江苏省涟水中学苏教版高中数学一学案：3.3幂函数(2)
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 3.3 幂函数》1
《幂函数》教学设计常州市第二中学蒋理一、教学需求分析1、适用对象分析适用于高一已经学习了函数的概念和图象以及指数函数，对数函数这两大类函数的学生，由学习上述两类函数的经验，从定义域，值域，奇偶性，单调性，定点这5个相同的角度来自我学习一类新的函数，从而化解了学习的难度。
2、学习内容分析参照指、对函数的学习经验，通过ece，几何画板作图从五个角度直观分析函数，找出三类幂函数的异同，并且利用总结出的性质比较幂函数的大小关系。
3、教学目标分析（1）三维教学目标分析A、过程目标：通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力，使学生体会数形结合的思想。
B、知识技能目标：了解幂函数的概念，会画幂函数2132,1y=x=y==-,的图象，并能结合这几个x=,x,,yxxyy幂函数的图象，了解幂函数的图象的变化情况和性质。
C、情感目标：通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣。
利用计算机等工具，了解幂函数和指数函数的本质差别，使学生充分认识现代技术在人们认识世界的过程中的作用，从而激发学生的学习欲望。
（2）教学重难点分析教学重点：幂函数的概念和性质。
教学难点：幂函数的单调性与幂函数的关系。
4、教学教法分析（1）教法分析利用软件绘制幂函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图象，类比指数函数，对数函数的研究方法，从定义域，值域，奇偶性，单调性，定点这五个角度来学习一类新的函数。
（2）学法分析通过软件绘制的幂函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图象，直观感知五类常见的幂函数，回忆指数函数，对数函数的学法，类比总结幂函数的性质。
（3）教学用具分析利用ece 软件和几何画板作图让学生直观感知幂函数的图象。
二．教学设计。
高中数学苏教版高一必修一学案 3.3 幂函数
3．3幂函数学习目标 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式(难点)；2.结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝的图象，掌握它们的性质(重点)；3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小(重点)．预习教材P88－89，完成下面问题：知识点一幂函数的概念一般地，我们把形如y＝xα的函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．【预习评价】1．下列函数是幂函数的为________(填序号)．①y＝ax m(a，m为非零常数，且a≠1)；②y＝x－1＋x2；③y＝x n(n∈Z)；④y＝(x－2)3.答案③2．若函数f(x)＝(a2－3a－3)x2是幂函数，则a的值为________．解析根据幂函数定义，有a2－3a－3＝1，a2－3a－4＝0，所以a＝4或a＝－1.答案4或－1知识点二幂函数的图象与性质幂函数y＝x y＝x2y＝x3y＝y＝x－1图象定义域R R R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)续表 值域 R [0，＋∞)R [0，＋∞) {y |y ∈R ，且 y ≠0} 奇偶性奇偶 奇非奇非偶奇单调性增x ∈[0，＋∞)增， x ∈(－∞， 0]减增 增x ∈(0，＋∞)减， x ∈(－∞，0)减定点 (1,1)【预习评价】1．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 的所有α的值为________．解析 y ＝x －1的定义域为{x |x ≠0}，y ＝的定义域为{x |x ＞0}，只有y ＝x ，y ＝x 3的定义域为R . 答案 1,32．当α∈{－1，12，1,3}时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第________象限． 解析 幂函数y ＝x －1，y ＝x ，y ＝x 3的图象分布在第一、三象限，y ＝x 12的图象分布在第一象限，所以幂函数y ＝x α(α∈{－1，12，1,3})的图象不可能经过第二、四象限． 答案 二、四题型一 幂函数的概念【例1】 (1)已知(2，2)在幂函数f (x )的图象上，求f (2)的值； (2)已知函数f (x )＝(a 2－3a ＋3)x a2－5a ＋5(a 为常数)为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，求实数a的值．解(1)设f(x)＝xα，∵(2，2)在f(x)的图象上，∴f(2)＝(2)α＝2，∴α＝2.故f(x)＝x2，f(2)＝22＝4.(2)∵f(x)为幂函数，∴a2－3a＋3＝1，得a＝1或a＝2.当a＝1时，f(x)＝x，在(0，＋∞)上单调递增，不合题意．当a＝2时，f(x)＝x－1，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意．综上，得a的值为2.规律方法(1)幂函数的特点：系数为1，底数为自变量，指数为常数．(2)当α>0时，幂函数在第一象限内单调递增；当α<0时，幂函数在第一象限内单调递减．【训练1】已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)是：①幂函数；②正比例函数；③反比例函数；④二次函数？解①∵f(x)是幂函数，故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.②若f(x)是正比例函数，则－5m－3＝1，解得m＝－4 5，此时m2－m－1≠0，故m＝－4 5.③若f(x)是反比例函数，则－5m－3＝－1，解得m＝－25，此时m2－m－1≠0，故m＝－25.④若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，得m＝－1.此时m2－m－1≠0，故m＝－1.题型二幂函数的图象及应用【例2】讨论函数f(x)＝的定义域、值域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象求出函数的单调区间．解∵y＝＝13x2，∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(0，＋∞)．令f(x)＝13x2，∴f(－x)＝13(－x)2＝13x2＝f(x)．∴y＝是偶函数．其图象如图所示．由图可知，函数在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数．规律方法幂函数y＝xα的图象和性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α的正负：α＞0时，图象过(0,0)和(1,1)，在第一象限图象上升是增函数；α＜0时，图象过(1,1)，不过(0,0)，在第一象限图象下降是减函数，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α＞1时，曲线下凸，0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0时，曲线下凸．【训练2】若点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，14)在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)＞g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)＜g(x)．解设f(x)＝xα，因为点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，所以，将点(2，2)代入f(x)＝xα中，得2＝(2)α，解得α＝2，则f(x)＝x2.同理可求得g(x)＝x－2.在同一坐标系里作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得：(1)当x＞1或x＜－1时，f(x)＞g(x)；(2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；(3)当－1＜x＜1且x≠0时，f(x)＜g(x)．互动探究题型三幂函数性质的综合应用【探究1】函数y＝在[－1,1]上是________(填“增函数”或“减函数”)且是________(填“奇函数”或“偶函数”)．解析由幂函数的性质知当α>0时，y＝xα在第一象限内是增函数，∴y＝在x∈[0,1]上是增函数．设f(x)＝，x∈[－1,1]，则f(－x)＝(－x)59＝－x59＝－f(x)，∴f(x)＝是奇函数．∵奇函数的图象关于原点对称，∴x∈[－1,0]时，y＝也是增函数．当x＝0时，y＝0，故y＝在[－1,1]上是增函数且是奇函数．答案增函数奇函数【探究2】比较下列各组数的大小．(1)；(2)；(2)(34)－2和3－4；(4)(－13)－3和.解(1)函数y＝在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以.(2)函数y＝在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，所以(3)3－4＝(32)－2＝9－2，函数y＝x－2在(0，＋∞)上为减函数，又34<9，所以(34)－2>9－2，即(34)－2>3－4.(4)因为(－13)－3<0,>0，所以(－13)－3<.【探究3】若，则a的取值范围是________．解析函数f(x)＝在区间(0，＋∞)内是减函数，所以等价于⎩⎪⎨⎪⎧a＋1＞0，3－2a＞0，a＋1＞3－2a，解得23＜a＜32.所以a的取值范围是(23，32)．答案(23，32)【探究4】已知函数f(x)＝x－1，若f(a＋1)＜f(10－2a)，则a的取值范围是________．解析 函数f (x )＝x －1的大致图象如图，由题意可知应分三种情况讨论： ①当a ＋1＜0,10－2a ＞0时，f (a ＋1)＜0＜f (10－2a )，此时解得a ＜－1.②当a ＋1＞0,10－2a ＞0时，得a ＋1＞10－2a ， 故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞10－2a ，10－2a ＞0， ∴3＜a ＜5.③当a ＋1＜0,10－2a ＜0时，得a ＋1＞10－2a ，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞10－2a ，a ＋1＜0，无解．综上可知，a 的取值范围是(－∞，－1)∪(3,5)． 答案 (－∞，－1)∪(3,5)规律方法 比较幂式的大小时，首先判断所比较的两个幂式的底数和指数是否相同．若指数相同，底数不同，则考查幂函数；若底数相同，指数不同，则考查指数函数；若底数和指数均不同，要引进中间量，综合考查指数函数和幂函数．课堂达标1．已知函数f (x )＝(m 2＋m ＋1)x m2－2m －1是幂函数，则实数m ＝________. 解析 由函数f (x )＝(m 2＋m ＋1) x m 2－2m －1是幂函数可得m 2＋m ＋1＝1，解得m ＝0或m ＝－1. 答案 0或－12．已知幂函数f (x )＝x m 的图象经过点(3，13)，则f (6)＝________. 解析 依题意13＝(3)m ＝，所以m2＝－1，m ＝－2，所以f (x )＝x －2，所以f (6)＝6－2＝136.答案1 363．若y＝x a2－4a－9是偶函数，且在(0，＋∞)内是减函数，则整数a的值是________．解析由题意得，a2－4a－9应为负偶数，即a2－4a－9＝(a－2)2－13＝－2k(k∈N*)，(a－2)2＝13－2k，当k＝2时，a＝5或－1；当k＝6时，a＝3或1.答案1,3,5，－14．设α∈{－2，－1，12，1,2,3}，则使y＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值为________．解析要使y＝xα为奇函数，需α＝－1,1,3，又在(0，＋∞)上单调递减，所以α＝－1.答案－15．函数f(x)＝(m2－m－1)x m2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．解根据幂函数定义得，m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数，当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不合题意．∴f(x)的解析式为f(x)＝x3.课堂小结1．幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量．2．幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．3．简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.(2)如果α＞0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数．(3)如果α＜0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．。
高一数学幂函数一 苏教版 教案
高一数学幂函数一【学习目标】 1过程目标：（1）通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力。
（2）使学生体会数形结合的思想。
2知识技能目标：（1）了解幂函数的概念，会画幂函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-, 的图象，并能结合这几个幂函数的图象，了解幂函数的图象的变化情况和性质。
（2）了解几个常见的幂函数的性质。
3情感目标：（1）通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣。
（2）利用计算机等工具，了解幂函数和指数函数的本质差别，使学生充分认识现代技术在人们认识世界的过程中的作用，从而激发学生的学习欲望。
教学重点：常见幂函数的概念和性质。
教学难点：幂函数的单调性与幂函数的关系。
【学前准备】作出 x x y y ⎪⎭⎫ ⎝⎛==21,2的图象，你还能作出 212,x y x y ==的 图象吗？【探究活动】一、创设情境：前面我们学了指数函数)10(≠>=a a a y x且 ，若底数与真数颠倒位置，我们又如何探究？ 问题1：如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=2a ，这里S 是a 的函数。
问题2：如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=3a ，这里S 是a 的函数。
问题3：如果正方形场地的面积为S ，那么正方形的边长 a=S 21，这里a 是S 的函数。
问题4：如果某人t s 内骑车行进了1km ，那么他骑车的速度s /km t V 1-=，这里v 是t 的函数。
以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(右边指数式，且底数都是变量)这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果让你给他们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢？（变量在底数位置，解析式右边都是幂的形式）（适当引导：从自变量所处的位置这个角度）（引入新课，书写课题）二、活动尝试： （一）幂函数的概念如果设变量为x ,函数值为y ，你能根据以上的生活实例得到怎样的一些具体的函数式？ 这里所得到的函数是幂函数的几个典型代表，你能根据此给出幂函数的一般式吗？ 这就是幂函数的一般式，你能根据指数函数、对数函数的定义，给出幂函数的定义吗？幂函数的定义：一般地，我们把形如α=x y 的函数称为幂函数（power function ），其中x 是自变量，α是常数。
苏教版数学高一苏教版必修1学案第3章3.3幂函数
3．3 幂函数1．了解幂函数的概念，会画出幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，12y x =的图象．2．能根据幂函数的图象，了解幂函数的性质． 3．会用几个常见的幂函数性质比较大小．1．幂函数一般地，我们把形如y ＝x α(α∈R )的函数叫做幂函数，其中x 为自变量，α为常数．幂函数的定义域是使x α有意义的所有x 的集合，因α的不同，定义域也不同，如函数y ＝x 2的定义域为R ，而函数y ＝1x的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}．判断函数是否为幂函数时要根据定义，即x α的系数为1，指数位置的α为一个常数，或者经过变形后满足条件的均可．【做一做1】下列函数是幂函数的有________．①y ＝x 2②y ＝1x③y ＝x 3＋x④y ＝2x⑤y ＝x －3答案：①②⑤2．幂函数的图象与性质函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，12y x =，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．从图中可以观察得到它们的特征如下：【做一做2－1】1412a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1613b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1815c -⎛⎫= ⎪⎝⎭的大小关系是__________．答案：a ＜b ＜c【做一做2－2】函数35y x =的奇偶性是__________，单调性是__________． 答案：奇函数 在R 上单调递增【做一做2－3】函数y ＝x －2的值域为__________． 答案：(0，＋∞)当n 取不同的有理数时，幂函数y ＝x n的图象及性质． 剖析：我们只研究n 是有理数的情况，规定n ＝p q是既约分数： y ＝x n 奇函数(p 奇q 奇) 偶函数(p 偶q 奇) 非奇非偶函数(q 偶)n ＞10＜n ＜1n ＜0(2)当n ∈N *时，定义域为R ； 当n ＝0时，定义域为{x |x ≠0}；当n 为负整数时，定义域为{x |x ≠0}；当n ＝pq(p ，q ∈N *，q ＞1，且p ，q 互质)时，①若q 为偶数，则定义域为[0，＋∞)，②若q 为奇数，则定义域为R ，当n ＝－p q(p ，q ∈N *，q ＞1，且p ，q 互质)时，①若q 为偶数，则定义域为(0，＋∞)，②若q 为奇数，则定义域为{x |x ≠0}．(3)①在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．②当n ＞0时，图象都通过原点，并且在(0，＋∞)上的图象是上升的，向上无限伸展，是增函数；当n ＝0时，图象是除去点(0,1)的直线y ＝1；当n ＜0时，图象都不过原点，并且在(0，＋∞)上的图象是下降的，向右与x 轴无限靠近，是减函数．③在直线x ＝1的右侧，指数n 越大图象位置越高．题型一 幂函数的性质【例1】当x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝(m 2－m －1)x －5m －3为减函数，求实数m 的值．分析：幂函数的一般形式为y ＝x α，说明其系数为1，由此确定m 值．解：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1，－5m －3<0，解得m ＝2.反思：对于幂函数y ＝x α来说，其系数为1，当题目中还有其他性质时，必须根据此性质写出约束条件．本题函数在(0，＋∞)上为减函数，说明指数小于0.【例2】将四个数1.20.5,1.20.6,0.51.2,0.61.2按从小到大的顺序排列．分析：本题要用到两类函数，既要运用指数函数的性质，又要运用幂函数的性质，不能混淆两种函数．解：因为函数y ＝1.2x在R 上单调递增，所以1.20.6＞1.20.5＞1.20＝1.因为函数y ＝x 1.2在(0，＋∞)上单调递增，所以0.51.2＜0.61.2＜11.2＝1.综上所述，0.51.2＜0.61.2＜1.20.5＜1.20.6.反思：在函数值的大小比较中，0和1是两个特殊值，它们起着桥梁作用． 题型二 幂函数的图象及其应用【例3】画函数y ＝1＋3－x 的草图，并求出其单调区间．分析：此函数的作图有两种途径，一是根据描点的方法作图，二是利用图象变换来作图．一般说来，作草图时，利用图象变换较为方便．解：y ＝1＋3－x ＝－x －3＋1. 此函数的图象可由下列变换而得到：先作函数y ＝x 的图象，作其关于y 轴的对称图象，即y ＝－x 的图象，将所得图象向右平移3个单位，向上平移1个单位，即为y ＝1＋3－x 的图象(如下图所示)．从图象知y ＝1＋3－x 的单调递减区间为(－∞，3]．反思：本题容易发生的错误：一是函数概念不清(该函数是以x 为自变量的函数)；二是将函数式变形的过程不是等价变形，导致变形后的函数已不再是原有的函数了．【例4】已知点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数g (x )的图象上，问当x 为何值时，有(1)f (x )＞g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )＜g (x )?解：设f (x )＝x a，因为点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，将点(2，2)代入f (x )＝x a 中，得2＝(2)a ，解得a ＝2，即f (x )＝x 2；设g (x )＝x b ，因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数g (x )的图象上，将点⎝⎛⎭⎪⎫－2，14代入g (x )＝x b中，得14＝(－2)b ，解得b ＝－2，即g (x )＝x －2. 在同一平面直角坐标系中作出f (x )＝x 2与g (x )＝x －2的图象如图所示． 由图象可知：(1)当x ＞1，或x ＜－1时，f (x )＞g (x )；(2)当x ＝1，或x ＝－1时，f (x )＝g (x )； (3)当－1＜x ＜1且x ≠0时，f (x )＜g (x )．反思：幂函数的一般形式是y ＝x α(α为常数)，要求幂函数的解析式只要解出α即可．1函数23y x =图象的大致形状是__________．答案：④2已知函数f (x )＝(a －1)·xa 2＋a －1， 当a ＝________时，f (x )为正比例函数； 当a ＝________时，f (x )为反比例函数； 当a ＝________时，f (x )为二次函数； 当a ＝________时，f (x )为幂函数．解析：当f (x )为正比例函数时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －1＝1，a －1≠0，即a ＝－2；当f (x )为反比例函数时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －1＝－1，a －1≠0，即a ＝0或a ＝－1；当f (x )为二次函数时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －1＝2，a －1≠0，即a ＝－1±132；当f (x )为幂函数时，a －1＝1，即a ＝2.答案：－2 0或－1 －1±13223设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为__________．答案：1,34比较下列各组中两个值的大小：(1)351.5和351.6；(2)0.18－0.3和0.15－0.3.解：(1)因为函数35y x =在R 上单调递增， 又1.5＜1.6，所以351.5＜351.6.(2)因为函数y ＝x －0.3在(0，＋∞)上单调递减， 又0.18＞0.15，所以0.18－0.3＜0.15－0.3.5求出函数f (x )＝x 2＋4x ＋5x 2＋4x ＋4的单调区间，并比较f (－π)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22的大小．解：f (x )＝x 2＋4x ＋4＋1x 2＋4x ＋4＝1＋1x 2＋4x ＋4＝1＋(x ＋2)－2，它是由g (x )＝x －2向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度而得到的．∵g (x )的单调增区间是(－∞，0)，单调减区间是(0，＋∞)，∴f (x )＝x 2＋4x ＋5x 2＋4x ＋4的单调增区间是(－∞，－2)，单调减区间是(－2，＋∞)，f (x )的图象关于直线x ＝－2对称．∵－π∈(－∞，－2)，－22∈(－2，＋∞)，且－2－(－π)＜－22－(－2)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＜f (－π)．。
2019-2020学年高中数学 30《幂函数》学案 苏教版必修1.doc
2019-2020学年高中数学 30《幂函数》学案 苏教版必修1【学习目标】1．巩固幂函数的概念和一些简单幂函数图象并了解它们的图形特征； 2．掌握判断某些简单函数奇偶性的方法；3．培养学生判断推理的能力，加强数形结合思想，化归转化能力的培养． 【课前导学】 【复习回顾】1． 幂函数的定义：一般地，形如y x α=()a R ∈的函数称为幂函数，其中α为常数.2．幂函数性质：（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x=）；（2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+)∞上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）；特别地，当α＞1时，x ∈（0，1），2y x =的图象都在y x =图象的下方，α越大，下凸的程度越大； 当0<α＜1时，x ∈（0，1），y x α=的图象都在y x =的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大．（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.在第一家限内，当x 向原点靠近时，图象在y 轴的右方无限逼近y 轴正半轴，当x 慢慢地变大时，图象在x 轴上方并无限逼近x 轴的正半轴.【课堂活动】 一．应用数学：例1 证明幂函数12()f x x =在[0,)+∞上是增函数． 分析：直接根据函数单调性的定义来证明．【解】证：设120x x ≤<，则11221212()()f x f x x x -=-==，12xx <，120x x ∴-<， 0>， 12()()0f x f x ∴-< 即12()()f x f x <． ∴此函数在[0,)+∞上是增函数．例2已知,,,abcdy x y x y x y x ====的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是 ．【思路分析】 重点掌握幂函数在第一象限的图象特征，它是判断一些问题的法宝，当自变量x＞1时，幂指数大的函数的函数值大．解：由幂函数的性质，当自变量x ＞1时，幂指数大的函数的函数值较大，故有c ＞a ＞b ＞d ． 【解后反思】通过这道题，使学生体会不仅仅是“形式上”掌握幂函数的概念、图象和性质，更重要的是真正的理解，例如需要掌握幂函数在第一象限的图象特征，这在今后的学习中也应注意．例3 如果函数2223()(1)m m f x m m x --=--是幂函数，且在区间(0,)+∞上是减函数，求满足条件的实数m 的集合．【思路分析】 我们从题中得到两条信息：一是幂函数，二是此函数在(0,)+∞上是减函数．由幂函数定义：形如y x α=的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．x α的系数只能是１，从而得到211m m --=；又由于该幂函数在(0,)+∞上是减函数，由幂函数的性质可知，0α<，即2230m m --<．由以上两条可求出满足所求的m 的范围．解： 据题意得 211m m --= 且 2230m m --<． 解得 m=2 或 m= -1 （舍去）∴ m=2．【解后反思】要注意最简单的概念和性质的熟练运用． 例4 已知1133(3)(12)x x ---<+，求x 的取值范围．【思路分析】由于对幂函数的概念和性质的不理解，就可能在解题过程中出现一些错误．错解１ 根据函数13y x-=在其定义域内单调减，得312x x ->+．4343x x ⇒<-⇒<-为所求． 错解２ 根据函数13y x -=在(,0)-∞和(0,)+∞上均为减函数得：312120x x x ->+⎧⎨+>⎩…⑴， 31230x xx ->+⎧⎨-<⎩…⑵解得：4x <-为所求．【反思】错解１是函数性质运用错误，函数13y x-=在(,0)-∞和(0,)+∞上为减函数，但函数在整个定义域上没有单调性．错解２是没考虑不等式两边的底数一个大于０另一个小于０的情况． 解：因为13y x-=在(,0)-∞和(0,)+∞上为减函数，0x >时，0y >；0x <时，0y <．原不等式可以化为：312120x x x ->+⎧⎨+>⎩…⑴， 31230x x x ->+⎧⎨-<⎩…⑵， 12030x x +>⎧⎨-<⎩…⑶． ⑴无解； ⑵的解为4x <-； ⑶的解是132x -<<． 所以所求的x 的取值范围为1{|43}2x x x <--<<或．【解后反思】本题实质上是解不等式1133(3)(12)x x ---<+，由于不等式的左右两边的幂指数都是13-，因此可借助于幂函数13y x -=的图象性质来求解． 要注意数形结合思想的运用，考虑问题要细致全面． 例5 已知幂函数y ＝x23212++-p p (p ∈Z )，在(0，＋∞)内，y 随x 增大而增大，且在定义域内图象关于y 轴对称．⑴ 求p 值及相应的f (x )；⑵ 对于⑴中所求函数f (x )，设函数()(())(21)()1g x qf f x q f x =-+-+， 问是否存在)0(<q q ，使得g(x)在区间(]4,-∞-上是减函数且在区间（-4 ，0）上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．【思路分析】抓住题目里所给的信息,分析解决题目结论的方法，是找到解决问题途径的关键所在．解： ⑴ f (x )在(0，＋∞)内，y 随x 的增大而增大．则－21p 2＋p ＋23＞0，解之－1＜p ＜3，又p ∈Z ，∴p ＝0，1，2；又f (x )图象关于y 轴对称．∴－21p 2＋p ＋23是偶数，∴p ＝1，f (x )＝x 2．⑵ 本问题有一定难度，留给同学们作为探究．（解法略）【解后反思】本题需要透彻理解幂函数的一般性质并能灵活运用，要求高于考纲，对提高同学的思维能力有一定的帮助． 二．理解数学：1． ⑴求函数y ＝(x ＋2)－2的定义域．值域．讨论当x 增大时，函数值如何变化？并画出图象；⑵问上述函数的图象与函数y ＝x －2的图象有何关系？ 解⑴{}2x |－且≠∈R x x ；R ＋．当x ＜－2时，函数值y 随x 的增大而增大，当x ＞－2时，y 随x 的增大而减小．⑵将2y x -=的图象向左平移2个单位，即得到y=(x+2)-2图象．2．求函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）值域． 解：设t ＝x 51，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3．当t ＝－1时，y min ＝3．∴函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋)∞ 【课后提升】 １．函数122(2)y x x -=-的定义域是 (,0)(2,)-∞+∞ ．2．函数122(1)y x =-的值域是 ［0，1］ ． 3．函数25y x =的单调递减区间为 (,0)-∞ ． 4．若a 21＜a21－，则a 的取值范围是 01a << ．5．函数y ＝32)215(x x －＋的定义域是 [3,5]- ．6．函数y ＝221m m x－－在第二象限内单调递增，则m 的最大负整数是___－1_____．7．对于函数y ＝x 2，y ＝x 21有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图象关于直线y ＝x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点（0，0）（1，1）；⑥两个函数互为反函数．其中正确的有___①②⑤______． 8．已知函数y ＝42215x x －－． （1）求函数的定义域．值域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间．解：这是复合函数问题，利用换元法令t ＝15－2x －x 2，则y ＝4t ，（1）由15－2x －x 2≥0得函数的定义域为［－5，3］， ∴t ＝16－（x －1）2∈［0，16］．∴函数的值域为［0，2］．（2）∵函数的定义域为［－5，3］，且关于原点不对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数．（3）∵函数的定义域为［－5，3］，对称轴为x ＝1，∴x ∈［－5，1］时，t 随x 的增大而增大；x ∈（1，3）时，t 随x 的增大而减小．又∵函数y ＝4t 在t ∈［0，16］时，y 随t 的增大而增大，∴函数y ＝42215x x －－的单调增区间为［－5，1］，单调减区间为（1，3）．。
苏教版高中数学必修一《幂函数》教案2
3.3 幂函数一、学习目标1、通过对幂函数的研究，理解、掌握幂函数的图象与性质，并掌握研究幂函数的一般方法；2、渗透分类讨论、数形结合的数学思想及类比、联想的学习方法，提高归纳与概括的能力；3、培养积极思考，通过自主探索获取新知的学习习惯和科学严谨的学习态度，体会从特殊到一般的思维过程.二、学习重、难点相对于指数函数与对数函数来说，幂函数的情况比较复杂，因此对幂函数图象共性的归纳是本节课的难点.三、学习过程（1）创设情境，建构概念1.定义的给出本节课教学任务较重，难度较大，但是所授班级为理科实验班，学生的数学素养较好，因此采取了由指数函数直接引入幂函数定义的方法.指出对于关系式：a b=N,当底数a为常数，b作为自变量，N为b的函数时，就构成了指数函数；当指数b为常数，底数a为自变量，N为a的函数时，构成的函数就称为幂函数.由此得到幂函数的定义：形如的函数称为幂函数.（目前我们只研究指数为有理数的情况）2.概念的辨析在给出了幂函数的定义后，请学生举出已学过的幂函数的例子，目的在于对幂函数进行辨析，通过这个环节使学生感知到幂函数并不是完全陌生的，学习幂函数是为了对幂函数进行更一般的研究.同时针对学生的例子中出现的指数为无理数的情况，指出现阶段只研究指数为有理数的情况. （二）联想类比，自主探究1 自主探究在这个环节中引导学生自由选择不同的幂函数，利用图形计算器画图，探究它们的图象与性质.并将自己的探究结果记录在表格中，在研究过程中，学生会选择幂指数不同的多个幂函数进行研究，分别记录它们的图象与性质，并在探究过程中对幂指数的作用进行了初步的探索.解析式补充写出根式形式图象（草图）定义域值域单调性奇偶性渐近线2 图象展示在这一环节中教师请学生将他们研究的不同幂函数的图象分别画到黑板上，在学生的相互补充、教师的及时纠错和引导下，最终得到了十种不同形态的图象.由教师补充了学生遗漏的y=x的图象，最后黑板上一共展示了十一种不同形态的幂函数的图象.（三）深入探究，归纳性质1.对图象的进一步探究在得到了十一种不同形态的图象后，教师指出，幂函数的情况比指数函数和对数函数的情况复杂得多，继而提出问题：我们该如何去把握幂函数的图象呢？学生提出根据幂指数的不同范围分α>1，0<α<1，-1<α<0，α<-1四类进行讨论.在这个环节中针对学生出现的几个问题，教师进行适当引导，并且在这个过程中有效地突破了本节课的教学难点：（1）学生回答当α>1时，幂函数的图象具有相同的共性.此时教师引导学生观察图象，说明α>1时的几个幂函数的图象形态并不相同.进一步引导学生发现实际上它们在第一象限图象的形态是一样的.从而提出实际上由于函数的奇偶性，我们只需考虑幂函数在第一象限内的图象规律即可，这样就大大简化了讨论的过程，这也是本节课的教学难点.（2）在共同讨论-1<α<0和α<-1幂函数的图象时，发现它们在第一象限图象从形态上来看没有差异，指出对幂函数图象的讨论只需分α>1，0<α<1，α<0，α=1，α=0这几种情况即可.2.对幂函数在第一象限图象的归纳（1）图象必过(1,1)点.（2）α>1时，过(0,0)点，且y随x的增大，函数图象向y轴方向延伸，图象是下凸的.在第一象限是增函数.（3）0<α<1时，随x的增大，函数图象向x轴方向延伸，函数图象是上凸的.在第一象限是增函数.（4）α<0时，随x的增大，函数图象与x轴、y轴无限接近，但永不相交.在第一象限是减函数.（5）α=1和α=0的情况.（略）（四）练习与巩固例1.画出的草图.例2.寻找一个幂函数使其图象类似于y=x2的图象.四、课堂小结今天这节课我们研究了幂函数的性质，同学们通过对一些特殊的幂函数的研究，又一次体验了研究一类函数的一般方法.掌握了幂函数在第一象限图象的特征，在研究过程中我们应当认识到，重要的不是去记忆某个具体幂函数的图象与性质，而应当注意掌握研究幂函数的一般方法和过程.六、布置作业巩固幂函数的相关知识点，做课后练习题。
高中数学苏教版高一必修1教案 3.3幂函数
2.4 幂函数整体设计教材分析幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数，幂函数模型在生活中是比较常见的，和许多生活实例都有密切的联系，幂函数的解析式虽然简单，但是幂函数的性质却是非常复杂的.因此,在研究幂函数的概念和性质时,可以组织学生通过生活实例了解幂函数的概念，并通过计算机画出它们的图象，观察总结幂函数图象的变化情况和性质，尤其是幂指数a的不同取值对幂函数单调性的影响.通过几个常见的幂函数图象加深学生对幂函数概念的理解.对于幂函数和指数函数这两类函数的解析式学生容易混淆，因此在引出幂函数的概念后要组织学生结合具体的例子比较分析它们的异同，并组织学生讨论：在我们学过的函数里面，哪些函数是幂函数？通过对幂函数的学习，能让学生熟练利用幂函数的性质比较两个或是多个不同指数式的大小问题和求变量范围的问题，同时，借助于几个例子加深对幂函数概念的理解也是本节研究的一个重要方面.三维目标1.通过具体实例引入幂函数的概念，会画几个常见的幂函数图象，并结合这几个幂函数的图象，了解幂函数图象的变化情况和性质.2.通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象能力和识图能力.通过利用幂函数图象解决有关问题，使学生加深对函数概念的理解，在这一过程中培养学生综合运用知识分析问题、解决问题的能力.3.在教学过程中，通过学生相互交流，来加深对幂函数概念和性质的理解，增强学生数学交流能力，同时培养学生倾听并接受别人意见的优良品质.重点难点教学重点：幂函数概念以及常见幂函数的图象和性质.教学难点：①幂指数的变化对函数图象的影响.②数形结合解决大小比较以及求含参数的问题.课时安排2课时教学过程第一课时幂函数(一)导入新课问题1：小明买一元钱一支的笔ω支，那么他需要付的钱数p(元)和他买的笔的数量之间的关系如何？问题2：小车从静止开始做加速度为2 m/s2的匀加速直线运动，试写出其位移s和时间t的关系.问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V与边长a的关系如何？问题4：如果正方形的面积为S，则正方形的边长a和面积S的关系如何？问题5：如果小华t s内骑自行车行进了1 km，那么他骑车的平均速度是多少？分析：对于问题1，它们的关系为p=ω，根据函数的定义可知，这里的p是ω的函数；对于问题2，因为初速度为零，根据位移和时间的关系以及加速度的关系，可以得到以下关系：s=t 2，这里s 是时间t 的函数；对于问题3中的正方体的体积V 与边长a 的关系很简单，即V=a 3，这里V 是a 的函数；对于问题4，由正方形的面积S 和边长a 的关系可以得到S=a 2，所以正方形的边长a 和面积S 的关系为a=S 21，这里边长a 是面积S 的函数；问题5中的平均速度为v=t -1 km/s ，这里的平均速度v 是时间t 的函数. 合作探究：以上是我们生活中经常遇到的几个函数模型，你能发现上述几个函数解析式的共同点吗？分析：由上述的p=ω；s=t 2；V=a 3；a=S 21；v=t -1这几个函数模型，我们可以发现，解析式的右边都是指数式，而且底数都是自变量.如果设自变量为x ，因变量为y ，则以上的解析式就有以下具体的函数式：y=x ；y=x 2；y=x 3；y=x 21；y=x -1.这几个函数式满足y=x α这种形式，我们把此类函数叫幂函数，这就是今天我们将要所学的又一类重要的基本初等函数模型.推进新课 新知探究1.一般地，我们把形如y=x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，a 是常数. 思考：幂函数与指数函数有什么区别？(组织学生回顾指数函数的概念，明确二者的区别，得出如下结论) 结论：幂函数和指数函数都是我们高中数学中研究的两类重要的基本初等函数，从它们的解析式来看有如下区别：对幂函数来说，底数是自变量，指数是常数；对指数函数来说，指数是自变量，底数是常数.2.请同学们在同一个坐标系内画出y=x ；y=x 2；y=x 3；y=x 21；y=x -1的函数图象(提示学生画图要列表、描点、连线)，条件好的学校可以利用计算机几何画板画出上述的几个函数图象.注：y=x ，y=x 2这两个函数图象以前学过，学生很容易就可以画出，可以不用列表描点了，关键是y=x 3；y=x 21；y=x -1这三个函数图象该如何绘制呢？老师可以边巡视边提示. 教师用多媒体显示如下图表，请学生完成下列表格的内容：y=x y=x 2y=x 3y=x 21y=x -1定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 图象范围合作探究：根据上表的内容并结合图象，试总结y=x ；y=x 2；y=x 3；y=x 21；y=x -1的共同性质(学生交流，老师结合学生的回答组织学生总结出如下性质).1.图象均过(1，1)点，特别的，y=x ；y=x 2；y=x 3；y=x 21的图象过原点和(1，1)点，而y=x -1的图象过定点(1，1)点.2.在第一象限，y=x ；y=x 2；y=x 3；y=x 21是单调递增的，其中y=x 2，y=x 3在(1，1)点的右侧是高于y=x 的图象的，y=x 21在(1，1)点的右侧是低于y=x 的图象的，而y=x -1是单调递减的.3.y=x ；y=x 3；y=x -1是奇函数，y=x 2是偶函数，y=x 21为非奇非偶函数.注：y=x -1在区间(-∞，0)和(0，+∞)是减函数，能否说y=x -1在定义域内是减函数呢？答案是否定的，原因如下：如果说y=x -1在定义域内是减函数，根据函数单调性的定义，对于定义域(-∞，0)∩(0，+∞)内任意的值，当x 1，x 2∈(-∞，0)∪(0，+∞)且x 1＜x 2有y 1＞y 2，但是在-2＜1时，却有(-2)-1＜(1)-1不能满足减函数的定义.注意：当函数f(x)的定义域不连续时，如果它在两个区间上都单调递增或单调递减，不能说函数在定义域上单调递增或单调递减，需分区间分别叙述函数f(x)在各个区间上的单调性.应用示例例1 求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性. (1)y=x 23；(2)y=x 32；(3)y=x23 ；(4)y=x -2.问题1：观察以上函数的解析式，你能发现解析式中对于自变量x 都有哪些限制条件吗？ (学生进行交流，并得出如下结论)结论：在函数解析式中含有分数指数时，可以把它们的解析式化成根式，根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域；当函数的解析式的幂指数为负数时，根据负指数幂的意义将其转化为分式形式，根据“分式的分母不能为0”这一限制条件来求出对应函数的定义域.问题2：如何来判断函数的奇偶性呢？ (学生进行交流，并得出如下结论)结论：首先要看函数的定义域是否关于数0对称，然后根据定义域内的任意自变量x 是否有f(-x)=f(x)，或f(-x)=-f(x)来进行判断.下面请同学们根据我们的分析给出完整的解答过程，老师进行课堂评价.解：(1)函数y=x 23即y=3x ，其定义域为［0，+∞)，所以它既不是奇函数也不是偶函数，在(0，+∞)上单调递增.(2)函数y=x 32即y=32x ，其定义域为R ，是偶函数，它在区间(0，+∞)上单调递增，在区间(-∞，0)上单调递减. (3)函数y=x23-即y=31x ，由x 3＞0得其定义域为(0，+∞)，所以它既不是奇函数也不是偶函数，在(0，+∞)上单调递减. (4)函数y=x -2即y=21x，由x 2≠0得其定义域为(-∞,0)∪(0，+∞)，因此函数y=x -2在定义域上是偶函数，在区间(-∞，0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减.探究：请同学们根据我们以上的分析，把上述函数图象的大概形状画出来.并总结归纳幂函数的指数变化时对幂函数定义域的影响.(学生讨论交流，老师结合学生的交流内容，总结并简单板书如下) (1)α∈N +时，x ∈R ；(2)α∈Z 且α≤0时，x ∈(-∞，0)∪(0，+∞)； (3)α=mn(其中m ，n 互质，且m ，n ∈N +)时，若m 是偶数，则x ∈{非负实数}，若m 是奇数，则x ∈R . (4)α=-mn(其中m ，n 互质，且m ，n ∈N +)时，若m 是偶数，则x ∈{正实数}，若m 是奇数，则x ∈(-∞，0)∪(0，+∞). 点评：这两个变式考查了幂函数的定义和幂函数图象特征的综合应用，尤其是幂指数的值对幂函数的单调性以及奇偶性的影响，这是学生在充分掌握幂函数的图象和性质的基础上才能解决的问题. 合作探究：我们研究的几个常见幂函数的性质，这些性质是否也适用于其他的幂函数？ (师生共同探究，师使用几何画板软件，画出函数y=x α的图象，改变指数α的值，组织学生观察、分析所得到的函数图象，在动态变化过程中让学生了解幂函数的性质，得出如下结论)知识拓展：幂函数y=x α图象的基本特征是：当α＞0时，图象过原点和(1，1)点，且在第一象限随x 的增大而上升，当α＞1时，在(1，1)点的右侧是高于y=x 的图象的，即图象越靠近y 轴；当0＜α＜1时，在(1，1)点的右侧是低于y=x 的图象的，即图象越靠近x 轴；当α＜0时，图象不过原点而过(1,1)点，且在第一象限随x 的增大而下降.可以用一句话来概括：幂函数在第一象限的图象，当幂指数越大时，函数图象也越高.例2 根据下列条件对于幂函数y=x α的有关性质的叙述，分别指出幂函数y=x α的图象具有下列特点时的α的值，其中α∈{-2,-1,21-,31,21,1,2,3}. (1)图象过原点，且在第一象限随x 的增大而上升；(2)图象不过原点，不与坐标轴相交，且在第一象限随x 的增大而下降； (3)图象关于y 轴对称，且与坐标轴相交； (4)图象关于y 轴对称，但不与坐标轴相交；(5)图象关于原点对称，且过原点； (6)图象关于原点对称，但不过原点.解：(1)因为幂函数y=x α的图象过原点，可知幂指数为正数.又函数图象随x 的增大而上升，所以α=31，21，1，2，3. (2)因为幂函数y=x α的图象不过原点，可知幂指数不大于0.又函数图象不与坐标轴相交且在第一象限随x 的增大而下降，所以α=-2，-1，21-. (3)因为幂函数y=x α的图象关于y 轴对称，所以此幂函数为偶函数，又与坐标轴相交，可知幂指数α=2.(4)因为幂函数y=x α的图象关于y 轴对称，所以此幂函数为偶函数，但不与坐标轴相交，所以幂指数α=-2.(5)因为幂函数y=x α的图象关于原点对称，所以此幂函数为奇函数，又图象过原点，所以α=31，1，3. (6)因为幂函数y=x α的图象关于原点对称，所以此幂函数为奇函数，又图象不过原点，所以α=-1.点评：通过本例的训练，加深学生对幂函数的学习和认识，对于我们生活中常见的幂函数有了更深刻的了解，我们可以根据幂函数的幂指数的具体值，来判定幂函数图象过定点，在第一象限的单调性，在定义域上的奇偶性；也可根据幂函数图象过定点，在第一象限的单调性，以及在定义域上的奇偶性来判定幂指数的具体取值，达到了这样的学习要求，就掌握了幂函数的概念和图象，从而达到我们的教学目标. 例3 已知函数y=42215x x --，(1)求函数的定义域、值域； (2)判断函数的奇偶性； (3)求函数的单调区间.分析：这是个幂函数的复合函数形式，本例中的函数的基本形式是开偶次方根，故定义域只要根式下大于或等于0即可，值域要先求根式下面二次函数的值域，然后再开方；对于复合函数奇偶性的判断，要先求定义域，定义域首先要关于原点对称，然后根据对定义域内的任意自变量x 是否有f(-x)=f(x)，或f(-x)=-f(x)来进行判断，满足前者为偶函数，满足后者为奇函数；对于复合函数单调区间的求解，则要在定义域内根据内函数和外函数的单调性来综合判断.解：令t=15-2x-x 2，则y=4t .(1)由15-2x-x 2≥0⇒-5≤x≤3，得函数的定义域为［-5，3］；而t=15-2x-x 2=16-(x+1)2∈［0，16］，所以函数的值域为［0，2］.(2)因为函数的定义域为［-5，3］不关于原点对称，所以函数既不是奇函数也不是偶函数.(3)因为函数的定义域为［-5，3］，对称轴为x=-1，所以当x ∈［-5，-1］时，t 随x 的增大而增大；当x ∈［-1，3］时，t 随x 的增大而减小.又因为y=4t 在t ∈［0，16］时，y 随t 的增大而增大，所以函数y=42215x x --的单调增区间为［-5，-1］，单调减区间为［-1，3］. 知能训练一、课本第73页练习1、2.解答：1.(1)幂函数y=x 4的定义域为R ，为偶函数；(2)幂函数y=x 41的定义域为［0，+∞)，既不是奇函数也不是偶函数；(3)幂函数y=x -3定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，为奇函数. 2.该函数的单调增区间为(-∞，+∞).二、补充练习1.下列函数中，是幂函数的是( ) A.y=2x B.y=2x 2 C.y=x1D.y=2x 分析：由幂函数的定义知，形如y=x α的形式. 答案：C2.下列结论正确的是( ) A.幂函数的图象一定过原点B.当α＜0时，幂函数y=x α是减函数C.当α＞1时，幂函数y=x α是增函数D.函数y=x 2既是二次函数，也是幂函数分析：对于A ，只有幂指数α＞0时，幂函数的图象过原点；对于B ，当α＜0时，幂函数y=x α在第一象限是减函数；对于C ，当α＞1时，幂函数y=x α在第一象限是增函数，而不能说整个函数是增函数；对于D ，显然是对的. 答案：D3.下列函数中，在区间(-∞，0)上是增函数的是( )A.y=2x 3B.y=x 2C.y=x1D.y=-2x 23分析：由幂函数的图象特征可得. 答案：A 4.函数y=(x 2-2x)21-的定义域是( )A .{x|x≠0或x≠2} B.(-∞，0)∪(2，+∞) C.(-∞，0］∪［2，+∞) D.(0，2) 分析：由函数y=(x 2-2x)21-=xx 212-可得，x 2-2x ＞0.答案：B5.对于函数y=x 2和y=x 21有下列说法：a.两个函数都是幂函数；b.两个函数在第一象限都是单调递增的；c.它们的图象关于直线y=x 对称；d.两个函数都是偶函数；e.两个函数都经过(0，0)、(1，1)点；f.两个函数的图象都是抛物线形；g.两个函数互为反函数. 其中正确的是______________(把你认为正确的都写上).分析：由y=x 2和y=x 21这两个幂函数的图象特征可以观察出a 、b 、e 、f 是正确的. 答案：a 、b 、e 、f 课堂小结1.幂函数的概念及其和指数函数表达式的区别.2.常见幂函数的图象特征.3.幂指数取值不同时对函数图象的影响.4.给出幂函数能求出其幂函数的定义域、值域，判断函数的奇偶性，求函数的单调区间等问题. 作业1.课本第73页习题2.4的1、3.2.借助有关数学软件，通过研究，写一篇“幂指数对幂函数性质的影响”的小论文.要求要详细，如定点，单调性，奇偶性等.设计感想这节课是幂函数的第一课时，主要教学目标就是幂函数的概念和图象以及常见幂函数的性质.本来学生对幂函数的概念比较陌生，但是本课时采用了从生活实例导入，让学生感受幂函数就在我们身边，从而增近学生和幂函数的距离，这是本节的一大亮点.由实例得到的函数模型引出课题，即幂函数的概念，它的形式和指数函数在形式上有些相似，但是又不同，试让学生比较两个函数的区别，从而让学生把两者区分开.并采用通过几个常见幂函数的图象来研究幂函数的图象特征，尤其是幂指数的变化对幂函数性质的影响，这要靠教师在课堂上利用计算机演示给学生看，让学生深刻地理解和掌握幂函数的概念和图象. 本节采用三个例题来加强幂函数概念的理解，例1是求幂函数的定义域，并指出幂函数的单调性，奇偶性；例2是在学生充分了解幂函数的图象和性质的基础上设计的，根据幂函数图象的过定点、关于坐标轴或原点对称来确定题目中所给出的幂指数的具体值.例3是对例2的补充和加深，难度比较大，老师可根据学生的情况选择性地讲解.在作业中设计了让学生通过自己利用数学软件画出幂函数的图象来自己研究幂函数的性质，并通过写小论文“幂指数对幂函数性质的影响”来加深学生自主学习的能力，并加深对幂函数的理解和掌握.(设计者：王银娣)第二课时 幂函数(二)导入新课 复习导入上节课我们学习了幂函数的概念以及常见幂函数的图象和性质，请同学们回顾一下有关知识.1.定义：形如y=x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数.2.幂函数y=x α的性质：当α＞0时：①图象都过点(0，0)和(1,1)；②函数在区间(0,+∞)上是增函数，即图象在第一象限是单调递增的；③当x ＞1时，指数大的图象在上方；当0＜x ＜1时，指数大的图象在下方.当α＜0时：①图象不过原点而过(1,1)点；②函数在区间(0,+∞)上是减函数，即图象在第一象限是单调递减的；③在第一象限内，图象向上无限接近y 轴，向右无限接近x 轴；④当x ＞1时，指数大的图象在上方；当0＜x ＜1时，指数大的图象在下方.无论指数正负如何，他们都有共同的性质：①图象都过点(1,1)；②当x ＞1时，指数大的图象在上方；当0＜x ＜1时，指数大的图象在下方. 应用示例思路1 例1 幂函数y=x 43，y=x 31，y=x34-的定义域分别M 、N 、P ，则( )A.M ⊆N ⊆PB.N ⊆M ⊆PC.M ⊆P ⊆ND.以上都不对分析：把上述三个幂函数的定义域分别求出来，看定义域之间的包含关系即可. 解：因为y=x 43=43x ，所以x≥0，即得M=［0，+∞)；函数y=x 31的定义域为R ，即N=R ；函数y=x34-=341x，可得x≠0，于是P=(-∞，0)∪(0，+∞).所以选D.点评：求幂函数的定义域时，需先把分数指数幂化为根式，然后令根式有意义，列出相应的不等式或不等式组，解不等式或不等式组就得到函数的定义域.以下总结当α为有理数时函数y=x α的定义域的情况：(1)当α=0时，y=x α的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞)； (2)当α是正整数时，y=x α的定义域是R ； (3)当α是正分数时，设α=qp(p ，q 为互质的正整数，且q ＞1)，如果q 是奇数，定义域是R ；如果q 是偶数，此时定义域为［0，+∞)；(4)当α是负整数时，设y=x α定义域是(-∞，0)∪(0,+∞)； (5)当α是负分数时，设α=-qp(p ，q 为互质的正整数，且q ＞1)，如果q 是奇数，则定义域是(-∞，0)∪(0，+∞)；如果q 是偶数，定义域是(0,+∞).例2 已知函数满足f(x)=ax 5+bx 3+cx-10，且f(3)=10，求f(-3)的值. 解：令g(x)=ax 5+bx 3+cx ，则f(x)=g(x)-10对于任意实数x ，都有 g(-x)=a(-x)5+b(-x)3+c(-x)=-(ax 5+bx 3+cx)=-g(x)，故g(x)为奇函数.因为f(3)=10，即f(3)=g(3)-10=10，得g(3)=20，于是有g(-3)=-20，所以f(-3)=g(-3)-10=-20-10=-30.点评：学会用整体思想考虑，考查整体的奇偶性进而求值.出现的误区：不能准确采用整体思想考虑，导致不知如何着手.例3 求下列各式中参数a 的取值范围： (1)a 43＞0.543；(2)(-2)32＞(2a+4)32.解：(1)因为a≥0，又幂函数y=x 43为区间(0，+∞)上的增函数，由a 43＞0.543可得a ＞0.5，所以a 的取值范围是(0.5，+∞).(2)方法一：函数y=x 32为偶函数，在［0，+∞)上为单调递增，在(-∞，0)上单调递减. 故有⎩⎨⎧<+≥+242042a a 或⎩⎨⎧->+<+242042a a ，解得-2≤a ＜-1或-3＜a ＜-2，综上可得参数a 的范围是-3＜a ＜-1.方法二：函数y=x 32为偶函数，在［0，+∞)上为单调递增，在(-∞，0)上单调递减.所以自变量离y 轴越远则函数值就越大，由(-2)32＞(2a+4)32，可得|2a+4|＜2，解得-3＜a ＜-1，所以参数a 的范围是(-3，-1).点评：当幂指数相同时，根据幂函数的单调性，只要比较自变量的大小即可.求参数的问题时，要找准相应的幂函数，先看定义域，根据幂函数的奇偶性和单调性建立不等式或不等式组，遇到幂函数是偶函数时，要注意分区间进行讨论. 例4 证明：y=x 在区间(0,+∞)上是增函数. 证明：任取x 1，x 2∈(0,+∞)且x 1＜x 2，则有 f(x 1)-f(x 2)=212121212121))((x x x x x x x x x x x x +-=++-=-，因为0＜x 1＜x 2，所以x 1-x 2＜0，21x x +＞0，则有2121x x x x +-＜0.所以f(x 1)-f(x 2)＜0，即f(x 1)＜f(x 2)，所以y=x 在区间(0,+∞)上是增函数.点评：在对两个函数值进行作差比较时，要化简到最简.本题中对根式作差采用的是分子有理化，因为这样就可以利用题意中x 1＜x 2这个条件，直接进行判断.思路2 例1 图中曲线是幂函数y=x α在第一象限的图象，已知α可取±2，±21四个值，则相应于曲线C 1,C 2,C 3,C 4的α依次为( )A.-2,21-,21,2 B.2,21,21-,-2 C.21-,-2,2,21 D.2,21,-2,21- 分析：因为曲线C 3,C 4的图象是递减的，所以α3＜0，α4＜0.又因为在(1,+∞)上，C 3的图象高于C 4的图象，故α4＜α3＜0，于是有α3=21-，α4=-2；C 1，C 2的图象是递增的，所以C 1＞0，C 2＞0.又因为在(1，+∞)上，C 1的图象高于C 2的图象，故α1＞α2＞0，所以α1=2，α2=21.综上可得. 答案：B例2 点(3，3)在幂函数y=f(x)的图象上，点(-22，81)在幂函数y=g(x)的图象上，试解下列不等式：(1)f(x)＞g(x)；(2)f(x)＜g(x).解：设f(x)=x α，g(x)=x β.因为点(3,3)在幂函数y=f(x)的图象上，所以(3)α=3，解得α=2；同样由点(-22，81)在幂函数y=g(x)的图象上，得(-22)β=81，解得β=-2.所以f(x)=x 2，g(x)=x -2.(1)由f(x)＞g(x)，可得x 2＞x -2，即x 4＞1，所以|x|＞1，得x ＜-1或x ＞1. 所以不等式f(x)＞g(x)的解集为(-∞，-1)∪(1，+∞).(2)由f(x)＜g(x)，可得x 2＜x -2，即可得0＜x 4＜1，所以-1＜x ＜0或0＜x ＜1. 所以不等式f(x)＜g(x)的解集为(-1，0)∪(0，1).点评：在求不等式f(x)＜g(x)的解集时，应特别注意g(x)的定义域，要注意x≠0. 例3 求下列各式中参数a 的范围： (1)(a+1)31-＜(3-2a)31-；(2)(a-1)32-＞(2+a)32-.分析：已知同指数的两个幂值的大小，可以利用幂函数的单调性进行比较自变量即可，但是要注意幂函数的定义域、单调性和奇偶性. 解：(1)因为幂函数y=x31-的单调减区间为(-∞，0)和(0,+∞)，故要分下列情况讨论：⎩⎨⎧>-<+⎪⎩⎪⎨⎧+<-<-<+⎪⎩⎪⎨⎧+<->->+.023,01123,023,01123,023,01a a a a a a a a a a 或或解上面的不等式组：得32＜a ＜23或a ＜-1.综上可得a 的范围是(-∞，-1)∪(32，23). (2)函数y=x32-为偶函数，在(0,+∞)上为单调递减，在(-∞，0)上单调递增.由(a-1) 32-＞(2+a)32-可得0＜|a-1|＜|2+a|，解得a ＞21-，且a≠1.所以a 的范围是(21-，1)∪(1,+∞). 点评：利用幂函数的单调性求参数的问题时，需注意：找准相应的幂函数，准确判断幂函数的奇偶性和单调性；定义域不要遗漏；注意分类讨论的思想. 例4 判断函数y=x -+1的单调性并给出证明.解：因为-x≥0，得x≤0，即函数的定义域为(-∞，0］，在定义域内任取x 1，x 2，且x 1＜x 2，则f(x 1)-f(x 2)=)1(121+--+-x x =211221x x x x x x -+--=---，因为x 1＜x 2≤0，故有-x 1＞-x 2≥0，所以x 2-x 1＞0，21x x -+-＞0， 所以2112x x x x -+--＞0，即f(x 1)-f(x 2)＞0，所以f(x 1)＞f(x 2).所以函数y=x -+1为在定义域(-x ，0］上的减函数. 例5 已知幂函数y=322--n n x(n ∈N )为偶函数，它的图象与坐标轴都无交点，求自然数n 的值.解：因为函数y=322--n n x(n ∈N )的图象与坐标轴都无交点，于是有n 2-2n-3≤0，即得-1≤n≤3，n ∈N ，所以n 可取-1，0，1，2，3，又此函数为偶函数，故指数为非负偶数.当n=-1或n=3时，y=x 0满足题意；当n=0或n=2时，y=x -3，不满足题意，故舍去；当n=1时，y=x -4满足题意.综上可得：n 可取-1，1，3.点评：不要漏掉n=-1或n=3的情况，即函数解析式为y=x 0的情况，教师在教学时要结合图象讲解. 知能训练1.在下列四个函数(1)y=x 31,(2)y=x 21,(3)y=x -2,(4)y=x 0中为偶函数的是( )A.(1)B.(1)(3)C.(3)(4)D.(1)(2)(3)(4) 2.当x ∈(0,1)时，幂函数y=x n (n ∈Q)的图象在直线y=x 的上方，则n 的取值范围为( ) A.n ＜1 B.n ＞1 C.0＜n ＜1 D.0≤n ＜1 3.若0＜m ＜n ＜1，则( )A.m -m ＞m -nB.m -m ＞n -nC.m n ＞n nD.n m ＞m m 4.函数y=1+1-x 的图象可以看成由幂函数y=x 21的图象( ) A.向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到的 B.向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到的 C.向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的 D.向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到的5.已知函数g(x)的图象与函数f(x)=x 23+1的图象关于直线y=x 对称，则g(9)的值等于( )A.2B.4C.28D.2 6.若(x-1)-2＞(2+x)-2，则x 的取值范围是____________. 答案：1—5:C 、A 、D 、C 、B ；6. 答案：(21-，1)∪(1,+∞). 点评：此练习是在掌握幂函数性质的基础上的加深练习，对知识起巩固作用. 课堂小结1.利用幂函数的单调性比较几个数值的大小；2.幂函数的单调性；3.幂函数的奇偶性；4.运用幂函数的单调性以及奇偶性求解一些含参数的问题. 作业课本第73页习题2.4第2、4、5题.设计感想本节课是幂函数的第二节课时，主要研究根据幂函数的性质，比较两个或多个同指数的指数式的大小问题、利用幂函数的单调性求参数的问题、用定义证明单调性问题、复合函数的定义域、值域以及单调区间等问题. 设计思路一选取的例题比较基础，但考查的知识点很全面，有利于学生对幂函数的基本性质的掌握，适合普通班的教学.设计思路二也解决了利用幂函数的单调性进行大小比较、求解参数、单调性证明等问题，但是在例题的选取上作了精心的挑选.对学生的审题、解题能力要求比较高，适合中等以上的学生学习.在教学过程中老师可利用学校的教学资源进行多媒体教学，数形结合授课学生比较容易接受.通过利用幂函数的图象和性质解决有关问题，使学生加深对幂函数概念的理解，在这一过程中培养学生综合运用知识分析问题、解决问题的能力，同时增强学生数学交流能力.习题详解课本第73页习题2.41.(1)因为函数y=x 21在定义域［0，+∞)上单调递增，且0＜5.23＜5.24，所以5.2321＜5.2421；(2)因为函数y=x -1在定义域(0，+∞)上单调递减，且0＜0.26＜0.27，所以0.26-1＞0.27-1；(3)因为函数y=x 3在定义域R 上单调递增，且-0.72＞-0.75，所以(-0.72)3＞(-0.75)3. 2.(1)因为y=x 32=32x ，所以函数的定义域为R ； (2)因为y=x 65=65x ，所以函数的定义域为［0，+∞)； (3)因为y=x54-=541x ，所以函数的定义域为(-∞，0)∪(0,+∞)；(4)因为y=x23-=231x，所以函数的定义域为(0，+∞).3.如图，根据已知可得函数y=x 32的定义域为R ，由函数奇偶性的定义可得函数y=x 32是偶函数，所以它的图象关于y 轴对称，且在区间(-∞，0］上单调递减，在区间［0，+∞)上单调递增.4.如图，函数y=x 21的图象和函数y=x 31的图象的共同点是：都过点(0，0)，(1，1)；且在定义域内是增函数.不同点是：y=x 21是非奇非偶函数，y=x 31是奇函数.函数y=x -1的图象和函数y=x -2的图象的共同点是：都过点(1,1)，且在区间(0，+∞)上是减函数.不同点是：y=x -1是奇函数，y=x -2是偶函数.5.设正比例常数为k ，车身长为l ，则d=klv 2.依题意得1.44×4=k·602×4，解得k=0.000 4，所以d=0.000 4v 2·4=0.001 6v 2=0.5×4，则v=252km/h.所以d=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<.225,0016.0,2250,22v v v。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 3.3 幂函数》01
?幂函数?教学设计一、教材分析幂函数是江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书数学〔必修1〕第二章第四节的内容。
该教学内容在人教版试验修订本〔必修〕中已被删去。
标准将该内容重新提出，正是考虑到幂函数在实际生活的应用。
故在教学过程及后继学习过程中，应能够让学生体会其实际应用。
?标准?将幂函数限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质。
其中，学生在初中已经学习了=、=2、=-1等三个简单的幂函数，对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识。
现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构。
学生已经了解了函数的根本概念、性质和图象，研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数，对研究函数已经有了根本思路和方法。
因此，教材安排学习幂函数，除内容本身外，掌握研究函数的一般思想方法是另一目的，另外应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径。
该内容安排一课时。
二、教学目标鉴于上述对教材的分析和新课程的理念确定如下教学目标：⑴掌握幂函数的形式特征，掌握具体幂函数的图象和性质。
⑵能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题。
⑶加深学生对研究函数性质的根本方法和流程的经验。
⑷培养学生观察、分析、归纳能力。
了解类比法在研究问题中的作用。
三、教学方法和教具的选择基于对课程理念的理解和对教材的分析，运用问题情境可以使学生较快的进入数学知识情景，使学生对数学知识结构作主动性的扩展，通过问题的导引，学生对数学问题探究，进行数学建构，并能运用数学知识解决问题，让学生有运用数学成功的体验。
本课采用教师在学生原有的知识经验和方法上，引导学生提出问题、解决问题的教学方法，表达以学生为主体，教师主导作用的教学思想。
教具：多媒体。
制作多媒体课件以提高教学效率。
四、教学重点和难点重点是从具体幂函数归纳认识幂函数的一些性质并作简单应用。
难点是引导学生概括出幂函数性质。
五、教学流程基于新课程理念在教学过程中的表达，教学流程的基线为：1考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数，对函数的学习、研究有了一定的经验和根本方法，所以教学流程又分两条线，一条以内容为明线，另一条以研究函数的根本内容和方法为暗线，教学过程中同时展开。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§30 幂函数（2）
主备：石海卫 审核：高干 校对：李智军
一、教学重、难点
幂函数的图象和性质
二、新课导航
1。
在同一坐标系中作出幂函数2
x y =，3
x y =，21x y =，3
1x y =,1
-=x y ，
2-=x y ,y x =
0y x =的图象，
2．根据上述函数图象探索幂函数a
x y =图象的规律
三、合作探究
活动1求下列幂函数的定义域:
（1）3
2
x y =； (2）3
2-
=x y ； （3)2
3-
=x y ； （4）4
32
1)
3()
1(-
--++=x x y ．
活动2、比较下列各组数的大小： （1）3
13
1
7
.1,5
.1; （2）6
.16
.15
.2,4
.2--； （3）3
1232
3
)
2(,4.1,3
.1-．
活动3、求证：幂函数1
2
()f x x =在),0[+∞上是单调增函数．
四、提高拓展
1．下列命题中正确的是 ．
(1）当0=n 时，幂函数n
x y =的图象是一条直线； (2）幂函数的图象一
定经过)0,0(和)1,1(; （3)幂函数的图象不可能经过第四象限;（4）若幂函数n
x y =是奇函数，则其必是单调增函数．
2．求下列幂函数的定义域：
（1）6
5x y =； （2）5
4-
=x y ； (3）2
1)32(-
-=x y .
3。
若3
1 3
1 )
23()
1(---<+a a ，试求a 的取值范围.
五、知识网点
§30 幂函数（2）作业
班级 姓名 学号 得分 日期
一、填空题
1．下列说法正确的是 ． （1）函数4
-=x y 是偶函数,在),0(+∞上是减函数；
（2）函数2
3x y =是奇函数,在),0(+∞上是增函数； (3）函数2
1 -=x y 是偶函数，在),0(+∞上是减函数；。