图中直线的 斜率。这个值表明，高GDP的预期增长率一 定伴随着高的A的收益率。如果GDP的预期增 长率是5%，则A的预期收益率为14%。如果 GDP的预期增长率增加1%——为6%时，则A 的预期收益率增加2%，或者为16%。
套利定价模型练习题
套利定价模型练习题一、回答问题1.APT模型的基本原理是什么?2.APT 相对于CAPM 有什么优点？3.判断正误，并说明理由：在CAPM中，投资因承受系统性风险而得到补偿，而在APT 模型中，投资者因为承受总风险而得到补偿。
4.请分析区分下列模型：（1）资本资产定价模型；（2）单因素模型；（3）单指数模型；（4）市场模型5.一个证券组合投资于很多种股票(n很大)，其中一半投资于股票A，其余部分资金平均投资于其他n-1种股票，请问：这个组合风险分散效果如何？6.一个证券组合投资于很多种股票(n很大)，但不是各平均分配，而是其中一半证券各占1.5/n，另一半证券各占0.5/n。
试分析该组合的风险分散效果如何？二、计算题1.假设股票的市场收益并不遵从单指数结构。
一个投资基金分析了450 只股票，希望从中找出平均方差有效资产组合。
它需要计算个期望收益和个方差以及_个协方差。
2.假设股票市场收益遵从单指数结构。
一个投资基金分析了250 只股票，希望从中找出平均方差有效资产组合。
它需要计算___个期望收益的估计值，以及_______个对宏观经济因素的敏感性系数的估计值。
3.考虑单指数模型，某只股票的α值为0％。
市场指数的收益为12％。
无风险收益率为5％。
尽管没有个别风险影响股票表现，这只股票的收益仍超出无风险收益率7％。
那么这只股票β值是__。
4.假设你持有一个包括大量证券、风险充分分散的资产组合，并且单指数模型成立。
如果你的资产组合的δ是0.22，δm是0.18，资产组合的β值约为______5.假设下面的等式很好地描述了β在时间段之间的变化：βt＝0.4＋0.85βt-1，如果一只股票去年的β值为0.8，可以预测今年该股票的β值为______。
6.股票A的指数模型估计结果如下：RA＝0.12＋0.9Rm＋εA，δm＝0.24,δ(εA) ＝0.12。
则股票A收益的标准差是___ 。
7.假定对股票A与B的指数模型由下列结果来估计：RA＝1.0%＋0.9Rm＋εA; RB＝-2.0%＋1.1Rm＋εBδm=20%,δ(εA)＝30%，δ(εB)＝10%。
金融经济学(APT-套利定价)
j
=均值为零的第 j 个因子，
e i =证券 i 的随机项。
因子模型说明，所有具有等因子敏感度的证券 或证券组合，除去非因子风险外，其行为是一 致的。因此，所有具有等因子敏感度的证券或 者证券组合的期望回报率是一样的。 否则就存在第二类套利机会，投资者就会 利用它们，直到消除这些套利机会为止。 这就是APT的实质。
多因子模型
对于n种证券相关的m（m<n)个因子，证券i的 收益可以表示为
ri = a +
∑b
j =1
m
ij
f j + ei
其中，i = 1,..., n; j = 1,..., m
E [ ei ] = 0 , c o v ( ei , f j ) = 0 c o v ( ei , ek ) = 0 , i ≠ k
用数学表示就是
⎧ ⎪∑ wi = 0 （I） ⎪ i =1 ⎪ n ⎨∑ bi wi = 0 （II） ⎪ i =1 ⎪ n ⎪∑ wi ri > 0 （III） ⎩ i =1
n
D(∑ wi ri ) = D(∑ wi [ri + bi f + ei ]
i =1 i =1 n
n
n
=D(∑ wi bi f )
σ ij = cov(ri , rj ) = cov(ai + bi1 f1 + bi 2 f 2 + ei ,
a j + b j1 f1 + b j 2 f 2 + e j )
= bi1b j1σ 21 + bi 2b j 2σ 2 2 + (bi1b j 2 + bi 2b j1 ) cov( f1 , f 2 ) f f
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资产组合理论：
1、假如有A 和B 两种股票，它们的收益是相互独立的。
股票A 的收益为15%的概率是40%，而收益为10%的概率是60%，股票B 的收益为35%的概率是50%，而收益为-5%的概率也是50%。
（1）这两种股票的期望收益和标准差分别是多少？它们的收益之间的协方差是多少？
（2）如果50%的资金投资于股票A ，而50%的资金投资于股票B ，问该投资组合的期望收益和标准差分别是多少？
答案：（1）股票A 的期望收益E(R )0.415%0.610%12%;A =⨯+⨯=股票A 的标准差
A 0.0245σ==。
股票B 的期望收益E(R )0.535%0.5(5%)15%;B =⨯+⨯-=股票B 的标准差
0.2B σ==
因为股票A 和股票B 的收益是相互独立的，所以它们收益之间的协方差为0。
（2）该投资组合的期望收益
P E R 0.5E(R )0.5E(R )0.512%0.515%13.5%,A B =⨯+⨯=⨯+⨯=（）
标准差P 0.1007σ===
2、假设有两种基金：股票基金A ，债券基金B ，基金收益率之间相关系数为0.05，概率分布如下：A ：
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期望收益 10% 标准差 20%
B ：期望收益 5% 标准差 10%
计算：（1）基金的最小方差组合中每种基金的投资比例各是多少？
（2）最小方差组合的期望收益和标准差是多少？
答案：（1）设组合中A 基金投资比例为X ，那么B 基金投资比例为1-X 。
组合的方差222222222P x (1x)2x(1x)0.2x 0.1(1x)0.10.20.1x(1x)A B A B σσσρσσ=+-+-=+-+⋅⋅-是关于X 的一元二次方程，其最小的条件是关于X 的导数为0。
对X 求导，并使其等于0，得：
0.096x 0.018=，解得：X=0.1875,1-X=0.8125
所以最小方差组合中A 基金的投资比例为0.1875，B 基金的投资比例为0.8125。
（2）最新方差组合的期望收益
()=xE()(1x)E()0.187510%0.81255% 5.9375%P A B E R R R +-=⨯+⨯=
标准差
P 0.0912
σ===
CAPM ：
3、假设国库券利率是4%，市场组合的期望收益率是12%，根据CAPM：
（1）画图说明期望收益和β之间的关系
（2）市场的风险溢价是多少？
（3）如果一个投资项目的β为1.5，那么该投资的必要回报率是多少？
（4）如果一个β为0.8的投资项目可以获得9.8%的期望收益率，那么是否应该投资该项目？
（5）如果市场预期一只股票的期望收益率为11.2%，那么该股票的β是多少？
答案：（1）
（2）市场的风险溢价是：12%-4%=8%
（3）E（R）=4%+（12%-4%）*1.5=16%
（4）该项目必要回报率E（R）=4%+（12%-4%）*0.8=10.4%，而只能获得9.8%的期望收益率，小于10.4%，所以不应该投资该项目。
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（5）11.2%=4%+（12%-4%）*β，解得：β=0.9。
4、假设无风险收益率为6%，市场组合的预期收益率为10%，某资产组合的β系数等于1.2。
根据CAPM 计算：(1)该资产组合的预期收益率等于多少？(2)假设某股票现价为20元，其β=0.8，预期该股票1年后股价为23元，期间未分配任何现金股利。
请问投资者应该看多还是应该看空该股票？
答案：（1）该资产组合的预期收益率E（R）=6%+（10%-6%）*1.2=10.8%
(2)该股票的期望收益率为E(R)= 6%+（10%-6%）*0.8=9.2%，按照期望收益率将一年后股价贴现到现在得到现在股票的价值:23/(1+9.2%)=21.06。
而该股票的现价20<21.06，说明该股票被低估了，所以投资者应该看多该股票。
APT：
5、考虑一个单因素APT模型，股票A和股票B的期望收益率分别为15%和18%，无风险利率是6%，股票B的β为1.0。
如果不存在套利机会，股票A的β应该是多少？
答案：根据APT，对于股票B：18%=6%+1.0F，解得：F=12%
对于股票A：15%=6%+βF=6%+12%β，解得：β=0.75。
6、考虑一个多因素APT模型，股票A的期望收益率是17.6%，关于因素1的β是1.45，关于因素2的β
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是0.86。
因素1的风险溢价是3.2%，无风险利率是5%，如果不存在套利机会，那么因素2的风险溢价是多少？
答案：根据APT，有：17.6%=5%+1.45*3.2%+0.86*F2，解得：F2=9.26%
因此，因素2的风险溢价是9.26%。
7、考虑一个多因素APT模型，假设有两个独立的经济因素F1和F2，无风险利率是6%，
两个充分分散化了的组合的信息如下：
如果不存在套利机会，那么因素1和因素2的的风险溢价分别是多少？
答案：设因素1和因素2的风险溢价分别为R1和R2，根据APT，有：
对于组合A：19%=6%+1.0R1+2.0R2
对于组合B：12%=6%+2.0R1
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联立以上两个等式，解得：R1=3%，R2=5%
因此，因素1和因素2的风险溢价分别为3%和5%。
8、已知股票A 和股票B 分别满足下列单因素模型：
0.10.90.05 1.10.2()0.3()0.1
A M A
B M B M A B R R R R εεσσεσε=++=++===
（1） 分别求出两个股票的标准差及他们之间的协方差。
（2） 用股票A 和B 组成一个资产组合，两者所占比重分别为0.4和0.6，求该组合的非系统性标准差。
答案：（1）股票A
的标准差0.3499A σ===
股票A
的标准差0.2417B σ===
股票A 和股票B 的协方差
22(,)(0.10.9,0.05 1.1)(0.9,1.1)
0.990.990.20.0396
AB A B M A M B M M M COV R R COV R R COV R R σεεσ==++++===⋅=（2）组合的收益率 0.40.60.4(0.10.9)0.6(0.05 1.1)P A B M A M B R R R R R εε=+=+++++
组合的非系统性标准差
0.1342εσ===
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9、假设每种证券的收益可以写成如下两因素模型：1122()it it i t i t R E R F F ββ=++，其中：it R 表示第i 种证券在时间t 的收益，1t F 和2t F 表示市场因素，其数学期望等于0，协方差等于0。
此外，资本市
场上有2种证券，每种证券的特征如下：
（1） 建立一个包括证券1和证券2的投资组合，但是其收益与市场因素1t F 无关。
计算该投资组合的期望收益和贝塔系数β2。
（2） 设有一个无风险资产的期望收益等于5%，β1=0，β2=0，是否存在套利机会？
答案：(1)设组合中证券1的投资比例为X ，那么证券2的投资比例为1-X 。
1211111222211222(1)[()](1)[()]pt t t
t t t t t t R XR X R X E R F F X E R F F ββββ=+-=+++-++
因为其收益与市场因素1t F 无关，所以组合关于1t F 的贝塔应该为0，即：
1121(1)0
(1)1.50X X X X ββ+-=+-=
解得：X=3，1-X=-2，所以()3(10%)2(10%)10%pt E R =-=
页脚内容8 21222
(1)3(0.5)2(0.75)
0p X X βββ=+-=-=
所以其收益与市场因素1t F 和2t F 都无关。
（2） 因为（1）中投资组合收益与市场因素1t F 和2t F 都无关，所以是无风险的投资组合，其收益为10%，
高于无风险资产5%的期望收益，所以应该借入期望收益为5%的无风险资产，然后投资于（1）中10%的投资组合。