幂函数--优质获奖精品教案 (4)
幂函数优质课优质课市公开课一等奖省优质课获奖课件
-2
rx = x-1
O
1-1Βιβλιοθήκη 2x-21
y x y x2 y x3 y x2 y x1
定义域 R
R
R
[0,+∞)
(-∞,0) ∪(0,+∞)
值域 R 单调性 R上增函数 奇偶性 奇函数
[0,+∞)
R
(-∞,0)上减函数 [0,+∞)上增函数 R上增函数
偶函数
奇函数
[0,+∞)
(-∞,0) ∪(0,+∞)
(6) y=x3+2
例 已知幂函数f(x)图象经过点(4,2),试求 出此函数解析式.
第4页
二、幂函数性质研究
以 (1) y x (2) (3) y x3 (4)
y x2
1
y x2
(5) y x1
为例研究幂函数性质
第5页
y gx = x2
2
hx = x3
1
fx = x
1
qx = x 2
[0,+∞)上增函数
(-∞,0)上减函数 (0,+∞)上减函数
非奇非偶函数 奇函数
公共点
(1,1)
第6页
幂函数 y x 性质总结:
•当α>0时，y=xα图像均过（0，0）， （1，1）两点，且在第一象限内，函数值 随x增大而增大。 • 当α<0时，y=xα图像均过（1，1）点， 且在第一象限内，函数值随x增大而减小。
用一用
比较大小: (1)a1.5与(a 1)1.5(a 0)
(2) 1.1与3.14- 1.1
第7页
试写出函数
f
(x)
x
2 3
幂函数 优秀教案
幂函数优秀教案幂函数教学目标】1.知识与技能：1) 理解幂函数的概念，能够画出幂函数y=x，y=x^2，y=x^3，y=x^-1，y=x^2的图像。
2) 根据常见的幂函数图像，理解幂函数图像的变化情况和性质，并能进行简单的应用。
2.过程与方法：1) 通过观察、总结幂函数的性质，培养学生的识图能力和概括能力。
2) 使学生进一步体会数形结合的思想方法。
3.情感态度与价值观：1) 通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的研究兴趣。
2) 利用计算机，了解幂函数图像的变化规律使学生认识到现代技术在数学认识过程中的作用，从而激发学生的研究欲望。
教学重点】从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质。
教学难点】画五个具体幂函数的图像并由图像概括其性质，体会图像的变化规律。
教法】启发、引导教学过程】一、创设情景，引入新课通过观察几个例子的函数模型，引入新课。
二、互动探究，讲解新课1.幂函数的定义：一般地，函数y=x^α叫做幂函数，其中x为自变量，α为常数。
练：判断下列函数是否为幂函数？1) y=x^4 (2) y=2x^2 (3) y=-x^3 (4) y=2.常见幂函数的图像与性质：自主探究]分别作出函数y=x，y=x^2，y=x^3，y=x^-1，y=x^2的图像并观察函数图像，将你发现的结论写在下表内：定义域。
|。
值域。
|。
奇偶性。
|。
单调性。
|。
定点。
|R。
|。
R+。
|。
奇函数。
|。
增函数。
|。
(1,1)。
|R。
|。
R+。
|。
偶函数。
|。
增函数。
|。
(0,0)。
|R。
|。
R。
|。
奇函数。
|。
增函数。
|。
(0,0)。
|R*。
|。
R*。
|。
奇函数。
|。
减函数。
|。
(1,1)。
|R+。
|。
R+。
|。
无奇偶性。
|。
增函数。
|。
(0,0)。
|合作探究]根据上表的内容并结合图像，试总结函数y=x，y=x^2，y=x^3，y=x^-1，y=x^2的共同性质。
归纳：1) 函数y=x，y=x^2，y=x^3，y=x^-1和y=x^2的图像都通过点(1,1)。
幂函数优质课市公开课一等奖省优质课获奖课件
③ 单调性：
任取 x1, x2 (0,)且x1 x2
0 x1 x2
x1
x2
1 x1
1 x2
即f (x1) f (x2 )
f(x)在 (0,)上单调递减。
④ 列表取点 x 0.5 1 2 y 1.4 1 0.7
y
1.4 1 0.7
0 0.5 1
③ 单调性：
任取 x1, x2 (0,)且x1 x2
0 x1 x2 3
x14
3
x24
3
1 x14
3
1 x24
即f (x1) f (x2 )
f(x)在 (0,)上单调递减。
④ 列表取点 x 0.5 1 2 y 2.5 1 0.4
y 2.5
1 0.4
0 0.5 1
2 x
第11页
1
(8) y x 2
3
(11) y x 2
(8) y (x 1)2
解：幂函数是（1）、（5）、（9）、（10）、（11）。
第2页
经过研究以下函数奇偶性、单调性和最大（小）值，作出它们函数图像。
3
(1) y x 2
分析： ① D [0,)
y
②奇偶性： 非奇非偶函数
2.8
③ 单调性： 任取 x1, x2 [0,)且x1 x2
2
x
第12页
1
(6) y x 3
y
4
(7) y x 3
y
1
(8) y x 2
y
1
01
x
x
x
y x 当<0时，函数图像在第一象限内规律以下 过点（1，1）呈双曲线型，递减，与两坐标轴正半轴无限靠近。
幂函数省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
幂函数旳应用
ห้องสมุดไป่ตู้
例3 证明幂函数f(x)= x1/2 在［0，+∞）上是增函数.
证明: 任取x1 ,x2 ∈ ［0，+∞）,且x1< x2 则x1/ x2<1
所以
f
(x ) 1
x 1
x 1
1
f (x ) x x
2
2
2
所以 f (x ) f (x )
1
2
所以 f (x) x在0， 为增函数
(1)作差法:若给出旳函数是有根号旳式子,往往采用有理化 旳方式
单调性：在[0,)上是增函数
定义域：{x x 0} 值 域：{x x 0}
奇偶性：在{x x 0}上是奇函数 单调性： 在(0,)上是减函数
在(,0]上是减函数
y x3
y x2
yx
1
y x2
y x1
幂函数旳性质
y
4 3 2 1
y x3
1
y x2
1
y x3
当 0 时，幂函数
V是a旳函数
(4)假如_V_某_=_人t_⁻¹_t_ks_m内__/骑_s_车_ 行V是进t1旳km函,那数么他骑车旳平均速度___
以上问题中旳函数有什么共同特征？
(1) y=x (2) y=x2 (3) y=x3 (4) y=x1/2 (5) y=x-1
（1）都是函数；
（2）均是以自变量为底旳幂； （3）指数为常数； （4）自变量前旳系数为1; （5）幂前旳系数也为1。
答案（2）（6）
探究：
幂函数与指数函数旳体现形式有何区别
体现式
名称
a
x
y
指数函数: y=a x
幂函数教案 获奖教学设计
§幂函数
【教学目标】
一、知识与技能：
１、理解幂函数的概念，会画幂函数2
11
3
2
,,,,x y x y x y x y x y =====-的图像； ２、结合这几个幂函数的图像，理解幂函数图像的变化情况和性质． 二、过程与方法：
１、通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力； ２、使学生进一步体会数形结合的思想． 三、情感态度价值观：
１、通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发
学生的学习兴趣；
２、利用计算机，了解幂函数图像的变化规律，使学生认识到现代技术在认识过程中
的作用，从而激发学生的学习欲望．
【教学重点】明确幂函数的定义，并从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质． 【教学难点】画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律． 【教学过程】
一、教学基本流程。
高中数学幂函数的优秀教案
高中数学幂函数的优秀教案教学目标：1. 了解幂函数的定义和性质；2. 掌握幂函数的图像特点和变化规律；3. 能够应用幂函数解决实际问题。
教学重点：1. 幂函数的定义和性质；2. 幂函数图像的特点；3. 幂函数的变化规律。
教学难点：1. 幂函数图像的绘制；2. 幂函数的应用解题。
教学准备：1. 教学PPT；2. 幂函数的相关教学素材；3. 面板书和彩色粉笔；4. 计算器。
教学过程：一、导入新知识（5分钟）教师通过举例引导学生回顾幂函数的定义和性质，激发学生对幂函数的兴趣。
二、讲解幂函数的定义和性质（15分钟）1. 介绍幂函数的定义，并解释指数、底数的含义；2. 讲解幂函数的性质，包括奇偶性、增减性和对称性等；3. 通过实例让学生理解幂函数的基本特点。
三、分组讨论与展示（15分钟）1. 将学生分成小组，让他们结合所学内容，讨论幂函数的图像特点和变化规律；2. 每组选派一名代表进行展示，分享小组讨论的结论。
四、幂函数图像的绘制（15分钟）1. 通过教学PPT，展示幂函数图像的绘制方法；2. 让学生自行绘制不同幂函数的图像，并与同学分享。
五、应用解题（15分钟）1. 以实际问题为例，让学生应用幂函数解题；2. 指导学生合理建立数学模型，解决问题。
六、课堂小结（5分钟）教师总结本节课的重点知识，强调幂函数的重要性和应用场景，激励学生继续深入学习。
七、作业布置让学生完成相关习题，巩固所学知识。
教学反思：1. 教学重点突出，学生参与度高；2. 演示环节设计合理，能够引导学生深入思考；3. 学生绘制图像能力需要进一步培养，需要增加训练。
这份教案是一份比较完整的高中数学幂函数的教学设计，建议教师在教学中根据学生的实陵情况做出适当的调整，以达到更好的教学效果。
幂函数 优秀教案
幂函数【教学目标】1．知识技能（1）理解幂函数的概念；（2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用。
2．过程与方法类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研幂函数的图象和性质。
3．情感、态度、价值观（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法；（2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性。
【教学重难点】重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质难点：从幂函数的图象中概括其性质【学法】通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质 ；【教学过程】一、情境引入，学生活动：问题1：某林区木材积蓄量平均每年比上一年增长5%，则x 年后，木材积蓄量y 与x 有何关系？问题2：正方形边长为a ，面积为s ，有何关系？（s 为a 的函数；a 为s 的函数。
） 问题3：正方体边长为a ，体积为v ，有何关系？（v 为a 的函数；a 为v 的函数。
） 问题4：如果某人ts 内骑车行进了1km ，那么他骑车的平均速度为vkm/s ，则v 等于？ 问1．它们的对应法则分别是什么？2．以上问题中的函数有什么共同特征？二、数学建构：幂函数定义及其图象。
一般地，形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数。
幂函数的定义来自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数，同样也是一种“形式定义”的函数，引导学生注意辨析。
共同辨析这种新函数与指数函数的异同。
【练】下列函数中是幂函数的是（ ）（1）3x y = ； （2）2-=x y ； （3）0x y =； （4）x y 2=；（4）3-=x y ； （5）x y )21(=； （7）23x y =； （8）2)3(x y =。
思考：由此可得若一个函数为幂函数，其结构上应满足：①；②；③。
【例1】作出下列函数的图象：（1）2x y =； （2）3x y =； （3）21x y =； （4）31x y =；（5）1-=x y ； （6）2-=x y ； （7）21-=xy观察与思考，观察图象，总结填写下表：引导学生分析幂函数性质：幂函数性质：0>α：（1）图象都过点（0，0），（1，1）；（2）函数αx y =在),0[+∞上为增函数；（3）在第一象限，1>α，图象向下凸；10<<α图象向上凸；（4）在第一象限，1>α时，1>x ，底数越大，图象越在上方；10<<x ，底数越大，图象越在上方；10<<α时，1>x ，底数越大，图象越在上方；10<<x ，底数越大，图象越在上方；0<α：（1）图象过点（1，1）；（2）函数αx y =在),0(+∞上为减增函数；（3）在第一象限，图象向上与y 轴无限接近，向右与x 轴无限接近，且图象向下凸；（4）在第一象限，1>x ，底数越大，图象越在上方；10<<x ，底数越大，图象越在上方；三、小结幂函数的概念；幂函数y=x ，y=x 2，y=X ³，y=x-1，y=21x 的图象，结合图象，了解幂函数图象的变化情况和性质。
幂函数》教案-公开课-优质课(人教A版必修一精品)
幂函数》教案-公开课-优质课(人教A版必修一精品)幂函数》教案教学目标：知识与技能：通过具体实例了解幂函数的图像和性质，并能进行简单的应用。
能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图像和性质。
情感、态度、价值观：体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性。
教学重点：从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质。
教学难点：画五个具体幂函数的图像并由图像概括其性质，体会图像的变化规律。
教学程序与环节设计：1.创设情境问题引入，尝试练幂函数性质的初步应用。
2.组织探究幂函数的图像和性质。
3.巩固反思复述幂函数的图像规律及性质。
4.作业回馈幂函数性质的初步应用。
5.课外活动：利用图形计算器或计算机探索一般幂函数的图像规律。
教学内容设计师生双边互动：学生独立思考完成引阅读教材P90的具体实例（1）~（5），思考下列创设情境问题：1.它们的对应法则分别是什么？2.以上问题中的函数有什么共同特征？答案：1.(1) 乘以1；(2) 求平方；(3) 求立方；(4) 开方；(5) 取倒数（或求-1次方）。
2.上述问题中涉及到的函数，都是形如y = x^α 的函数，其中 x 是自变量，α 是常数。
材料一：幂函数定义及其图像。
一般地，形如y = x^α (α ∈ R) 的函数称为幂函数，其中α 为常数。
幂函数的定义来自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数，同样也是一种“形式定义”。
作出下列函数的图像：1) y = x；(2) y = x；(3) y = x；4) y = x；(5) y = x。
解：略。
材料二：幂函数性质归纳。
1.所有的幂函数在(0.+∞) 都有定义，并且图像都过点(1.1)。
2.α。
0 时，幂函数的图像通过原点，并且随着x 的增大，y 增大，增长速度越来越快。
3.α < 0 时，幂函数的图像在 x 轴正半轴上，随着 x 的增大，y 增大，但增长速度越来越慢。
4.α = 0 时，幂函数的图像是一条水平直线，y = 1.5.幂函数的图像关于 y 轴对称（当α 为整数时）或关于原点对称（当α 为奇数时）。
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2.3《幂函数》教学设计
一、教学内容解析
“幂函数”选自《普通高中课程标准实验教科书》（人民教育出版社课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著）A版必修1第2章第3节．在学生已经学习了21
、、三个简单的幂函数，对其图像和性质有了===
y x y x y x-
一定的感性认识基础上，进一步学习幂函数，有助于帮助学生形成关于幂函数完整的知识结构．幂函数是本章研究的最后一个函数，是在学生系统学习了函数概念与函数性质，有了指数函数和对数函数的学习经历之后，可以用类比的方法进行研究，渗透数形结合、分类讨论等数学思想，进一步培养学生的归纳、类比、概括等能力，体会和掌握研究基本初等函数的一般过程和方法．因而，本节内容是对前面函数概念和指数函数对数函数学习的一个总结和提升，也为后面学习三角函数等基本初等函数奠定坚实的基础．
二、教学目标设置
（一）教学目标
1．了解幂函数的定义；会画几个常见幂函数的图像；掌握幂函数的性质，并能进行简单的应用．
2．通过类比指、对数函数的研究方法和过程，对幂函数进行学习研究，掌握研究函数的一般方法；
3．（1）引导学生经历由具体函数研究，概括一般规律，再实际应用的过程，渗透数形结合、分类讨论等数学思想，体会特殊和一般的辩证关系，从而培养学生观察、分析、归纳和概括等逻辑思维能力；（2）通过小组合作学习，引导学生开展自主、合作、探究学习，培养学生主动探究的意识和严谨治学的科学精神，促进合作能力、沟通能力和表达交流能力的提高．
（二）教学目标解析
1．学生初中已经学习了21
、、三个简单的幂函数，对其图像
===
y x y x y x-
和性质有了一定的感性认识．本节课在此基础上学习幂函数的概念，对幂函数的图像和性质进行分类研究，从而形成幂函数完整的知识结构，并应用性质解决简单的问题．
2．学生在本章已经系统学习了函数概念与函数性质，并且有了指数函数和对数函数的学习经历，为学习幂函数做好了方法上的准备，所以采用类比的方法进行研究，体现函数研究的一般方法，是对前面学习函数知识的总结和提升，也为今后学习其它基本初等函数奠定良好的基础．
3．渗透数形结合、分类讨论、转化等思想方法，以及特殊和一般辩证关系，通过小组合作学习，引导学生自主、合作、探究学习，经历观察、比较、分析、
类比、归纳和概括等认知过程，使学生生动活泼地全面发展，数学思维品质和能力得到全面提升．
三、学生学情分析
学生初中已经学习掌握了几个简单的初等函数，进入高中阶段，在学习了函数的概念及单调性、奇偶性等函数性质基础上，独立研究过指数函数与对数函数的图像和性质，基本掌握了研究函数的一般方法和过程。
但由于幂函数的情况比较复杂，学生对研究幂函数的角度，共性的归纳和概括，可能要克服一定的障碍。
所教班级学生活泼，思维活跃，探索欲望强烈，合作意识浓，能够较好地通过小组合作学习进行自主、合作、探究学习，达成学习目标。
综上所述，确定本节课的教学难点是对幂函数的图象进行分类，从而概括出共性性质。
四、教学策略分析
教材提供了研究幂函数的五个具体函数，实际教学中添加了两个典型幂函数的研究，一方面是夯实双基，另一方面也为学生进行类比研究提供更多的素材，是对教材处理的创新之处。
本节课采用导学案教学，课前，学生通过自主学习，进行充分的知识准备，课上，以问题为引领，以类比为主线，以学生的学为中心，通过组织小组合作学习，突出学生自主、合作、探究，学生扎实获得知识的同时，促进学生生动活泼地全面发展。
五、教学过程
一、课前预习
（1）【知识链接】指、对数函数性质填表；
O
师生活动：实物投影学生成果。
设计意图：为后面的类比研究作铺垫。
（2）【新知呈现】
1、请将下列问题中的y 表示成x 的函数：
(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜x 千克,那么她需要支付y= ______元； (2)如果正方形的边长为x,那么正方形的面积y= ； (3)如果正方体的边长为x,那么正方体的体积y= ；
(4)如果一个正方形场地的面积为x,那么正方形的边长 y= ； (5)如果某人x s 内骑车行进 1 km,那么他骑车的平均速度y= km/s 。
思考：这5个问题中的函数具有什么共同特征？
定义：一般地，函数 ____叫做幂函数，其中 是自变量，____是常数。
思考：你能说出幂函数与指数函数的区别吗?
2、在同一平面直角坐标系中（用不同颜色的笔）画出函数2
x =，3
y x =，1
2
y x
=的图象
列表：
O
3、在同一平面直角坐标系中（用不同颜色的笔）画出函数1y x -=，2y x -=的图象
列表：
4、观察上述图象，填写下表：
师生活动：小组研讨确定答案后进行小组展示。
其它同学提出质疑和修改方案。
设计意图：鼓励学生主动学习，检验预习成果。
（3）【自我检测】幻灯片展示答案
自我检测
①请指出下列函数中的幂函数：21x
y =，x x y +=2，x y 21
=，x y 3=，3x y =.
②2
13.2与2
14.2的大小关系是: 2
13.2 < 2
14.2
③2)2(--与2)3(-的大小关系是: 2)2(-- > 2)3(-
（4）【预习疑惑】
幻灯片放映课前扫描完的学生的疑惑。
师生活动：简单问题小组研讨，展示解答，其它问题本节课学习之后可解决。
设计意图：在预习其础上，将思考探究深入，提高学生认知能力。
二、课堂探究
（1） 幻灯放映指数函数（已填写）与幂函数（未填写）的对比表格
R
()+∞,0
师生活动：提示学生下面的研究过程类比指数函数。
设计意思：让学生明确研究过程和方法，为自主探究提供方向。
（2）探究1
请在《新知呈现》第2题中画函数3
1x y =的图象；在《新知呈现》第3题中画函数2
1-=x y 的图象.（部分数据如下表）
师生活动：学生独立描点法画函数的图象，小组研讨收集成果并在班级进行展示，指定其它组为其点评，同学可以提出质疑，点评组解答。
设计意图：①规范基本作图方法——描点法；②为性质归纳提供更多具体函数
（3）探究2
请根据以上函数图象,画出αx y =在0>x 时的大致图象形状.
师生活动：独立思考后，小组研讨并在班级进行展示，指定其它组为其点评，同学可以提出质疑，点评组解答。
设计意图：一象限内图象的研究需分类，可类比指数函数
（4）探究3
如果不用描点法，如何画出αx y =在定义域的大致图象？ (举例说明)
师生活动：独立思考后，小组研讨并在班级进行展示，指定其它组为其点评，同学可以提出质疑，点评组解答。
设计意图：使幂函数大致图象完整，解决预习中所有疑惑
（5）探究4
类比指、对数函数的研究方法，归纳出函数α
x y =的性质.（填入前一页上方表格）
师生活动：①独立思考后，小组研讨并在班级进行展示，指定其它组为其点评，
同学可以提出质疑，点评组解答；
②教师明确了解和掌握的性质内容，指导将指、幂函数图象性质对比表填写完整。
设计意图：①激发学生更深层探究；②类比研究后达成学习目标，明确重点。
三、课堂检测
1．如右图所示，曲线是幂函数αx y =在第一象限内的图象， 已知α分别取 2,2
1,1,2-四个值，则相应图象依次为:________ 2.比校大小： 3
21.2 3
2)6.1(-
3．连连看：试建立函数与图象之间的对应关系.
2
13
23
23
12
3)6(;)5(;)4(;)3(;)2(;)1(-
--======x y x y x y x y x y x y
（A ） (B) (C) (D) (E) (F)
师生活动：学生独立思考，快速抢答。
设计意图：检验学习成果。
四、课堂小结
（1）学习的内容
（2）用过的数学思想方法
师生活动：学生总结，教师提升
设计意图：强化重点知识内容，提炼思想方法，提高学生数学学习能力
五、布置作业
1.下列函数中，值域为(,)-∞+∞的是 （ ）
A ．2x
y = B. 2
y x = C. 2
y x -= D. log (0,1)a y x a a =>≠
设计意图：通过指、对、幂函数值域问题考查与区分，强化对这三个函数的认识。
2．解关于x 的不等式3
23
2
)12()1(->+x x
设计意图：通过此题，学生运用幂函数单调性与奇偶性来解决问题，同时达到掌握本节课知识的目的．
3.幂函数2
223
()(1)m m f x m m x --=--，当(0,)x ∈+∞时为减函数，求实数m 的值，并
求函数的定义域
设计意图：此题是幂函数定义及单调性问题的综合应用，对这两个知识点加以巩固，并提高了学生解决问题的能力。
4.证明幂函数x y =
在[)+∞,0上是增函数。
设计意图：课堂中重点是由图象归纳性质及性质的应用，此题是教材中例题，从单调性定义的角度理性地证明了x y =在[)+∞,0上是增函数，同时也复习了单调性证明的问题。