人教课标版高中数学选修4-4第一讲 坐标系一 平面直角坐标系

3．怎样确切的表示室内灯泡的位置？
一、空间直角坐标系
1、空间直角坐标系的建立需具备三个条件：
(1)在空间任选一点O称为坐标原点， (2)在O点处作三条两两互相垂直的轴Ox，Oy，Oz
称为坐标轴， (3)在三个坐标轴上选定长度单位 (三个轴上的长度单位 可以取得不一样).
z
x
o
y
2、右手坐标系：
解析：由题A(2,0,0),D(0, 0, 2), C (0,3, 0) 设M（x, y, 0), 在RtAOC中， | OA | 2,| OC | 3, 6 6 13 | AC | 13,| OM | 13 13
A
'
z
D
'
B'
C'
C y O 36 M A B 18 2 13 x 在RtOMA中， | OD | x | OA |, x 2 13 36 12 18 12 2 13 在RtOMC中， | OD | y | OC |, y , M （ ， ， 0） 3 13 13 13
z
R(0,0, z )

轴 上 点
B(0, y , z )
M ( x, y, z )
C ( x , o, z )
Ozx面上点的坐标为(x,0,z)， x P ( x ,0,0) 原点O坐标为(0,0,0).
O ( 0, 0, 0 ) o
Q(0, y ,0)
y
A( x , y ,0)
练习：在正方体OABC D ' A' B 'C '中， | OA | 3,| OD ' | 2 0，0，2） 3，0，2） | OC | 4, 则D的坐标为（ ________ A的坐标为（ __________ z 练 （3，4， 2） B的坐标为___________ ' '
18 12 2 286 | DM | ( ) 2 ( ) 2 4 13 13 13
祝大家学习愉快！
z
O
y
中层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为，所 以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是
x
1 1 1 1 1 1 1 1 （ ，0，），（1， ， ），（ ，1， ），（0， ， ）； 2 2 2 2 2 2 2 2
上层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为1， 所以，这五个钠原子所在位置的坐标分别是:
练习：结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图
（可看成是八个棱长为
中红色点代表钠原子，黑点代表氯原子． 如图建立空间直角坐标 系O-xyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标．
练 1 的小正方体堆积成的正方体），其 2
z
O
பைடு நூலகம்
y
x
解：把图中的钠原子分成上、中、下三层来写它们所在 位置的坐标．
下层的原子全部在平面上，它们所在位 置的竖坐标全是0，所以这五个钠原子 所在位置的坐标分别是(0，0，0)，（1， 0，0）,（1，1，0）,（0，1，0）, 1 1 （ ， ，0）. 2 2
1)与M2(1,–1,3)的距离相等.
解
意有
由于点M在y轴上，设其坐标为(0,y,0)，由题
| MM 1 || MM 2 |,
(0 2) 2 ( y 0) 2 (0 1) 2
即
(0 1) 2 ( y 1) 2 (0 3) 2， 解此方程得 y= –3，
因此所求点为M(0,–3,0).
已知△ABC的三个顶点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2) C(x3,y3,z3) ，则△ABC的重心G的坐标为：
x1 x2 x3 y1 y2 y3 z1 z2 z3 G( , , ) 2 2 2
练习：
已知两点M1(–1,0,2)，M2(0,3,–1)，则此两点
练
P( x, y, z ) P P2 ( x, y, z ) 1 ( x, y , z )
xoz P3 ( x, y, z )
三、空间两点间的距离
(1) 在空间直角坐标系中，任意两点P1(x1,y1,z1)和 P2(x2,y2,z2)间的距离：
| PP ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) ( z1 z2 ) 1 2 |
19 间的距离为________________
解
由两点间的距离公式，有
2 2 2
| M1M 2 | ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 )
[0 (1)]2 (3 0) 2 ( 1 2) 2 19.
练习：
在y轴上求一点M，使其到两点M1(2,0,–
练习：
以A(4,1,9)，B(10,–1,6)，C(2,4,3)为顶
点的三角形ABC的形状为______________. 等腰直角三角形 解 由空间两点间距离公式有
| AB |2 (10 4) 2 (1 1) 2 (6 9) 2 49,
同理有 | AC |2 49,
x<0,y>0,z>0； x>0,y<0,z>0；
x<0,y>0,z<0； x>0,y<0,z<0.
第五卦限
第七卦限
x>0,y>0,z<0； 第六卦限
x<0,y<0,z<0； 第八卦限
二、空间直角坐标系中点的坐标
设点M是空间的一个定点，过点M分别作垂直于x 轴、y 轴 和z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴和z 轴于点P、Q和R． 设点P、Q和R在x 轴、y 轴和z 轴上的坐标分别是x，y和 z，那么点M就对应唯一确定的有序实数组（x，y，z）． 通过空间直角坐标系，我们建 立了空间的点M与有序数组x，y， z 之间的一一对应的关系.有序数组x，
Z D P’ P
P’P=-5 P(2，4，-5)
X
C
O
Y
在空间直角坐标系中作出P(3,-2,4)
（1）取OA=3 （2）作AP’垂直于x轴，令AP’= - 2 （3）作PP’垂直于xoy平面，令PP’=4
Z P O Y
P’
X
A
坐标轴上和坐标面上的点，其坐标的特征：
x轴上点的坐标为(x,0,0)， y轴上点的坐标为(0,y,0)， z轴上点的坐标为(0,0,z)， Oxy面上点的坐标为(x,y,0)， Oyz面上点的坐标为(0,y,z)，
第一讲 坐标系- 平面直 角坐标系
问题 1．数轴Ox上的点M，用代数的方法怎样表示呢？
数轴Ox上的点M，可用与它对应的实数x表示；
O M x
x
2．直角坐标平面上的点M，怎样表示呢？
直角坐标平面上的点M，可用一对有序实数(x，y) 表示． y
思考：空间 中点的位置， 怎样表示呢？
y O
A (x,y) x x
解： D 在z 轴上，且 OD 2 ， 它的竖坐标是2；它的横坐标x与纵坐 标y都是零，所以点 D 的坐标是（0， 0，2）． 点A’在平面xoz上，因此它的纵坐标
'
'
D
A'
B
O
'
C
x
A
B
C y
y为0，横坐标x与点A的横坐标相同x=3 ．竖坐标与点D’的竖坐 标相同y=2，所以点A’的坐标是（3，0，2）． 点B’在平面上xoy的射影是B，因此它的横坐标x与纵坐标y同点B 的横坐标x与纵坐标y 相同．在xOy平面上，点B 横坐标x=3，纵 坐标y=4；点B’ 的竖坐标与点D’的竖坐标相同，点D’的竖坐标 z=2．所以点B’的坐标是（3，4，2）．
z
R
（x，y，z）
M
y， z就称为点M的坐标，x为点M的
横坐标，y为点M的纵坐标，z为点M 的竖坐标，记为M(x,y,z).
P
O
M’
Q
y
x
找点的位置的方法
DP=2 CP=4
Z
P(2，4，0)
O
D P
Y
C
X
DP’=2 CP’=4
Z
P’P=5
P(2，4，5)
C O
P
D P’ Y
X
PD=2 PC=4
2 2
2
(2) 在空间直角坐标系中，任意一点P(x,y,z)到原 点的距离：
| OP | x y z
2 2
2
中点公式
已知两点P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2) ，则P1P2的中 点P为：
x1 x2 y1 y2 z1 z2 P( , , ) 2 2 2
重心公式：
（0，0，1），（1，0，1），（1，1，1），（0，1，1），
1 1 （ 2 ， 2 ，1）．
空间中点的对称问题
在空间直角坐标系内，点P(x,y,z)的几种特殊 对称点的坐标为： (-x,-y,-z) ； (1)关于原点的对称点是P1————————— (x,-y,-z) ； (2)关于x轴的对称点是P2————————— (-x, y,-z) ； (3)关于y轴的对称点是P3————————— (-x,-y, z) ； (4)关于z轴的对称点是P4————————— (x,y,-z) ； (5)关于xoy坐标平面的对称点是P5—————— (-x, y, z) (6)关于yoz坐标平面的对称点是P6—————— ； (x,-y,z) ； (7)关于xoz坐标平面的对称点是P7——————
三个坐标轴Ox,Oy,Oz的次序和方向按习惯用法，规定 为按右手法则排列，即右手握住z轴，四个手指从x轴 的方向转到y轴方向时，拇指就指向z轴的正方向.
z
x
o