北师大版高中数学必修1《二章 函数 5 简单的幂函数 简单的幂函数》优质课教案_29

简单的幂函数
教学目标：
一、知识与技能：
1、幂函数的概念以及简单幂函数的图像和性质；
2、奇函数与偶函数的概念及其判断。

二、过程与方法：
通过常见的一次函数、二次函数、反比例函数的图像与性质，得出幂函数的概念，并总结出奇偶函数的概念与性质。

三、情感态度与价值观：
通过本节学习，增强学生数形结合的思想。

教学重点：
1、幂函数的理解与应用；
2、函数奇偶性的判断。

教学难点：
函数奇偶性的判断
教学过程：
一、 课题引入
我们以前学习过这样几个函数：
x x y y y x y x 211),(,===
=-
下面画出它们的图像
(1)y=x
(2)x y 1
-= (3)x y 2
= 从它们解析式的形式上看，底数都是自变量x ，只是指数不同，而且指数都是常数。

这样的函数，就是本节课所要研究的幂函数。

二、 讲授新课
1、幂函数的概念
幂函数：如果一个函数，底数是自变量x ，指数是常数α，即x y α=
，这样的函数称为幂函数。

注：（1）条件：指数是常数，底数是自变量x ，系数为1
（2）幂函数x y α=中，α为任意实数。

在第三章将进一步讨论。

例1：指出下列哪些函数是幂函数
答:(1)、（6）是幂函数
例2：画出幂函数x y 3=的图象,并讨论其图象特征.
2
3220)6()1()5(2)4()3()2()1(x y x y x y x y x y x y x =+==-===
特点：（1）定义域为R,值域也为R ，且在R 上单调递增；
（2）图像关于原点对称，且对于任意的R x ∈，都有f(-x)=-f(x). 再观察x y 2
=的图像，说出它有哪些特征？ 特点：（1）定义域为R,值域也为R ，且在(- ∞,0]上单调递减，[0,+ ∞） 上单调递增。

（2）其图像关于y 轴对称，且对任意的R x ∈，都有f(-x)=f(x) 可以得出幂函数的性质：
（1）幂函数图像恒过点（1,1）;
（2）α<0时，在区间[0,+ ∞）上，y 随x 的增大而减小；
（3）α=0时，是常函数，不具有单调性；
（4）α>0时，在区间[0,+ ∞）上，y 随x 的增大而增大。

2、函数的奇偶性
（1）奇函数
定义1：图像关于原点对称的函数，叫作奇函数
]
3,3(,13)2(3)1(2-∈+=-=x x y x y 的值
求时为减函数，是幂函数，且练习：函数m x x m m y m m ),0()1(3222+∞∈--=--
定义2：在函数f(x)中,对于定义域内的任意自变量x ，若有f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数。

如上面提到的函数y=x, x y 1-= 和x y 3=，它们都是奇函数。

（2）偶函数
定义1：图像关于y 轴对称的函数，叫作偶函数
定义2：在函数f(x)中，对于定义域内的任意自变量x,若有f(-x)=-f(x)，则f(x)为偶函数。

如x y 2=，x y 2=+1等
例3：判断下列函数的奇偶性 x x f 52)()1(-=； 2)()2(4+=x x f ； 12)()3(3+=x x f ;
)5,5[,3)()4(2
-∈=x x f x ； （5）f(x)=0； （6）f(x)=1 解：(1)因为f(x)定义域为R ， 又f(-x)=x x 55
22)(=--=-f(x) 所以f(x)为奇函数；
（2）因为f(x)定义域为R ， 又f(-x)=)(2244
)(x f x x =+=+- 所以f(x)为偶函数；
（3）因为f(x)定义域为R ， 又1212)(33
)(+-=+=--x x x f 所以)()(x f x f ≠-，且)()(x f x f -≠-
故f(x)既不是奇函数，也不是偶函数；
（4）因为f(x)定义域不关于原点对称，即对于定义域的f(x)=f(-5)
时,f(-x)=f(5)不存在
故f(x)既不是奇函数，也不是偶函数；
(5)因为f(x)定义域为R ， 又f(-x)=0
所以f(-x)=f(x),且f(-x)=-f(x)
故f(x)既是奇函数又是偶函数。

(6)因为f(x)定义域为R ， 又f （-x ）=1=f(x)
所以f(x)为偶函数
结论: (1)当函数f(x)是奇函数或偶函数时称函数具有奇偶性。

（2）由定义可知奇函数和偶函数的定义域一定关于原点对称。

判断函数的奇偶性的步骤：
第一步：考查定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数不具有奇偶性；若对称，则进行第二步的判断。

第二步：法一、求出f(-x)，若f(-x)=-f(x)，则该函数是奇函数；若 f(-x)=f(x)，则该函数是偶函数；否则函数是非奇非偶函数。

法二、对于容易画图象的函数也可利用图象进行判断。

课堂联系：
判断下列函数的奇偶性：
;14)3();5,2(,2)2(;2)1(2
3+=-∈=-=x x y x y y
解：（1）奇函数；（2）非奇非偶函数；（3）偶函数。

课时小结
本节课学习了学习了简单幂函数的图像与性质，并学习了函数奇偶性的判断方法—图像法与解析法：（1）图像法：图像关于原点对称—奇函数；图像关于y 轴对称—偶函数。

（2）解析法：对于函数定义域内的任意自变量x ，若有f(-x)=-f(x),则为奇函数；若有f(-x)=f(x)，则为偶函数。

作业：
1、 若二次函数f(x)=(m-1)x 2+2mx+3是偶函数,试判f(x)在(- ∞,0]上
的单调性？
2、 判断下列函数的奇偶性
教学反思：
本节课在前面二次函数等常见函数的基础上，给出了幂函数的概念，在给出感念后，我给出例题让学生来判断，从而强调了形如x y α=
形式的函数才是幂函数。

在讲函数x y 3=时，我故意让学生用列表法的
方式画处其图像，让他们更直观地通过图像了解其性质。

通过对几个常见函数图像的观察，更容易从图像引入函数奇偶性的概念。

不过从解析法来判断函数的奇偶性，讲授起来有点突然，不少学生一知半解，不过通过几个例题的演示，学生懂了很多。

不过我还得继续找讲解的方法，以致能更好地讲授解析法判断函数的奇偶性。

其实幂函数还有好多内容需要讲解，我总感觉课堂时间有限，还得多和别的老师交流，使自己的教学更有长进。

1)1(2)4(3)3(]3,3(,13)2(3)1(222++=-=-∈+=-=x y x y x x y x y
怀远一中考评课简单的幂函数
授课人：潘永畅。