2019-2020学年湖北省黄冈中学、华师附中等八校高三(上)第一次联考数学试卷2 (含答案解析)

2019-2020学年湖北省黄冈中学、华师附中等八校高三（上）第一次联考数学试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={x|0<x 2≤4}，B ={x|x >−1}，则A ∩B =( )A. (−1,2]B. (−1,0)∪(0,2]C. [−2,+∞)D. (−1,0)∪(0,2)2. 已知为虚数单位，若复数1+mi 1−i是纯虚数，则实数m =( )A. −1B. 0C. 1D. 0或13. 已知，则( )A. a <b <cB. a <c <bC. c <a <bD. b <c <a4. 已知，则f(−π3)=( )A. −12 B. 12 C. −√32 D. −√335. 已知等差数列{a n }的公差为5，前n 项和为S n ，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 6=( )A. 80B. 85C. 90D. 956. 下列有关命题的说法中，正确的是( )A. ∃x 0∈R ，使得3x 0≤0B. “x =π6”是“cosx =√32”的必要不充分条件 C. ∀x ∈R +，lgx >0D. “x =1”是“x ≥1”的充分不必要条件7. 不等式组{x +2y −2⩾02x −y +1>0，表示的平面区域为( )A. B.C. D.8.设向量m⃗⃗⃗ =(2x−1,3)，向量n⃗=(1,−1)，若m⃗⃗⃗ ⊥n⃗，则实数x的值为()A. −1B. 1C. 2D. 39.已知函数f(x)=4x−3ln|x|，则f(x)的图象大致为()A. B.C. D.10.定义在(−1,1)上的函数f(x)=1+x−x22+x33−⋯−x20162016，设F(x)=f(x+4)，且F(x)的零点均在区间(a,b)内，其中a，b∈z，a<b，则圆x2+y2=b−a的面积的最小值为()A. πB. 2πC. 3πD. 4π11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)，满足f(x1)=−1，f(x2)=0，且|x1−x2|的最小值为π4，则ω=()A. 12B. 1 C. 32D. 212.已知函数f(x)=|2x+1|+|2x−3|，若关于x的不等式f(x)<|a−1|的解集非空，则实数a的取值范围是()A. [−3,5]B. (−3,5)C. (−∞,−3]∪[5,+∞)D. (−∞,−3)∪(5,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(1,−2)，b⃗ =(2,m)，若a⃗⊥b⃗ ，则|b⃗ |=________；14.已知tanx=3，则cos2x+sin2x的值为______．15.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf′(x)−1<0，且f(1)=1，则不等式f(2x−1)>ln(2x−1)+1的解集是______．16.已知等比数列{a n}为递增数列．若a1>0，且2(a n+a n+2)=5a n+1，则数列{a n}的公比q=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在△ABC中，AB=8，A=60°，点D在AC上，CD=2，cos∠BDC=1，求BD，BC．718.如图，在四棱锥P−ABCD中，E是PC的中点，底面ABCD为矩形，AB=4，AD=2，PA=PD，且平面PAD⊥平面ABCD，平面ABE与棱PD交于点F．(1)求证：EF//平面PAB；(2)若PB与平面ABCD所成角的正弦值为2√21，求二面角P−AE−B的余弦值．2119. 为响应国家节能减排的号召，某汽车制造企业计划在2019年引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x(百辆)，需另投入成本C(x)万元，且C(x)={10x 2+200x,0<x <40,601x +10000x−4500,x ≥40,该企业确定每辆新能源汽车售价为6万元，并且全年内生产的汽车当年能全部销售完．(1)求2019年的利润L(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式L(x)(其中利润=销售额−成本)； (2)2019年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求最大利润．20. 定长为3的线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴，y 轴上滑动，动点P 满足．(1)求点P 的轨迹曲线C 的方程；(2)若过点(1,0)的直线与曲线C 交于M ，N 两点，求OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值．21. 已知函数f(x)=a ⋅e −x +sinx ，a ∈R ，e 为自然对数的底数．(1)当a =1时，证明：∀x ∈(−∞,0],f(x)≥1；(2)若函数f(x)在(0,π2)上存在两个极值点，求实数a 的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度建的直线过定点P(4,2)，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．立极坐标系，若倾斜角为π3(1)写出曲线C的直角坐标方程；(2)若曲线C与直线相交于不同两点M，N，求|PM|+|PN|的值．23.已知函数f(x)=|x−2|+|2x+a|，a∈R．(Ⅰ)当a=1时，解不等式f(x)≥5；(Ⅱ)若存在x0满足f(x0)+|x0−2|<3，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：A={x|−2≤x≤2，且x≠0}；∴A∩B=(−1,0)∪(0,2]．故选：B．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：C解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解．【解答】解：∵1+mi1−i =(1+mi)(1+i)(1−i)(1+i)=1−m2+1+m2i是纯虚数，∴{1−m=01+m≠0，解得m=1．故选：C．3.答案：B解析：【分析】本题考查了利用指数函数、对数函数的性质比较大小，属于基础题．根据指数函数、对数函数的性质将a、b、c分别与0、1比较，即可确定大小．【解答】解：因为，b=20.2>20=1，0<c=0.20.3<0.20=1，所以a<c<b．故选B．4.答案：B解析：【分析】本题考查分段函数的函数值的求法，属基础题．【解答】解：因为−√2≤−π3≤−1，所以，故选B．5.答案：C解析：解：等差数列{a n}的公差为5，且a1，a2，a5成等比数列，可得a22=a5⋅a1，(a1+5)2=a1(a1+20)，解得a1=52，前6项和为S6=6×52+6×52×5=90．故选：C．利用等比数列的关系式，求出等差数列的首项，然后求解数列的和即可．本题考查等差数列以及等比数列的应用，考查计算能力．6.答案：D解析：解：A.∵∀x∈R，3x>0，∴∃x0∈R，使得3x0≤0错误，故A错误，B.当x=π6时，cosx=√32，反之不成立，即“x=π6”是“cosx=√32”的充分不必要条件，故B错误，C.当0<x<1时，lgx<0，故∀x∈R+，lgx>0错误，故C错误，D.“x=1”是“x≥1”的充分不必要条件，正确，故选：DA.根据特称命题的定义进行判断B.根据充分条件和必要条件的定义进行判断，C.根据全称命题的定义进行判断，D.根据充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．7.答案：A解析：【分析】本题考查了简单的线性规划>二元一次不等式(组)与平面区域，属于基础题．【解答】解：∵x +2y −2≥0的斜率为−12<0，2x −y +1>0的斜率为2>0，根据题意不等式组{x +2y −2⩾02x −y +1>0表示的平面区域为直线x +2y −2≥0上，直线2x −y +1>0下的共同区域，分析选项可得A 符合题意， 故选A ．8.答案：C解析： 【分析】本题考查了向量垂直的条件和数量积，考查学生的计算能力，属于基础题． 解析：解：∵向量m⃗⃗⃗ =(2x −1,3)，向量n ⃗ =(1,−1)，且m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ， ∴m ⋅n ⃗ =(2x −1,3)⋅(1,−1)=2x −1−3=0， 解得x =2， 故选C ．9.答案：A解析：此题考察分段函数，函数图像，导数在研究函数单调性上的应用 当x >0,f (x )=4x −3lnx ，f′(x)=4−3x =4x−3x，当0<x <34时，f′(x)<0，函数是减函数；当x >34时，f′(x)>0，函数是增函数； 当x <0,f (x )=4x −ln (−x )此时函数递增。

故选A10.答案：A解析：解：由函数f(x)=1+x −x 22+x 33−x 44+⋯−x 20162016的导数为f′(x)=1−x +x 2−x 3+⋯−x 2015=1−(−x)20161+x，∵−1<x <1，∴1+x >0，0≤x 2016<1，则1−x 2016>0， ∴f′(x)=1−(−x)20161+x=1−x 20161+x>0，可得f(x)在(−1,1)上递增，∵f(−1)=(1−1)+(−12−13−⋯−12015−12016<0,f(0)=1>0∴函数f(x)在(−1,1)上有唯一零点x 0∈(−1,0)∵F(x)=f(x +4)，得函数F(x)的零点是x 0−4∈(−5,−4)， ∵F(x)的零点均在区间(a,b)内，∴a ≤−5且b ≥−4，得b −a 的最小值为−4−(−5)=1 ∵圆x 2+y 2=b −a 的圆心为原点，半径r =√b −a ∴圆x 2+y 2=b −a 的面积的最小值是π． 故选：A求出函数的导数，判断函数的单调性，利用函数零点的判断定理判断函数的零点，利用函数的周期关系判断，函数F(x)的零点，求出a ，b 的关系，即可得到结论．本题主要考查函数零点的判断和应用，求出函数的导数，判断函数的单调性，以及利用函数零点的性质判断函数的零点所在的区间是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．11.答案：D解析：【分析】本题考查正弦、余弦函数的图象与性质，属于基础题． 根据已知可得|x 1−x 2|的最小值为四分之一最小正周期，即可求出结果． 【解答】解：因为函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0)， 满足f(x 1)=−1，f(x 2)=0，所以|x 1−x 2|的最小值为四分之一最小正周期， 所以T =π4×4=π，所以ω=2ππ=2．故选D ．12.答案：D解析： 【分析】本题考查绝对值的几何意义的应用，考查计算能力．利用绝对值不等式的几何意义，求出最小值，然后求解实数a 的取值范围． 【解答】解：根据绝对值的几何意义可得，函数f(x)=|2x +1|+|2x −3|表示数轴上的x 对应点到−12和32对应点的距离之和的两倍， 故函数f(x)的最小值为4，又关于x 的不等式f(x)<|a −1|的解集非空， 则有4<|a −1|，由绝对值的几何意义可得，a −1>4或a −1<−4， 解不等式可得：a <−3或a >5， 故选：D ．13.答案：√5解析：【分析】本题主要考查了斜率的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力．【解答】解：由题意得：a⃗⋅b⃗ =0，∴m=1，|b⃗ |=√22+12=√5．故答案为√5．14.答案：110解析：【分析】本题考查了同角三角函数基本关系式和二倍角公式，属于基础题．利用二倍角以及同角三角函数基本关系式进行求解即可．【解答】解：．故答案为：1．10,1)15.答案：(12解析：解：令g(x)=f(x)−lnx，，则g′(x)=f′(x)−1x∵xf′(x)−1<0，∴f′(x)<1，x∴g′(x)<0，故g(x)在(0,+∞)递减，而g(1)=f(1)=1，由f(2x−1)>ln(2x−1)+1，得g(2x−1)>g(1)，故0<2x−1<1，解得：12<x<1，故答案为：(12,1)．令g(x)=f(x)−lnx，求出函数的单调性，结合g(1)=f(1)，将f(2x−1)>ln(2x−1)+1，转化为g(2x−1)>g(1)，求出x的范围即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．16.答案：2解析：解：∵{a n}为递增数列且a1>0∴q>1∵2(a n+a n+2)=5a n+1，∴2(a n+a n q2)=5a n q∴2+2q2=5q∴q=2故答案为：2由{a n}为递增数列且a1>0可知q>1，由已知可得2(a n+a n q2)=5a n q，可求q本题主要考查了等比数列的单调性及等比数列通项公式的应用，属于基础试题17.答案：(本题满分为10分)解：在△ABC中，∵cos∠BDC=17，∴sin∠BDC=4√37，…2分∴sin∠ADB=sin(π−∠BDC)=sin∠BDC=4√37，∴由正弦定理BDsinA =ABsin∠ADB，可得：BD=AB⋅sinAsin∠ADB=8sin60°sin∠ADB=7，…5分∴由余弦定理可得：BC2=BD2+CD2−2BD⋅CD⋅cos∠BDC=49+4−2×7×2×17=49，∴BC=7…10分解析：由已知及同角三角函数基本关系式可求sin∠BDC，利用诱导公式可求sin∠ADB，利用正弦定理可求BD，进而利用余弦定理即可解得BC的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.答案：解：(1)矩形ABCD中，AB//CD，∵AB⊄面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB//平面PCD，……………(2分)又AB ⊄平面ABE ， 平面PCD ∩平面ABE =EF ， ∴AB//EF ，……………(4分) ∵EF ⊄面PAB ，AB ⊂平面PAB ， ∴EF//平面PAB.……………(6分) (2)取AD 中点O ，连结OP ，∵在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB =4，AD =2，PA =PD ，且平面PAD ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥底面ABCD ，连接OB ，则OB 为PB 在平面ABCD 内的射影， ∴∠PBO 为PB 与平面ABCD 所成角，根据题意知sin∠PBO =2√2121， ∴tan∠PBO =2√1717，由题OB =√17，∴PO =2 ……………(7分)取BC 中点G ，连接OG ，以O 为坐标原点，OA 为x 轴，在平面ABCD 中，过O 作AB 的平行线为y 轴，以OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，B(1,4，0)，设P(0,0，2)，C =(−1,4，0)，E(−12,2，1)PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−2)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,2,1) 设平面PAE 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)， 于是{n ⃗ ⋅PA⃗⃗⃗⃗⃗ =x −2z =0n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32x +2y +z =0， 令x =2，则y =1，z =1∴平面PAE 的一个法向量n ⃗ =(2,1，1)，……………(8分) 同理平面ABE 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(2,0，3)，……………(9分) ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=√6×√13=7√7878……………(11分) 可知二面角P −AE −B 为钝二面角所以二面角P −AE −B 的余弦值为−7√7878. ……………(12分)解析：(1)利用AB//平面PCD ，可得AB//EF ，即可证明(2)取AD 中点O ，连结OP ，以O 为原点，OA 为x 轴，在平面ABCD 中，过O 作AB 的平行线为y 轴，以OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P −AE −B 的余弦值． 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，是中档题．19.答案：解：(1)当0<x <40时，L(x)=600x −10x 2−200x −2500=−10x 2+400x −2500， 当x ≥40时，L(x)=600x −601x −10000x−4500−2500=2000−(x +10000x).∴L(x)={−10x 2+400x −2500,0<x <402000−(x +10000x),x ≥40． (2)当0<x <40时，L(x)=−10(x −20)2+1500， ∴当x =20时，L(x)取得最大值1500； 当x ≥40时，L(x)=2000−(x +10000x)≤2000−2√x ⋅10000x=1800，当且仅当x =10000x即x =100时取等号．∴当x =100时，L(x)取得最大值1800．即2019年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为1800万元．解析：(1)讨论x 的范围，得出L(x)的解析式；(2)分别求出L(x)在(0,40)和(40,+∞)上的最大值即可得出结论． 本题考查了函数解析式的求解，分段函数最值的计算，属于中档题．20.答案：解：(1)设A(x 0,0)，B(0,y 0)，P(x,y)，由BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗ ，得(x,y −y 0)=2(x 0−x,−y) 即，即：{x 0=32xy 0=3y,又因为定长为3的线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴，y 轴上滑动，x 02+y 02=9，所以(32x)2+(3y)2=9， 化简得：x 24+y 2=1，这就是点P 的轨迹方程．(2)当过点(1,0)的直线为y =0时，，当过点(1,0)的直线不为y =0时，可设为x =ty +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立{x 24+y 2=1x =ty +1，化简得：(t 2+4)y 2+2ty −3=0，由韦达定理得：y 1+y 2=−2t t 2+4，y 1y 2=−3t 2+4，． 又由恒成立，得t ∈R ，对于上式，当t =0时，(OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗ )max =14， 综上所述OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为14.解析：本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系以及平面向量的数量积，函数的最值． (1)设A(x 0,0)，B(0,y 0)，P(x,y)，由BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗ ，由代入法求出点P 的轨迹方程即可； (2)当过点(1,0)的直线为y =0时，OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0)⋅(−2,0)=−4， 当过点(1,0)的直线不为y =0时，可设为x =ty +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立{x 24+y 2=1x =ty +1，化简得：(t 2+4)y 2+2ty −3=0，再由数量积公式得到关于t 的函数，求出最大值．21.答案：解：(1)当a =1时，f(x)=e −x +sinx ，f ′(x)=−e −x +cosx ，当x ≤0时，−e −x ≤−1，则f ′(x)≤0 (x ≤0)， 所以f(x)在(−∞,0]上单调递减，f(x)≥f(0)=1； 所以∀x ∈(−∞,0]，f(x)≥1；(2)函数f(x)在(0,π2)上存在两个极值点； 则f ′(x)=0在(0,π2)上有两个不等实数根；即f ′(x)=−ae −x +cosx =0在(0,π2)上有两个不等实数根； 即a =e x cosx 在(0,π2)上有两个不等实数根； 设g(x)=e x cosx ，则g ′(x)=e x (cosx −sinx)； 当0<x <π4 时，g ′(x)>0，g(x)单调递增； 当π4<x <π2时，g ′(x)<0，g(x)单调递减； 又g(0)=1，g(π4)=√22e π4，g(π2)=0；故实数a 的取值范围为：1<a <√22e π4解析：本题考查不等式证明，利用导数研究函数的单调性和极值，根据函数极值个数求参数的范围，函数零点问题，考查分离参数法，属于难题．(1)求出f ′(x)=−e −x +cosx ，得出f ′(x)≤0，则f(x)在(−∞,0]上单调递减，结论可证． (2)函数f(x)在(0,π2)上存在两个极值点；则f ′(x)=0在(0,π2)上有两个不等实数根，分离参数得a =e x cosx 在(0,π2)上有两个不等实数根；设g(x)=e x cosx ，讨论函数g(x)的单调性即可解决；22.答案：解：(1)由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，将{ρ2=x 2+y 2x =ρcosθ代入上式中，整理得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4x =0． (2)易得倾斜角为π3且过定点P(4,2)的直线的参数方程为{x =4+12t y =2+√32t(t 为参数)，将其代入曲线C 的直角坐标方程得，t 2+2(√3+1)t +4=0，设M ，N 对应的参数为t 1，t 2，则t 1t 2=4>0，t 1+t 2=−2(√3+1)<0， 则t 1<0，t 2<0，所以|PM|+|PN|=|t 1+t 2|=2√3+2．解析：本题考查了极坐标系和直线的参数方程．(1)利用极坐标与直角坐标的互化得曲线C 的直角坐标方程． (2)利用直线的参数方程中参数t 的几何意义计算得结论．23.答案：解：(Ⅰ)当a =1时，f(x)=|x −2|+|2x +1|，．由f(x)≥5得x −2|+|2x +1|≥5．当x ≥2时，不等式等价于x −2+2x +1≥5，解得x ≥2，所以x ≥2； …(1分)当−12<x <2时，不等式等价于2−x +2x +1≥5，即x ≥2，所以此时不等式无解；…(2分) 当x ≤−12时，不等式等价于2−x −2x −1≥5，解得x ≤−43，所以x ≤−43.…(3分) 所以原不等式的解集为(−∞,−43]∪[2,+∞).…(5分)(Ⅱ)f(x)+|x −2|=2|x −2|+|2x +a|=|2x −4|+|2x +a|≥|2x +a −(2x −4)|=|a +4|…(7分)因为原命题等价于(f(x)+|x −2|)min <3，…(9分)所以|a +4|<3，所以−7<a <−1为所求实数a 的取值范围．…(10分)解析：(Ⅰ)当a =1时，根据绝对值不等式的解法即可解不等式f(x)≥5；(Ⅱ)求出f(x)+|x −2|的最小值，根据不等式的关系转化为(f(x)+|x −2|)min <3即可求a 的取值范围．本题主要考查不等式的求解，根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论的数学思想进行讨论是解决本题的关键．。