单搭接胶接接头弹性应力的二维分析方法_赵波

纵向位移 u1
u1
=
u1l
−
dv1l dx
t(ρ1
−1)
−
t3 E
d2τ3u dx2
⎛ ⎜ ⎝
ρ14 12
−
ρ15 20
−
ρ1 12
+
1 20
⎞ ⎟ ⎠
−
t2 E
dσ3uy dx
⎛ ⎜ ⎝
ρ14 4
−
ρ15 10
−
ρ1 2
+
7 20
⎞ ⎟ ⎠
+
( ) τ3ut
⎡⎛ ⎢⎣⎜⎝
1 G
−
μ E
⎞ ⎟⎠
ρ13 − ρ12
M0 Q0 F
x = l : M2 = −M0, Q2 = Q0, f2 = F,
t2
M1 = M3 = Q1 = Q3 = f1 = f3 = τ3 = 0 ×××××××××××××××(2b) ×
假定被粘物和胶层纵向正应力σ ix (i=1, 2, 3)
l
l
E1 G1 G3
E2 G2
x
图 2(a) 搭接区总体受力分析
式 (7a)可得纵向正应力表达式，代入上式后消去位
移导数项，并进行简单代数处理，引入微分算子
D = d( ) ，并定义 dx
⎧⎪τ a
=
(τ
u 3
+
τ
l 3
(τ
u 3
−τ
l 3
)
/
2
⎨⎪⎩σ a
=
(σ
u 3y
+
σ
l 3
y
)
/
2,
σb
=
(σ
u 3y
−
σ
l 3
y
)
/
2
有
⎧⎪(α1D3 − α2D)τ a + (D2 + α4 )σ b
＝G； μ1＝μ2＝μ； t1＝t2＝t。Q0 和 M 0 是作用在
搭接区端头处的剪力和弯矩(其数值用 G-R 解中的 方法确定)，如图 2(a)。
由微元纵向受力、横向受力、弯矩平衡方程有
⎧ df1
⎪ ⎪
dx
+
τ
u 3
=
0,
df2 dx
−τ
l 3
=
0,
df3 dx
+
(τ
l 3
−τ
u 3
)
=
0
÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷(1a)
中图分类号：TG498
文献标识码：A
1引言
现代胶接理论始于 Goland 和 Reissner 的一维梁 模型(以下称 G-R 解) [3]。六十多年来，许多学者不 断对该理论解加以改进 [5-16]。与 G-R 解一样，这些
胶接优点众多，但目前仅用于汽车车身后围等 非主承力件，强度要求高的部位几乎不能使用纯胶 接连接[1]。原因之一是目前对胶接接头强度等性能 认识还不够深入，即使最简单的单搭接接头，其胶 层应力分布也极其复杂；另一原因是接头强度分散 性相对较大，载荷主要是靠搭接区边缘两个极窄的 胶层区域进行传递。准确预测胶接接头的应力分布， 对评价胶接接头强度和失效至关重要，直接影响胶 接工艺在主承力件上的应用。影响胶层应力分布的 重要因素有五个：一是弹性被粘物的剪滞效应；二 是加载作用线偏心引起的弯曲效应；三是胶层边缘 附近的端头效应，即搭接区端头附近存在最大应力[2]； 四是载荷较大时导致搭接区发生转动大变形，即几 何非线性效应[3-4]；五是胶层的材料非线性效应[5]。
f2 + df2
Q2 + dQ2
y2
图 2(b) 微元受力分析
图 2 搭接区结构及其微元受力图
610
应用力学学报
第 26 卷
式(3)代入式(4)，考虑式(1)、式(2)、界面应力 连续性条件，分别沿 y1、y2、y3 方向积分，最后得 到被粘物/胶层剪应力
⎧⎪τ1
⎪τ ⎨⎪τ
2 3
=
τ
u 3
(3ρ12
=
τ
l 3
(3ρ22
=
τ
u 3
(3ρ32
− − −
2ρ1) − 6Q1 t1 (ρ12
4ρ2 +1) − 6Q2 t2
4ρ3
+ 1)
+
τ
l 3
(3ρ32
− ρ1)
(
ρ
2 2
−
− 2ρ3
ρ2 ) )−
(5)
⎪ ⎩
6Q3 t3 (ρ32 − ρ3 )
与被粘物/胶层横向正应力(剥离正应力)
( ) ( ) ⎧⎪σ1y
⎪
=
dτ
u 3
dx
t
−ρ13 + ρ12
+
σ
u 3y
−2ρ13 + 3ρ12
( ) ( ) ⎪⎪σ2y
⎨
=
dτ
l 3
dx
t
−ρ23 + 2ρ22 − ρ2
+
σ
l 3
y
2ρ23 − 3ρ22 +1
(6)
( ) ( ) ⎪
⎪σ 3y ⎪
=
dτ
u 3
dx
t3
−ρ33 + 2ρ32 − ρ3
+
dτ
l 3
dx
t3 t1
F Q0 M0
沿其厚度方向(y1、y2、y3)线性变化
σix = fi/t + 6Mi (2ρi −1) / t2 , (i = 1, 2,3) (3)
其中
ρi = yi ti , 0 ≤ ρi ≤ 1 , (i = 1, 2, 3)
被粘物和胶层的各应力分量应满足二维弹性 理论的平衡方程
∂σ ix + ∂τ i = 0, ∂σ iy + ∂τ i = 0 , (i = 1, 2, 3)
横向位移。写出正应力和剪应力完整的本构方程
⎧⎪σ ix ⎨
=
Ei
∂ui ∂x
+
μiσ iy ,
σ iy
=
Ei
∂vi ∂yi
+
μiσ ix
÷
⎩⎪γ i = τ i Gi ,
(i = 1, 2, 3)
(7a) (7b)
2.3 完整的几何方程和严格协调的位移函数
由式(3)、式(6) 、式(7)上被粘物横向位移 v1 可 根据下面得位移连续性条件由积分得到
胶层上、下表面横向位移 v3u 和 v3l 各自独立表示的
同理可得下被粘物和胶层的纵向位移 u2 和 u3。 2.4 建立控制微分方程
被粘物和胶层纵向正应力满足以下定义[7，9]：
∫ ∫ fi =
1σ
0
ixti
dρi
,
Mi
=
1σ
0
ix
(
ρi
−
1 2
)ti2dρi
,
(i = 1, 2,3)
(11)
被粘物/胶层纵向位移表达式及式(6)代到
∫ ( ) v1 = v1u +
ρ1 1 0E
σ1y − μσ1x
tdρ1
=
v1l
+
t2 E
d
τ
u 3
dx
⎛ ⎜
−
⎝
ρ14 4
+
ρ13 3
−
1 12
⎞ ⎟ ⎠
+
σ
u 3y
t
E
⎛ ⎜
−
⎝
ρ14 2
+
ρ13
−
1 2
⎞ ⎟ ⎠
−
( ) μ
E
⎡ ⎢⎣
f1
( ρ1
−1) +
6M1 t
ρ12 − ρ1
⎤ ⎥⎦
(8)
改进解依然存在着假设前后不一致、模型简化过多 等问题。本文试图对当前胶接接头解析解存在的一 些不足，即只能对特定范围内被粘物/胶层材料和几 何组合求解，不能严格满足所有边界条件，不能考 虑应力沿胶层厚度变化等方面，提出一种分析胶层 二维弹性应力的一般方法。该方法以单搭接接头为 对象，用完整的几何方程和本构方程，不但考虑了 被粘物和胶层的拉伸、弯曲、剪切、撕扯效应，还 考虑了胶层剪应力和剥离正应力沿胶层厚度变化， 而且严格满足包括搭接区端头胶层剪应力为零的所 有边界条件。该方法适用于被粘物/胶层几何和材料 属性的任意组合。通过与以往解析解和有限元分析 结果对比，表明本文的解析解有很好的精度和较广 的适用范围。
第 26 卷 第 3 期
应用力学学报
2009 年 9 月
CHINESE JOURNAL OF APPLIED MECHANICS
文章编号：1000-4939（2009）03-0608-06
Vol.26 No.3 Sep.2009
单搭接胶接接头弹性应力的二维分析方法
赵 波 吕振华
(清华大学 100084 北京)
+
μ E
(ρ1
−1)⎤⎥⎦
−
( ) Q1
⎛ ⎜⎝
1 G
−
μ E
⎞ ⎟⎠
2ρ13 −3ρ12 +1
(10)
从式(5)和(6)可知，被粘物和胶层剪应力沿厚度
呈平方分布，剥离正应力呈立方分布。
2.2 完整的本构方程
以平面应力状态为例，设 εi、γi、ui、vi (i=1, 2, 3) 分别为相应三个对象的正应变、剪应变、纵向位移、
− Q3
+
(τ
u 3
+
τ
l 3