离散数学试卷二十试题与答案

试卷二十试题与答案
一、填空20%（每空2分）
1．n 个命题变元有 个互不等价的极小项。

2．按De-Morgan 定理，i
n
i n A A A A ⌝=
⌝∨∨⌝∨⌝∨=1
21 = 。

3．公式)(R Q P ∨⌝→的主析取范式为 。

4．设P(x)：x 是大象，Q(x)：x 是老鼠，R(x,y)：x 比y 重，则命题“大象比老鼠重”的符号化为。

5．设},,{c b a X =，X 上的关系R 的关系矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=11
1011101R
M
，则
=R
R M。

6．在具有
n 个结点的有向图中，任何基本通路的长度都不超
过 。

7．任何图的点连通度)(G κ，边连通度)(G λ，最小点度)(G δ的关系为。

8．结点数n （3≥n ）的简单连通平面图的边数为m ，则m 与n 的关系为 。

9．群G 的非空子集H 是G 的子群当且仅当若x , y ∈H 则 。

10．代数系统>∙+<,,A 是环，若对运算“· ”还满足 则>∙+<,,A 是整环。

二、选择10%（每小题2分）
1．集合
}
,2{N n x x A n
∈==对（ ）运算封闭。

A 、加法；
B 、减法；
C 、乘法；
D 、y
x -。

2．设I 为整数集合，m 是任意正整数，m Z 是由模m 的同余类组成的同余类集合，在m Z 上
定义运算]m o d )[(][][m j i j i ⨯=⨯，则代数系统>⨯<m m Z ,最确切的性质是
（ ）。

A 、封闭的代数系统；
B 、半群；
C 、独异点；
D 、群。

3．设≤><,N 是偏序格，其中N 是自然数集合，“≤”是普通的数间“小于等于” 关系，则
N b a ∈∀,有=∨b a （ ）。

A 、a ；
B 、b ；
C 、max(a ，b) ；
D 、min(a ，b)。

4．连通非平凡的无向图G 有一条欧拉回路当且仅当图G ( )。

A 、只有一个奇度结点；
B 、只有两个奇度结点；
C 、只有三个奇度结点；
D 、没有奇度结点。

5．设无向图>=<E V G ,是连通的且m E n V ==,若（ ）则G 是树。

A 、M=N+1 ； B 、n=m+1 ； C 、63-≤n m ； D 、63-≤m n 。

三、12%逻辑推理：
符号化命题“有些病人相信医生，但是没有病人相信法轮功，因此医生都不信法轮功”。

用演绎法证明其结论。

（P(x)：x 是病人，D(x)：x 是医生，Q(x)：x 是法轮功练习者，L(x , y)：x 相信y ）
四、序关系8%：
设},,,,{54321x x x x x A =，偏序集><R A ,的Hass 图为
求 ① A 中最小元与最大元； ② },,{543x x x 的上界和上确界，下界和下确界。

五、函数8%
设Z Y g Y X f →→::和
是映射且使得f g 是满射，若g 是入射，证明f 是满射。

六、图8%
设G 是连通简单平面图，结点数为n （3≥n ），边数为m ，面数为r ，则42-≤n r 。

七、树的应用12%
设7个符号在通讯中使用的频率如下：
a ：35% ，
b ：20% ，
c ：15% ，
d ：10% ，
e ：10% ，
f ：5% ，
g ：5%
编一个相应的二元前缀码，使通讯中出现的符号尽可能地减少，并画出对应的二叉树及求二叉树的过程。

八、道路的基本性质10%
设u ，v 是树T 的两个不同的结点，从u 至v 的基本通路（结点不同的道路）是T 中最长的基本道路，证明：d(u)=d(v)=1。

九、子群12%
若H 是G 的子群，G b a ∈,，则 Φ≠⋂⇔∈-bH aH H a b 1。

答案
一、填空20%
1、n
2； 2、
)
(1
i n
i A =∧⌝；
3、
7
,5,4,3,2,1,0)()()()
()()()(∑
=
∧∧∨∧⌝∧∨⌝∧⌝∧∨∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P ；
4、)),()()((y x R y Q x P y x →∧∀∀；
5、⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛111111111； 6、n-1 ； 7、)()()(G G G δλκ≤≤； 8、63-≤n m ； 9、H y x ∈-1
；
10、含幺元，可交换，无零因子。

二、选择10%
解：前提：)))(),(()((,
)),()(()((y Q y x L y x P x y x L y D y x P x ⌝→∀→∀→∀∧∃
结论：))()((y Q y D y ⌝→∀ 演绎推理：
（1）)),()(()((y x L y D y x P x →∀∧∃ P
（2）))
,()(()(y e L y D y e P →∀∧ ES(1)
（3）)))(),(()((y Q y x L y x P x ⌝→∀→∀ P （4）))(),(()(y Q y e L y e P ⌝→∀→ US(3) （5）)(e P T(2)I （6）))(),((y Q y e L y ⌝→∀ T(4)(5)I
（7）)(),(c Q c e L ⌝→ US(6) （8）)),()((y e L y D y →∀ T(2)I
（9）)
,()(c e L c D → US(8)
（10）)()(c Q c D ⌝→ T(9)(7)I （11）))()((y Q y D y ⌝→∀ UG(10)
四、解：
① A 中最大元为1x ，最小元不存在； ② },,{543x x x 上界31,
x x ，上确界1x ；下界无，下确界无。

五、解：
证：Y y ∈∀，因g 是映射，故必存在Z z ∈使z y g =)(，由于z x f g =)( 即 )())((y g z x f g ==，因g 是单射，所以 y x f =)( 说明Y y ∈∀，必有 X x ∈使得y x f =)(，故)(x f 是满射。

六、解：
证：因为G 是结点数3≥n 的简单连通平面图，所以 63-≤n m ，又由于2≥m 且
连通简单平面图的每个面至少有3条边围成，于是)63(223-≤≤n m r ，所以 42-≤n r 。

七、解：
用100乘各频率得权数：
w 1=35， w 2=20， w 3=15， w 4=10， w 5=10， w 6=5， w 7=5 将其由小到大排列用 Huffman 算法可求得最优树。

5 5 10 10 15 20 35 10 10 10 15 20 35 20 10 15 20 35 20 25 20 35 40 25 35
40
60
100
最优二叉树为
编码树为：
前缀码：a ：11； b ：01； c ：101； d ：100； e ：001；f ：0000；g ：0001
八、解：
设l 为T 中最长的基本道路且以u 为起点，v 为终点，即v v v uv l k 21=
如果1)(≠
u d ，则u 的邻接点除了1v 之外还有一点，
不妨设为1u ，而1u 不在l 上，否则T 中存在回路u v uv 121 与T 为树矛盾。

于是得到一条v v v uv u l k 211='是比l 更长的基本道路，这与l 是最长的道路矛盾，故1)(=u d 。

同理可证 1)(=v d 。

九、证：
""⇒
因为 H b a
a b
H a b
∈=∈---- 1
11
1
）（所以，
又 aH b b a a b a a b ∈==∴--)()(1
1
bH a a b
b a b
b a ∈==∴
--)
()(1
1
bH h h b h h b h a x aH x ∈===⇒∈∀)()(111 bH aH ⊆∴
同理可证 aH bH ⊆ 所以 bH aH =
故 Φ≠=⋂aH bH aH
""⇐
若 Φ≠⋂bH aH 设 bH aH x ⋂∈ 则
H h h ∈∃21, 使 21h b h a x =∈ 可得：H h h a b ∈=--1
121。

u v 1 v k
1
1
k。