第三高考数学一轮复习 二次函数幂函数教案
第03讲 幂函数与二次函数(课件)-2024年高考数学一轮复习
=
−
<
（2）方程有两个不等负根 , ⇔
= >
（3）方程有一正根和一负根，设两根为 , ⇔ = <
常用结论
3、有关二次函数的问题，关键是利用图像.
（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类
问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个
一般地，函数______叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
(0,0)
(1,1)
②当α>0时，幂函数的图象都过点_____和_____，且在(0，＋∞)上单调
递增；
(1,1)
③当α<0时，幂函数的图象都过点_____，且在(0，＋∞)上单调递减；
1
，即
或
(−1) > 0
> −3
(1) > 0
<1
1
D． − , 0 ⋃(1, +∞)
3
>1
−1 < < 1
1
，
> −3
<1
1
解得− 3 < < 0，
故选：C
题型三：二次方程 2 + + = 0 ≠ 0 的实根分布及条件
【对点训练5】（2023·全国·高三专题练习）方程 2 + ( − 2) + 5 − = 0的一根在区间(2,3)内，另一根在区间(3,4)
以2 − 2 − 2 = 1，解得 = 3或 = −1，又因为()
2023年高中数学幂函数教学教案(7篇)
2023高中数学幂函数教学教案（7篇）高中数学必修1《幂函数》教案篇一1、教学目标学问目标：（1）把握幂函数的形式特征，把握详细幂函数的图象和性质。
（2）能应用幂函数的图象和性质解决有关简洁问题。
力量目标：培育学生发觉问题，分析问题，解决问题的力量。
情感目标：（1）加深学生对讨论函数性质的根本方法和流程的阅历。
（2）渗透辨证唯物主义观点和方法论，培育学生运用详细问题详细分析的方法分析问题、解决问题的力量。
2、教学重点：从详细函数归纳熟悉幂函数的一些性质并简洁应用。
教学难点：引导学生概括出幂函数的性质。
3、教学方法和教学手段：探究发觉法和多媒体教学4、教学过程：问题情境问题1写出以下y关于x的函数解析式：①正方形边长x、面积y②正方体棱长x、体积y③正方形面积x、边长y④某人骑车x秒内匀速前进了1m，骑车速度为y⑤一物体位移y与位移时间x，速度1m/s问题2是否为指数函数？上述函数解析式有什么共同特征？（教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳，）板书课题并归纳幂函数的定义。
（二）新课讲解幂函数的定义：一般地，我们把形如的函数称为幂函数（powerfunction），其中是自变量，是常数。
为了加深对定义的理解，请同学们判别以下函数中有几个幂函数？①y=②y=2x2我们了解了幂函数的概念以后我们一起来讨论幂函数的性质。
问题3幂函数具有哪些性质？用什么方法讨论这些性质的呢？我们请同学们回忆一下在前面学习指数函数、对数函数我们一起讨论了哪些性质呢？（学生争论，教师引导）（引发学生作图讨论函数性质的兴趣。
函数单调性的推断，既可以使用定义，也可以通过图象解决，直观，易理解。
）在初中我们已经学习了幂函数的图象和性质，请同学们在同一坐标系中画出它们的图象。
依据你的学习经受，你能在同一坐标系内画出函数的图象吗？（学生作图，教师巡察。
将学生作图用实物投影仪演示，指出优点和错误之处。
教师利用几何画板演示，通过超级链接几何画板演示。
高考数学一轮复习教学案二次函数与幂函数(含解析)
第六节二次函数与幂函数[知识能否忆起]一、常用幂函数的图象与性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1图象定义域R R R{x|x≥0}{x|x≠0} 值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0]减(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)减公共点(1,1)二、二次函数1．二次函数的定义形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．2．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．3．二次函数的图象和性质a>0a<0 图象图象特点①对称轴：x＝－b2a；②顶点：⎝⎛⎭⎫－b2a，4ac－b24a性质定义域 x ∈R值域y ∈⎣⎡4ac －b 24a ，＋∞y ∈⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a 奇偶性b ＝0时为偶函数，b ≠0时既非奇函数也非偶函数单调性x ∈－∞，⎦⎤－b 2a 时递减，x ∈－b2a，＋∞时递增x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 时递增，x ∈⎣⎡⎭⎫－b 2a ，＋∞时递减[小题能否全取]1．若f (x )既是幂函数又是二次函数，则f (x )可以是( ) A ．f (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝5x 2 C ．f (x )＝－x 2D ．f (x )＝x 2解析：选D 形如f (x )＝x α的函数是幂函数，其中α是常数．2．(教材习题改编)设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3解析：选A 在函数y ＝x －1，y ＝x ，y ＝x 12，y ＝x 3中，只有函数y ＝x 和y ＝x 3的定义域是R ，且是奇函数，故α＝1,3.3．(教材习题改编)已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，120B.⎝⎛⎭⎫－∞，－120 C.⎝⎛⎭⎫120，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－120，0 解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－20a <0得a >120.4．(教材习题改编)已知点M ⎝⎛⎭⎫33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的表达式为________．解析：设幂函数的解析式为y ＝x α，则3＝⎝⎛⎭⎫33α，得α＝－2.故y ＝x －2. 答案：y ＝x －25．如果函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b (x ∈[a ，b ])的图象关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的最小值为________．解析：由题意知⎩⎨⎧－a ＋22＝1，a ＋b ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝6.则f (x )＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5≥5. 答案：51.幂函数图象的特点(1)幂函数的图象一定会经过第一象限，一定不会经过第四象限，是否经过第二、三象限，要看函数的奇偶性；(2)幂函数的图象最多只能经过两个象限内；(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． 2．与二次函数有关的不等式恒成立问题 (1)ax 2＋bx ＋c >0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.[注意] 当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况．幂函数的图象与性质典题导入[例1] 已知幂函数f (x )＝(m 2－m －1)x－5m －3在(0，＋∞)上是增函数，则m ＝________.[自主解答] ∵函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3是幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，－5m －3＝－13，函数y ＝x －13在(0，＋∞)上是减函数； 当m ＝－1时，－5m －3＝2，函数y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数． ∴m ＝－1. [答案] －1由题悟法1．幂函数y ＝x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查： (1)α的正负：α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸； 0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．以题试法1．(1)如图给出4个幂函数大致的图象，则图象与函数对应正确的是( )A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D ．①y ＝x 13，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －1解析：选B 由图①知，该图象对应的函数为奇函数且定义域为R ，当x >0时，图象是向下凸的，结合选项知选B.(2)(·淄博模拟)若a <0，则下列不等式成立的是( ) A ．2a >⎝⎛⎭⎫12a>(0.2)aB ．(0.2)a >⎝⎛⎭⎫12a>2aC.⎝⎛⎭⎫12a>(0.2)a>2aD ．2a >(0.2)a >⎝⎛⎭⎫12a解析：选B 若a <0，则幂函数y ＝x a 在(0，＋∞)上是减函数，所以(0.2)a >⎝⎛⎭⎫12a>0.所以(0.2)a >⎝⎛⎭⎫12a>2a .求二次函数的解析式典题导入[例2] 已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且它有最小值－1. (1)求f (x )解析式；(2)若g (x )与f (x )图象关于原点对称，求g (x )解析式． [自主解答] (1)由于f (x )有两个零点0和－2， 所以可设f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)， 这时f (x )＝ax (x ＋2)＝a (x ＋1)2－a ， 由于f (x )有最小值－1，所以必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－a ＝－1，解得a ＝1.因此f (x )的解析式是f (x )＝x (x ＋2)＝x 2＋2x .(2)设点P (x ，y )是函数g (x )图象上任一点，它关于原点对称的点P ′(－x ，－y )必在f (x )图象上，所以－y ＝(－x )2＋2(－x )， 即－y ＝x 2－2x ， y ＝－x 2＋2x ， 故g (x )＝－x 2＋2x .由题悟法求二次函数的解析式常用待定系数法．合理选择解析式的形式，并根据已知条件正确地列出含有待定系数的等式，把问题转化为方程(组)求解是解决此类问题的基本方法．以题试法2．设f (x )是定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤2时，y ＝x ，当x >2时，y ＝f (x )的图象是顶点为P (3,4)，且过点A (2,2)的抛物线的一部分．(1)求函数f (x )在(－∞，－2)上的解析式；(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f (x )的草图； (3)写出函数f (x )的值域．解：(1)设顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的方程为y＝a(x－3)2＋4，将(2,2)代入可得a＝－2，则y＝－2(x－3)2＋4，即x>2时，f(x)＝－2x2＋12x－14.当x<－2时，即－x>2.又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝－2×(－x)2－12x－14，即f(x)＝－2x2－12x－14.所以函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式为f(x)＝－2x2－12x－14.(2)函数f(x)的图象如图，(3)由图象可知，函数f(x)的值域为(－∞，4]．二次函数的图象与性质典题导入[例3]已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数．[自主解答](1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]．所以f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，故f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.故a 的取值范围为(－∞，－6]∪[4，＋∞)．本例条件不变，求当a ＝1时，f (|x |)的单调区间． 解：当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，则f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，故f (|x |)的单调递增区间是(0,6]， 单调递减区间是[－6,0]．由题悟法解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论．(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上二次函数最值问题的求法．以题试法3．(·泰安调研)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，则a 的值为________．解析：f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1， 当a >1时，y max ＝a ；当0≤a ≤1时，y max ＝a 2－a ＋1； 当a ＜0时，y max ＝1－a .根据已知条件⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a ≤1，a 2－a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，1－a ＝2，解得a ＝2或a ＝－1. 答案：2或－1二次函数的综合问题[例4] (·衡水月考)已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝x －1. (1)若存在x ∈R 使f (x )<b ·g (x )，求实数b 的取值范围；(2)设F (x )＝f (x )－mg (x )＋1－m －m 2，且|F (x )|在[0,1]上单调递增，求实数m 的取值范围．[自主解答] (1)∃x ∈R ，f (x )<bg (x )⇒∃x ∈R ， x 2－bx ＋b <0⇒(－b )2－4b >0⇒b <0或b >4. 故b 的取值范围为(－∞，0)∪(4，＋∞)． (2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2， Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4. ①当Δ≤0，即－255≤m ≤255时，则必需⎩⎨⎧m2≤0，－255≤m ≤255⇒－255≤m ≤0.②当Δ>0，即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)．若m2≥1，则x 1≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≥1，F (0)＝1－m 2≤0⇒m ≥2； 若m2≤0，则x 2≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤0，F (0)＝1－m 2≥0⇒－1≤m ≤－255.综上所述，m 的取值范围为[－1,0]∪[2，＋∞)．由题悟法二次函数与二次方程、二次不等式统称“三个二次”，它们之间有着密切的联系，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关“三个二次”的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．4．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)由f (0)＝1，得c ＝1.即f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，则a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， 即2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1， 由－m －1>0得，m <－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．1．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表：x 1 12 f (x )122则不等式f (|x |)≤2的解集是(A ．{x |0<x ≤2} B ．{x |0≤x ≤4} C ．{x |－2≤x ≤2}D ．{x |－4≤x ≤4}解析：选D 由f ⎝⎛⎭⎫12＝22⇒α＝12，即f (x )＝x 12，故f (|x |)≤2⇒|x |12≤2⇒|x |≤4，故其解集为{x |－4≤x ≤4}．2．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )解析：选D ∵a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0， ∴a >0，c <0.∴图象开口向上与y 轴交于负半轴．3．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b B ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a D ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b ) 解析：选C 因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a ，故f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a .4．已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－1)＝f (3)，则( ) A ．f (－3)<c <f ⎝⎛⎭⎫52 B ．f ⎝⎛⎭⎫52<c <f (－3) C ．f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)<cD ．c <f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)解析：选D 由已知可得二次函数图象关于直线x ＝1对称，则f (－3)＝f (5)，c ＝f (0)＝f (2)，二次函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故有f (－3)＝f (5)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (2)＝f (0)＝c .5．设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．[0,2]解析：选D 二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0，f ′(x )＝2a (x －1)≤0，x ∈[0,1]，所以a >0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线x ＝1. 所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2.6．若方程x 2－2mx ＋4＝0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－52B.⎝⎛⎭⎫52，＋∞ C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫－52，＋∞ 解析：选B 设f (x )＝x 2－2mx ＋4，则题设条件等价于f (1)<0，即1－2m ＋4<0，解得m >52. 7．对于函数y ＝x 2，y ＝x 12有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增； ③它们的图象关于直线y ＝x 对称； ④两个函数都是偶函数； ⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)； ⑥两个函数的图象都是抛物线型． 其中正确的有________．解析：从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较． 答案：①②⑤⑥8．(·北京西城二模)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，则实数b ＝________，不等式f (x －1)<x 的解集为________．解析：因为f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，所以b ＝0，则f (x )＝x 2＋1，解不等式(x －1)2＋1<x ，即x 2－3x ＋2<0得1<x <2.答案：0 {x |1<x <2}9．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为________． 解析：由x ≥0，y ≥0，x ＝1－2y ≥0知0≤y ≤12，令t ＝2x ＋3y 2＝3y 2－4y ＋2， 则t ＝3⎝⎛⎭⎫y －232＋23. 在⎣⎡⎦⎤0，12上递减，当y ＝12时，t 取到最小值，t min ＝34.答案：3410．如果幂函数f (x )＝x －12p 2＋p ＋32(p ∈Z)是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．求p的值，并写出相应的函数f (x )的解析式．解：∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴－12p 2＋p ＋32>0，即p 2－2p －3<0.∴－1<p <3.又∵f (x )是偶函数且p ∈Z ， ∴p ＝1，故f (x )＝x 2.11．已知二次函数f (x )的图象过点A (－1,0)、B (3,0)、C (1，－8)． (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在x ∈[0,3]上的最值； (3)求不等式f (x )≥0的解集．解：(1)由题意可设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)， 将C (1，－8)代入得－8＝a (1＋1)(1－3)，得a ＝2. 即f (x )＝2(x ＋1)(x －3)＝2x 2－4x －6. (2)f (x )＝2(x －1)2－8，当x ∈[0,3]时，由二次函数图象知， f (x )min ＝f (1)＝－8，f (x )max ＝f (3)＝0. (3)f (x )≥0的解集为{x |x ≤－1，或x ≥3}．12．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2. (1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－m ·x 在[2,4]上单调，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . 当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝5，f (2)＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. 当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝2，f (2)＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.(2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2. g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2， ∵g (x )在[2,4]上单调，∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4.∴m ≤2或m ≥6.1．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.13 B.12 C.34D ．1解析：选D 当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12， ∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1， ∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.2．(·青岛质检)设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎡⎦⎤－94，－2，故当m ∈⎝⎛⎦⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．答案：⎝⎛⎦⎤－94，－2 3．(·滨州模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R)．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解：(1)由已知得c ＝1，a －b ＋c ＝0，－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2.则f (x )＝(x ＋1)2.则F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0.故F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意得f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x且b ≥－1x－x 在(0,1]上恒成立．又当x ∈(0,1]时，1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2，故－2≤b ≤0.1．比较下列各组中数值的大小． (1)30.8,30.7；(2)0.213,0.233；(3)4.125，3.8－25，(－1.4)35；(4)0.20.5,0.40.3.解：(1)函数y ＝3x 是增函数，故30.8>30.7. (2)y ＝x 3是增函数，故0.213<0.233.(3)4.125>1,0<3.8－25<1，而(－1.4)35<0，故4.125>3.8－25>(－1.4)35.(4)先比较0.20.5与0.20.3，再比较0.20.3与0.40.3，y ＝0.2x 是减函数，故0.20.5<0.20.3；y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是增函数，故0.20.3<0.40.3.则0.20.5<0.40.3.2．设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析：选D 当－b2a <0时，ab >0，从而c >0，可排除A ，C ；当－b2a >0时，ab <0，从而c <0，可排除B ，选D.3．已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋1. (1)试讨论函数f (x )的单调性；(2)若13≤a ≤1，且f (x )在[1,3]上的最大值为M (a )，最小值为N (a )，令g (a )＝M (a )－N (a )，求g (a )的表达式；(3)在(2)的条件下，求证：g (a )≥12.解：(1)当a ＝0时，函数f (x )＝－2x ＋1在(－∞，＋∞)上为减函数； 当a >0时，抛物线f (x )＝ax 2－2x ＋1开口向上，对称轴为x ＝1a ，故函数f (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，1a 上为减函数，在⎣⎡⎭⎫1a ，＋∞上为增函数； 当a <0时，抛物线f (x )＝ax 2－2x ＋1开口向下，对称轴为x ＝1a ，故函数f (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，1a 上为增函数，在⎣⎡⎭⎫1a ，＋∞上为减函数． (2)∵f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －1a 2＋1－1a， 由13≤a ≤1得1≤1a ≤3，∴N (a )＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1－1a . 当1≤1a <2，即12<a ≤1时，M (a )＝f (3)＝9a －5，故g (a )＝9a ＋1a－6；当2≤1a ≤3，即13≤a ≤12时，M (a )＝f (1)＝a －1，故g (a )＝a ＋1a－2.∴g (a )＝⎩⎨⎧a ＋1a－2，a ∈⎣⎡⎦⎤13，12，9a ＋1a －6，a ∈⎝⎛⎦⎤12，1.(3)证明：当a ∈⎣⎡⎦⎤13，12时，g ′(a )＝1－1a 2<0， ∴函数g (a )在⎣⎡⎦⎤13，12上为减函数； 当a ∈⎝⎛⎦⎤12，1时，g ′(a )＝9－1a 2>0， ∴函数g (a )在⎝⎛⎦⎤12，1上为增函数，∴当a ＝12时，g (a )取最小值，g (a )min ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝12. 故g (a )≥12.。
高中数学 高三一轮第二章第4课时 二次函数与幂函数(教案)
1.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式:f(x）＝ax2＋bx ＋c(a≠0）.②顶点式:f（x）＝a(x－m）2＋n(a≠0）。
③零点式：f(x)＝a（x－x1）(x－x2）（a≠0)。
（2)二次函数的图像和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a〉0）f(x)＝ax2＋bx＋c（a<0)图像定义域(－∞，＋∞）（－∞，＋∞)值域错误!错误!单调性在x∈错误!上单调递减；在x∈错误!上单调递增在x∈错误!上单调递增；在x∈错误!上单调递减对称性函数的图像关于x＝－错误!对称（1）定义：形如y＝xα（α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量,α是常数.（2）幂函数的图像比较（3）幂函数的性质①幂函数在（0，＋∞)上都有定义；②幂函数的图像过定点（1,1）；③当α>0时，幂函数的图像都过点(1，1）和（0，0),且在（0，＋∞）上单调递增；④当α〈0时，幂函数的图像都过点(1,1），且在(0，＋∞）上单调递减。
【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×"）（1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b］的最值一定是错误!.( ×）(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数.( ×)（3)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中,a决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.( √）(4)函数y＝2x12是幂函数.（×）(5）如果幂函数的图像与坐标轴相交,则交点一定是原点.( √)(6）当n〈0时，幂函数y＝x n是定义域上的减函数。
（×)1。
已知a，b，c∈R，函数f（x）＝ax2＋bx＋c。
若f （0)＝f（4)>f(1)，则( )A.a>0，4a＋b＝0 B。
a<0，4a＋b＝0C.a>0,2a＋b＝0 D。
a〈0,2a＋b＝0答案A解析因为f（0)＝f（4)〉f（1），所以函数图像应开口向上，即a>0，且其对称轴为x＝2，即－错误!＝2，所以4a＋b＝0，故选A。
二次函数与幂函数一轮复习课件
.
【解析】因为f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方,所以Δ=1-20a<0且a>0,
1
解得a> .
20
答案
解析
关键能力
题型归纳
题型一
二次函数的图象与性质
【例 1】已知函数 f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].
(1)若 y=f(x)在[-4,6]上是单调函数,求实数 a 的取值范围;
(2)当 a=-1 时,求函数 f(|x|)的单调区间.
有助于把握数学问题的本质,发现解题思路,并且能躲开复杂的推理与计算,大大简化解题过程.解决
二次函数问题时,重视“形”与“数”的有机结合.
【突破训练 2】已知函数 f(x)=x2-2x+4 在区间[0,m](m>0)上的最大值为 4,最小
值为 3,则实数 m 的取值范围是 [1,2] .
【解析】作出函数 f(x)的图象,如图所示,从图
根.(函数对应的方程有实根的情况)
答案
2.二次函数的图象与性质
函数
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
图象
定义域
R
4- 2
,+∞
4
值域
单调性
在 -∞,
2
对称性
2
上单调递减,在 -
, + ∞ 上单调递增
4-2
-∞,
4
在 -∞,
2
2
上单调递增,在 -
又∵(4-m)-(2-3m)=2+2m>0,∴g(m)=4-m.
解析
高三数学一轮复习精品教案3：2.7二次函数与幂函数教学设计
第7课时 二次函数与幂函数1．了解幂函数的概念． 2．结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 12的图象，了解它们的变化情况． 3．掌握二次函数的概念、图象特征．4．掌握二次函数的对称性和单调性，会求二次函数在给定区间上的最值．5．掌握二次函数、二次方程、二次不等式之间的密切关系，提高解综合问题的能力．『梳理自测』一、幂函数1．下列函数中是幂函数的是( ) A ．y ＝2x 2 B ．y ＝1x 2C ．y ＝x 2＋xD ．y ＝－1x2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x －1 C ．y ＝x 2D ．y ＝x 13『答案』1.B 2.A◆以上题目主要考查了以下内容：(1)形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数，其中x 为自变量，α为常数． (2)五种幂函数的性质二、二次函数1．一般式：f (x )＝________________________________． 2．顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h ，k )，则其解析式为： f (x )＝______________________．3．两根式：若相应一元二次方程的两根为x 1，x 2，则其解析式为f (x )＝____________________________．4．函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈『－1，1』，则y 的最小值是( ) A ．－32 B ．3C ．－1D ．不存在5．抛物线y ＝8x 2－(m －1)x ＋m －7的顶点在x 轴上，则m ＝________．6．若函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b (x ∈『a ，b 』)的图象关于直线x ＝1对称，则f (x )max ＝________．『答案』1.ax 2＋bx ＋c ，(a ≠0) 2.a (x －h )2＋k 3.a (x －x 1)(x －x 2) 4.C 5.9或25 6.30 ◆以上题目主要考查了以下内容： 二次函数的图象和性质『指点迷津』1．研究二次函数的性质要注意二次项系数a的正负，及对称轴的位置，两点不应忽视．2．幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．3．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．应当注意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数，如y＝x＋1，y＝x2－2x等都不是幂函数．考向一 幂函数图象性质及应用(1)(2014·山西太原模拟)当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2，则f (x )，g (x )，h (x )的大小关系是________．(2)(2014·江西临川模拟)已知幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象与x 轴、y 轴无交点且关于原点对称，则m ＝________．『审题视点』 利用幂函数图象结合指数的奇偶性解答． 『典例精讲』 (1)分别作出f (x )，g (x )，h (x )的图象，如图所示． 可知h (x )＞g (x )＞f (x )．(2)由题意知m 2－2m －3为奇数且m 2－2m －3＜0，由m 2－2m －3＜0得－1＜m ＜3，又m ∈N *，故m ＝1，2.当m ＝1时，m 2－2m －3＝1－2－3＝－4(舍去)． 当m ＝2时，m 2－2m －3＝22－2×2－3＝－3，∴m ＝2. 『答案』 (1)h (x )＞g (x )＞f (x ) (2)2『类题通法』 (1)在(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α＞1时，曲线下凸； 0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0时，曲线下凸．1．幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )『解析』选C.设幂函数y ＝x α，∴2＝4α，∴α＝12，∴y ＝x 12，图象为C.考向二 求二次函数解析式已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且它有最小值－1. (1)求f (x )解析式；(2)若g (x )与f (x )图象关于原点对称，求g (x )解析式．『审题视点』 对于(1)，可设二次函数的零点式，再结合最值求出系数a 即得；对于(2)，可通过图象上点的对应关系求g (x )解析式．『典例精讲』 (1)由于f (x )有两个零点0和－2， 所以可设f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)， 这时f (x )＝ax (x ＋2)＝a (x ＋1)2－a ， 由于f (x )有最小值－1，所以必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0－a ＝－1，解得a ＝1.因此f (x )的解析式是f (x )＝x (x ＋2)＝x 2＋2x .(2)设点P (x ，y )是函数g (x )图象上任一点，它关于原点对称的点P ′(－x ，－y )必在f (x )图象上，所以－y ＝(－x )2＋2(－x )， 即－y ＝x 2－2x ， y ＝－x 2＋2x ， 故g (x )＝－x 2＋2x .『类题通法』 求二次函数解析式的方法及思路求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：2．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间『－1，1』上，不等式f (x )＞2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． 『解析』(1)由f (0)＝1得，c ＝1. ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1. 因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )＞2x ＋m 等价于x 2－x ＋1＞2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m ＞0，要使此不等式在『－1，1』上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在『－1，1』上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在『－1，1』上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1＞0，得m ＜－1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．考向三 二次函数图象性质及应用函数f (x )＝x 2－2x ＋2在闭区间『t ，t ＋1』(t ∈R)上的最小值记为g (t )． (1)试写出g (t )的函数表达式； (2)作g (t )的图象并写出g (t )的最小值．『审题视点』 分类讨论t 的范围分别确定g (t )解析式． 『典例精讲』 (1)f (x )＝(x －1)2＋1. 当t ＋1≤1，即t ≤0时，g (t )＝t 2＋1.当t ＜1＜t ＋1，即0＜t ＜1时，g (t )＝f (1)＝1， 当t ≥1时，g (t )＝f (t )＝(t －1)2＋1， 综上可知g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1≤0，t ≤0，1，0＜t ＜1，t 2－2t ＋2，t ≥1.(2)g (t )的图象如图所示，可知g (t )在(－∞，0』上递减，在『1，＋∞)上递增，因此g (t )在『0，1』上取到最小值1.『类题通法』 (1)二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．(2)求二次函数最值的类型及解法①二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；②常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，最值一般在区间的端点或顶点处取得．(3)二次函数单调性问题的解法结合二次函数图象的升、降对对称轴进行分析讨论求解．3．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈『－4，6』． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间『－4，6』上是单调函数； (3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．『解析』(1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈『－4，6』， ∴f (x )在『－4，2』上单调递减，在『2，6』上单调递增， ∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在『－4，6』上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.(3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈『－6，6』，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]x 2＋2x ＋3，x ∈（0，6]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0，6』， 单调递减区间是『－6，0』．二次函数闭区间上的最值讨论(2014·安阳高三模拟)已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值．『审题视点』 本题针对字母a 进行讨论，a ＝0、a ＞0，a ＜0及抛物线对称轴与区间『0，1』的位置关系．『思维流程』a ＝0，f (x )是一次函数．开口向上的抛物线的对称轴x ＝1a ∈『0，1』，x ＝1a时，取最小值． 开口向上时，对称轴x ＝1a ∈(1，＋∞)，x ＝1时，取最小值．开口向下时，对称轴x ＝1a∈(－∞，0)，x ＝1时，取最小值．总结答案．『规范解答』 (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在『0，1』上递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.2分(2)当a ＞0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a.①当1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的对称轴在『0，1』内，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，1a 上递减，在⎣⎡⎦⎤1a ，1上递增．∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1a －2a ＝－1a.6分②当1a ＞1，即0＜a ＜1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的对称轴在『0，1』的右侧，∴f (x )在『0，1』上递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.8分(3)当a ＜0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a ＜0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x 在『0，1』上递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.10分综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a ＜1，－1a，a ≥1.12分『规范建议』 (1)函数f (x )＝ax 2－2x 中，a ∈R ，并不一定是二次函数，故本题讨论中易丢失a ＝0，a ＜0，及(2)中1a＞1的情况．(2)分清本题讨论的层次 第一层：函数类型a ＝0和a ≠0. 第二层：开口方向a ＞0和a ＜0.第三层：对称轴x ＝1a与区间『0，1』的位置关系，左、内、右．1．(2013·高考广东卷)设集合M ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈R}，N ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈R}，则M ∪N ＝( )A ．{0}B ．{0，2}C ．{－2，0}D ．{－2，0，2}『解析』选D.先确定两个集合的元素，再进行并集运算．集合M ＝{0，－2}，N ＝{0，2}，故M ∪N ＝{－2，0，2}，选D.2．(2013·高考浙江卷)已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)＞f (1)，则( ) A ．a ＞0，4a ＋b ＝0 B ．a ＜0，4a ＋b ＝0 C ．a ＞0，2a ＋b ＝0 D ．a ＜0，2a ＋b ＝0『解析』选A.根据条件可确定函数图象的开口方向和对称轴，化简即得．因为f (0)＝f (4)>f (1)，所以函数图象应开口向上，即a >0，且其对称轴为x ＝2，即－b2a ＝2，所以4a ＋b＝0，故选A.3．(2013·高考重庆卷)（3－a ）（a ＋6）(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92C ．3 D.322『解析』选B.利用配方法结合函数的定义域求解． （3－a ）（a ＋6）＝－a 2－3a ＋18 ＝－⎝⎛⎭⎫a 2＋3a ＋94＋814 ＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋814， 由于－6≤a ≤3，∴当a ＝－32时，（3－a ）（a ＋6）有最大值92.4．(2012·高考江苏卷)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R)的值域为『0，＋∞)，若关于x 不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．『解析』f (x )＝(x ＋a 2)2＋b －a 24，∵值域为『0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24，∴f (x )＝(x ＋a2)2，由f (x )＜c ，(x ＋a2)2＜c ，－a 2－c ＜x ＜－a2＋c ， ∴⎩⎨⎧－a2－c ＝m －a2＋c ＝m ＋6，①②∴②－①得2c＝6，c＝9.『答案』9。
高三数学一轮复习精品教案8：2.4 二次函数与幂函数教学设计
2.4 二次函数与幂函数目标定位1. 理解二次函数的概念，掌握它的图象和性质，能灵活运用二次函数的最值以及二次函数的图象和一元二次方程的实根分布范围等知识解决有关问题.2.了解二次函数、一元二次不等式、一元二次方程三者的关系. 学会把一元二次方程的根的条件转化为图象条件，然后再转化为代数条件，会求含参数的二次函数的最值问题3.掌握幂函数的相关性质，会利用其性质解决相关问题 知识梳理1.二次函数的基本性质 函数f （x ）=ax 2+bx +c （a ≠0）定义域为R ；图象是对称轴平行于y 轴（或与y 轴重合）的抛物线； 当a ＞0时，抛物线开口向上方，函数的值域是_______________， 当∈x （－∞,a b 2-）时,)(x f 是__________；当∈x 『－ab2,＋∞』时，)(x f 是_______________当a ＜0时，抛物线开口向下方，函数的值域是_______________， 当∈x （－∞,ab2-）时,)(x f 是_______________；当∈x 『－,＋∞）时，)(x f 是_______________．当ac b 42-＞0时，函数的图像与x 轴有两个不同的交点， 它们分别是（_______________），（_______________）；ac b 42-=0时，函数的图象与x 轴有两个重合的交点_______________,这时也称抛物线与x 轴相切,ac b 42-＜0时,函数的图象与x 轴没有交点．2. 幂函数的概念：形如αx y =（R ∈α），的函数叫做幂函数 3. 幂函数的性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点_______________；（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是_______________．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸； （3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是_______________．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴课堂互动知识点1 求函数的解析式二次函数的解析式的求法首先考虑函数解析式的形式，在求、设的过程中从函数形式的特点入手，利用函数的相关性质解题『例题1』已知二次函数的对称轴为2x =-，截x 轴上的弦长为4，且过点(0,1)-，求函数的解析式．『解析』利用二次函数的性质，如对称轴、函数图象上的某个特殊点的坐标等相关信息，求函数的解析式『答案』 ∵二次函数的对称轴为2x =-，设所求函数为2()(2)f x a x b =++，又∵()f x 截x 轴上的弦长为4，∴()f x 过点(22,0)-+，()f x 又过点(0,1)-，∴4021a b a b +=⎧⎨+=-⎩， 122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴21()(2)22f x x =+-巩固练习x y =2x y = 3x y =21x y =1-=x y定义域 值域 奇偶性 单调性定点已知二次函数经过三点A （12，34）、B （－1,3）、C （2,3），求解析式。
高考数学(理)一轮复习 专题07 二次函数与幂函数(教学案) Word版含解析
专题 二次函数与幂函数（教学案） 年高考数学（理）一轮复习精品资料
.考查三个“二次”的联系和应用；
.以种幂函数为载体，考查幂函数的概念、图象、性质，多以客观题的形式出现； .和其他知识交汇，以解答题形式考查综合应用．
．一次函数与二次函数的解析式
()一次函数：＝＋ (，为常数，且≠)．
()二次函数
①一般式：()＝＋＋(≠)． ②顶点式：()＝(－)＋(≠)． ③零点式：()＝(－)(－)(≠)． ．一次函数与二次函数的定义及性质
高频一求二次函数的解析式例、已知二次函数()满足()＝－，(－)＝－，且()的最大值是，试确定此二次函数的解析
式．
方法二(利用顶点式)：
设()＝(－)＋.
∵()＝(－)，
∴抛物线的图象的对称轴为＝＝.
∴＝.又根据题意函数有最大值，∴＝，
∴＝()＝＋.
∵()＝－，
∴＋＝－，解得＝－，
∴()＝－＋＝－＋＋.
方法三(利用零点式)：
由已知()＋＝的两根为＝，＝－，。
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城东蜊市阳光实验学校第三中学高考数学一轮复习二次函数幂函数教
案
对称轴 顶点坐标 单调区间
3、二次函数在区间上的最值问题。
设()2f x ax bx c =++，那么二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值有二次函数的图像与性质 〔1〕假设[]n m a b ,2∈-
，那么()()()⎭
⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫
⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,max max ，()()()⎭
⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫
⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,min min ；
〔2〕假设[]n m a
b
,2∉-
，那么()()(){}n f m f x f ,m ax max =，()()(){}n f m f x f ,m in min =
另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值分开对称轴越远，那么对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值分开对称轴轴越远，那么对应的函数值越小． 4、一元二次方程根的非零分布——k 分布
设一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0〔a≠0〕的两实根为x1，x2，且x1≤x2。
k 为常数。
那么一元二次方程根的k 分布〔即x1、x2相对于k 的位置〕有以下假设干结论。
〔1〕k ＜x1≤x2
x
y
1
x 2
x 0
>a O
•
a
b x 2-
=0
)(>k f k
x
y
1
x 2
x O
•
a b x 2-
=k
<a 0
)(<k f
〔2〕x1≤x2＜k 。
x y
1
x 2
x 0
>a O
•
a
b x 2-
=k 0
)(>k f x
y
1x 2
x O
•
a
b x 2-=k
<a 0
)(<k f
特殊地
①x1＜0＜x2 ac ＜0。
②x1＜1＜x2 a(a ＋b ＋c)＜0。
5、幂函数：定义域、值域、单调性、定点
根底自测
1、函数f(x)=x2-2x+2的单调增区间是()
y x =
2
y x =
3y x
=
1
2
y x
=
1y x -=
在第Ⅰ象限单调 在第Ⅰ象限
单调 在第Ⅰ象限
单调 在第Ⅰ象限
单调 在第Ⅰ象限单调 〔，〕 〔，〕
〔，〕
〔，〕
〔，〕
〔4〕假设一个大于0，一个小于0求m 的取值范围；
有两个实数根,那么有：
∆=4(m+3)^2-4(2m+14)=4m^2+24m+36-8m-56=4m^2+16m-20>=0
m^2+4m-5>=0 (m+5)(m-1)>=0
m>=1或者者者m<=-5
一根比4大，另一根比4小,那么有：f(4)<0 即：4^2+2(m+3)*4+2m+14<0
16+8m+24+2m+14<0
10m<-54 m<- 综上所述，m<- 例3、幂函数223()m m f x x --=()m ∈Z 是偶函数,且在区间()0,+∞上是减函数.
(1)求函数()f x 的解析式;
(2)讨论()()()
b
F x a f x xf x =-的奇偶性(,)a b ∈R . 解析：〔1〕为偶函数，那么m²-2m-3为偶数，
在区间〔0，正无穷〕上是单调减函数，那么有m²-2m-3<0,即-1<m<3， m ∈Z ，m=0或者者1或者者2
只有当m=1时，m²-2m-3=-4为偶数，此时f(x)=x^(-4)
〔2〕由题意F(x)=a[x^(-4)]^(1/2)-b/[x*x^(-4)]=ax^(-2)+bx^3,
a=0且b≠0时F(x)=bx^3，为奇函数 b=0且a≠0时F(x)=ax^(-2),为偶函数 当a*b 不等于0时，F(x)既不是奇函数又不是偶函数
当堂达标
1、函数f(x)＝x2＋bx ＋c 的图象的对称轴为直线x ＝1，那么(B)
A ．f(－1)<f(1)<f(2)
B ．f(1)<f(2)<f(－1)
C ．f(2)<f(－1)<f(1)
D ．f(1)<f(－1)<f(2) 2、函数y ＝－x2－10x ＋11在区间[－1,2]上的最小值是____-13____
3、方程x2+2px+1=0有一个根大于1，有一个根小于1，那么P 的取值为p ＜-1。
4、幂函数y=2
(33)m
m m x --在区间上是减函数，求m 的值。
m=-1
反思﹒提升 拓展﹒延伸
1、函数f(x)＝x2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b]，那么b ＝__1或者者2___
2、 知实数,a b 满足等式11()()2
3a
b =,以下五个关系式:
0b a <<0
a b <<0a b
<<0b a <<a b =
其中不可能成立的关系式有(B)A.1个B.2个C.3个D.4个
3、幂函数4
3x y =的单调递增区间是_[)
∞+，
0_______. 4、2
12
12
1
1.1,9
.0,2.1===-c b a 的大小关系是___a ＞b ＞c_____.
5、如下列图，曲线是幂函数α
x y = 在第一象限内的图象，α分别取
2,2
1
,1,1-四个值，那么相应图象依次为：
C4,C2,C3,C1．。