中考数学考点总动员系列专题29尺规作图(含解析)

考点二十九：尺规作图聚焦考点☆温习理解1．尺规作图的作图工具限定只用圆规和没有刻度的直尺2．基本作图(1)作一条线段等于已知线段，以及线段的和﹑差；(2)作一个角等于已知角，以及角的和﹑差；(3)作角的平分线；(4)作线段的垂直平分线；(5)过一点作已知直线的垂线．3．利用基本作图作三角形(1)已知三边作三角形；(2)已知两边及其夹角作三角形；(3)已知两角及其夹边作三角形；(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．4．与圆有关的尺规作图(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)；(2)作三角形的内切圆；(3)作圆的内接正方形和正六边形．5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考的常见类型6．作图的一般步骤尺规作图的基本步骤：(1)已知：写出已知的线段和角，画出图形；(2)求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化；(3)作法：应用“五种基本作图”，叙述时不需重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的痕迹；(4)证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，必须再根据已知的定义、公理、定理等，结合作法来证明所作出的图形完全符合题设条件；(5)讨论：研究是不是在任何已知的条件下都能作出图形；在哪些情况下，问题有一个解、多个解或者没有(6)结论：对所作图形下结论．名师点睛☆典例分类考点典例一、应用角平分线、线段的垂直平分线性质画图【例1】（2017四川自贡第22题）两个城镇A，B与一条公路CD，一条河流CE的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A，B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在∠DCE的内部，请画出该山庄的位置P．（不要求写作法，保留作图痕迹．）【答案】作图见解析．【解析】试题分析：根据角平分线的性质可知：到CD和CE的距离相等的点在∠DCE的角平分线上，所以第一步作：∠ECD的平分线CF；根据中垂线的性质可得：到A、B的距离相等的点在AB的垂直平分线上，所以第二步作线段AB的垂直平分线MN，其交点就是P点.试题解析：作法：①作∠ECD的平分线CF，②作线段AB的中垂线MN，③MN与CF交于点P，则P就是山庄的位置．考点：作图设计．【点睛】本题借助实际场景，考查了几何基本作图的能力，考查了线段垂直平分线和角平分线的性质及应【举一反三】A B C为某公园的三个景点，景点A和景点B之间有一条笔直的小路，（2017黑龙江绥化第22题）如图，,,现要在小路上建一个凉亭P，使景点B、景点C到凉亭P的距离之和等于景点B到景点A的距离．请用直尺和圆规在所给的图中作出点P．(不写作法和证明，只保留作图痕迹)【答案】作图见解析.【解析】考点：作图—应用与设计作图．考点典例二、画已知直线的平行线，垂线【例2】（北京市燕山区2017届九年级一模）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.请回答：该作图依据是__________________________________________________．【答案】四边相等的四边形是菱形，菱形对边平行，两点确定一条直线【解析】四边相等的四边形是菱形，菱形对边平行，两点确定一条直线。

【点睛】尺规作图经过已知直线外一点作这条直线的平行线，实际上就是基本作图：作一个角等于已知角．【例3】（北京市海淀区2017-2018学年九年级上学期期中）下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程. 已知：ABC.求作：BC边上的高AD作法：如图，(1)分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；(2)作直线PQ，交AC于点O；(3)以O为圆心，OA为半径⊙O,与CB的延长线交于点D，连接AD，线段AD即为所作的高.请回答；该尺规作图的依据是___________________________________________________【答案】①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②直径所对的圆周角是直角；③两点确定一条直线.【解析】由（1）（2）（3）可得OA=OC=OD，所以A、D、C在以O为圆心，AC为直径的圆上，根据直径所对的圆周角是直角，得∠ADC=90°，即AD为BC边上的高.故答案为：①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②直径所对的圆周角是直角；③两点确定一条直线.【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图时在五种基本作图的基础上你进行作图，一般是几何了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.【举一反三】（2017浙江衢州第7题）下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（）A．①B．②C．③D．④【答案】C.考点：基本作图.考点典例三、画三角形【例4】（2017江苏无锡第24题）如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：（1）作△ABC的外心O；（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F，点H分别在边BC和AC上．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析.【解析】试题分析：（1）根据垂直平分线的作法作出AB，AC的垂直平分线交于点O即为所求；（2）过D点作DI∥BC交AC于I，分别以D，I为圆心，DI长为半径作圆弧交AB于E，交AC于H，过E点作EF∥AC交BC于F，过H点作HG∥AB交BC于G，六边形DEFGHI即为所求正六边形．试题解析：（1）如图所示：点O即为所求．（2）如图所示：六边形DEFGHI即为所求正六边形．考点：1.作图—复杂作图；2.等边三角形的性质；3.三角形的外接圆与外心．【点睛】(1)作三角形包括：①已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；②已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；③已知三角形的三边，求作三角形；(2)求作三角形的关键是确定三角形的顶点；而求作直角三角形时，一般先作出直角，然后根据条件作出所求的图形．【举一反三】已知：线段a、c和∠β（如图），利用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AB=c，∠A BC=∠β．（不写作法，保留作图痕迹）．【答案】作图见解析.【解析】试题分析：先作∠MBN=∠β，再在∠MBN 的两边上分别截取BC=a ，AB=c ，连接AC 即可．试题解析：考点：作图—基本作图．考点典例四、通过画图确定圆心【例5】（2017浙江嘉兴同学19题）如图，已知ABC ∆，40B ∠=︒．（1）在图中，用尺规作出ABC ∆的内切圆O ，并标出O 与边AB ，BC ，AC 的切点D ，E ，F （保留痕迹，不必写作法）；（2）连接EF ，DF ，求EFD ∠的度数．【答案】（1）作图见解析；（2）70°．【解析】试题分析：（1）直接利用基本作图即可得出结论；（2）利用四边形的性质，三角形的内切圆的性质即可得出结论．试题解析：（1）如图1，⊙O即为所求．（2）如图2，连接OD，OE，∴OD⊥AB，OE⊥BC，∴∠ODB=∠OEB=90°，∵∠B=40°，∴∠DOE=140°，∴∠EFD=70°．考点：1.作图—复杂作图；2.三角形的内切圆与内心．【点睛】本题考查了复杂的尺规作图，角平分线，线段中垂线及圆，解题的关键是找准圆周心作出圆．【举一反三】(浙江省杭州市余杭区2017届九年级上学期期中)如图，（1）作△ABC的外接⊙O（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若AB=6cm，AC=BC=5cm，求⊙O的半径．【答案】（1）（1）作图见解析；（2）258 【解析】试题分析：（1）作线段AB 于BC 的垂直平分线相交于点O ，则点O 即为圆心，OA 为半径，作△ABC 的外接圆即可；（2）先根据勾股定理求出CD 的长，设OC=OA=r ，则OD=CD-r ，在Rt △AOD 中，利用勾股定理求出r 的值即可．试题解析：（1）如图，⊙O 即为所求；（2）∵AB=6cm ，AC=BC=5cm ，∴AD=12AB=3cm ， ∴CD=2222=53AC AD --=4cm ．设OC=OA=r ，则OD=4-r ，在Rt △AOD 中，∵AD 2+OD 2=OA 2，即32+（4-r ）2=r 2，解得r=258． 课时作业☆能力提升1．（2017广西四市）如图，△ABC 中，AB ＞AC ，∠CAD 为△ABC 的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是（ ）A ．∠DAE=∠B B ．∠EAC=∠C C ．AE ∥BCD ．∠DAE=∠EAC【答案】D ．【解析】试题分析：根据图中尺规作图的痕迹，可得∠DAE=∠B ，故A 选项正确，∴AE ∥BC ，故C 选项正确，∴∠EAC=∠C ，故B 选项正确，∵AB ＞AC ，∴∠C ＞∠B ，∴∠CAE ＞∠DAE ，故D 选项错误，故选D ．考点：作图—复杂作图；平行线的判定与性质；三角形的外角性质．2．（2016-2017学年江苏盐城东台市第二教育联盟初二上10月考）用尺规作图，不能作出唯一直角三角形的是（）.A．已知两条直角边 B．已知两个锐角C．已知一直角边和直角边所对的一锐角 D．已知斜边和一直角边【答案】B．考点：作图——复杂作图．3．（河南省驻马店市确山县2017-2018学年八年级上学期期中）如图，已知钝角∆ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；步骤3：连接AD，交BC延长线于点H.下列叙述正确的是（）A. AC平分∠BADB. BH垂直平分线段ADC.D. AB=AD【答案】B【解析】解：①、错误．CA不一定平分∠BAD．②、正确．如图连接CD、BD．∵CA=CD，BA=BD，∴点C、点B在线段AD的垂直平分线上，∴直线BC是线段AD的垂直平分线，故A正确．③、错误．应该是S△ABC=•BC•AH．④、错误．根据条件AB不一定等于AD．故选B．点睛：本题考查作图﹣基本作图、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握证明线段垂直平分线的证明方法．4．（福建省晋江市2017年初中学业质量检查）已知点A，点B都在直线l的上方，试用尺规作图在直线l上 的值最小，则下列作法正确的是( ).求作一点P，使得PA PBA. B. C. D.【答案】D 【解析】如图，由作图可知，B ，B ＇关于直线对称，所以BP= B ＇P,此时AP +PB ＇=AP+PB 值最小.5．（2017湖北随州）如图，用尺规作图作∠AOC =∠AOB 的第一步是以点O 为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA 、OB 于点E 、F ，那么第二步的作图痕迹②的作法是（ ）A. 以点F 为圆心，OE 长为半径画弧B. 以点F 为圆心，EF 长为半径画弧C. 以点E 为圆心，OE 长为半径画弧D. 以点E 为圆心，EF 长为半径画弧【答案】D【解析】解：用尺规作图作∠AOC =∠AOB 的第一步是以点O 为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA 、OB 于点E 、F ，第二步的作图痕迹②的作法是以点E 为圆心，EF 长为半径画弧．故选D ．6．（浙江省温州市鹿城区第二十三中学2017学年H 上八年级期中）如图，用尺规作图作“一个角等于已知角”的原理是：因为D O C DOC ∆≅∆''',所以D O C DOC ∠=∠'''.由这种作图方法得到的D O C ∆'''和DOC ∆全等的依据是（ ）A. SSSB. SASC. ASAD. AAS【答案】A【解析】根据作图方法可知：D' O' =DO ， O' C'=OC ，D'C'=DC ，根据SSS 即可得D O C DOC ∆≅∆'''，故选A.7．（2017届浙江省杭州市淳安县中考模拟）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎期中，连当年叱咤风云的拿破仑也不例外，我们可以只用圆规将圆等分。