2014年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题

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云南省2014年1月学业水平考试数学试卷(含答案)

正视图侧视图俯视图1 2 5 22 3 5 6 31 （第4题）云南省普通高中2014年1月学业水平考试数学试卷选择题（共51分）一、选择题：本大题共17个小题，每小题3分，共51分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题卡相应的位置上填涂。

1. 设集合{}1,2,3M =，{}1N =，则下列关系正确的是( )A.N M ∈B. N M ∉C.N M= D. N M ≠⊂2. 有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体是一个( ) A.棱台 B.棱锥 C.棱柱D.圆柱 3. 已知向量=(1,0)OA u u r ，=(1,1)OB u u u r，则ABuuu r 等于( )A.1B.4.则该运动员得分的中位数是( ) A.2 B.3C.22D.23 5.函数1+=x y 的零点是( )A.0B.1-C. )0,0(D ．)0,1(-6.已知一个算法，其流程图右图，则输出的结果是( )A.10B.11C.8D.97.在ABC ∆中，M 是BC 的重点，则AC AB +等于( ) A.AM 21B. C. AM 2 D ．MA8.如图，在边长为2的正方形内有一内切圆，现从正方形内取一点P ，则点P( )A.44π- B. π4C. 4π D. π9.下列函数中，以2π为最小正周期的是( )A.2sinx y = B. x y sin = C.x y 2sin = D ．x y 4sin =10. 在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若︒=135A ,︒=30B ,2=a ,则b 等于( )A.1B.2C. 3D.211.同时抛投两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币均正面向上的概率为( )A. 41 B. 21 C. 43 D. 112.直线210x y -+=与直线12(1)y x -=+的位置关系是( )A.平行B. 垂直C. 相交但不垂直D.重合 13.不等式(3)0x x -<的解集是( )A.{}|0x x <B. {}|3x x <C. {}|03x x <<D. {}|03x x x <>或 14.已知5432()1f x x x x x x =+++++，用秦九韶算法计算(3)f 的值时，首先计算的最内层括号内一次多项式1v 的值是( )A. 1B. 2C. 3D. 4 15. 已知函数3()f x x =-，则下列说法中正确的是( ) A. ()f x 为奇函数，且在()0,+∞上是增函数 B. ()f x 为奇函数，且在()0,+∞上是减函数 C. ()f x 为偶函数，且在()0,+∞上是增函数 D.()f x 为偶函数，且在()0,+∞上是减函数16. 已知数列{}na 是公比为实数的等比数列，且11a =，59a =，则3a 等于()A.2B. 3C. 4D. 517.已知直线l过点P ，圆C :224xy +=，则直线l与圆C 的位置关系是( )A.相交B. 相切C.相交或相切D.相离非选择题（共49分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分。

2019 年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题含解析PDF

2019年浙江省1月学业水平统一考试数学解析一、选择题（每题3分，共18题，总计54分）1．已知集合{}5,3,1=A ，{}7,5,3=B ，则=B A A ．{}7,5,3,1B ．{}7,1C ．{}5,3D ．{}5【答案】C2．函数)1(log )(5-=x x f 的定义域是A ．),1()1,(+∞-∞ B ．)1,0[C ．),1[+∞D ．),1(+∞【答案】D3．圆9)2(22=-+y x 的半径是A ．3B ．2C ．9D ．6【答案】A4．一元二次不等式072<-x x 的解集是A ．{}70<<x x B ．{}70><x x x 或C ．{}07<<-x x D ．{}7>-<x x x 或【答案】A5．双曲线22194x y -=的渐近线方程是A ．32y x =±B ．23y x =±C ．94y x =±D ．49y x =±【答案】B6．已知空间向量(1,0,3),(3,2,)a b x =-=-，若a b ⊥ ，则实数x 的值是A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C 7．cos15cos 75=A ．2B ．12C ．4D ．14【答案】D8．若实数,x y 满足不等式组10,0,3,x y x y +≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2x y -的最大值是A ．9-B ．1-C ．3D ．7【答案】C9．若直线l 不平行于平面α，且l α⊄，则下列结论成立的是A ．α内的所有直线与l 异面B ．α内不存在与l 平行的直线C ．α内存在唯一的直线与l 平行D ．α内的直线与l 都相交【答案】B10．函数2()22x xx f x -=+的图象大致是【答案】A11.若两条直线1l ：260x y +-=与2l ：70x ay +-=平行，则1l 与2l 之间的距离是B.C.2D.5【答案】D12.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是A.π B.2πC.3π D.4π【答案】B13.已知,a b 是实数，则“||a b >”是“22a b >”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A(第12题图)14.已知数列{}n a是正项等比数列，且3723+a a =，则5a 的值不可能是A.2 B.4C.85D.83【答案】C15.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面11A B CD ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 和四边形11A B CD 都是正方形，则直线1BD 与平面11A B CD 所成角的正切值是A.2B.2【答案】C16.如图所示，椭圆的内接矩形和外切矩形的对角线所在的直线重合，且椭圆的两焦点在内接矩形的边上，则该椭圆的离心率是（）A ．2B ．3C ．2D ．3（编辑与解析提供：浙江绍兴徐浙虞）【答案】A【解析】如图建立直角坐标系，易求2,b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭，利用相似可知AF bOF a=，即b c =，所以2e =，故选A.17.数列{}n a ，{}n b 用图像表示如下，记数列{}n n a b 的前n 项和为n S ，则（）(第15题图)浙江高中数学解题交流群出品：385405149A ．141011,S S S S ><B ．451013,S S S S ><C ．141011,S S S S <>D ．451013,S S S S <>【答案】B【解析】由图可知，当4n ≤时，0n a <，当5n ≥时，0n a >；当10n ≤时，0n b <，当11n ≥时，0n b >.令n n n c a b =，可得当4n ≤时，0n c >，当510n ≤≤时，0n c <，当11n ≥时，0n c >，故n S 在14n ≤≤上单调递增，510n ≤≤上单调递减，11n ≥上单调递增，所以选B.18.如图，线段AB 是圆的直径，圆内一条动弦CD 与AB 交于点M ，且MB=2AM=2，现将半圆ACB 沿直径AB 翻折，则三棱锥C-ABD 体积的最大值是（）A ．23B ．13C ．3D ．1【答案】D【解析】记翻折后CM 与平面ABD 所成角为α，则三棱锥ABD C -的高为αsin CM 所以CM DM AB CM DMA DM AB V ABD C ⨯⨯≤⨯∠⨯⨯=-61sin )sin 21(31α,又2,3=⨯=⨯=BM AM CM DM AB ,所以体积的最大值为1二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19.已知等差数列{}n a 中，131,5a a ==，则公差d =__________，5a =__________【答案】2，920.若平面向量,a b 满足||6,||4a b == ，a 与b 的夹角为060，则()a a b -= _________【答案】2421.如图，某市在进行城市环境建设中，要把一个四边形ABCD 区域改造成公园，经过测量得到km AD km CD km BC km AB 4,3,2,1====，且120=∠ABC ,则这个区域的面积是_________2km .【答案】2733+【解析】7cos 2222=∠⋅-+=ABC BC AB BC AB AC ,所以有222AD CD AC =+,即090=∠ACD ,所以区域面积为2733+=+∆∆ACD ABC S S 22.已知函数2212)(a x a x x x f ---+=，当[)+∞∈,1x 时，0)(≥x f 恒成立，则实数a 的取值范围是.【答案】]1,2[-【解析】方法一：设[1,)=+∞t ，则212+=t x ，则()0≥f x 等价于：222211022⎛⎫+++--≥ ⎪⎝⎭t t at a ，即42243440(1)++--≥≥t t at a t .一方面，由于当1=t 时，不等式28440--≥a a 成立，从而21-≤≤a .另一方面，设422()4344(1)=++--≥f t t t at a t ，则3'()48448440=+-≥+-≥>f t t t a a ，因此()f t 在[1,)+∞上单调递增，因此2()(1)8440≥=--≥f t f a a ，从而21-≤≤a .综合上述，所求的实数a 的范围为[2,1]-.方法二：必要性探路+主参换位首先进行必要性探路：0)1(≥f ，解得]1,2[-∈a ，再证明充分性，令12-=x t ，代入变形可知，只需证明04434224≥--++a at t t 在),1[+∞∈t 时恒成立即可，此时进行主参换位，把主元t 看成参数，a 看成变量，设3444)(242+++--=t t ta a a g ，即证明0)(≥a g ，]1,2[-∈a 恒成立，此时的),1[+∞∈t ；由二次函数可知=)1(g 0)135)(1(1442324≥+++-=--+t t t t t t t 1384)2(24-++=-t t t g 0)135)(1(23≥+++-=t t t t （此处关于四次式的因式分解，可通过试根再进行因式分解的方法进行操作；）所以对于任意的t ，]1,2[-∈a ，有0)(≥a g 成立综合上述，所求的实数a 的范围为[2,1]-.三、解答题（本大题共3小题，共31分）23.（本题满分10分）已知函数R x x x x x f ∈+-++=.cos 6sin()6sin()(ππ（1）求)0(f 的值.（2）求函数)(x f 的最小正周期（3）求函数)(x f 的最大值.解：由于()2sin cos cos cos 2sin()66=+=+=+f x x x x x x ππ.（1）(0)2sin16==f π.（2）()f x 的最小正周期为221==T ππ.（3）()f x 的的最大值为2，且当2,3=+∈x k k Z ππ时取最大值.24.如图，已知抛物线21:4C x y =和抛物线22:C x y =-的焦点分别为F 和F '，N 是抛物线1C 上一点，过N 且与1C 相切的直线l 交2C 于A 、B 两点，M 是线段AB 的中点（1）求FF '；（2）若点F 在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程【答案】（1）'5=4FF ；（2）233y x =±-解：（1）由题意的：()'10,10,4F F -⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以'5=4FF （2）设直线l 的方程：y kx m =+，联立方程组24y kx mx y=+⎧⎨=⎩，消去y ，得2440x kx m --=因为直线l 与:C 相切，所以216160k m ∆=+=，得2m k =-且的坐标为()22.k k 联立方程组22y kx kx y⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，消去y ，得220x kx k +-=设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，则21212,x x k x x k +=-=- ，所以2120003,222x x k x y kx m k +-==-=+=因为点F 在线段MN 为直径的圆上，所以0FM FN = ，即，解得223k =故直线l的方程：233y x =±-25.设a R ∈，已知函数()2211f x x x ax x x=++-+（1）当0a =时，判断函数()f x 的奇偶性；（2）若()46f x x ≥-恒成立，求a 的取值范围；（3）设b R ∈，若关于x 的方程()8f x b =-有实数解，求22a b +的最小值【答案】（1）偶函数；（2）44a -≤≤+；（3）48【解析】（1）当0a =时，2211()=+-f x x x x x+，定义域为()(),00,-∞+∞ 且()()f x f x -=所以()f x 为偶函数;（2）由已知得222,12,01()2,102,1x ax x ax x xf x ax x x x ax x ⎧+≥⎪⎪+<<⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎪+≤-⎩222261,24624422601,46422610,461261,2462+444x x ax x a x a xx ax x a a x x x x ax x a a x x xx x ax x a x a x ≥+≥-⇒≥--⇒≥-<<+≥-⇒≥--⇒≥--<<-+≥-⇒≤-⇒≥≤-+≥-⇒≤--⇒≤+综上可得44a -≤≤+（3）设0x 的方程()=8f x b -的根，则0()=8f x b -1.当01x ≥，22000028280x ax b ax b x +=-⇒-++=22≥=≥202x =取等2.当001x <<，000022880ax b ax b x x +=-⇒-++=≥≥>≥ ，当且仅当202x =取等即()22min48a b+=。

浙江省2014届高三理科数学一轮复习考试试题精选1分类汇编1：集合 Word版含答案

浙江省2014届高三理科数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编1：集合一、选择题1 ．（浙江省建人高复2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知关于X 的方程的解集为P,则P 中所有元素的和可能是（）A ．3,6,9B ．6,9,12C ．9,12,15D ．6,12,15【答案】B2 ．（浙江省金华一中2014届高三10月月考数学(理)试卷）已知函数()f x =域为M ,()ln(1)g x x =+的定义域为N ,则()R M C N ⋃= （）A ．{|1}x x <B ．{|1}x x ≥C ．φD ．{|11}x x -≤<【答案】A3 ．（浙江省湖州市菱湖中学2014届高三10月月考数学（理）试题）已知集合A ={x | x ( x-1) = 0},那么（）A ．0∈AB ．1∉AC ．-1∈AD ．0∉A【答案】A4 ．（浙江省温州中学2014届高三10月月考数学（理）试题）已知集合()22{|l o g 1,}A y y x x R ==+∈,则=A C R （）A ．∅B ．(,0]-∞C ．(,0)-∞D ．[0,)+∞【答案】C5 ．（浙江省台州中学2014届高三上学期第二次统练数学（理）试题）设全集是实数集R,{|22}M x x =-≤≤,,则N M C R ⋂)(等于（）A ．B ．C ．D ．【答案】A6 ．（浙江省嘉兴市2014届高三9月月考数学理试题）设集合A={x|x 2+2x-3>0},B={x|x<3},则A∩B=（）A ．{x|1<x<3} C ．{x|-3<x<3} C ．{x|x<-3或1<x<3} D ．{x|x<3}【答案】C7 ．（浙江省乐清市白象中学2014届高三上学期第二次月考数学（理）试题）已知全集U =Z,集合A ={x |x 2=x },B ={-1,0,1,2},则图中的阴影部分所表示的集合等于（）A ．{-1,2}B ．{-1,0}C ．{0,1}D ．{1,2}【答案】A8 ．（浙江省绍兴市第一中学2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知集合{}(,)(1)(1)A x y x x y y r =-+-≤,集合{}222(,)B x y x y r =+≤,若B A ⊂,则实数r 可以取的一个值是（）A 1C ．2D ．12+【答案】A9 ．（浙江省温州市十校联合体2014届高三10月阶段性测试数学（理）试题）已知全集U R =,集合{}31<<=x x A ,{}2>=x x B ,则U A C B =（）A ．{}21≤<x xB ．{}32<<x xC ．{}21<<x xD ．{}2≤x x【答案】A10．（浙江省台州市黄岩中学2013-2014学年高三第一学期第一次月考数学(理)试题）已知集合{}0,1,3M =,{}|3,N x x a a M ==∈,则集合M N =I（）A ．{0}B ．{0,1}C ．{0,3}D ．{1,3}【答案】C11．（浙江省嘉兴一中2014届高三上学期期中数学理试卷）已知集合{}|05A x x =∈≤≤N ,{}1,3,5A B =ð,则集合=B（）A ．{}4,2B ．{}4,2,0C ．{}3,1,0D ．{}4,3,2【答案】B12．（浙江省慈溪中学2014届高三10月月考数学(理)试题）已知集合{}|1M x x =<,{}|21x N x =>,则MN =（）A ．∅B ．{}|0x x <C ．{}|1x x <D ．{}|01x x << 【答案】D13．（浙江省平阳县第三中学2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）图中的阴影表示的集合是（）A ．()U C A BB ．()U C B BC ．()U C AB D ．()UC A B【答案】A14．（浙江省湖州市八校2014届高三上学期第二次联考数学（理）试题）设集合{|1A x =-≤x ≤2},B={x |0≤x ≤4},则A∩B=（）A ．[0,2]B ．[1,2]C ．[0,4]D ．[1,4]【答案】A15．（浙江省温州市十校联合体2014届高三上学期期初联考数学（理）试题）对于任意实数x ,][x 表示不超过x 的最大整数,如[1.1]1,[ 2.1]3=-=-.定义在R 上的函数()[2][4][8]f x x x x =++,若{}(),01A y y f x x ==≤≤,则A 中所有元素的和为（）A ．65B ．63C ．58D ．55【答案】C16．（浙江省湖州市菱湖中学2014届高三10月月考数学（理）试题）已知集合}41)21(|{},1)2(log |{A 2>=>+=x x B x x , 则A ∩=B（）A ．)2,0(B ．)0,2(-C ．RD ．),2(∞+【答案】A17．（浙江省杭州市西湖高级中学2014届高三9月月考数学（理科）试题）已知集合2{|22},{|log (1)},M x x N x y x MN =-≤<==-则=（）A ．{|20}x x -≤<B ．{|10}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{—2,0}【答案】C18．（浙江省杭州高级中学2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）若集合1|lg ,1010A y y x x ⎧⎫==≤≤⎨⎬⎩⎭,{2,1,1,2}B =--,全集U =R,则下列结论正确的是（）A ．{1,1}AB =- B ．()[1,1]U A B =-ðC ．(2,2)AB =-D ．()[2,2]U A B =-ð【答案】A19．（浙江省温州市十校联合体2014届高三上学期期初联考数学（理）试题）设}4,2{},5,1{},5,4,3,2,1{===B A U ,则=A C B U（）A ．}4,3,2{B ．}2{C ．}4,2{D ．}5,4,3,1{【答案】C20．（浙江省温州市2014届高三上学期八校联考数学（理）试题）已知集合}1log 0|{4<<=x x A ,}2|{≤=x x B ,则=⋂B C A R（）A ．(]12， B ．)4,2[ C ．)4,2(D ．)4,1(【答案】C21．（浙江省湖州中学2014届高三第一次月考数学（理）试题）已知全集U Z =,集合{}{}1,0,1,0,1,3M N =-=,(∁U M )∩N 等于（）A ．{}1-B ．{}3C ．{}0,1D ．{}1,3-【答案】B22．（浙江省东阳中学2014届高三10月月考数学（理）试题）若集合{|0}1xA x x =≤-,2{|2}B x x x =<,则A B = （）A ．{|01}x x <<B ．{|01}x x ≤<C ．{|01}x x <≤D ．{|01}x x ≤≤【答案】A23．（浙江省绍兴市第一中学2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）设全集U R =,集合2{|20},{|1}x A x x x B y y e =->==+集合,则A B =（）A ．{|12}x x ≤<B ．{|2}x x >C ．{|1}x x >D ．{|12}x x <<【答案】D24．（浙江省岱山县大衢中学2014届高三10月月考数学（理）试题）设集合S ={x |x >−2},T ={x |x 2+3x −4≤0},则( R S )∪T =（）A ．(−∞,1]B ．(−∞,−4]C ．(−2,1]D ．[1,+∞)【答案】A25．（浙江省湖州市八校2014届高三上学期第二次联考数学（理）试题）对于任意的两个实数对(,)a b 和(,)c d ,规定:(,)(,)a b c d =,当且仅当,a c b d ==;运算“⊗”为:(,)(,)(,)a b c d ac bd bc ad ⊗=-+;运算“⊕”为:(,)(,)(,)a b c d a c b d ⊕=++,设,p q R ∈,若(1,2)(,)(5,0)p q ⊗=,则(1,2)(,)p q ⊕= （） A ．(4,0) B ．(2,0) C ．(0,2) D ．(0,4)-【答案】B26．（浙江省建人高复2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）设P ={y |y =-x 2+1,x ∈R},Q ={y |y =2x ,x ∈R},则（）A ．P ⊆QB ．Q ⊆PC ．C R P ⊆QD ．Q ⊆C R P【答案】C27．（浙江省临海市杜桥中学2014届高三上学期第二次月考数学（理）试题）设全集{}1,2,3,4,5U =,集合{}2,3,4A =,{}2,5B =,则)(A C B U = （）A ．{}5B ．{}125，，C ．{}12345，，，，D ．∅【答案】B28．（浙江省2014届金华一中高三9月月考数学试卷（理））已知集合{}{}2540,1,2,3,4,M x Z x x N =∈-+<=则M N = （）A ．{}1,2,3B ．{}2,3,4C ．{}2,3D ．{}1,2,4【答案】C二、填空题29．（浙江省慈溪中学2014届高三10月月考数学(理)试题）设关于x 的不等式2|4|4x x m x -+≤+的解集为A ,且0,2A A ∈∉,则实数m 的取值范围是_________. 【答案】 )2,4[--30．（浙江省湖州中学2014届高三第一次月考数学（理）试题）若1122m x m -<≤+(其中m 为整数),则称m 为离实数x 最近的整数,记作I []x ,即I[]x m =.设集合{(,)|()I[],}A x y f x x x x R ==-∈,{(,)|()log }a B x y g x x ==,其中01a <<,若集合B A 的元素恰有三个,则a 的取值范围为________.【答案】41254a ≤≤ 31．（浙江省建人高复2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）设数集M ={x | m ≤x ≤m +43},N ={x |n-31≤x ≤n }, 且M 、N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集, 如果把b -a 叫作集合{x | a ≤x ≤b }的“长度”, 那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是__________【答案】12132．（浙江省建人高复2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）给定实数集合Q P 、满足}1}{sin ][sin |{22=+=x x x P (其中][x 表示不超过x 的最大整数,][}{x x x -=),}23)4(sin sin |{22=++=πx x x Q ,设P ,Q 分别为集合Q P 、的元素个数,则P ,Q 的大小关系为______________.【答案】|P|<|Q|33．（浙江省嘉兴市2014届高三9月月考数学理试题）已知a,b ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9},u=log a b,则u 的不同取值个数为____【答案】54三、解答题34．（浙江省岱山县大衢中学2014届高三10月月考数学（理）试题）函数2()lg(23)f x x x =--的定义域为集合A,函数()2(2)xg x a x =-≤的值域为集合B.(1)求集合A,B;(2)若集合A,B 满足A B B =,求实数a 的取值范围.【答案】解:(1)(,1)(3,)A =-∞-⋃+∞](,4B a a =--(2)3a ≤-或5a >35．（浙江省建人高复2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知集合A ={|(2)[(31)]0}x x x a --+<,B =22{|0}(1)x ax x a -<-+. ⑴当a =2时,求A B ; ⑵求使B ⊆A 的实数a 的取值范围. 【答案】解:(1)当a =2时,A =(2,7),B =(4,5)∴ A B =(4,5) (2)∵ B =2{1}x a x a |2<<+ 当a <13时,A =(3a +1,2) 要使B ⊆A ,必须223112a a a ≥+⎧⎨+≤⎩,此时a =-1;当a =13时,A =Φ,使B ⊆A 的a 不存在; 当a >13时,A = (2,3a +1)要使B ⊆A ,必须222131a a a ≥⎧⎨+≤+⎩,此时1≤a ≤3综上可知,使B ⊆A 的实数a 的取值范围为[1,3]∪{-1}36．（浙江省杭州市西湖高级中学2014届高三9月月考数学（理科）试题）(1)设全集为R,集合{|sin(2),}642A t t x x πππ==-≤≤,,若不等式20t at b ++≤的解集是A ,求,a b的值.(2)已知集合2641{|()1},{|log ()1}2x x M x N x x m --=≤=+≤,若MN =Φ,求实数m 的取值范围.【答案】37．（浙江省乐清市白象中学2014届高三上学期第二次月考数学（理）试题）函数2()lg(2)f x x x =--的定义域为集合A ,函数()g x =B . (1)求B A ⋂;(2)若{}22440,0C x x x p p =++-<>,且)(B A C ⋂⊆,求实数p 的取值范围.【答案】。

2024年7月浙江省普通高中学业水平考试——数学仿真模拟试卷01(解析版)

2024年7月浙江省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷01（考试时间：80分钟；满分：100分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．集合{}|12A x x =-≤≤，{}|1B x x =<，则()A B ⋃R ð＝（）A ．{}|1x x >B ．{}1|x x ≥-C ．{}|12<≤x x D ．{}|12x x ≤≤【答案】B【分析】由补集和并集的定义直接求解.【详解】集合{}|12A x x =-≤≤，{}|1B x x =<，则{}1|B x x =≥R ð，(){}1|=A B x x ≥-R ð.故选：B2．已知复数z 满足(1i)2i z -=，则z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】化简复数1i z =-+，结合复数的坐标表示，即可求解.【详解】由题意，复数z 满足(1i)2i z -=，可得()()()2i 1i 2i 1i 1i 1i 1i z ⋅+===-+--+，所以复数z 在复平面内对应的点(1,1)Z -位于第二象限.故选：B.3．函数lg(2)y x =-的定义域是（）A ．(0,2]B ．(0,2)C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞【答案】C【分析】由对数函数的性质可得函数lg(2)y x =-的定义域．【详解】由函数lg(2)y x =-，得到20x ->解得x 2<，则函数的定义域是(),2∞-，故选：C ．4．三个数0.35a =，50.3b =，515c ⎛⎫= ⎪⎝⎭大小的顺序是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b>>【答案】A【解析】利用指数函数、幂函数的单调性即可求解.【详解】由5x y =为增函数，则0.30551a =>=，由5y x =为增函数，555110.35⎛⎫>> ⎪⎝⎭，所以a b c >>.故选：A5．已知向量()1,2a =r ，(),3b λ= ，若a b ⊥，则λ=（）A ．6-B ．32-C ．32D ．6【答案】A【分析】根据向量垂直的坐标表示进行求解.【详解】因为()1,2a =r ，(),3b λ= ，a b ⊥，所以60a b λ⋅=+=，解得6λ=-.故选：A.6．从甲、乙等4名同学中随机选出2名同学参加社区活动，则甲，乙两人中只有一人被选中的概率为（）A ．56B ．23C ．12D ．13【答案】B【分析】利用古典概型，列举计算事件数，即得解.【详解】将甲，乙分别记为x ，y ，另2名同学分别记为a ，b ．设“甲，乙只有一人被选中”为事件A ，则从4名同学中随机选出2名同学参加社区活动的所有可能情况有(),x y ，(),x a ，(),x b ，(),y a ，(),y b ，(),a b ，共6种，其中事件A 包含的可能情况有(),x a ，(),x b ，(),y a ，(),y b ，共4种，故42()63P A ==．故选：B7．在ABC 中，已知D 是AB 边上的中点，G 是CD 的中点，若AG AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则实数λμ+=（）A ．14B ．12C ．34D ．1【答案】C【分析】根据D 是AB 边上的中点，G 是CD 的中点，得到11,22AD AB CG CD ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，再利用平面向量的线性运算求解.【详解】解：因为D 是AB 边上的中点，G 是CD 的中点，所以11,22AD AB CG CD ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以12AG AC CG AC CD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，()111242AC AD AC AB AC =+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又因为AG AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，所以11,42λμ==，则34λμ+=，故选：C8．若棱长为）A ．12πB ．24πC ．36πD ．144π【答案】C【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R ==，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=.故选：C.【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.9．如图，在四面体ABCD 中，,E F 分别是AC 与BD 的中点，若24CD AB ==，EF BA ⊥，则EF 与CD 所成角的度数为（）A ．90°B ．45°C ．60°D ．30°【答案】D【分析】设G 为AD 的中点，连接,GF GE ，由三角形中位线定理可得GF AB ∥，GE CD ∥，则GEF ∠或其补角即为EF 与CD 所成的角，结合2AB =，4CD =，EF AB ⊥，在GEF △中，利用三角函数相关知识即可得到答案.【详解】设G 为AD 的中点，连接,GF GE ，则,GF GE 分别为,ABD ACD △△的中位线，所以GF AB ∥，112GF AB ==，GE CD ∥，122GE CD ==，则EF 与CD 所成角的度数等于EF 与GE 所成角的度数，即GEF ∠或其补角即为EF 与CD 所成角，又因为EF AB ⊥，GF AB ∥，所以EF GF ⊥，则GEF △为直角三角形，1GF =，2GE =，90GFE ∠=︒，在直角GEF △中，1sin 2GEF ∠=，即30GEF ∠=︒，所以EF 与CD 所成角的度数为30°.故选：D10．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合白般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征.已知函数()f x 的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能为（）A ．()21xf x x=-B ．()221x f x x =+C ．()221xf x x =-D ．()2211x f x x +=-【答案】C【分析】根据图象函数为奇函数，排除D ；再根据函数定义域排除B ；再根据1x >时函数值为正排除A ；即可得出结果.【详解】由题干中函数图象可知其对应的函数为奇函数，而D 中的函数为偶函数，故排除D ；由题干中函数图象可知函数的定义域不是实数集，故排除B ；对于A ，当1x >时，0y <，不满足图象；对于C ，当1x >时，0y >，满足图象.故排除A ，选C.故选：C11．已知π17tan tan 422θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 2θ=（）A ．12-B ．12C ．45-D ．45【答案】C【分析】利用两角和的正切公式可得出关于tan θ的方程，解出tan θ的值，再利用二倍角的余弦公式以及弦化切可求得cos 2θ的值.【详解】因为πtan tanπtan 1174tan tan π41tan 221tan tan 4θθθθθθ++⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭-，整理可得2tan 6tan 90θθ-+=tan 3θ=，所以，222222cos sin 1tan 194cos 2cos sin 1tan 195θθθθθθθ---====-+++.故选：C.12．若0x >，0y >且x y xy +=，则211x y x y +--的最小值为（）A ．3B．52C．3D．3+【答案】D【分析】先把x y xy +=转化为111x y +=，再将2211x yx y x y +=+--，根据基本不等式即可求出．【详解】0x >，0y >且x y xy +=，111x y∴+=，211x y x y +-- ，()()2211xy x xy y x y -+-=--，21x y xy x y +=--+2x y =+，()112x y x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2333x yy x =++≥++当且仅当2x yy x =，即12x =+，1y =+故211x y x y +--的最小值为3+故选：D ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分.）13．下列说法中正确的是（）A ．直线10x y ++=在y 轴上的截距是1B ．直线()20mx y m m +++=∈R 恒过定点()1,2--C ．点()0,0关于直线10x y --对称的点为()1,1-D ．过点()1,2且在x 轴､y 轴上的截距相等的直线方程为30x y +-=【答案】BC【分析】对于A 项，将直线方程化成斜截式方程即得；对于B 项，把直线方程化成关于参数m 的方程，依题得到1020x y +=⎧⎨+=⎩，解之即得；对于C 项，只需验证两点间的线段中点在直线上，且两点的直线斜率与已知直线斜率互为负倒数即可；对于D 项，需注意截距相等还包括都为0的情况.【详解】对于A 项，由10x y ++=可得：=1y x --，可得直线10x y ++=在y 轴上的截距是1-，故A 项错误；对于B 项，由20mx y m +++=可得：(1)20m x y +++=，因R m ∈，则有：1020x y +=⎧⎨+=⎩，故直线()20mx y m m +++=∈R 恒过定点()1,2--，故B 项正确；对于C 项，不妨设(0,0),(1,1)A B -,直线:10l x y --=，因直线AB 的斜率为1-与直线l 的斜率为1的乘积为1-，则得AB l ⊥,又由点A 到直线l与点B 到直线l 相等，且在直线l 的两侧，故点()0,0关于直线10x y --=对称的点为()1,1-，即C 项正确；对于D 项，因过点()1,2且在x 轴､y 轴上的截距相等的直线还有2y x =，故D 项错误.故选：BC.14．已知()π,0θ∈-，7sin cos 13θθ+=，则下列结论正确的是（）A ．ππ,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝-⎭-B ．12cos 13θ=C ．5tan 12θ=D ．17sin cos 13θθ-=-【答案】BD【分析】先利用题给条件求得sin ,cos θθ的值，进而得到θ的范围，tan θ的值和sin cos θθ-的值.【详解】由7sin cos 13θθ+=可得，7cos sin 13θθ=-，则227sin sin 113θθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即524sin 2sin 01313θθ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭解之得12sin 13θ=或5sin 13θ=-,又()π,0θ∈-，则5sin 13θ=-，故12cos 13θ=，则选项B 判断正确；由5sin 013θ=-<，12cos 013θ=>可得θ为第四象限角，又()π,0θ∈-，则π,02θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则选项A 判断错误；sin θ5tan θcos θ12==-，则选项C 判断错误；51217sin cos 131313θθ-=--=-，则选项D 判断正确.故选：BD15．已知函数()()e ,021,0xx f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若关于x 的方程()f x a =有两解，则实数a 的值可能为（）A ．1ea =B ．1a =C ．ea =D ．3a =【答案】BD【分析】根据题意分析可得方程()f x a =的根的个数可以转化为()y f x =与y a =的交点个数，结合()y f x =的单调性与值域以及图象分析判断.【详解】①当0x ≤时，()e xf x =在(],0-∞内单调递增，且()01f =，所以()(]0,1f x ∈；②当0x >时，则()(]*2e ,1,,k x k f x x k k k -=∈-∈N ，可知()f x 在(]*1,,k k k -∈N 内单调递增，且()()21,2ekk f k f k -==，所以()*2,2,e k k f x k ⎛⎤∈∈ ⎥⎝⎦N ，且12222,e e k k kk ++<<∈N .方程()f x a =的根的个数可以转化为()y f x =与y a =的交点个数，可得：当0a ≤时，()y f x =与y a =没有交点；当20e a <≤时，()y f x =与y a =有且仅有1个交点；当122,ek k a k +<≤∈N 时，()y f x =与y a =有且仅有2个交点；当222,ek ka k +<≤∈N 时，()y f x =与y a =有且仅有1个交点；若关于x 的方程()f x a =有两解，即()y f x =与y a =有且仅有2个交点，所以实数a 的取值范围为12,2,e k k k +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦N ，因为281,1,3,4e e ⎛⎤⎛⎤∈∈ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦，而A 、C 不在相关区间内，所以A 、C 错误，B 、D 正确.故选：BD.16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1AB BC ==，120ABC ︒∠=，侧面11AAC C 的对角线交点O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点，下列结论正确的是（）A ．直三棱柱的侧面积是4+B ．直三棱柱的外接球表面积是4πC ．三棱锥1E AAO -的体积与点E 的位置无关D ．1AE EC +的最小值为【答案】ACD【分析】首先计算AC 长，再根据直棱柱的侧面积公式，即可判断A ；首先计算ABC 外接圆的半径，再根据几何关系求外接球的半径，代入公式，即可判断B ；根据体积公式，结合线与平面平行的关系，即可判断C ；利用展开图，结合几何关系，即可判断D.【详解】A.ABC 中，AC =，所以直棱柱的侧面积为(1124++⨯=+，故A 正确；B.ABC 外接圆的半径12sin120ACr ==，所以直棱柱外接球的半径R =则直三棱柱外接球的表面积24π8πS R ==，故B 错误；C.因为11//BB AA ，且1BB ⊄平面11AAC C ，1AA ⊂平面11AAC C ，所以1//BB 平面11AAC C ，点E 在1BB 上，所以点E 到平面11AAC C 的距离相等，为等腰三角形ABC 底边的高为12，且1AAO 的面积为122⨯=则三棱锥1E AAO -的体积为定值1132=，与点E 的位置无关，故C 正确；D.将侧面展开为如图长方形，连结1AC ,交1BB 于点E ，此时1AE EC +=D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题D 选项解决的关键是将平面11AA B B 与11CC B B 展开到同一个面，利用两点之间距离最短即可得解.三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）17．已知函数()21,02,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，则()2f =；若()10f x =，则x =．【答案】4-；3-.【分析】利用分段函数的性质计算即可.【详解】由条件可知()2224f =-⨯=-；若()201103x f x x x ≤⇒=+=⇒=-，若()021050x f x x x >⇒=-=⇒=-<，不符题意.故答案为：4-；3-18．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，右焦点与抛物线216y x =的焦点重合，则双曲线C 的顶点到渐近线的距离为.【解析】求出抛物线的焦点，可得双曲线的c ，运用离心率公式可得a ，再由a ，b ，c 的关系，求得b ，求出顶点到渐近线的距离，即可得到所求值．【详解】解：抛物线216y x =的焦点为(4,0)，则双曲线的4c =，双曲线的离心率等于2，即2ca=，可得2a =，b ==则双曲线的渐近线方程为y =，顶点坐标为(20)±,，可得双曲线的顶点到其渐近线的距离等于d =【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率公式的运用，考查运算能力，属于中档题．19．已知a 、b 、c 分别为ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，2a =，且()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，则ABC 面积的最大值为．【分析】先求出角A 的大小，由1sin 2S bc A =，考虑余弦定理建立,b c 的方程，再由基本不等式求bc 的最大值.【详解】解析：因为()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，根据正弦定理可知(a b)()(c b)a b c +-=-，即222b c a bc +-=，由余弦定理可知1cos 2A =，又(0,π)A ∈，故π3A =，又因为2a =，所以224b c bc +-=，2242b c bc bc bc bc =+-≥-=（当且仅当b c =时取等号），即4bc ≤所以11sin 422S bc A =≤⨯=ABC20．已知定义在R 上的函数()f x 在(,3)-∞-上是减函数，若()() 3g x f x =-是奇函数，且()03g =，则满足不等式()0xf x ≤的x 的取值范围是．【答案】][3(),6,-∞-⋃-+∞【分析】由已知条件，可得()g x 是奇函数，则()f x 关于(3,0)-对称，可得()f x 在(,3)-∞-与(3,)-+∞上是减函数，且()()060f f -==，(3)0f -=，画出()f x 对应的函数草图，可得不等式()0xf x ≤的x 的取值范围.【详解】解：将()f x 向右平移3个单位，可得到()3f x -，由()() 3g x f x =-是奇函数，可得()g x 关于原点对称，则()f x 关于(3,0)-对称，且()00(3)g f =-=，由()f x 在(,3)-∞-上是减函数，可得()f x 在(3,)-+∞上也是减函数，由()03g =，可得()()033g g =-=，故可得：()()060f f -==，可得()f x 对应的函数草图如图，可得()0xf x ≤的解集为：][3(),6,-∞-⋃-+∞，故答案为：][3(),6,-∞-⋃-+∞.【点睛】本题主要考查函数单调性与奇偶性的综合，注意数形结合解题，属于难题.四、解答题（本大题共3小题，共33分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．为了解某项基本功大赛的初赛情况，一评价机构随机抽取40名选手的初赛成绩(满分100分)，作出如图所示的频率分布直方图：（1）根据上述频率分布直方图估计初赛的平均分；（2）假设初赛选手按1:8的比例进入复赛(即按初赛成绩由高到低进行排序，前12.5%的初赛选手进入复赛)，试估计能进入复赛选手的最低初赛分数.注：直方图中所涉及的区间是：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].【答案】（1）平均分的估计值为72分；（2）最低初赛分数为85分.【分析】（1）利用每小组中间值乘以每小组频率，再求和即可；（2）先设最低分数为x ，依题意大于x 的成绩的频率为0.125，即解得x .【详解】解：（1）由频率分布直方图得样本平均分550.15650.25750.4850.15950.0572x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.因此，初赛平均分的估计值为72分；（2）根据频率分布直方图，设40名选手进入复赛的最低分数为x ，依题意成绩落入区间[90,100]的频率是0.05，成绩落入区间[80,90)的频率是0.15，按初赛成绩由高到低进行排序，前12.5%的初赛选手进入复赛，可判断x 在[80,90)内，则(90)0.0150.050.125x -⨯+=，解得85x =.因此，估计能进入复赛选手的最低初赛分数为85分.22．已知函数()()sin 0f x x x ωωω=+>的最小正周期是π.（1）求ω值；（2）求()f x 的对称中心；（3）将()f x 的图象向右平移3π个单位后，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递增区间.【答案】（1）2；（2）,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Z k ∈；（3）52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.【分析】（1）由()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭且2T ππω==，即可求ω值；（2）由（1）知()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的对称中心即可求()f x 的对称中心；（3）由函数平移知()sin 23g x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，结合正弦函数的单调性即可求()g x 的单调递增区间.【详解】（1）()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，又0ω>，∵2T ππω==，∴2ω=.（2）由（1）知，()2sin 23f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，令23x k ππ+=，解得26k x ππ=-.∴()f x 的对称中心是,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Z k ∈.（3）将()f x 的图像向右平移3π个单位后可得：2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将所得图像横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到：()sin 23g x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，由22232k x k πππππ-≤-≤+，解得52266k x k ππππ-≤≤+，Z k ∈.∴()g x 的单调递增区间为52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.【点睛】关键点点睛：（1）应用辅助角公式求三角函数解析式，结合最小正周期求参数.（2）根据正弦函数的对称中心，应用整体代入求()f x 的对称中心.（3）由函数图像平移得()g x 解析式，根据正弦函数的单调增区间，应用整体代入求()g x 的单调增区间.23．函数()221a xb f x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．(1)求实数,a b 的值；(2)用定义证明函数()f x 在()1,1-上是增函数；(3)解关于x 的不等式()()10f x f x -+<．【答案】(1)1a =±，0b =(2)证明见解析(3)102x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．【分析】（1）利用奇函数的性质，结合条件即可得解；（2）利用函数单调性的定义，结合作差法即可得解；（3）利用()f x 的奇偶性、单调性与定义域列式即可得解.【详解】（1）函数()221a xb f x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数所以()00f =，则()0001b f b ===+，所以()221a x f x x =+因为1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2112212514a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭+，则21a =，所以1a =±，此时()21x f x x =+，定义域关于原点对称，又()()()2211xx f x f x x x --==--+-+，所以()f x 是奇函数，满足题意，故1a =±，0b =.（2）由（1）知()21x f x x =+．设12,x x 是()1,1-内的任意两个实数，且12x x <，()()()()()()221221121222221212111111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++()()()()12122212111x x x x x x --=++，因为()()22121212110,0,10x x x x x x --<+>>+，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在()1,1-上是增函数.（3）因为()()10f x f x -+<，所以()()1f x f x -<-，即()()1f x f x -<-，则111111xxx x-<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩，所以021112xxx⎧⎪<<⎪-<<⎨⎪⎪<⎩，所以12x<<，即此不等式解集为12x x⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．。

2014年浙江省高中数学竞赛模拟试题(1)参考答案

2014年浙江省高中数学竞赛模拟试题(一)一、选择题（每小题5分，共50分）1．全集=U R ，{}12≤≤-=x x A ，{}31≤≤-=x x B ，则( B C)A U A ．}31|{≤<x x B ．}32|{≤<-x x C ．2|{-<x x 或}1-≥x D ．2|{-<x x 或}3>x 2．若复数z 满足i i z 711)2(+=- (i 为虚数单位)，则z 为 A ．i 53+B ．i 53-C ．i 53+-D ．i 53--3．如图所示的程序输出的结果为65，则判断框中应填的条件是A ．5<i ？B ．6<i ？C ．5≥i ？D ．6≥i ？4．某几何体的三视图（单位:cm ）如图所示，则此几何体的体积是A ．13cm B ．33cm C ．53cm D ．73cm5．若1sin sin =+y x ，则y x cos cos +的取值范围是A ．]2 ,2[-B ．]1 ,1[-C ．]3,0[D ．]3,3[-6． y kx =与圆22(2)1x y -+=的两交点关于直线20x y b ++=对称，则,k b 分别为7. 设1x 2x 分别是210--=x x和2lg --=x x 的解，函数()()21)(x x x x x f --=，则A.)3()2()0(f f f <<B.)3()0()2(f f f <=C.)2()0()3(f f f =<D.)2()3()0(f f f << 8．在△ABC 中，(3)AB AC CB -⊥，则角A 的最大值为A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π （第3题图）侧视图俯视图9. 设{}2()min 24,1,53f x x x x =++-，则max ()f x =（）A. 1B. 2C. 3D. 4 10．C 1：)0(22>=p px y 与C 2：)0,0(12222>>=-b a by ax 交于A ，B 两点，C 1与C 2的两条渐近线分别交于异于原点的两点C ，D ，且AB ，CD 分别过C 2，C 1的焦点，则=||||CD AB A ．25 B ．26C ．5D ．6 二、填空题（每小题7分，共49分） 11．集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-=-+-=32232332x x x x xM 的子集有个.12. 设命题 P: c c <2和命题Q: 对任何R x ∈，0142>++cx x 有且仅有一个成立，则实数c 的取值范围是 .13．数列{}n a 满足12323111333a a a +++…1313n n a n +=+,则=n a . 15．数列{}n a 满足：11,7a =对任意n *∈N ，17(1),2n n n a a a +=-则14131314a a -= .16．已知实数,x y 满足1354y x x x y ≤-⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则2x y 的最小值是 .17．实数x 、y 满足x 2+y 2=4，则x+y －xy 的最大值为 .二、解答题（每小题17分，共51分） 18．在ABC ∆中，cos sin b C C a c =+．（Ⅰ）求证A B C 、、成等差数列；（Ⅱ）若b =2a c +的最大值．19．等比数列{}n a 的各项均为正数，且213,21,2a a 成等差数列，632,31,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）已知nn a b 1log 3=，记12n S b b =++…n b +，11111111336n T =++++++……1111136nS +++++L ,求证：20141013T <．20．已知抛物线C ：)0(22>=p py x 的焦点为)1,0(F ．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）如图，过F 作两条互相垂直的直线1l 与2l ，分别交抛物线C 于A 、B 与D 、E ，设AB 、DE 的中点分别为M 、N ，求FMN ∆面积S 的最小值．（第20题图）2014年浙江省高中数学竞赛模拟试题(一)参考答案与部分解析一、选择题.1-5 AABDD 6-10 AAABA5. 由1sin sin =+y x ……①;cos cos =x y t +……② 两式平方再相加得：()22cos =1x y t --.又因为()1cos 1x y -≤-≤，故21112t --≤≤，解得t ≤.7. 解析：数形结合，设函数10x y =和lg y x = 与直线2y x =--交于A ，B 两点，则A ，B 关于y=x 对称，由11(,2)A x x --得1(B x --由图可知： 122x x --=，即122x x +=-. 函数函数()()21)(x x x x x f --=的对称轴1212x x +=-，故选A. 8. 解析：利用向量运算的几何意义.故选A.9. 解析：数形结合，作出函数图象，易知max ()2f x =.y x=11(,x x -（第7题图）C '（第8题图）（第9题图）10. 解析：由22y pxb y xa ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得222c pa x b =，又因为2c p x =，联立得2b a =……①. 由题可知点2(,)b A c a，即(,4)A c a ，代入22y px =得：2162a pc =……②因为22225c a b a c =+=⇒=……③由②③得：a =所以22||4||2b AB a a CD p p ===，故选A. 二、填空题（每小题7分，共49分） 11．8；解析：集合130,5,5M ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，子集有328=个. 12. 11(,0][,1)22-U . 13．112132n n n a n +=⎧=⎨≥⎩；解析：利用1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，可得112132n n n a n +=⎧=⎨≥⎩. 15．37；解析：利用数列的周期性得14131314a a -=37. 16．92；解析：令2x t y=，即2x ty =，则t 的几何意义是抛物线的开口大小，易得min 92t =.17．令,x s t y s t =+=-，则222s t +=，则222()x y xy s s t +-=--221552222()222s s s =+-=--+≤二、解答题（每小题17分，共51分）18．在ABC ∆中，cos sin b C C a c =+．（Ⅰ）求证A B C 、、成等差数列；（Ⅱ）若b =2a c +的最大值．解答：（Ⅰ）由正弦定理得：sin cos sin sin sin B C B C A C =+则sin cos sin sin()sin B C B C B C C =++则sin cos sin sin cos cos sin sin B C B C B C B C C =++sin cos sin sin 0B C B C C -+=因为sin 0C >cos 1B B -=，所以2sin()16B π-=，解得3B π=.又因为A B C π++=，所以2A C B +=，即A 、B 、C 成等差数列.（Ⅱ）由正弦定理得：sin sin sin 60a c A C ==o，所以2sin a A =，2sin c C =. 所以224sin 2sin 4sin 2sin()3a c A C A A π+=+=+-4sin sin A A A =++5sin A A =)A ϕ=+所以()max 2a c +=.19．等比数列{}n a 的各项均为正数，且213,21,2a a 成等差数列，632,31,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）已知nn a b 1log 3=，记12n S b b =++…n b +，11111111336n T =++++++……1136nS +++++L ,求证：20141013T <．解答：（Ⅰ）13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（Ⅱ）设111136n nB S =++++L ，由题可得n b n =，(1)2n n n S +=，所以1222(1)1n S n n n n ==-++，所以111111111112(1)()()()36223341n n B S n n ⎡⎤=++++=-+-+-++-⎢⎥+⎣⎦L L 化简得：21n n B n =+，11112n B n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，要证201411111111111121222322014T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 11111120141013221232014⎛⎫=⨯+⨯++++< ⎪⎝⎭L 只要证1111121232014++++<L ，而11111111111232014123201420152047++++<+++++++L L L11111111111234567102410252047⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 11111111111224444102410241024⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 111124102411121241024=+⨯+⨯++⨯=<L 所以20141013T <得证.20．已知抛物线C ：)0(22>=p py x 的焦点为)1,0(F ．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）如图，过F 作两条互相垂直的直线1l 与2l ，分别交抛物线C 于A 、B 与D 、E ，设AB 、DE 的中点分别为M 、N ，求FMN ∆面积S 的最小值．解答：（Ⅰ）12=p，∴抛物线C 的方程：y x 42=．（Ⅱ）显然AB ，DE 的斜率都存在且不为零．设),(),,(,1:2211y x B y x A kx y AB +=，由⎩⎨⎧=+=yx kx y 412得，0442=--kx x ，∴121,22221+=+==+=k kx y k x x x M M M．同理1211,22+=+-=-=k x k y k x N N N ．即)12,2(2+k k M ，)12,2(2+-kk N ， ∴kk kk k k k MN 122121222-=+--+=． ∴ MN ：)2)(1(122k x k k k y --=--，即3)1(+-=x kk y ．∴ 直线MN 过定点)3,0(Q ．∴ 4)||1|(|2|22|221||||21≥+=+⨯⨯=-=k k k k x x QF S N M ，当||1||k k =，即1±=k 时，4min =S ．（第20题图）。

浙江省2014届高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编11 立体几何理新人教A版

浙江省2014届高三理科数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编11：立体几何一、选择题 1 ．（浙江省嘉兴一中2014届高三上学期期中数学理试卷）设,,l m n 表示三条不同的直线,,αβ表示两个不同的平面,则下列说法正确的是（）A ．如l ∥m ,m α⊂,则l ∥α;B ．如,,,l m l n m n α⊥⊥⊂,则l α⊥;C ．如,,l m l m αβ⊂⊂⊥,则αβ⊥;D ．如l ∥α,l ∥β,m αβ=,则l ∥m .【答案】D2 ．（浙江省慈溪中学2014届高三10月月考数学(理)试题）设m ,n 是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题错误．．的是（）A ．若m α⊥,//n α,则m n ⊥B ．若n α⊥,//n m , 则m α⊥C ．若m α⊥,//m β,则αβ⊥D ．若αβ⊥,//m α,则m β⊥【答案】D 3 ．（浙江省嘉兴市2014届高三9月月考数学理试题）对于空间的两条直线m.n 和一个平面α,下列命题中的真命题是【答案】D 4 ．（浙江省宁波市效实中学2014届高三上学期期始考试数学（理）试题）已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是（）A ．34000cm 3B ．38000cm 3C.32000cm D ．34000cm【答案】B5 ．（浙江省湖州市八校2014届高三上学期第二次联考数学（理）试题）已知,m n 是两条不同直线,,,αβγ是三个不同平面,则下列正确的是（）A ．若m ∥,n α∥α,则m ∥nB ．若,αγβγ⊥⊥,则α∥βC ．若m ∥,n α∥β,则α∥βD ．若,m n αα⊥⊥,则m ∥n【答案】D 6 ．（浙江省慈溪中学2014届高三10月月考数学(理)试题）某四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 7 ．（浙江省台州市黄岩中学2013-2014学年高三第一学期第一次月考数学(理)试题）已知直线,l m 和平面α, （）A ．若,,l m m α⊂则l αB ．若,,l m αα⊂则l mC ．若,,l m l α⊥⊥则m α⊥D ．若,,l m αα⊥⊂则l m ⊥【答案】D8 ．（浙江省温州市2014届高三上学期八校联考数学（理）试题）已知n m ,为异面直线,⊥m 平面α,⊥n 平面β.直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄,则（）A ．βα//,且α//lB ．βα⊥,且β⊥lC ．α与β相交,且交线垂直于lD ．α与β相交,且交线平行于l 【答案】D 9 ．（浙江省嘉兴一中2014届高三上学期期中数学理试卷）棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中,点21,P P 分别是线段1,BD AB (不包括端点)上的动点,且线段21P P 平行于平面11ADD A ,则四面体121AB P P 的体积的最大值是（）A ．241B ．121 C ．61 D ．21 【答案】A 10．（浙江省绍兴市第一中学2014届高三上学期回头考数学（理）试题）已知两个不同的平面,αβ和两条不重合的直线,m n ,则下列命题不正确的是（）A ．若,//n m ,α⊥m 则,α⊥nB ．若,α⊥m ,β⊥m 则βα//C ．若,α⊥m ,//n m β⊂n ,则βα⊥D ．若,//αm ,n =⋂βα,则n m // 【答案】D11．（浙江省温州市平阳中学2014届高三10月月考数学（理）试题）设γβα,,为平面,nm l ,,为直线,则β⊥m 的一个充分不必要条件为（）A ．l m l ⊥=⊥,,βαβαB ．m =⊥⊥γαγβγα ,,C ．αγβγα⊥⊥⊥m ,,D ．αβα⊥⊥⊥m n n ,,【答案】D 12．（浙江省温州中学2014届高三10月月考数学（理）试题）已知一个棱长为2的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是（）A ．8B ．203C ．173D ．143【答案】C 二、填空题 13．（浙江省宁波市效实中学2014届高三上学期期始考试数学（理）试题）已知点O 在二面角AB αβ--的棱上,点P 在α内,且45POB ∠=︒.若对于β内异于O 的任意一点Q,都有45POQ ∠≥︒,则二面角AB αβ--的大小是__________. 【答案】9014．（浙江省2014届金华一中高三9月月考数学试卷（理））知一个三棱锥的三视图如右图所示,其中俯视图是顶角为0120的等腰三角形,则该三棱锥的体积为_____________.俯视图左视图主视图1223【答案】332 15．（浙江省温州市2014届高三上学期八校联考数学（理）试题）某几何体的三视图如图所示, 则其体积为______.【答案】3π16．（浙江省温州市平阳中学2014届高三10月月考数学（理）试题）若某几何体的三视图 (单位:cm) 如图所示,则此几何体的体积是_____cm 3.【答案】2123π17．（浙江省嘉兴一中2014届高三上学期期中数学理试卷）一个正四棱锥的所有棱长均为(第13题)正视图俯视图侧视图2,其俯视图如右图所示,则该正四棱锥的正视图的面积为_________.俯视图【答案】218．（浙江省慈溪中学2014届高三10月月考数学(理)试题）一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体,若正方体可以在纸盒内任意转动,则正方体棱长的最大值为________.【答案】219．（浙江省金华一中2014届高三10月月考数学(理)试卷）某几何体的三视图(单位:cm )如下图,则这个几何体的表面积为 ___________ 2cm .【答案】1223+20．（浙江省温州中学2014届高三10月月考数学（理）试题）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,点M 是BC 的中点,点P 是正方形ABCD 所在平面内的一个动点,且满足2PM =,P 到直线11A D 的距离为5,则点P 的轨迹是__________.【答案】两个点 21．（浙江省嘉兴市2014届高三9月月考数学理试题）若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是___【答案】48 22．（浙江省湖州市八校2014届高三上学期第二次联考数学（理）试题）若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是__________3cm .【答案】144 三、解答题23．（浙江省嘉兴一中2014届高三上学期期中数学理试卷）ABC∆中,4,42,45AB AC BAC ==∠=,以AC 的中线BD 为折痕,将ABD ∆沿BD 折起,构成二面角A BD C --.在面BCD 内作CE CD ⊥,且2CE =. (I)求证:CE ∥平面ABD ;(II)如果二面角A BD C --的大小为90,求二面角B AC E --的余弦值.【答案】解:(1)由4,42,45AB AC BAC ==∠=得4BC =,所以ABC ∆为等腰直角三角形,由D 为AC 的中点得BD AC ⊥,以AC 的中线BD 为折痕翻折后仍有BD CD ⊥,因为CE CD ⊥,所以CE ∥BD ,又CE ⊄平面ABD ,BD ⊂平面ABD ,所以CE ∥平面ABD .(2)如果二面角A BD C --的大小为90,由AD BD ⊥得AD ⊥平面BDC ,因此AD CE ⊥,又CE CD ⊥,所以CE ⊥平面ACD ,从而CE AC ⊥.由题意ABCDEABCDEFGAD DC==,所以Rt ADC∆中,4AC=.设BC中点为F,因为4AB BC==,所以BF AC⊥,且BF=,设AE中点为G,则FG∥CE,由CE AC⊥得FG AC⊥,所以BFG∠为二面角B AC E--的平面角,连结BG,在BCE∆中,因为4,135BC CE BCE=∠=,所以BE=.在Rt DCE∆中DE,于是在Rt ADE∆中,AE=.在ABE∆中,2222111332242BG AB BE AE=+-=,所以在BFG∆中,13312cos BFG+-∠==.因此二面角B AC E--的余弦值为.解法二:如果二面角A BD C--的大小为90,由AD BD⊥得AD⊥平面BDC,又由(1)知BD CD⊥,所以以D为坐标原点,,,DB DC DA分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系. 又CE CD⊥,所以CE⊥平面ACD,又CE⊂平面ACE,所以平面ACE⊥平面ACD. 设AC中点为F,连结DF,则DF AC⊥,且2DF=,从而DF⊥平面ACE.由(1)可知,BD CD AD===,所以B,C,A,因此F,即平面ACE的法向量为(0,DF=,又(22,0,AB=-,AC=-,设平面ABC的法向量为(,,)n x y z=,则0,0n AB n AC⋅=⋅=,所以x y z==,所以可以取(1,1,1)n =,设n与DF 的夹角为θ,由222cosn DFθ⋅==⋅得cosθ=,结合图形可知二面角B AC E--的余弦值为E. 24．（浙江省台州市黄岩中学2013-2014学年高三第一学期第一次月考数学(理)试题）如图,四边形ABCD 为正方形,PD ⊥平面1,,2ABCD PD QA QA AB PD ==.(1)证明:平面PQC ⊥平面DCQ ;(2)求二面角Q CP D --的余弦值.QPD C BA【答案】(1),,,,,PD ABCD PD CD CD DAQP CD PQ PQ DQ PQ CDQ PQ PCQ ⊥⊥⊥∴⊥∴⊥⊥∴⊥⊂∴⊥面又CD AD面又面面面PQC 面DCQ.(2)过Q 作QO PQ ⊥交于点O,过O 作OM PC ⊥交于点M.则OMQ ∠是二面角的平面角.cos OMQ ∠=25．（浙江省宁波市效实中学2014届高三上学期期始考试数学（理）试题）如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°,PA AB BC ==,E 是PC 的中点. (1)证明CD AE ⊥;(2)证明PD ⊥平面ABE ;(3)求二面角A PD C --的正切值.【答案】解答:(Ⅰ)证明:在四棱锥P ABCD -中,因PA ⊥底面ABCD ,CD ⊂平面ABCD ,故PA CD ⊥.AC CD PA AC A ⊥=，∵,CD ⊥∴平面PAC .而AE ⊂平面PAC ,CD AE ⊥∴.(Ⅱ)证明:由PA AB BC ==,60ABC ∠=°,可得AC PA =. E ∵是PC 的中点,AE PC ⊥∴.由(Ⅰ)知,AE CD ⊥,且PC CD C =,所以AE ⊥平面PCD .而PD ⊂平面PCD ,AE PD ⊥∴.PA ⊥∵底面ABCD PD ，在底面ABCD 内的射影是AD ,AB AD ⊥,AB PD ⊥∴. 又AB AE A =∵,综上得PD ⊥平面ABE .(Ⅲ)解法一:过点A 作AM PD ⊥,垂足为M ,连结EM .则(Ⅱ)知,AE ⊥平面PCD ,AM 在平面PCD 内的射影是EM ,则EM PD ⊥. 因此AME ∠是二面角A PD C --的平面角. 由已知,得30CAD ∠=°.设AC a =,可得332PA a AD a PD a AE a ====，，，. 在ADP Rt △中,AM PD ⊥∵,AM PD PA AD =∴··,则7a PA AD AM a PD===··. 在AEM Rt △中,sin AEAME AM==所以二面角A PD C --的正切值为7.解法二:由题设PA ⊥底面ABCD ,PA ⊂平面PAD ,则平面PAD ⊥平面ACD ,交线为AD .过点C 作CF AD ⊥,垂足为F ,故CF ⊥平面PAD .过点F 作FM PD ⊥,垂足为M ,连结CM ,故CM PD ⊥.因此CMP ∠是二面角A PD C --的平面角. 由已知,可得30CAD ∠=°,设AC a =,可得13326PA a AD a PD a CF a FD a =====，，，，. ABCDPEABCDPEF MFMD PAD ∵△∽△,FM FDPA PD=∴. 于是,143aFD PA FM a PD ===··. 在CMF Rt △中,1tan aCF CMF FM ===所以二面角A PD C --的正切值是7.26．（浙江省温州市平阳中学2014届高三10月月考数学（理）试题）如图,已知三角形ABC∆与BCD ∆所在平面互相垂直,且090BAC BCD ∠=∠=,AB AC =,CB CD =,点P ,Q 分别在线段,BD CD 上, 沿直线PQ 将∆PQD 向上翻折,使D 与A 重合.(Ⅰ)求证:AB CQ ⊥; (Ⅱ)求直线AP 与平面ACQ 所成的角.【答案】27．（浙江省慈溪中学2014届高三10月月考数学(理)试题）(本小题满分15分)如图,在梯形ABCD 中,//AB CD ,AD CD CB a ===,60ABC ∠=︒,平面ACFE ⊥平面ABCD ,四边形ACFE 是矩形,AE a =,点M 在线段EF 上 (1)求异面直线BC 与EF 所成的角;(2)求二面角B EF D --的余弦值.【答案】解:(1)在梯形ABCD 中,∵,,60AB CD AD DC CB a ABC ===∠=︒, ∴四边形ABCD 是等腰梯形, 且30,120,DCA DAC DCB ∠=∠=︒∠=︒∴90ACB DCB DCA ∠=∠-∠=︒,∴.AC BC ⊥又∵平面ACFE ⊥平面ABCD ,交线为AC ,∴BC ⊥平面ACFE . ∴ BC ⊥平面FE .∴异面直线BC 与EF 所成的角为900(2)方法一;(几何法)取EF 中点G ,EB 中点H ,连结DG 、GH 、DH , ∵容易证得DE =DF ,∴.DG EF ⊥∵BC ⊥平面ACFE ,∴.BC EF ⊥ 又∵EF FC ⊥,∴.EF FB ⊥ 又∵GHFB ,∴.EF GH ⊥∴DGH ∠是二面角B —EF —D 的平面角.在△BDE 中222,3,5.DE a DB a BE AE AB a ===+= ∴222BE DE DB =+∴90EDB ∠=︒,∴5.2DH 又52,.22DG GH =∴在△DGH 中,由余弦定理得10cos 10DGH ∠=即二面角B —EF —D 的平面角余弦值为101028．（浙江省慈溪中学2014届高三10月月考数学(理)试题）用一块钢锭浇铸一个厚度均匀,且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图),设容器的高为h 米,盖子边长为a 米.(1)求a 关于h 的函数解析式;(2)设容器的容积为V 立方米,则当h 为何值时,V 最大?求出V 的最大值. (求解本题时,不计容器的厚度)【答案】解(1)设'h 为正四棱锥的斜高.由已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=⋅+,'41,2'2142222h a h a h a 解得)0(112>+=h h a(2))0()1(33122>+==h h hha V 易得)h1h (31V +=因为2121=⋅≥+h h h h ,所以61≤V 等式当且仅当hh 1=,即1=h 时取得xyz故当1=h 米时,V 有最大值,V 的最大值为61立方米. 29．（浙江省温州市2014届高三上学期八校联考数学（理）试题）如图,三棱锥ABCP -中,PB ⊥底面ABC ,90BCA ∠=,2===CA BC PB ,E 为PC 的中点,点F 在PA 上,且FA PF =2.(Ⅰ)求证:平面PAC ⊥平面BEF ;(Ⅱ)求平面ABC 与平面BEF 所成的二面角的平面角(锐角)的余弦值.【答案】解:(Ⅰ)∵⊥PB 底面ABC ,且⊂AC 底面ABC , ∴AC PB ⊥ 由90BCA ∠=,可得CB AC ⊥又∵PBCB B = ,∴AC ⊥平面PBC注意到⊂BE 平面PBC , ∴AC BE ⊥ ∵BC PB =,E 为PC 中点,∴BE PC ⊥ ∵PC AC C =, BE ⊥平面PAC而⊂BE 平面BEF ,∴BEF PAC 平面平面⊥(Ⅱ)如图,以C 为原点、CA 所在直线为x 轴、CB 为y 轴建立空间直角坐标系.则)1,1,0(),2,2,0(),0,0,2(),0,2,0(E P A B)1,1,0(-=BE)34,32,32(31-=+=+=PA BP PF BP BF设平面BEF 的法向量),,(z y x m =.则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-03432320z y x z y 解得)1,1,1(--=m取平面ABC 的法向量为)1,0,0(=n 则33||||||,cos =⋅>=<n m n m n m , 故平面ABC 与平面BEF 所成的二面角的平面角(锐角)的余弦值为33 30．（浙江省温州中学2014届高三10月月考数学（理）试题）如图,在斜三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AA B B ⊥底面ABC ,侧棱1AA 与底面ABC 成060的角,12AA =.底面ABC 是边长为2的正三角形,其重心为G 点,E 是线段1BC 上一点,且113BE BC =. (Ⅰ)求证:GE //侧面11AA B B ;(Ⅱ)求平面1B GE 与底面ABC 所成锐二面角的正切值.【答案】解法1:(1)延长B 1E 交BC 于点F ,11B EC ∆∽△FEB ,BE =21EC 1,∴BF =21B 1C 1=21BC ,从而点F 为BC 的中点.∵G 为△ABC 的重心,∴A 、G 、F 三点共线.且11//,31AB GE FB FE FA FG ∴==, 又GE ⊄侧面AA 1B 1B ,∴GE //侧面AA 1B 1B .(2)在侧面AA 1B 1B 内,过B 1作B 1H ⊥AB ,垂足为H ,∵侧面AA 1B 1B ⊥底面ABC , ∴B 1H ⊥底面ABC .又侧棱AA 1与底面ABC 成60°的角,AA 1=2,∴∠B 1BH =60°,BH =1,B 1H =.3在底面ABC 内,过H 作HT ⊥AF ,垂足为T ,连B 1T ,由三垂线定理有B 1T ⊥AF , 又平面B 1CE 与底面ABC 的交线为AF ,∴∠B 1TH 为所求二面角的平面角. ∴AH =AB +BH =3,∠HAT =30°,∴HT =AH 2330sin =︒.在Rt△B 1HT中,332tan 11==∠HT H B TH B , 从而平面B 1GE 与底面ABC 成锐二面角的正切值为233. 解法2:(1)∵侧面AA 1B 1B ⊥底面ABC ,侧棱AA 1与底面ABC 成60°的角,∴∠A 1AB =60°,第20题图又AA 1=AB =2,取AB 的中点O ,则AO ⊥底面ABC . 以O 为原点建立空间直角坐标系O —xyz 如图, 则()0,1,0A -,()0,1,0B ,()3,0,0C,()10,0,3A ,()10,2,3B ,()13,1,3C .∵G 为△ABC 的重心,∴3,0,03G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.113BE BC =,∴33,1,33E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,∴1310,1,33CE AB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭. 又GE ⊄侧面AA 1B 1B ,∴GE //侧面AA 1B 1B .(2)设平面B 1GE 的法向量为(,,)a b c =n ,则由10,0.B E GE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得3230,3330.3a b c b c ⎧--=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可取()3,1,3=-n 又底面ABC 的一个法向量为()0,0,1=m设平面B 1GE 与底面ABC 所成锐二面角的大小为θ,则21cos ||||7θ⋅==⋅m n m n . 由于θ为锐角,所以227sin 1cos 7θθ=-=,进而23tan 3θ=.故平面B 1GE 与底面ABC 成锐二面角的正切值为233.31．（浙江省嘉兴市2014届高三9月月考数学理试题）如图,三棱锥P-ABC中,∠ACB=90°,PA⊥底面ABC. (I)求证:平面PAC⊥平面PBC;(II)若AC=BC=PA,M 是PB 的中点,求AM 与平面PBC 所成角的正切值.【答案】32．（浙江省湖州市八校2014届高三上学期第二次联考数学（理）试题）已知四棱锥ABCD P -, ⊥PA 底面ABCD ,AC AD AB BC AD ,,//⊥与BD 交于点O ,又,6,32,2,3====BC AB AD PA(Ⅰ) 求证:⊥BD 平面PAC ;(Ⅱ)求二面角A PB O --的余弦值.【答案】33．（浙江省绍兴市第一中学2014届高三上学期回头考数学（理）试题）如图,AC 是圆 O 的直径,点 B 在圆 O 上,∠BAC=30°,BM⊥AC 交 AC 于点 M,EA⊥平面ABC,FC//EA,AC=4,EA=3,FC=1. (I)证明:EM⊥BF;(II)求平面 BEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值.【答案】解:( 1)33AM BM ==，如图,以A 为坐标原点,垂直于AC 、AC 、AE 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.由已知条件得(0,0,0),(0,3,0),(0,0,3),(3,3,0),(0,4,1)A M E B F ,(0,3,3),(3,1,1)ME BF ∴=-=-.由(0,3,3)(3,1,1)0ME BF ⋅=-⋅-=, 得MF BF ⊥, EM BF ∴⊥(2)由(1)知(3,3,3),(3,1,1)BE BF =--=- 设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z =,由0,0,n BE n BF ⋅=⋅= 得333030x y z x y z ⎧--+=⎪⎨-++=⎪⎩,] 令3x 1,2y z ==,()3,1,2n ∴=,EAFMBO（第20题图）xyzA B C FMO•由已知EA ⊥平面ABC ,所以取面ABC 的法向量为(0,0,3)AE =, 设平面BEF 与平面ABC所成的锐二面角为θ, 则cos cos ,n AE θ→=<>==,平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值为.。

2023年7月浙江高中学业水平考试数学试卷试题真题(含答案详解)

2023年7月浙江省普通高中学业水平考试数学本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分100分，考试时间80分钟.考生注意：1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2. 答题时，请按照答题纸上“注意事项〃的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.3. 非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内,作图时可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.选择题部分（共52分）一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中，只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.己知集合，= {-1,0,1,2}, 3 = {x|x 〉0},则下列结论不正确的是（）B. 0^A(^B A.leAC\BC.D.2.函数*的定义域是（）A.-00,——2B.C.D.1■00,—2#3—,+ oo{、 x > 0} - A\JB3.复数z = i （2 + i ）在复平面内对应的点位于)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知平面向量U = （L —1）, 5 = （2,4）,若则实数4 =2A. B. -2 C. D.-115.已知sin[ 0 + -^= cos 。

，贝\\ tan20 =)AMC.2^3丁D.2^36.上、下底面圆的半径分别为尸、2r,高为3尸的圆台的体积为A.771丫3B.217ir3C.（5+27!）兀尹D.（5+7^）*7.从集合｛123,4,5｝中任取两个数，则这两个数的和不小于5的概率是（）3749A.—B.—C.—D.—5105108.大西洋畦鱼每年都要逆游而上，游回产地产卵.研究畦鱼的科学家发现鲤鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v=klog3盐，其中。

表示畦鱼的耗氧量的单位数.若一条畦鱼游速为2m/s时耗氧量的单位数为8100,则游速为lm/s的畦鱼耗氧量是静止状态下畦鱼耗氧量的（）A.3倍B.6倍C.9倍D.12倍9.不等式（x-e）（e^-l）<0（其中e为自然对数的底数）的解集是（）A.{x|0<x<1}B.(x0<x<e}C.{x|xv0或x>l}D.{x|xvO或x>e}10.已知。

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1 2014年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题学生须知： 1、本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分100分，考试时间110分钟. 2、考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 3、选择题的答案须用2B铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净. 4、非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上的相应区域内，作图时可先使用2B铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试卷上无效. 5、参考公式

球的表面积公式：S=4R2 球的体积公式：V=43R3（其中R表示球的半径）

选择题部分一、选择题（共25小题，1－15每小题2分，16－25每小题3分，共60分.每小题给出的选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.） 1、设集合M={0,1,2}，则（） A.1∈M B.2M C.3∈M D.{0}∈M

2、函数1yx的定义域是（） A. [0，+∞） B.[1，+∞） C. （－∞，0] D.（－∞，1] 3、若关于x的不等式mx－2>0的解集是{x|x>2}，则实数m等于（） A.－1 B.－2 C.1 D.2 4、若对任意的实数k，直线y－2=k(x+1)恒经过定点M，则M的坐标是（） A.（1，2） B.（1，－2） C.（－1，2） D.（－1，－2）

5、与角－6终边相同的角是（）

A.56 B.3 C.116 D.23 6、若一个正方体截去一个三棱锥后所得的几何体如图所示，则该几何体的正视图是（）

（第6题图） A. B. C. D. 7、以点（0，1）为圆心，2为半径的圆的方程是（） A.x2+(y－1)2=2 B. (x－1)2+y2=2 C. x2+(y－1)2=4 D. (x－1)2+y2=4 8、在数列{ an }中，a1=1，an+1=3an(n∈N*)，则a4等于（） A.9 B.10 C.27 D.81 2

9、函数yx的图象可能是（） Oxy Oxy

Oxy

A. B. C. D. 10、设a,b是两个平面向量，则“a＝b”是“|a|＝|b|”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

11、设双曲线C：2221(0)3yxaa的一个顶点坐标为（2，0），则双曲线C的方程是（）

A. 221163yx B. 221123yx C.22183yx D.22143yx 12、设函数f(x)＝sinxcosx，x∈R，则函数f(x)的最小值是（） A.14 B.12 C.32 D.－1

13、若函数f(x)=21xax(a∈R)是奇函数，则a的值为（） A.1 B.0 C.－1 D.±1 14、在空间中，设α，表示平面，m，n表示直线.则下列命题正确的是（） A.若m∥n，n⊥α，则m⊥α B. 若α⊥，mα，则m⊥ C.若m上有无数个点不在α内，则m∥α D.若m∥α，那么m与α内的任何直线平行 15、在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠A=60°，则BC的长为（）

A.19 B.13 C.3 D.7 16、下列不等式成立的是（） A.1.22>1.23 B.1.2－3<1.2－2 C. log1.2 2>log1.2 3 D.log0.2 217、设x0为方程2x+x=8的解.若x0 ∈(n,n+1)(n∈N*)，则n的值为（） A.1 B.2 C.3 D.4 18、下列命题中，正确的是（） A.  x0∈Z，x02<0 B. x∈Z，x2≤0 C.  x0∈Z，x02=1 D.x∈Z，x2≥1

19、若实数x,y满足不等式组020xyxy，则2y－x的最大值是（） A.－2 B.－1 C.1 D.2 20、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，则异面直线DE与B1C所成角的大小为（） A.15° B.30° C.45° D.60°

EC1

DBA （第20题图） 21、研究发现，某公司年初三个月的月产值y（万元）与月份n近似地满足函数关系式3

y=an2+bn+c（如n=1表示1月份）.已知1月份的产值为4万元，2月份的产值为11万元，3月份的产值为22万元.由此可预测4月份的产值为（） A.35万元 B.37万元 C.56万元 D.79万元 22、设数列{ an }，{ an 2} (n∈N*)都是等差数列，若a1＝2，则a22+ a33+ a44+ a55等于（） A.60 B.62 C.63 D.66

23、设椭圆：22221(0)yxabab的焦点为F1，F2，若椭圆上存在点P，使△P F1F2是以F1P为底边的等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（） A. 1(0,)2 B. 1(0,)3 C. 1(,1)2 D.1(,1)3

24、设函数()1xfxx，给出下列两个命题： ①存在x0∈(1,+∞)，使得f(x0)<2； ②若f(a)=f(b)(a≠b)，则a+b>4.其中判断正确的是（） A.①真，②真 B. ①真，②假 C. ①假，②真 D. ①假，②假 25、如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（）

A.(0,3] B.2(,2]2 C.(3,23] D.（2，4]

CACA

（第25题图）非选择题部分

二、填空题（共5小题，每小题2分，共10分） 26、设函数f(x)=2,232,2xxxx，则f(3)的值为 27、若球O的体积为36cm3，则它的半径等于 cm. 28、设圆C：x2+y2=1，直线l: x+y=2，则圆心C到直线l的距离等于 .

29、设P是半径为1的圆上一动点，若该圆的弦AB=3，则APAB的取值范围是 30、设ave{a,b,c}表示实数a,b,c的平均数，max{a,b,c}表示实数a,b,c的最大值.设A= ave{112,,122xxx}，M= max{112,,122xxx}，若M=3|A－1|，则x的取值范围是三、解答题（共4小题，共30分） 4

31、（本题7分）已知3sin,052，求cos和sin()4的值. 32、（本题7分，有（A），（B）两题，任选其中一题完成，两题都做，以（A）题记分.）（A）如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为菱形，对角线AC与BD相交于点E，平面PAC垂直于底面ABCD，线段PD的中点为F. （1）求证：EF∥平面PBC；（2）求证：BD⊥PC.

ECD

（第32题（A）图）（B）如图，在三棱锥P－ABC中，PB⊥AC，PC⊥平面ABC，点D，E分别为线段PB，AB的中点. （1）求证：AC⊥平面PBC；（2）设二面角D－CE－B的平面角为θ，若PC=2，

BC=2AC=23，求cosθ的值. D

A （第32题（B）图）

33、（本题8分）如图，设直线l: y=kx+2(k∈R)与抛物线C：y=x2相交于P，Q两点，其中Q点在第一象限. （1）若点M是线段PQ的中点，求点M到x轴距离的最小值；（2）当k>0时，过点Q作y轴的垂线交抛物线C于点R，

若PQPR＝0，求直线l的方程.

RPQ

（第33题图） 34、（本题8分）设函数f(x)=x2－ax+b,a,b∈R.. （1）已知f(x)在区间(－∞,1)上单调递减，求a的取值范围；（2）存在实数a，使得当x∈[0,b]时，2≤f(x)≤6恒成立，求b的最大值及此时a的值. 5

2014年1月浙江省普通高中学业水平考试数学参考答案一、选择题（共25小题，1－15每小题2分，16－25每小题3分，共60分.每小题给出的选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 A B C C C A C C A A D B B A D 题号 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 答案 B B C C B B A D C A

25题解答（1）由题意得，AD=CD=BD=212x，BC=x，取BC中点E，翻折前，在图1中，连接DE,CD,则DE=12AC=12，翻折后，在图2中，此时 CB⊥AD。 ∵BC⊥DE，BC⊥AD，∴BC⊥平面ADE，∴BC⊥AE，DE⊥BC，

又BC⊥AE，E为BC中点，∴AB=AC=1∴AE=2114x，AD=212x，在△ADE中：①221111224xx，②221111224xx，③x>0；由①②③可得0（2）如图3，翻折后，当△B1CD与△ACD在一个平面上，AD与B1C交于M，且AD⊥B1C，AD=B1D＝CD=BD，∠CBD=∠BCD=∠B1CD，又∠CBD+∠BCD+∠B1CD＝90°，

∴∠CBD=∠BCD=∠B1CD＝30°，∴∠A=60°，BC=ACtan60°，此时x=1×33

综上，x的取值范围为(0,3]，选A。

MDEED

ACAC

BAC

BB1

图1 图2 图3