运筹学-第八章

【解】动态规划求解过程如下。

阶段k ：共往数k=1,2,3,4，k=1表示第一趟初，k =4表示第三趟末（即第六年初）； 状态变量s k ：第k 趟初完好的车辆数（k =1,2,3,4），也是第k －1趟末完好的车辆数，其中s 4表示第三趟末的完好车辆数。

—决策变量x k ：第k 年初投入高负荷运行的机器数； 状态转移方程：s k +1=+(s k －x k )决策允许集合：D k (s k )={x k |0x k s k } 阶段指标：v k (s k ，x k )=100x k +80(s k －x k ) 终端条件：f 4(s 4)=0 递推方程：{}[]{}11()10()max(,)()max 10080()0.70.8()k k k k kk k k k k k k x D s k k k k k k k x s f s v s x f s x s x f x s x ++∈+≤≤=+=+-++-f k (x k )表示第k 趟初分配x k 辆车到A 地，到第3趟末的最大总运价为{}333333333440*333330()max 10080()()max {2080}100x s x s f s x s x f s x s s x s ≤≤≤≤=+-+ =+==最优{}222222222330*222220()max 10080()()max {10160}170x s x s f s x s x f s x s s x s ≤≤≤≤=+-+=+==最优{}111111111220*111110()max 10080()()max{3216}219x s x s f s x s x f s x s s x s ≤≤≤≤=+-+=+==最优：因为s 1=100，最大总运价f 1(s 1)=21900元一台设备的价格为P，运行寿命为n年，每年的维修费用是设备役龄的函数，记为C(t)，新设备的役龄为t=0。

旧设备出售的价格是设备役龄的函数，记为S(t)。

在n年末，役龄为t的设备残值为R(t)。

现有一台役龄为T的设备，在使用过程中，使用者每年都面临“继续使用”或“更新”的策略。

（列出动态规划模型）,答案：阶段k：运行年份；状态变量x k：设备的役龄t；决策变量d k：⎩⎨⎧=继续使用更新)Keep(K)place(ReRdk状态转移方程：⎩⎨⎧=+==+Kd1xRd1xkkk1k阶段指标：⎩⎨⎧==-+=⎩⎨⎧==-+=Kd)t(CRd)t(S)0(CPKd)x(CRd)x(S)0(CPvkkkkkkk递推方程：⎩⎨⎧=++=+-+=⎩⎨⎧=+=+-+=++++++KdtftCRdftSCPKdxfxCRdxfxSCPxfkkkkkkkkkkkkkk)1()()1()()0(min)()()()()0(min)(111111终端条件：f n(t)=-R(t)较难分析"1214系统可靠性问题。

一个工作系统由n个部件串联组成，见图1。

只要有一个部件失灵，整个系统就不能工作。

为提高系统的可靠性，可以增加部件的备用件。

例如，用5个部件1并联起来作为一个部件与部件2串联，如果其中一个部件失灵其它4个部件仍能正常工作。

由于系统成本（或重量、体积）的限制，应如何选择各个部件的备件数，使整个系统的可靠性最大。

图1；假设部件(1,2,,)i i n=上装有ix个备用件，该部件正常工作的概率为()i ip x。

设装一个部件i的备用件的成本为i c，要求备件的总费用为C。

那么该问题模型为：11max()01,2,,ni iini iijP p xc x Cx i n===⎧≤⎪⎨⎪≥=⎩∏∑并且为整数，（）同理，如果一个复杂的工作系统由n个部件并联组成的，只有当n个部件都失灵，整个系统就不能工作，见图2。

图2假设()i ip x为第i个部件失灵的概率，为提高系统的可靠性，可以增加部件的备用件。

由于系统成本（或重量、体积）的限制，应如何选择各个部件的备件数，使整个系统的可靠性最大。

系统的可靠性为11()ni iip x=-∏，则该问题的数学模型归结为11min()01,2,,ni iini iijP p xc x Cx i n===⎧≤⎪⎨⎪≥=⎩∏∑并且为整数，（）利用式或（）求解下列问题。

工厂设计的一种电子设备，其中有一系统由三个电子元件串联组成。

已知这三个元件的价格和可靠性如表所示，要求在设计中所使用元件的费用不超过200元，试问应如何设计使设备的可靠性达到最大。

元件单价；可靠性140235320:【解】数学模型为312123123max(10.05)(10.2)(10.4)403520200,,0xx xZx x xx x x=---++≤⎧⎨≥⎩并且为整数最优解X=(1，2，4)；可靠性Z=，总费用190。

设有一个由四个部门串联组成的系统。

为提高系统的可靠性，考虑在每个部件上并联1个、2个或3个同类元件。

每个部件i(i=1,2,3,4)配备j个并联元件（j=1,2,3）后的可靠性Rij和成本cij（单位：百元），由下表给出。

假设该系统的总成本允许为15千元。

试问如何确定各部件配备元件的数目，使该系统的可靠性最大~ji=1i=2i= 3i=4RijcijRijcijRij/cijRijcij1423…3254——53）7——————答案：可靠性为( 中运用1012部件1部件2……部件n答案：最短路径为A B1C1D2E2F，长度为26。

答案 ：这个问题可以用整数规划模型来描述。

设第i 种物品取x i 件（i=1,2,…,n ，xi 为非负整数)，背包中物品的价值为z ，则 max z= c 1x 1 +c 2x 2 ，+…+c n x n . w 1x 1 +w 2x 2 +… +w n x n≤W"x 1, x 2,…, x n 为非负整数阶段k ： 第k 次装载第k 种物品（k=1,2,…,n ）状态变量x k ： 第k 次装载时背包还可以装载的重量； 决策变量d k ： 第k 次装载第k 种物品的件数；决策允许集合： D k (x k )={d k |0 d k x k /w k ，d k 为整数}； 状态转移方程： x k +1=x k -w k d k 阶段指标： v k =c k d k ]递推方程： f k (x k )=max{c k d k +f k +1(x k +1)}=max{c k d k +f k +1(x k -w k d k )} 终端条件：f 4(x 4)=0对于一个具体问题： c 1=65，c 2=80，c 3=30 w 1=2，w 2=3，w 3=1 以及W=5用动态规划求解 对于k=3}30{max )}({max )(3/04433/033333333d x f d c x f w x d w x d ≤≤≤≤=+=列出f 3(x 3)的数值表f 3(x 3) ， x 3 D 3(x 3) x 4 30d 3+f 4(x 4) f 3(x 3) d 3* 0 0 0 0+0=0 0 [0 1 01 1 0 0+0=0 30+0=30* 30 12（ 0 1 2 2 1 0 0+0=0 30+0=30 60+0=60* 602》30 1 2 3 3 2 1 0 0+0=0 30+0=30 @60+0=60 90+0=90* 90 34 0 1 2 3 4 4 】 3 2 1 0 0+0=0 30+0=30 60+0=60 90+0=90 120+0=120*120 4?50 1 2 3 4 55 4 3 2 & 1 00+0=0 30+0=30 60+0=60 90+0=90 120+0=120 150+0=150*150 5对于k=2<)}d 3x (f d 80{max )}x (f d c {max )x (f 22323/x d 03322w /x d 02222222-+=+=≤≤≤≤列出f 2(x 2)的数值表f 2(x 2)x 2 D 2(x 2) x 380d 2+f 3(x 3) f 2(x 2) d 2* 0 0 |0 0+f 3(0)=0+0=0* 0 0 1 0 1 0+f 3(1)=0+30=30* 30 0 2 ^ 0 2 0+f 2(2)=0+60=60* 60 0 30 1 3 0 0+f 3(3)=0+90=90* ^80+f 3(0)=80+0=80 904 0 1 4 1 0+f 3(4)=0+120=120* 80+f 3(1)=80+30=110 120 `0 50 15 20+f 3(5)=0+150=150* 80+f 3(2)=80+60=140150对于k=1…)}d 2x (f d 65{max )}x (f d c {max )x (f 11212/x d 02211w /x d 01111111-+=+=≤≤≤≤列出f 1(x 1)的数值表f 1(x 1) x 1 D 1(x 1) x 265d 1+f 2(x 2) f 1(x 1) d 1* 00 ^0+f 2(0)=0+0=0* 0 0答案：阶段k：第k次装载第k种物品（k=1,2,…,n）状态变量x k：第k次装载时背包还可以装载的重量；决策变量d k：第k次装载第k种物品的件数；决策允许集合：D k(x k)={d k|0 d k x k/w k，d k为整数}；状态转移方程：x k+1=x k-w k d k阶段指标：v k=c k d k递推方程：f k(x k)=max{c k d k+f k+1(x k+1)}（=max{c k d k+f k+1(x k-w k d k)}终端条件：f4(x4)=0用动态规划求解对于k=3，列出f3(x3)的数值表f3(x3) x4=x3-20d2x3D3(x3)x435d3+f4(x4)f3(x3)d3*?000+0=0009020+0=00？0 100100+0=000200120%0+0=035+0=35*351300130100+0=0—35+0=35*3514001240200+0=0（35+0=3570+0=70*70250012503010·0+0=035+0=3570+0=70*702对于k=2列出f2(x2)的数值表f2(x2) x3=x2-41d2x2D2(x2)x3)72d2+f3(x3)f2(x2)d2* 0000+0=0*00100、100+0=0*00 200200+35=35*35030（300+35=35*350 400400+70=70*700、50015090+70=7072+0=72*721对于k=1列出f1(x1)的数值表}f1(x1) x2=x1-10d1x1D1(x1)x217d1+f2(x2)f1(x1)d1*/ 5001234550403020^100+72=7217+70=87*34+35=6951+35=8668+0=6885+0=85871由题意知，x1=50，由表f1(x1)、f2(x2)、f3(x3)，经回朔可得：*d1*=1，x2=x1-10d1=40，d2*=0，x3=x2-41d2=40，d3*=2，x4=x3-20d3=0即应取第一种物品1件,第三种物品0件,第三种物品2件,最高价值为87元,背包没有余量。