专题三：概率--树状图应用

专题三：概率计算金牌数学专题系列 导入第一部分：基本知识第一节：游戏公平一、知识要点1、必然事件发生的概率为A 记作P(必然事件)= 1 ;不可能事件发生的概率为 B ,记作P(不可能事件)= 0 ;不确定事件发生的概率介于 0~1 之间,即 0 <P(不确定事件)< 1 .2、通过多次试验,我们可以用一个事件发生的 频率 来估计这一事件发生的概率 .3、用 树形图 或 列举法 可以清晰地表示出某个事件所有可能出现的结果，从而使我们较容易求简单事件的概率. 二、典型例题例题：准备两组相同的牌,每组两张,两张牌面的数字分别是1和2.从两组牌中各摸出一张为一次试验. （1）两张牌的牌面数字会出现哪些可能的结果?（2）每种结果出现的可能性（概率）相同吗? （3）两张牌面数字之和是2、3、4的概率是多少？拓展延伸：准备两组相同的牌,每组三张,三张牌面的数字分别是1、2、3.从两组牌中各摸出一张为一次试验，上述结果又会是怎样呢？三、基础训练 1.一个均匀的小正方体,各面分别标有1～6六个数字,求下列事件的概率: （1）随机掷这个小正方体,落地后朝上面数字是6的概率是 ;（2）随机掷这个小正方体两次,两次落地后朝上面数字之和为6的概率是 . 2．事先__________ _____发生的事件称为不确定事件（随机事件）。

若A 为不确定事件， 则P(A)的范围是______ _____.3．在一副扑克牌中任意抽取一张，抽到“红桃7” 的概率是 .4．从一个装有2黄2黑的袋子里有放回地两次摸到的都是黑球的概率是 。

5．密码锁的密码是一个四位数字的号码,每位上的数字都可以是0到9中的任一个,某人忘了密码的最后一位号码,此人开锁时,随意拔动最后一位号码正好能把锁打开的概率是______．若此人忘了中间两位号码,随意拔动中间两位号码正好能把锁打开的概率是______．家有神级老妈一枚，酷爱吃饺子……那天我一回家，老爸哭丧着脸向我告状，说吃了一星期饺子了。

后来问清楚了才知道，周一那天老妈包了顿饺子，剩下了点馅，然后周二又和了点面，又吃的饺子，结果这次剩下了点面，然后周三又弄了点馅，又吃了顿饺子又剩下了点馅……然后你们懂的……第一组 第二组第一组 第二组（第9题）6．把标有号码1，2，3，……，10的10个乒乓球放在一个箱子中，摇匀后，从中任意取一个，号码为小于7的奇数的概率是______．7．一副没有大小王的扑克牌中，任意抽取2张，不都是草花的概率是______． 8.在一个暗箱里放入除颜色外其它都相同的3个红球和11个黄球，搅拌均匀后随机 任取一个球，取到是红球的概率是( )A 、311B 、811C 、1114D 、3149．如图，小明周末到外婆家，走到十字路口处，记不清前面哪条路通往外婆家， 那么他能一次选对路的概率是( ) A 、12 B 、13 C 、14 D 、0 10．惠来县现在家庭的电话号码都是由7位数字组成的，一家庭的电话号码位于中间的数字为6的概率是: ( ) A 、15 B 、 16C 、 71D 、 101 11．如图所示的两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，那么两个 指针同时落在偶数上的概率是……( )A ．1925 ；B ．1025 ；C ．625 ；D ．52512．如图①，有6张写有汉字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上洗匀后 如图②摆放，从中任意翻开一张是汉字“自”的概率是( )A 、21 B 、31 C 、32 D 、6113． 一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中88次摸到黑球，估计盒中大约有白球（ ）A 、28个B 、30个C 、36个D 、42个14．在抛一枚质地均匀的硬币的实验中，如果没有硬币，则下列实验不能作为替代物的是（ ）A 、一枚均匀的骰子B 、瓶盖C 、两张相同的卡片，D 、两张扑克牌 四、知识延伸某商场门前有一停车场,共有八个停车位,分成两排，已有三辆车分别停放在了1、4、6号车位。

今有甲、乙两位顾客乘车去商场，他们先后将车随机停放在了停车场，问甲、乙二人所乘的车并排停放在一起的概率是多少？四、拓展提高：袋中装有四个红色球和两个兰色球，它们除了颜色外都相同；（1）随机从中摸出一球，恰为红球的概率是 ； （2）随机从中摸出一球，记录下颜色后放回袋中，充分混合后再随机摸出一球，两次都摸到红球的概率为 ； （3）随机从中一次摸出两个球，两球均为红球的概率是 。

第二节：投针试验一、知识要点：对复杂的随机事件发生的概率多用实验的频率估计事件发生的概率，为了减少概率发生与频率之间的误差，自 强 自 信 自 立图图② 第12题图常运用增加实验次数的方法。

二、典型例题分析例：小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别2ｍ和3ｍ的同心圆（如图），蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影小红胜，否则小明胜，未掷入圈内不算，你来当裁判。

⑴你认为游戏公平吗？为什么？ ⑵游戏结束，小明边走边想，“反过来，能否用频率估计概率的方法，来估算非规则图形的面积呢？”。

请你设计方案，解决这一问题。

（要求画出图形，说明设计步骤、原理，写出公式）随堂练习：下面关于投针试验的说法正确的是（ ）A 、 针与平行线相交的概率受两平行线间的距离的影响B 、 针与平行线相交的概率与针的长度是没有关系的C 、 试验次数越多，估算的针与平行线相交的概率越精明D 、 针与平行线相交和不相交的概率是相同的 三、基础训练： 1、当13l a =时，投针试验的概率等于（ ）A ．13πB ．23πC ．1π D ．3π22、地面上铺了24块地砖，有18块白色的，其余都是黑色的，小猫停留在任何一块地砖上的机会都相等，则小猫停留在黑色地砖上的机会为3、历史上有人做过投硬币的试验，结果如下表：试验者 投掷次数n 正面向上次数m频率m n蒲丰 4040 2048 皮尔逊 12000 6019 皮尔逊2400012012（1）计算表中出现正面向上的频率； （2）正面向上的概率约为多少？四、知识延伸：1.有一个矩形，将它四边中点连接起来，会得到一个什么图形（阴影部分）？若将一骰子（看做一个点，不考虑它的面积）投到这个矩形中，那么投到阴影部分的概率是多少？2、甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想数字， 把乙所猜数字记为b ，且a ，b 分别取数字0，1，2，3，若a ，b 满足1a b -≤，则称甲、 乙两人“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为 ．五、拓展提高：1.如图，数轴上两点A B ，，在线段AB 上任取一点，则点C 到表示1的点的距离不大于2的概率是 .2、小丁和小兰分别用掷A 、B 两枚骰子的方法来确定P(x ，y )的位置，她们规定：3- 1 3 0 A B小丁掷得的点数为x ，小兰掷得的点数为y ，那么她们各掷一次所确定的点落在已知直线62+-=x y 上的概率为（ ）A ．366B ． 181C ． 121D ． 91六、链接中考：1．（2006福州市）如图，创新广场上铺设了一种新颖的石子图案，它由五个过同一点且半径不同的圆组成，其中阴影部分铺黑色石子，其余部分铺白色石子．小鹏在规定地点随意向图案内投掷小球，每球都能落在图案内，经过多次试验，发现落在一、三、五环(阴影)内的概率分别是0.04,0.2,0.36。

如果最大圆的半径是1米,那么黑色石子区域的总面积约为 米2（精确到0.01米2）.第三节：生日相同的概率一、知识要点：用模拟试验的方法估计“生日相同的概率”。

模拟试验常用的工具分别是计算器、小球、转盘三种。

二、典型例题分析例：某种“15”选“5”的彩票规定:从1至15这15个数字中选择5个(可以重复),如果其中有2个与所公布的中奖号码(不妨设为1,2,6,8,8)相同,即可获得四等奖.利用计算器模拟试验估计获得四等奖的概率为 . 随堂练习1、和同学们交流,看看6个同学中是否有2个人同月过生日.开展调查,看看6个人中有2个人同月过生日的概率大约是 .随堂练习2、如果你手头没有硬币,那么你能用什么办法模拟掷硬币试验?你能用计算器模拟该试验吗?做一做看看结果如何.三、基础训练：1、某学校有320名学生，现对他们的生日进行统计(可以不同年) ( ) A ．至少有两人生日相 B ．不可能有两人生日相同C ．可能有两人生日相同，且可能性较大D ．可能有两人生日相同，但可能性较小 2、任选一个小于10的正整数，它恰好是3的整数倍的概率是 3、甲、乙两人在同一个月出生的概率为 ．4、盒子内有10个大小相同的小球，其中有5个红球，3个绿球和2个黄球，从中任意摸出一个球，则它不是黄球的概率为 ，不是绿球的概率为 ．5、对任意的两个人，他们生日相同的概率为 （一年以365天计算）．四、知识延伸：1．某班共50名学生，其中有20名女学生，从这50名学生中任意找出20名学生，则剩余学生中男同学约有（ ） A ．12B ．2C ．32D ．182．四只不同钢笔各有笔套，小明的弟弟胡乱把它们重新盖上，则他恰好把四只笔帽都盖对的概率是（ ） A ．148B ．124C ．19D ．14五、链接中考：1、（2007年临沂）从数字1、2、3中任取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数大于21的概率是 2、（2007年扬州）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，五月初五早上，奶奶为小明准备了四只粽子：一只肉馅，一只香肠馅，两只红枣馅，四只粽子除内部馅料不同外其他均一切相同．小明喜欢吃红枣馅的粽子． （1）请你用树状图为小明预测一下吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率；（2）在吃粽子之前，小明准备用一格均匀的正四面体骰子（如图所示）进行吃粽子的模拟试验，规定：掷得点数1向上代表肉馅，点数2向上代表香肠馅，点数3，4向上代表红枣馅，连续抛掷这个骰子两次表示随机吃两只粽子，从而估计吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率．你认为这样模拟正确吗？试说明理由．第四节：池塘里有多少条鱼一、典型例题例1.一个口袋中有10个红球和若干个白球，请通过以下试验估计口袋中白球的个数：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，再把它放回口袋中搅匀，不断重复上述过程，试验中共摸了200次，其中50次摸到红球.口袋中 有 个白球。

跟踪练习：已知一口袋中放有黑白两种颜色的球，其中黑色球6个，白色球若干，为了估算白球的个数，可以每次从中取出一球，共取50次，如果其中有白球45个，则可估算其中白球个数为多少个？简要说出你的计算过程.例2.樱桃小丸子想知道自家鱼塘中鱼的数量，她先从鱼塘中捞出100条鱼分别作上记号，再放回鱼塘，等鱼完全混合后，第一次捞出100条鱼，其中有4条带标记的鱼，放回会后，第二次又捞出100条鱼，其中有6条带标记的鱼，请你帮她估计鱼塘中鱼的数量是多少.1 2 3 1 43跟踪练习：某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉20只黄羊给它们分别作上记号然后放还，带有标记的黄羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉40只黄羊，发现其中有2只有标记.从而估计这个地区有黄羊只.二、基础训练1．某口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共72个，小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球、蓝球的频率依次为35%，25%，40%，估计袋中红球、黄球、蓝球的数目约为，，个．2．一个口袋中有10个红球和若干个白球，请通过以下试验估计口袋中白球的个数：从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中，不断重复上述过程．试验中总共摸了200次，其中有50次摸到红球．则白球有个。