运筹学第八章--图与网络分析-胡运权PPT课件
11
链：点边交替序列 ◦ vi0 vik 闭链：v1 v2 v3 v4 v1 ◦ vi0 vik 开链：v1 v2 v3 边不同，简单链：v3 v4 v5v1v6v5 边不同且结点不同，初等链：v1 v2 v3 v4 v5v6 圈：闭链，且至少有3个不同结点，v2 v3 v4 v2 初等圈：初等闭链，v1 v2 v3 v4 v1
17
生成（支撑）树 若 V ' V , E' E ,则G’是G的支撑（生成）树。
(a)
(b)
(c)
18
最小生成树问题就是指在一个赋权的连通的无向图G中找出一 个生成树，并使得这个生成树的所有边的权数之和为最小。
1、破圈算法 步骤： （1）在给定的赋权的连通图上任找一个圈。 （2）在所找的圈中去掉一个权数最大的边（如果有两条或两 条以上的边都是权数最大的边，则任意去掉其中一条）。 （3）如果所余下的图已不包含圈，则计算结束，所余下的图 即为最小树，否则返回第1步。
v5
v6பைடு நூலகம்
(b)
v8 v7
图8-4
v1
v2
v8
v3
v4
v9
v5
v7
v6
(c)
图8-4中，(a)就是一个树，而(b)因为图中有圈所以就不是 树， (c)因为不连通所以也不是树。
16
树的基本性质 1. 任意两点间有且仅有一条链 2. 不相邻两点间添加一条边，有且仅有一个圈 3. 任意去掉一条边，得不连通图. 4. 存在悬挂点 5. m=n-1
2021/2/13
.--线性规划
23
m叉树：每个顶点的出次小于等于m 完全m叉树：每个顶点的出次等于m或0
2021/2/13
.--线性规划
24
霍夫曼树：最优二叉树
s
m(T ) min pili i1
2021/2/13
.--线性规划
25
第三节 最短路问题
最短路问题： 对一个赋权的有向图D中的指定的两个点Vs(起点)和Vt （终点）找到一条从 Vs 到 Vt 的路，使得这条路上所有 弧的权数的总和最小，这条路被称之为从Vs到Vt的最短路。 这条路上所有弧的权数的总和被称为从Vs到Vt的距离。
2021/2/13
.--线性规划
7
G=(V,E) •关联边(m)：ei •端（顶）点(n)：vi, vj •点相邻(同一条边)： v1, v3 •边相邻(同一个端点)：e2, e3
环：e1 多重边： e4, e5
8
简单图：无环无多重边 多重图：多重边
完全图：每一对顶点间都有边（弧）相连的简单图
2021/2/13
反映对象之间的关系并不是重要的。
e2
(v1) 赵
e1 e3
e4
(v2)钱 孙(v3) 李(v4)
周(v5)
图8.2
e5 吴(v6) 陈(v7)
5
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关 系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。
a1
.--线性规划
9
次（d）：结点的关联边数目
◦ d(v3)=4，偶点
◦ d(v2)=3，奇点
◦ d(v1)=4 ◦ d(v4)=1，悬挂点 ◦ e6, 悬挂边 ◦ d(v5)=0，孤立点
出次：d+(vi) 入次：d-(vi)
d (vi ) d (vi )
d (vi) = d+(vi) + d-(vi)
运筹学
赵明霞 山西大学经济与管理学院
第八章 图与网络分析
图与网络的基本概念 树 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题
2
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题
哈密尔顿回路：经过每点且仅一次 货郎担问题、快递送货问题
2021/2/13
3
第一节 图与网络的基本概念
12
路：有向图：弧的方向与链的方向一致 ◦ 开路:v1v2v4v5 ◦ 回路：第一个点和最后一个点相同。v1v2v4v5v1
13
连通图：若任何两个不同的点之间，至少存在一条链，则 G为连通图。
赋权图：对一个图的每一条边（弧）(vi,vj)，相应地有一 个数wij，则称图G为赋权图，wij称为边(vi,vj)上的权。 网络：赋权连通图 ➢无向图：开链即开路，闭链即回路 ➢有向图：弧的方向与链的方向一致。
(v2)钱
a7
a2
a8
(赵v1)
a14 a15 a3
(v4) 李
a4
a9
(v3)孙
a5
a6
a12
a11
(v5) 周
a10
(v6)吴 a13
(v7)陈
图8.3
6
无向图：由点和边构成的图，记作G =（V，E）。 有向图：由点和弧构成的图，记作D =（V，A）。
◦ 无向图是有向图的基础图G(D)
有限图 无限图
定理1 顶点次数总和等于边数的两倍。n d(vi) 2m i 1
定理2 次为奇数的顶点必为偶数个。
2021/2/13
.--线性规划
10
G (V , E), G' (V ', E' )
◦ 若 V ' V , E' E ,则G’是G的子图，G是G’的母图 G' G ◦ 若 V ' V , E' E ,则G’是G的真子图，G' G ◦ 若 V ' V , E' E ,则G’是G的支撑（生成）图。
19
例8.1
20
2、避圈算法 步骤：
（1）任找一个点S，其余各点就是 S 。
（2）在连接S与 S 的所有边中，选择权数最小的边(i, k)； （3）将最小边(i, k)的另一个端点移入S； （4）若 S 则停止，否则返回（2）。
21
例8.1
22
有向树：不考虑方向时是树
根树（外向树）：只有一个顶点入次为0，其余顶点入次为1 ◦ 根：入次为0的顶点 ◦ 叶：出次为0的顶点 ◦ 分支点 ◦ 层次：根到顶点的长度
图是由点和边构成，可以反映一些对象之间的关系。
例如：在一个人群中，对相互认识这个关系我们可以用图 来表示，图8.1就是一个表示这种关系的图。
(赵v1)
e2
(v3)孙
e1
e3
(v2)钱 (v5) 周
e4 (v4) 李
e5 (v6)吴
(v7)陈
图8.1
4
描述对象之间关系， 研究特定关系之间的内在规律， 图中点的相对位置如何、点与点之间联线的长短曲直，对于
2021/2/13
.--线性规划
14
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题
充要条件：无向图中无奇点，有向图每个顶点出次等于入次
2021/2/13
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第二节 树
树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。
v1
v2
v3
v6
v5
v4
v7
v8
v9
(a)
v1
v2
v3
v4
链：点边交替序列 ◦ vi0 vik 闭链：v1 v2 v3 v4 v1 ◦ vi0 vik 开链：v1 v2 v3 边不同，简单链：v3 v4 v5v1v6v5 边不同且结点不同，初等链：v1 v2 v3 v4 v5v6 圈：闭链，且至少有3个不同结点，v2 v3 v4 v2 初等圈：初等闭链，v1 v2 v3 v4 v1
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生成（支撑）树 若 V ' V , E' E ,则G’是G的支撑（生成）树。
(a)
(b)
(c)
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最小生成树问题就是指在一个赋权的连通的无向图G中找出一 个生成树，并使得这个生成树的所有边的权数之和为最小。
1、破圈算法 步骤： （1）在给定的赋权的连通图上任找一个圈。 （2）在所找的圈中去掉一个权数最大的边（如果有两条或两 条以上的边都是权数最大的边，则任意去掉其中一条）。 （3）如果所余下的图已不包含圈，则计算结束，所余下的图 即为最小树，否则返回第1步。
v5
v6பைடு நூலகம்
(b)
v8 v7
图8-4
v1
v2
v8
v3
v4
v9
v5
v7
v6
(c)
图8-4中，(a)就是一个树，而(b)因为图中有圈所以就不是 树， (c)因为不连通所以也不是树。
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树的基本性质 1. 任意两点间有且仅有一条链 2. 不相邻两点间添加一条边，有且仅有一个圈 3. 任意去掉一条边，得不连通图. 4. 存在悬挂点 5. m=n-1
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m叉树：每个顶点的出次小于等于m 完全m叉树：每个顶点的出次等于m或0
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霍夫曼树：最优二叉树
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m(T ) min pili i1
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第三节 最短路问题
最短路问题： 对一个赋权的有向图D中的指定的两个点Vs(起点)和Vt （终点）找到一条从 Vs 到 Vt 的路，使得这条路上所有 弧的权数的总和最小，这条路被称之为从Vs到Vt的最短路。 这条路上所有弧的权数的总和被称为从Vs到Vt的距离。
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G=(V,E) •关联边(m)：ei •端（顶）点(n)：vi, vj •点相邻(同一条边)： v1, v3 •边相邻(同一个端点)：e2, e3
环：e1 多重边： e4, e5
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简单图：无环无多重边 多重图：多重边
完全图：每一对顶点间都有边（弧）相连的简单图
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反映对象之间的关系并不是重要的。
e2
(v1) 赵
e1 e3
e4
(v2)钱 孙(v3) 李(v4)
周(v5)
图8.2
e5 吴(v6) 陈(v7)
5
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关 系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。
a1
.--线性规划
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次（d）：结点的关联边数目
◦ d(v3)=4，偶点
◦ d(v2)=3，奇点
◦ d(v1)=4 ◦ d(v4)=1，悬挂点 ◦ e6, 悬挂边 ◦ d(v5)=0，孤立点
出次：d+(vi) 入次：d-(vi)
d (vi ) d (vi )
d (vi) = d+(vi) + d-(vi)
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赵明霞 山西大学经济与管理学院
第八章 图与网络分析
图与网络的基本概念 树 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题
2
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题
哈密尔顿回路：经过每点且仅一次 货郎担问题、快递送货问题
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第一节 图与网络的基本概念
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路：有向图：弧的方向与链的方向一致 ◦ 开路:v1v2v4v5 ◦ 回路：第一个点和最后一个点相同。v1v2v4v5v1
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连通图：若任何两个不同的点之间，至少存在一条链，则 G为连通图。
赋权图：对一个图的每一条边（弧）(vi,vj)，相应地有一 个数wij，则称图G为赋权图，wij称为边(vi,vj)上的权。 网络：赋权连通图 ➢无向图：开链即开路，闭链即回路 ➢有向图：弧的方向与链的方向一致。
(v2)钱
a7
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a8
(赵v1)
a14 a15 a3
(v4) 李
a4
a9
(v3)孙
a5
a6
a12
a11
(v5) 周
a10
(v6)吴 a13
(v7)陈
图8.3
6
无向图：由点和边构成的图，记作G =（V，E）。 有向图：由点和弧构成的图，记作D =（V，A）。
◦ 无向图是有向图的基础图G(D)
有限图 无限图
定理1 顶点次数总和等于边数的两倍。n d(vi) 2m i 1
定理2 次为奇数的顶点必为偶数个。
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G (V , E), G' (V ', E' )
◦ 若 V ' V , E' E ,则G’是G的子图，G是G’的母图 G' G ◦ 若 V ' V , E' E ,则G’是G的真子图，G' G ◦ 若 V ' V , E' E ,则G’是G的支撑（生成）图。
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例8.1
20
2、避圈算法 步骤：
（1）任找一个点S，其余各点就是 S 。
（2）在连接S与 S 的所有边中，选择权数最小的边(i, k)； （3）将最小边(i, k)的另一个端点移入S； （4）若 S 则停止，否则返回（2）。
21
例8.1
22
有向树：不考虑方向时是树
根树（外向树）：只有一个顶点入次为0，其余顶点入次为1 ◦ 根：入次为0的顶点 ◦ 叶：出次为0的顶点 ◦ 分支点 ◦ 层次：根到顶点的长度
图是由点和边构成，可以反映一些对象之间的关系。
例如：在一个人群中，对相互认识这个关系我们可以用图 来表示，图8.1就是一个表示这种关系的图。
(赵v1)
e2
(v3)孙
e1
e3
(v2)钱 (v5) 周
e4 (v4) 李
e5 (v6)吴
(v7)陈
图8.1
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描述对象之间关系， 研究特定关系之间的内在规律， 图中点的相对位置如何、点与点之间联线的长短曲直，对于
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柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题
充要条件：无向图中无奇点，有向图每个顶点出次等于入次
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第二节 树
树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。
v1
v2
v3
v6
v5
v4
v7
v8
v9
(a)
v1
v2
v3
v4
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运筹学胡运权第五版课件
V5 12 7
5
4
3
2
0
1 3
1
0 4
3
4 0
v7 ∞ 10 10 8
⑶ 构造任意两点间最多可经过3个中间点到达 的最短距离矩阵 D（2）= dij（2） 其中 dij（2）= min { dir（1）+ drj（1）}
r
i
dir
（1）
r
drj（1）
j
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7
• • •
悬挂边 孤立点 偶点 奇点
悬挂点的关联边，如 e8 次为0的点 次为偶数的点，如 v2 次为奇数的点, 如 v5
5、链：图中保持关联关系的点和边的交替序列，其 中点可重复，但边不能重复。 路：点不能重复的链。 圈：起点和终点重合的链。 回路：起点和终点重合的路。 连通图：任意两点之间至少存在一条链的图。 完全图：任意两点之间都有边相连的简单图。 n(n 1) 2 n阶完全图用Kn表示，边数= C n
狄克斯屈拉算法
既可以求两点之间的最短 距离，又可以确定最短路
求某两点之间的最短距离
（0）= V2 D
5
2
∞ ∞ ∞ ∞
5
0
∞ 2
7 0 2 7
7
6
∞ ∞
∞ ∞ 2
V3 2
∞ 0
∞ 4
V4 ∞ 2
V5 ∞ 7
∞ 6
0
1
1
0 6
3
6 0
V6 ∞ ∞ 4
v7 ∞ ∞ ∞ ∞ 3
注意：D(0)是一个对称矩阵，且对角线上的元素全是0.
⑵ 构造任意两点间直接到达、或者最多经过1 个中间点到达的最短距离矩阵D（1）= dij（1） 其中
运筹学PPT完整版胡运权
C
m n
基可行解：满足变量非负约束条件的基本解，简称基可
行解。
可行基：对应于基可行解的基称为可行基。
可 行 解
非可行解
基解
基可行解
线性规划问题的数学模型
例1.4 求线性规划问题的所有基矩阵。
Page 30
解: 约束方程的系数矩阵为2×5矩阵 r(A)=2，2阶子矩阵有10个，其中基矩阵只有9个，即
运筹学的历史
“运作研究(Operational Research)小组”:解决复 杂的战略和战术问题。例如：
1. 如何合理运用雷达有效地对付德军德空袭 2. 对商船如何进行编队护航，使船队遭受德国潜
艇攻击时损失最少； 3. 在各种情况下如何调整反潜深水炸弹的爆炸深
度，才能增加对德国潜艇的杀伤力等。
Page 4
线性规划问题的数学模型
约束方程的转换：由不等式转换为等式。
aij x j bi
aij x j xni bi
xni 0 称为松弛变量
aij x j bi
aij x j xni bi
xni 0 称为剩余变量
变量 x j 的变0换 可令 xj x，j 显x然j 0
Page 23
用 x3 x3 替换 x3 ，且 x3 , x3 0
线性规划问题的数学模型
Page 25
(2) 第一个约束条件是“≤”号，在“≤”左端加入松驰变量x4， x4≥0,化为等式；
(3) 第二个约束条件是“≥”号，在“≥”左端减去剩余变量x5， x5≥0；
(4) 第3个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以(-1),将右 端常数项化为正数；
x
v a 2x2 x a dv 0 dx
2(a 2 x) x (2) (a 2 x)2 0
运筹学胡运权PPT课件
第5页/共89页
§1多 阶段 决策 过程 的最 优化
2.多阶段决策问题举例
属于多阶段决策类的问题很多， 例如：
1)工厂生产过程：由于市场需 求是一随着时间而变化的因素，因此， 为了取得全年最佳经济效益，就要在 全年的生产过程中，逐月或者逐季度 地根据库存和需求情况决定生产计划 安排。
第6页/共89页
第24页/共89页
§2动 态规 划的 基本 概念 和基 本原 理
(1) 阶 段 指 标 函 数 （ 也 称 阶 段 效 应 ） 。 用
gk(sk,uk)表示第k段处于sk状态且所作决策 为uk(sk)时的指标，则它就是第k段指标函 数，简记为gk 。图7-1的gk值就是从状态 sk到状 态 sk+1的 距离。 譬如， gk(A,B1)=4, 即A到B1的距离为3。
第20页/共89页
§2动 态规 划的 基本 概念 和基 本原 理
（三）决策、决策变量和允许决策集合
所谓决策，就是确定系统过程发展的方 案。决策的实质是关于状态的选择，是决策者 从给定阶段状态出发对下一阶段状态作出的选 择。
用以描述决策变化的量称之决策变量和 状态变量一样，决策变量可以用一个数，一组 数或一向量来描述，也可以是状态变量的函数，
状态
x1
阶段1状x态 2
阶段2状x3态...状x态k
阶段k状x态k+1...状态
阶段n
状 态
T1
T2
Tk
xn
Tn xn+1
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§1多 阶段 决策 过程 的最 优化
1.多阶段决策过程的最优化
动态规划方法与“时间”关系很密 切，随着时间过程的发展而决定各时段的 决策，产生一个决策序列，这就是“动态” 的意思。然而它也可以处理与时间无关的 静态问题，只要在问题中人为地引入“时 段”因素，就可以将其转化为一个多阶段 决策问题。在本章中将介绍这种处理方法。
《运筹学》胡运权清华版-8-04最大流
交通规划
在城市交通规划中，最大流问题可以用于解决道路流量分配问题， 优化交通流以减少拥堵和提高通行效率。
电力网络
在电力网络中，最大流问题可以用于确定电力的最优传输方案，以 满足不同地区的需求并降低传输损耗。
05
总与展望
最大流问题的重要性和意义
实际应用
最大流问题在现实世界中具有广 泛的应用，如物流网络、交通调 度和电力传输等领域，解决最大 流问题有助于提高这些系统的效 率和可靠性。
03
最大流问题的求解算法分 析
Ford-Fulkerson算法的时间复杂度分析
算法时间复杂度
Ford-Fulkerson算法的时间复杂度为O(VE^2)，其中V是顶点的数量，E是边 的数量。
原因分析
该算法通过不断寻找增广路径并更新残量值来求解最大流，每次找到增广路径 都需要遍历所有边，而增广路径的数量最多为E，因此总的时间复杂度为 O(VE^2)。
THANKS
感谢观看
流量
在有向图中，每条边都有一个非 负数表示其流量，表示该边实际 传递的流量。
增广路径与Ford-Fulkerson算法
增广路径
在有向图中，从源点出发，经过若干条边和顶点，最后回到源点的路径。
Ford-Fulkerson算法
通过不断寻找增广路径并更新流量值，最终找到最大流的算法。
预流推进算法（Push-Relabel）
理论价值
最大流问题作为运筹学中的经典 问题，具有重要的理论价值，其 研究有助于推动运筹学和组合优 化理论的深入发展。
挑战性
最大流问题是一个NP难问题，具 有很高的计算复杂度，解决该问 题需要设计高效的算法和优化技 术，具有很大的挑战性。
未来研究方向和展望
在城市交通规划中，最大流问题可以用于解决道路流量分配问题， 优化交通流以减少拥堵和提高通行效率。
电力网络
在电力网络中，最大流问题可以用于确定电力的最优传输方案，以 满足不同地区的需求并降低传输损耗。
05
总与展望
最大流问题的重要性和意义
实际应用
最大流问题在现实世界中具有广 泛的应用，如物流网络、交通调 度和电力传输等领域，解决最大 流问题有助于提高这些系统的效 率和可靠性。
03
最大流问题的求解算法分 析
Ford-Fulkerson算法的时间复杂度分析
算法时间复杂度
Ford-Fulkerson算法的时间复杂度为O(VE^2)，其中V是顶点的数量，E是边 的数量。
原因分析
该算法通过不断寻找增广路径并更新残量值来求解最大流，每次找到增广路径 都需要遍历所有边，而增广路径的数量最多为E，因此总的时间复杂度为 O(VE^2)。
THANKS
感谢观看
流量
在有向图中，每条边都有一个非 负数表示其流量，表示该边实际 传递的流量。
增广路径与Ford-Fulkerson算法
增广路径
在有向图中，从源点出发，经过若干条边和顶点，最后回到源点的路径。
Ford-Fulkerson算法
通过不断寻找增广路径并更新流量值，最终找到最大流的算法。
预流推进算法（Push-Relabel）
理论价值
最大流问题作为运筹学中的经典 问题，具有重要的理论价值，其 研究有助于推动运筹学和组合优 化理论的深入发展。
挑战性
最大流问题是一个NP难问题，具 有很高的计算复杂度，解决该问 题需要设计高效的算法和优化技 术，具有很大的挑战性。
未来研究方向和展望
运筹学课件 第八章 图与网络分析
运筹学教程
例：哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡（现名加里宁格勒）是欧洲一
个城市，Pregei河把该城分成两部分，河中 有两个小岛，十八世纪时，河两边及小岛之 间共有七座桥，当时人们提出这样的问题： 有没有办法从某处（如A）出发，经过各桥 一次且仅一次最后回到原地呢？
A C
B
运筹学教程
D
运筹学教程
最后，数学家Euler在1736年巧妙地给出 了这个问题的答案，并因此奠定了图论的基 础，Euler把A、B、C、D四块陆地分别收缩 成四个顶点，把桥表示成连接对应顶点之间 的边，问题转化为从任意一点出发，能不能 经过各边一次且仅一次，最后返回该点。这 就是著名的Euler问题。
第二阶段是从十九世纪中叶到二十世纪 中叶，这时，图论问题大量出现，如 Hamilton问题，地图染色的四色问题以 及可平面性问题等，这时，也出现用图 解 决 实 际 问 题 ， 如 Cayley 把 树 应 用 于 化 学领域，Kirchhoff用树去研究电网络等.
运筹学教程
第三阶段是二十世纪中叶以后，由生产管 理、军事、交通、运输、计算机网络等方 面提出实际问题，以及大型计算机使大规 模问题的求解成为可能，特别是以Ford和 Fulkerson建立的网络流理论，与线性规划、 动态规划等优化理论和方法相互渗透，促 进了图论对实际问题的应用。
e5
运筹学教程
v2
v3
e2
e6
v4
v5
e8
运筹学教程
二、连通图
定义8:如果图中的某些点、边可以排列成点和边的交错序列 (v0 ,e1 ,v1 ,e2 ,v2，e3 ,v3 ,…,vn-1 , en ， vn ） ，ei=(vi-1,vi)，则称 此为一条链。 由两两相邻的点及其相关联边构成的点边序列。 初等链：链中无重复的点和边； 定义9：无向图中，如一条链中起点和终点重合，则称此链为 圈。 初等圈：圈中无重复的点和边； 有向图中，当链（圈）上的边方向相同时，为道路（回路）。
运筹学第八章--图与网络分析-胡运权PPT课件
定理1 顶点次数总和等于边数的两倍。n d(vi) 2m i 1
定理2 次为奇数的顶点必为偶数个。
2020/5/29
.--线性规划
10
G (V , E), G' (V ', E' )
◦ 若 V ' V , E' E ,则G’是G的子图，G是G’的母图 G' G ◦ 若 V ' V , E' E ,则G’是G的真子图，G' G ◦ 若 V ' V , E' E ,则G’是G的支撑（生成）图。
2020/5/29
.--线性规划
9
次（d）：结点的关联边数目
◦ d(v3)=4，偶点
◦ d(v2)=3，奇点
◦ d(v1)=4 ◦ d(v4)=1，悬挂点 ◦ e6, 悬挂边 ◦ d(v5)=0，孤立点
出次：d+(vi) 入次：d-(vi)
d (vi ) d (vi )
d (vi) = d+(vi) + d-(vi)
17
生成（支撑）树 若 V ' V , E' E ,则G’是G的支撑（生成）树。
(a)
(b)
(c)
18
最小生成树问题就是指在一个赋权的连通的无向图G中找出一 个生成树，并使得这个生成树的所有边的权数之和为最小。
1、破圈算法 步骤： （1）在给定的赋权的连通图上任找一个圈。 （2）在所找的圈中去掉一个权数最大的边（如果有两条或两 条以上的边都是权数最大的边，则任意去掉其中一条）。 （3）如果所余下的图已不包含圈，则计算结束，所余下的图 即为最小树，否则返回第1步。
19
例8.1
20
2、避圈算法 步骤：
运筹学ppt课件
– 无穷多个最优解。若将例1中的目标函数变为 max z=50x1+50x2，则线段BC上的所有点都代表 了最优解；
– 无界解。即可行域的范围延伸到无穷远，目标 函数值可以无穷大或无穷小。一般来说，这说 明模型有错，忽略了一些必要的约束条件；
– 无可行解。若在例1的数学模型中再增加一个约 束条件4x1+3x2≥1200，则可行域为空域，不存在 满足约束条件的解，当然也就不存在最优解了。
• 交叉学科 --涉及经济、管理、数学、工程和系统等 多学科
• 开放性 --不断产生新的问题和学科分支
• 多分支 --问题的复杂和多样性
2
运筹学的主要内容
线性规划
数 非线性规划
学
整数规划
规
动态规划
划
多目标规划
学
双层规划
最优计数问题
科
组 合
网络优化
内
优 排序问题 化 统筹图
容
对策论
随 排队论
机 优 化
13
组织 宝洁公司 法国国家铁路
应用
Interface 每年节支 期刊号 （美元）
重新设计北美生产和分销系统以 1-2/1997 2亿 降低成本并加快了市场进入速 度
制定最优铁路时刻表并调整铁路 1-2/1998 1500万更多
日运营量
年收入
Delta航空公司 IBM
进行上千个国内航线的飞机优化 配置来最大化利润
负。当某一个右端项系数为负时，如 bi<0，则把该 等式约束两端同时乘以-1，得到：-ai1 x1-ai2 x2… -ain xn = -bi。
30
例：将以下线性规划问题转化为标准形式
则该极小化问题与下面的极大化问题有相同的最优解，
– 无界解。即可行域的范围延伸到无穷远，目标 函数值可以无穷大或无穷小。一般来说，这说 明模型有错，忽略了一些必要的约束条件；
– 无可行解。若在例1的数学模型中再增加一个约 束条件4x1+3x2≥1200，则可行域为空域，不存在 满足约束条件的解，当然也就不存在最优解了。
• 交叉学科 --涉及经济、管理、数学、工程和系统等 多学科
• 开放性 --不断产生新的问题和学科分支
• 多分支 --问题的复杂和多样性
2
运筹学的主要内容
线性规划
数 非线性规划
学
整数规划
规
动态规划
划
多目标规划
学
双层规划
最优计数问题
科
组 合
网络优化
内
优 排序问题 化 统筹图
容
对策论
随 排队论
机 优 化
13
组织 宝洁公司 法国国家铁路
应用
Interface 每年节支 期刊号 （美元）
重新设计北美生产和分销系统以 1-2/1997 2亿 降低成本并加快了市场进入速 度
制定最优铁路时刻表并调整铁路 1-2/1998 1500万更多
日运营量
年收入
Delta航空公司 IBM
进行上千个国内航线的飞机优化 配置来最大化利润
负。当某一个右端项系数为负时，如 bi<0，则把该 等式约束两端同时乘以-1，得到：-ai1 x1-ai2 x2… -ain xn = -bi。
30
例：将以下线性规划问题转化为标准形式
则该极小化问题与下面的极大化问题有相同的最优解，
图与网络分析 胡运权 第四版 运筹学PPT课件
4
3.关联与相邻
❖关联（边与点的关系）：若e是v1、v2两点间
的边，记e=[v1，v2 ]，称v1、v2 与e关联。
v1
e
v2
❖相邻（有公共边，称点v1与v2相邻；
边e1与e2 有公共点，称边e1与e2相邻。
e1
V2
V1
e2
V3
5
4. 链、圈与连通图
■链:由图G中的某些点与边相间构成的序列 {V1,e1,V2,e2, ……,Vk,ek},若满足 ei=[Vi, Vi ],则称此
（4）A={v1,v2,v4}
[0,v1]
[2,v1]
2
6
v1
v2
v3
1 [1,v1]10
5
9
3
v4
7
v5
6
5
2
3
4
v6
v7
4
[3,v1]
v8 8
考虑边（v1,v6),(v2,v3),(v2,v5),(v4,v7)
计算min { 0+3, 2+6, 2+5, 1+2}=min {3,8,7,3}=3
70
费用、容量等），则称这样 1
4
的图为网络图。
20
45
3
4.2 最小支撑树问题
C1 根
C2
C3
C4
叶
❖树：无圈的连通图，记为T。
8
❖树的性质
■ 树中任意两个节点间有 且只有一条链。
2
3
1
5
4
■ 在树中任意去掉一条边， 1
则不连通。
2
3
5
4
■如果树T有m个结点，则 边的个数为m-1。
3.关联与相邻
❖关联（边与点的关系）：若e是v1、v2两点间
的边，记e=[v1，v2 ]，称v1、v2 与e关联。
v1
e
v2
❖相邻（有公共边，称点v1与v2相邻；
边e1与e2 有公共点，称边e1与e2相邻。
e1
V2
V1
e2
V3
5
4. 链、圈与连通图
■链:由图G中的某些点与边相间构成的序列 {V1,e1,V2,e2, ……,Vk,ek},若满足 ei=[Vi, Vi ],则称此
（4）A={v1,v2,v4}
[0,v1]
[2,v1]
2
6
v1
v2
v3
1 [1,v1]10
5
9
3
v4
7
v5
6
5
2
3
4
v6
v7
4
[3,v1]
v8 8
考虑边（v1,v6),(v2,v3),(v2,v5),(v4,v7)
计算min { 0+3, 2+6, 2+5, 1+2}=min {3,8,7,3}=3
70
费用、容量等），则称这样 1
4
的图为网络图。
20
45
3
4.2 最小支撑树问题
C1 根
C2
C3
C4
叶
❖树：无圈的连通图，记为T。
8
❖树的性质
■ 树中任意两个节点间有 且只有一条链。
2
3
1
5
4
■ 在树中任意去掉一条边， 1
则不连通。
2
3
5
4
■如果树T有m个结点，则 边的个数为m-1。
运筹学基础及应用第五版 胡运权
第八章 动态规划
8.1 多阶段决策问题 8.2 最优化原理与动态规划的数学模型 8.3 离散确定性动态规划模型的求解 8.4 离散随机性动态规划模型的求解
8.5 一般数学规划模型的动态规划 解法
1
学习要点：
理解动态规划基本概念、最优化 原理和基本方程，逆序法和顺序解法，学 习应用动态规划解决多阶段决策问题。
34
最优化原理Optimization Principl
作为整个过程的最优策略具有这样的性质： • 无论过去的状态和决策如何，对先前决策
所形成的状态而言，余下的诸决策必构成 最优策略。
B M A
若M是从A到B的最优路线上的一点，则从 M到B的路线也是最优的。
35
动态规划的基本方程
（最优化原理的应用）
重点 :掌握动态规划模型结构、 逆序法算法原理、资源分配、设备更新、 生产与存贮等问题。
2
第一节 多阶段的决策 问题
3
动态规划（Dynamic Programming）
R. Bellman50年代执教于普林斯顿和斯坦福大学， 后进入兰德（Rand）研究所。1957年发表“Dynamic Programming”一书，标识动态规划的正式诞生。
3
3
C3
3
f(C3)=6
f(D1)=3
D1
3
f(E)=0
E
D2 4
f(D2)=4
状态 最优决策 状态
决A策 （状态A，B3）
B3
最优决策
状态
最优决策
状态
最优
21
f(B1)=11
f(A)=11
A
B1 7 5 6
2 f(B2)=7 3
5
B2 2
8.1 多阶段决策问题 8.2 最优化原理与动态规划的数学模型 8.3 离散确定性动态规划模型的求解 8.4 离散随机性动态规划模型的求解
8.5 一般数学规划模型的动态规划 解法
1
学习要点：
理解动态规划基本概念、最优化 原理和基本方程，逆序法和顺序解法，学 习应用动态规划解决多阶段决策问题。
34
最优化原理Optimization Principl
作为整个过程的最优策略具有这样的性质： • 无论过去的状态和决策如何，对先前决策
所形成的状态而言，余下的诸决策必构成 最优策略。
B M A
若M是从A到B的最优路线上的一点，则从 M到B的路线也是最优的。
35
动态规划的基本方程
（最优化原理的应用）
重点 :掌握动态规划模型结构、 逆序法算法原理、资源分配、设备更新、 生产与存贮等问题。
2
第一节 多阶段的决策 问题
3
动态规划（Dynamic Programming）
R. Bellman50年代执教于普林斯顿和斯坦福大学， 后进入兰德（Rand）研究所。1957年发表“Dynamic Programming”一书，标识动态规划的正式诞生。
3
3
C3
3
f(C3)=6
f(D1)=3
D1
3
f(E)=0
E
D2 4
f(D2)=4
状态 最优决策 状态
决A策 （状态A，B3）
B3
最优决策
状态
最优决策
状态
最优
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f(B1)=11
f(A)=11
A
B1 7 5 6
2 f(B2)=7 3
5
B2 2
16738-数学建模-运筹学PPT完整版胡运权
线性规划问题的数学模型
Page 18
3. 线性规划数学模型的一般形式
目标函数： max (min) z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn ( ) b1
约束条件： am1 x1 am2 x2 amn xn ( ) bm
x1 0 xn 0
a11 a1m
B
(
p1
pm
)
am1
amm
称 B中每个列向量Pj ( j = 1 2 … … m) 为基向量。与基向量Pj
对应的变量xj 为基变量。除基变量以外的变量为非基变量。
线性规划问题的数学模型
Page 29
基解：某一确定的基B，令非基变量等于零，由约束条件
方程②解出基变量，称这组解为基解。在基解中变量取非0
(5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z′=-z,得到max z′=-z，即当z达到最小值时z′达到最大值，反之亦然;
线性规划问题的数学模型
标准形式如下：
max Z
2 x1
x2
3(
x
3
x3)
0x4
0x5
5 x1
x2
(
x
3
x3)
x4
7
x1 x2 ( 5x1 x2
x3 2(
x
3
x3) x3)
真实系统
数据准备
系统分析 问题描述
模型建立 与修改
模型求解 与检验
结果分析与 实施
本课程授课方式与考核
讲授为主，结合习题作业
学科总成绩
平时成绩 （40％）
期末成绩 （60％）
课堂考勤 （50％）
平时作业 （50％）