近年高考数学复习 第2章 函数、导数及其应用 第3节 函数的奇偶性与周期性教师用书 文 北师大版(

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第三节函数的奇偶性与周期性［考纲传真] 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义。

2.会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性。

3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．奇函数、偶函数的概念图像关于原点对称的函数叫作奇函数．图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．2．奇（偶）函数的性质(1）对于函数f （x)，f (x）为奇函数⇔f （－x)＝－f （x）；f (x）为偶函数⇔f （－x)＝f (x）．(2）奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性．（3）如果奇函数y＝f （x）在原点有定义，则f （0）＝0。

3．函数的周期性(1)对于函数f (x),如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f (x＋T)＝f （x），则f (x)为周期函数．（2）最小正周期：如果在周期函数f (x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f （x）的最小正周期．（3）若T是函数y＝f (x）的一个周期，则nT（n∈Z，且n≠0)也是函数y＝f （x)的一个周期．1．（思考辨析)判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×"）（1)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点．（)(2)若函数y＝f (x＋a）是偶函数,则函数y＝f (x)关于直线x＝a对称．( )(3）若函数y＝f （x＋b）是奇函数,则函数y＝f （x)关于点（b，0)中心对称．（）（4)函数f (x)在定义域上满足f (x＋a)＝－f （x)，则f (x)是周期为2a(a＞0）的周期函数．（）[答案] (1)×(2）√（3)√(4）√2．已知f (x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是（）【导学号：66482035】A．－错误!B．错误!C．错误!D．－错误!B［依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴b＝0且a＝错误!，则a＋b＝错误!。

]3．（2015·广东高考）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A．y＝x＋sin2x B．y＝x2－cos xC．y＝2x＋错误!D．y＝x2＋sin xD［A项,定义域为R，f (－x）＝－x－sin2x＝－f （x),为奇函数，故不符合题意;B项，定义域为R，f (－x）＝x2－cos x＝f （x)，为偶函数,故不符合题意;C项,定义域为R,f （－x)＝2－x＋错误!＝2x＋错误!＝f (x)，为偶函数，故不符合题意；D项，定义域为R,f (－x）＝x2－sin x，－f (x)＝－x2－sin x，因为f (－x）≠－f (x），且f （－x)≠f （x)，故为非奇非偶函数．］4．(2016·四川高考）若函数f (x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x〈1时，f (x)＝4x，则f 错误!＋f （2）＝________。

－2[∵f (x)是周期为2的奇函数，∴f 错误!＝f 错误!＝－f 错误!＝－4错误!＝－2，f (2）＝f （0)＝0，∴f 错误!＋f （2)＝－2＋0＝－2。

]5．(教材改编)已知函数f （x）是定义在R上的奇函数,当x≥0时，f （x）＝x（1＋x)，则x＜0时，f （x）＝________.x(1－x)［当x＜0时，则－x＞0，∴f (－x）＝（－x)（1－x）．又f (x）为奇函数，∴f (－x）＝－f （x)＝(－x)（1－x),∴f (x)＝x（1－x)．］函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性：(1)f （x）＝x3－2x;(2)f （x)＝（x＋1)错误!;(3）f （x）＝错误3－2(－x）＝－x3＋2x＝－(x3－2x)＝－f (x）．∴该函数为奇函数. 4分（2）由错误!≥0可得函数的定义域为（－1,1］．∵函数定义域不关于原点对称，∴函数为非奇非偶函数。

8分（3）易知函数的定义域为（－∞,0）∪（0，＋∞），关于原点对称，又当x＞0时，f （x）＝x2＋x，则当x＜0时，－x＞0，故f （－x)＝x2－x＝f （x)；当x＜0时,f （x）＝x2－x,则当x＞0时,－x＜0，故f (－x）＝x2＋x＝f (x)，故原函数是偶函数。

12分[规律方法]1。

利用定义判断函数奇偶性的步骤：2．判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (－x）与f (x)的关系，只有对各段上的x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性;也可以利用函数的图像进行判断．［变式训练1] （1）（2014·全国卷Ⅰ)设函数f （x),g（x）的定义域都为R，且f （x）是奇函数，g(x）是偶函数，则下列结论中正确的是( )A．f （x)g(x)是偶函数B．|f (x）|g（x)是奇函数C．f (x）|g（x）｜是奇函数D．|f （x)g(x）｜是奇函数(2）判断函数f (x)＝错误!＋错误!的奇偶性．（1)C [A ：令h （x ）＝f （x )·g (x )，则h （－x ）＝f (－x )·g (－x )＝－f （x )·g (x ）＝－h (x )，∴h （x )是奇函数,A 错．B:令h （x ）＝｜f (x )｜g （x )，则h （－x ）＝｜f (－x ）|g （－x ）＝｜－f （x ）｜g （x )＝｜f (x )｜g （x ）＝h (x ）,∴h （x )是偶函数，B 错．C ：令h (x )＝f （x ）|g (x ）｜,则h （－x )＝f （－x ）｜g （－x ）｜＝－f (x ）｜g （x )｜＝－h （x )，∴h (x ）是奇函数，C 正确．D ：令h (x )＝｜f (x ）·g （x )｜,则h （－x )＝|f （－x )·g （－x )｜＝|－f (x ）·g （x )|＝｜f （x ）·g （x ）｜＝h （x )，∴h (x )是偶函数，D 错．］（2）由⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x 2≥0x 2－3≥0，得x 2＝3，∴x ＝±错误!，3分 即函数f (x )的定义域为｛－错误!，错误!｝，从而f (x ）＝错误!＋错误!＝0。

8分因此f （－x ）＝－f （x ）且f (－x )＝f (x ),∴函数f (x ）既是奇函数又是偶函数. 12分 函数奇偶性的应用（1)（2015·全国卷Ⅰ）若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2）为偶函数,则a ＝________.(2）已知f （x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f （x ）＝________。

（1）1 （2)错误! [（1）∵f （x )为偶函数，∴f （－x ）－f （x ）＝0恒成立， ∴－x ln(－x ＋错误!）－x ln （x ＋错误!)＝0恒成立,∴x ln a ＝0恒成立，∴ln a ＝0，即a ＝1。

(2)∵f (x ）是定义在R 上的奇函数,∴f (0)＝0。

又当x ＜0时，－x ＞0,∴f （－x ）＝x 2＋4x .又f (x )为奇函数,∴f （－x )＝－f （x ），即f (x ）＝－x 2－4x (x ＜0），∴f (x )＝错误!］[规律方法］1。

已知函数的奇偶性求参数,一般采用待定系数法求解，根据f （x）±f (x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程（组)，进而得出参数的值；2．已知函数的奇偶性求函数值或解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性得出关于f （x）的方程（组），从而可得f （x)的值或解析式．［变式训练2] 设f （x）为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f (x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f (－1)＝( )A．－3 B．－1C．1 D．3A［因为f （x)为定义在R上的奇函数，所以有f （0）＝20＋2×0＋b＝0,解得b＝－1，所以当x≥0时，f (x)＝2x＋2x－1，所以f (－1)＝－f （1)＝－(21＋2×1－1）＝－3。

］函数的周期性及其应用设定义在∈［0,2)时,f (x）＝2x－x2，则f (0)＋f （1)＋f (2）＋…＋f （2 017）＝________。

【导学号：66482036】1 009[∵f (x＋2）＝f (x），∴函数f (x）的周期T＝2.又当x∈［0,2)时，f （x）＝2x－x2，∴f （0)＝0，f (1)＝1，f (0）＋f （1）＝1。

∴f （0)＋f （1）＝f （2）＋f (3)＝f （4）＋f （5）＝…＝f （2 016)＋f (2 017)＝1,∴f （0)＋f (1)＋f （2）＋…＋f （2 017）＝1 009.]［迁移探究1］若将本例中“f （x＋2）＝f （x）”改为“f （x＋1）＝－f (x）”，则结论如何?［解］∵f (x＋1）＝－f (x），∴f (x＋2）＝f [(x＋1）＋1]＝－f （x＋1)＝f (x). 5分故函数f (x）的周期为2。

8分由本例可知，f (0）＋f （1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝1 009。

12分[迁移探究2］若将本例中“f (x＋2)＝f (x）”改为“f （x＋1）＝错误!”，则结论如何?［解］∵f (x＋1）＝1f x，∴f （x＋2）＝f ［（x＋1）＋1］＝错误!＝f （x). 5分故函数f (x)的周期为2。

8分由本例可知，f (0）＋f （1)＋f (2）＋…＋f （2 017)＝1 009. 12分［规律方法］ 1.判断函数的周期只需证明f (x＋T)＝f (x)(T≠0）便可证明函数是周期函数，且周期为T,根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质．2．函数周期性的三个常用结论：（1)若f (x＋a）＝－f (x)，则T＝2a,(2)若f (x＋a)＝错误!，则T＝2a,（3）若f (x＋a）＝－错误!,则T＝2a（a＞0)．[变式训练3] （2017·长沙模拟（一）)已知定义在R上的函数f (x）满足f (x＋1)＝－f (x)，且f (x)＝错误!则下列函数值为1的是（）A．f (2。