§5-8-LTI系统的信号流图表示
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信号与系统课件：第二章 LTI系统
第2章 线性时不变系统
2.1 离散时间LTI系统: 卷积和
（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质
（1）用单位抽样信号表示离散时间信号
x[n] ... x[1] n 1 x[0] n x[1] n 1... x[n][0] x[n 1][1]
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。
差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为δ（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。
例：常系数差分方程
y(n) x(n) 1 y(n 1) 2
x[n]u[n] x[k]u[n k] x[k]
k
k
（ii）交换律:
yn xnhn hn xn
例子： 线性时不变系统中的阶跃响应 sn
sn unhn hnun
阶跃输入
输 单位抽样信号 入 响应的累加
n
sn hk
k
(iii)分配律:
xnh1n h2 n xnh1n xnh2 n
y(1) h(1) (1) 1 y(0) 0 1 1
2
22
y(2) h(2) (2) 1 y(1) 0 1 1 (1)2
2.1 离散时间LTI系统: 卷积和
（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质
（1）用单位抽样信号表示离散时间信号
x[n] ... x[1] n 1 x[0] n x[1] n 1... x[n][0] x[n 1][1]
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。
差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为δ（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。
例：常系数差分方程
y(n) x(n) 1 y(n 1) 2
x[n]u[n] x[k]u[n k] x[k]
k
k
（ii）交换律:
yn xnhn hn xn
例子： 线性时不变系统中的阶跃响应 sn
sn unhn hnun
阶跃输入
输 单位抽样信号 入 响应的累加
n
sn hk
k
(iii)分配律:
xnh1n h2 n xnh1n xnh2 n
y(1) h(1) (1) 1 y(0) 0 1 1
2
22
y(2) h(2) (2) 1 y(1) 0 1 1 (1)2
§5-8 LTI系统的信号流图表示
2 1 s 1 s 2
于是级联实现
X (s)
∑
S -1
∑
S -1
3
∑
Y (s )
1
《Signals & Systems》
2
大连海事大学信息科学技术学院
《信号与系统》
§5-8 LTI系统的信号流图表示
或者
X (s)
∑
S -1
∑
S -1
3
∑
Y (s )
2
1
并联实现如下图
∑
S -1
2
自环：只有一条支路的闭环。
不接触环：环路之间，无公共节点的一类环。 前向通路：由源节点至阱节点的一条通路。
于是系统的级联模拟如下：
∑
z 1
0.2
0.5
∑
Y (z )
X (z )
∑
z 1
0.1
或者：
Y (z ) X (z )
∑
z 1
0.1
0.5
∑
∑
z 1
0.2
《Signals & Systems》
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《信号与系统》
§5-8 LTI系统的信号流图表示
系统的并联模拟如下：
4
∑
《信号与系统》
§5-8 LTI系统的信号流图表示
§5-8 LTI系统的信号流图表示
一、 LTI系统的模拟框图表示
第一章曾介绍过，将微分方程或差分方程用模拟框图表示。由 于方程中涉及的运算只有三种：加法、数乘和微分（或差分），因 此，模拟框图中的运算器件也只有三种：加法器、数乘器和积分器 （或单位延时器）。
H ( z)
b z
第四节信号流图
∴ ∆ = 1 − ∑ La = 1 + G1G2G3Gu G f , ∆1 = 1
G1G2G3Gu Ω( s ) 1 1 P= = ∑ Pk ∆ k = u g ( s ) ∆ k =1 1 + G1G2G3Gu G f
Wednesday, March 16, 2011
11
梅逊公式||例2-13 梅逊公式 例
1
G4
1
G1
C
有四个回路，分别是：
G8 − H2 − H1
− G2 H 2 ,−G1G2G3G4 H1 ,−G1G2G7G4 H1 ,−G1G2G8G4 H1
它们都是互相接触的。 ∴ ∆ = 1 + G2 H 2 + G1G2G3G4 H1 + G1G2G7G4 H1 + G1G2G8G4 H1 有九条前向通道，分别是：
Wednesday, March 16, 2011
∆1 = 1
（因为三个回路都与前向通道接触。）
13
梅逊公式||例2-13 梅逊公式 例
1
1 R1
−1
1
1 C1s
ui
ue
I1
−1
I
a 1 b u
1 R2
1 C2 s
I2
−1
uo
讨论：信号流图中，a点和b点之间的传输为1，是否可以将该两 点合并。使得将两个不接触回路变为接触回路？如果可以的话， 总传输将不一样。 不能合并。因为a、b物理上不是相同的信号，信号值不一样。
Wednesday, March 16, 2011
16
梅逊公式||例 梅逊公式 例2-14
E (s) 求 ： R(s)
∆ 不变。
《LTI系统描述》课件
在某些应用中，LTI系统的精度和 稳定性至关重要，需要采取措施 来减小误差和提高稳定性。
成本与可扩展性
在设计和实现LTI系统时，需要考 虑成本和可扩展性，以满足不同 规模和复杂度的应用需求。
06
LTI系统的扩展与优化
非线性系统的线性化处理
幂级数法
通过将非线性函数展开为幂级数形式，将非 线性系统转化为线性系统进行处理。
同频率下的行为。
频域分析常用的工具是频率响 应函数和频率特性曲线。
时域分析
时域分析是通过直接求解系统微分方程或差分方 程来分析系统在时间域内的行为。
时域分析可以提供系统输出随时间变化的详细信 息，包括超调和欠调、上升时间和峰值时间等。
时域分析常用的工具是阶跃响应和脉冲响应。
稳定性分析
稳定性分析是评估系统在受到扰动后能否恢复 平衡状态的过程。
LTI系统可以用差分方程或传递函数来 描述，具有数学表达式的形式。
特性
线性性
LTI系统的输出与输入成正比，即输入信号 的倍数等于输出信号的倍数。
因果性
LTI系统的输出只与过去的输入有关，与未 来的输入无关。
时不变性
LTI系统的特性不随时间变化，即系统在不 同时刻的响应具有一致性。
稳定性
LTI系统在输入信号消失后，系统能够逐渐 恢复稳定状态。
状态反馈系统设计的主要缺点是需要 更多的传感器和计算资源，且对于非 线性系统的适用性可能有限。
05
LTI系统的实现与仿真
数字实现与模拟实现
数字实现
使用数字信号处理（DSP）技术，通过 编程语言（如C或MATLAB）和数字信 号处理器（DSP）或通用微处理器来实 现LTI系统。数字实现具有精度高、稳定 性好、易于实现复杂算法等优点。
成本与可扩展性
在设计和实现LTI系统时，需要考 虑成本和可扩展性，以满足不同 规模和复杂度的应用需求。
06
LTI系统的扩展与优化
非线性系统的线性化处理
幂级数法
通过将非线性函数展开为幂级数形式，将非 线性系统转化为线性系统进行处理。
同频率下的行为。
频域分析常用的工具是频率响 应函数和频率特性曲线。
时域分析
时域分析是通过直接求解系统微分方程或差分方 程来分析系统在时间域内的行为。
时域分析可以提供系统输出随时间变化的详细信 息，包括超调和欠调、上升时间和峰值时间等。
时域分析常用的工具是阶跃响应和脉冲响应。
稳定性分析
稳定性分析是评估系统在受到扰动后能否恢复 平衡状态的过程。
LTI系统可以用差分方程或传递函数来 描述，具有数学表达式的形式。
特性
线性性
LTI系统的输出与输入成正比，即输入信号 的倍数等于输出信号的倍数。
因果性
LTI系统的输出只与过去的输入有关，与未 来的输入无关。
时不变性
LTI系统的特性不随时间变化，即系统在不 同时刻的响应具有一致性。
稳定性
LTI系统在输入信号消失后，系统能够逐渐 恢复稳定状态。
状态反馈系统设计的主要缺点是需要 更多的传感器和计算资源，且对于非 线性系统的适用性可能有限。
05
LTI系统的实现与仿真
数字实现与模拟实现
数字实现
使用数字信号处理（DSP）技术，通过 编程语言（如C或MATLAB）和数字信 号处理器（DSP）或通用微处理器来实 现LTI系统。数字实现具有精度高、稳定 性好、易于实现复杂算法等优点。
王忠仁信号与系统第二章lti系统PPT课件
• 线性相位系统：线性相位系统是指系统的相位响应是线性的，这种系统可以避 免信号失真，因此在信号处理中广泛使用。设计时需要选择合适的系统阶数和 参数，以满足所需的性能指标。
• 最优系统：最优系统是指系统性能达到最优的一种状态。设计时需要通过各种 优化算法来寻找最优的系统参数，以使系统性能达到最优。常见的优化算法包 括梯度下降法、牛顿法等。
控制系统故障诊断
利用LTI系统的特性，可以实现对控制系统故障的诊断和定位。
其他领域的应用
1 2
通信系统
LTI系统在通信系统中用于信号调制、解调和信 道均衡等方面。
图像处理
LTI系统在图像处理中用于图像滤波、增强和变 换等方面。
3
生物医学工程
LTI系统在生物医学工程中用于生理信号处理、 医学成像和生物信息学等方面。
齐次性
若一个输入信号作用于LTI系统，则该输入信号乘以任意常 数后作用于系统，其输出响应也相应地乘以该常数。
稳定性
如果一个LTI系统的输出响应在时间上无限增长，则该系统 是不稳定的；如果输出响应在时间上趋于零或保持有限值， 则该系统是稳定的。
LTI系统的分类
因果系统
系统的输出只与过去的输入有关，即 系统在t时刻的响应只取决于t时刻之 前的输入信号。
奈奎斯特判据
通过分析系统的频率响应，判断系 统的稳定性。如果频率响应的所有 点都位于单位圆内，则系统稳定。
稳定性分析方法
直接法
通过分析系统函数的极点和零点，判断系统的稳定性。需要计算 系统的传递函数或差分方程。
频率法
通过分析系统的频率响应，判断系统的稳定性。需要计算系统的频 率响应函数或进行频率扫描实验。
建立方法
通过系统函数的定义或通过实验测量系统的动态响应来建立状态空间模型。
• 最优系统：最优系统是指系统性能达到最优的一种状态。设计时需要通过各种 优化算法来寻找最优的系统参数，以使系统性能达到最优。常见的优化算法包 括梯度下降法、牛顿法等。
控制系统故障诊断
利用LTI系统的特性，可以实现对控制系统故障的诊断和定位。
其他领域的应用
1 2
通信系统
LTI系统在通信系统中用于信号调制、解调和信 道均衡等方面。
图像处理
LTI系统在图像处理中用于图像滤波、增强和变 换等方面。
3
生物医学工程
LTI系统在生物医学工程中用于生理信号处理、 医学成像和生物信息学等方面。
齐次性
若一个输入信号作用于LTI系统，则该输入信号乘以任意常 数后作用于系统，其输出响应也相应地乘以该常数。
稳定性
如果一个LTI系统的输出响应在时间上无限增长，则该系统 是不稳定的；如果输出响应在时间上趋于零或保持有限值， 则该系统是稳定的。
LTI系统的分类
因果系统
系统的输出只与过去的输入有关，即 系统在t时刻的响应只取决于t时刻之 前的输入信号。
奈奎斯特判据
通过分析系统的频率响应，判断系 统的稳定性。如果频率响应的所有 点都位于单位圆内，则系统稳定。
稳定性分析方法
直接法
通过分析系统函数的极点和零点，判断系统的稳定性。需要计算 系统的传递函数或差分方程。
频率法
通过分析系统的频率响应，判断系统的稳定性。需要计算系统的频 率响应函数或进行频率扫描实验。
建立方法
通过系统函数的定义或通过实验测量系统的动态响应来建立状态空间模型。
第二章LTI系统的时域分析ppt课件
注意：为方便起见，对单一零状态系统进行讨论时常常仅用y(t)代表yf(t)。
y( t ) a0 y当( tf)(t b)0f (t()t )时 h( t ) a0h( t ) b0 ( t )
2、h(t)的求解方法 （1） 利用阶跃响应与冲激响应的关系求解
此方法适用于简单电路，前提是阶跃响应g(t)简单易求。
y( t ) yh( t ) yp( t )
1、齐次解yh(t)
y( n )( t ) an1 y( n1 )( t ) a1 y( t ) a0 y( t ) 0
特征方程
的解
n n1 a1 a0 0
➢ 齐次微分方程的特征根：特征方程的 n 个根λi (i=1，2，…，n) ； ➢ 齐次解yh(t)的函数形式由特征根确定；
零状态 系统
y f ( t ) h( t )
yf(t)= g(t)
➢ 零状态系统：在激励 f(t) 的作用下将产生零状态响应yf(t)；
➢ 如果激励是单位冲激信号δ(t)，产生的响应称为单位冲激响应，用h(t)表示。 ➢ 如果激励是单位阶跃信号ε(t)，产生的响应称为单位阶跃响应，用g(t)表示。
n
m
ai y(k i) bj f (k j)
i0
j0
(an 1, m n)
差分方程的经典解分为齐次解yh(k)和特解yp(k)。
y(k) yh (k) yp (k)
1、差分方程的齐次解
n阶前向齐次差分方程 y(k n) an1y(k n 1) a1y(k 1) a0 y(k) 0
i1
y( t
)
yh( t
)
yp( t
)
C
1e
C2 t
ie
系统的信号流图
例3
H (z)
z2 z3＋3z2
2z
，画出直接形式、
串联形式和并联形式信号流图。
解:（1）
H (z)
z3 z3＋3z2
＝ z2 3z3 2z 1 3z1 2z2
（2）
H (z)
z3 z3＋3z2
2z
z(z
z3 2)(z
1)
1 z
z z
3 2
1 z 1
z 1
1 1
3z 1 2 z 1
1
z
1 s1
1 s1
根据梅森公式分别画出 2
1 3s1
2 1 s1
的流图，并联起来
1 F(s)
1
s-1
1/2 -3
Y(s)
s-1
1/2
-1
系统的状态变量分析
例2
H
(s)
s(s
2s 3 3)(s
2)
，画出直接形式、串联
形式和并联形式信号流图。
解：（1）
H (s)
s(s
2s 3 3)(s
2)
s3
1
1
z-1
z-1
z-1
F(z)
Y(s)
-3
4
2
H(z)
z2 2
Y(z)
z3 2z2 3z 4
-3
1 s-1 s-1 1
F(s)
-2
s-1 1 Y(s)
-1
H
(s)
1
s 1
s 3 5s 2
2 s 3
系统的状态变量分析
三、系统函数计算
1.列节点方程（由加法器输出端）
2.梅森公式
H 1
k
系统的信号流图与梅森公式
6-5 系统的信号流图与梅森公式一、信号流图的定义由节点与有向支路构成的能表征系统功能与信号流动方向的图，称为系统的信号流图，简称信号流图或流图。
例如，图6-29(a)所示的系统框图，可用图6-29(b)来表示，图(b)即为图(a)的信号流图。
图(b)中的小圆圈“o”代表变量，有向支路代表一个子系统及信号传输(或流动)方向，支路上标注的H(s)代表支路(子系统)的传输函数。
这样，根据图6-29(b)，同样可写出系统各变量之间的关系，即图6-29二、三种运算器的信号流图表示三种运算器：加法器、数乘器、积分器的信号流图表示如表6-3中所列。
由该表中看出：在信号流图中，节点“o”除代表变量外，它还对流入节点的信号具有相加(求和)的作用，如表中第一行中的节点Y(s)即是。
三、模拟图与信号流图的相互转换规则模拟图与信号流图都可用来表示系统，它们两者之间可以相互转换，其规则是：(1) 在转换中，信号流动的方向(即支路方向)及正、负号不能改变。
(2) 模拟图(或框图)中先是“和点”后是“分点”的地方，在信号流图中应画成一个“混合”节点，如图6-30所示。
根据此两图写出的各变量之间的关系式是相同的，即。
(3) 模拟图(或框图)中先是“分点”后是“和点”的地方，在信号流图中应在“分点”与“和点”之间，增加一条传输函数为1的支路，如图6-31所示。
(4) 模拟图(或框图)中的两个“和点”之间，在信号流图中有时要增加一条传输函数为1的支路(若不增加，就会出现环路的接触，此时就必须增加)，但有时则不需增加(若不增加，也不会出现环路的接触，此时即可以不增加。
见例6-17)。
(5) 在模拟图(或框图)中，若激励节点上有反馈信号与输入信号叠加时，在信号流图中，应在激励节点与此“和点”之间增加一条传输函数为1的支路(见例6-17)。
(6) 在模拟图(或框图)中，若响应节点上有反馈信号流出时，在信号流图中，可从响应节点上增加引出一条传输函数为1的支路(也可以不增加，见例6-17)。
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H ( z)
b z
r 0 N r k 1
M
r
1 ak z k
(1 z z
r r 1 N k k 1
M
1
) )
(1 p z
1
H sk ( z ) H pk ( z )
k 1 k 1
N
N
上式中
(1 zk z 1 ) H sk ( z ) (1 pk z 1 )
2 1 s 1 s 2
or
s3 1 ( s 1) ( s 2)
于是级联实现
X (s)
∑
S -1
∑
S -1
3
∑
Y ( s)
1
《Signals & Systems》
2
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《信号与系统》
§5-8 LTI系统的信号流图表示
或者
X (s)
∑
S -1
∑
S -1
H (s) 系统函数： 1 s ak s
N k 0 N 1 k
sN 1 ak s k N
k 0 N 1
模拟框图： X ( s)
s 1
aN 1
s 1
aN 2
s 1
a0
Y ( s)
d N y(t ) N 1 d k y(t ) M d r x(t ) 一般方程： N ak k br r dt dt dt k 0 r 0
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§5-8 LTI系统的信号流图表示
1、 一阶系统的模拟框图
连续时间系统： 简单方程：
dy (t ) ay (t ) x(t ) dt
系统函数：
1 s 1 H ( s) s a 1 as1
模拟框图：
自环：只有一条支路的闭环。
不接触环：环路之间，无公共节点的一类环。 前向通路：由源节点至阱节点的一条通路。
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§5-8 LTI系统的信号流图表示
例如：已知系统函数如下，试分别用一阶系统的级联与并联模拟实 现系统。
s3 H (s) 2 s 3s 2
1 0.5 z 1 H ( z) 1 0.3z 1 0.02z 2
解：将系统函数分子分母分别因式分解。于是
s3 1 s3 s3 H (s) 2 s 3s 2 ( s 1)(s 2) ( s 1) ( s 2)
3
∑
Y ( s)
2
1
并联实现如下图
2
∑
∑
S -1
X (s)
1 1
X (s)
∑
S -1
2
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《信号与系统》
§5-8 LTI系统的信号流图表示
离散时间系统的实现，也是先将分子母多项式分解因式
1 0.5z 1 4 3 1 0.5 z 1 H ( z) 1 1 1 0.3z 1 0.02z 2 (1 0.1z )(1 0.2 z ) 1 0.1z 1 1 0.2 z 1
S -1
zk
∑
Y ( s)
pk
H pk ( s)
Bk ( s pk )
X (s)
∑
S -1
Ak
Y ( s)
pk
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§5-8 LTI系统的信号流图表示
于是系统可以用一阶系统的级联形式实现：
X (s)
H s1 (s)
系统函数： H ( z )
Y ( z)
1 1 az 1
模拟框图：
X ( z)
∑
z 1
-a
y(n) ay(n 1) b0 x(n) b1 x(n 1) 一般方程：
q (n) aq (n 1) x(n) y (n) b q (n) b q (n 1) 0 1
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§5-8 LTI系统的信号流图表示
离散时间系统：
简单方程：
y(n) ak y(n k ) x(n)
k 1 N
H ( z) 系统函数：
Y ( z)
1 1 ak z k
k 1 N
模拟框图： X ( z )
z 1
a1
z 1
于是系统可以用一阶系统的级联形式实现：
X ( z)
H s1 ( z )
H s 2 ( z)
H sN ( z)
Y ( z)
或用一阶系统的并联形式实现：
H p1 ( z )
X ( z)
H p 2 ( z)
Y ( z)
H pN ( z)
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成为输出变量。
混合节点：既有输入，又有输出支路的节点。 ⑵ 与支路有关的： 输出、输入支路：流出、流入节点的支路。 通路：沿支路方向，所经各节点只一次的路径。
环（路）：起点与终点为同一点的通路，又称闭环。
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§5-8 LTI系统的信号流图表示
H s 2 ( s)
H sN ( s)
Y ( s)
也可以用一阶系统的并联形式实现：
H p1 (s)
X (s)
H p 2 ( s)
Y ( s)
H pN (s)
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§5-8 LTI系统的信号流图表示
离散时间系统也有类似模拟表示。因为
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§5-8 LTI系统的信号流图表示
⑵ 支路：表示信号流动的方向，是连接两节点的有向线段。 ⑶ 支路增益：表示所连接的两节点变量的传输比。
dy (t ) ay (t ) x(t ) 例如：一阶微分方程： dt dy (t ) x(t ) ay (t ) dt
M
r
s N ak s k
(s z )
r
M
( s pk )
k 1
r 1 N
H sk ( s ) H pk ( s )
k 1 k 1
N
N
上式中
H sk ( s) ( s zk ) ( s pk ) or Ak ( s pk )
X (s)
∑
练习2：已知离散时间系统方程如下，试作出不同形式的模拟框图。
y ( n) 5 1 1 y (n 1) y (n 2) x(n) x(n 1) 6 6 4
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二、 LTI系统的信号流图表示
X (s)
∑
S -1
Y ( s)
-a
dy (t ) dx (t ) ay ( t ) b b0 x(t ) 1 一般方程： dt dt
dq(t ) aq(t ) x(t ) dt dq(t ) y ( t ) b b q ( t ) 1 0 dt
b1
b1s b0 b1 b0 s 1 系统函数： H ( s) s a 1 as1
模拟框图：
X (s)
∑
S -1
b0
∑
Y ( s)
-a
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《信号与系统》
§5-8 LTI系统的信号流图表示
离散时间系统：
简单方程： y(n) ay(n 1) x(n)
系统函数：
b0 b1 z 1 H ( z) 1 az1
b0
模拟框图：
X ( z)
∑
z 1
b1
∑
Y ( z)
a
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§5-8 LTI系统的信号流图表示
2、 高阶系统的模拟框图
连续时间系统：
d N y(t ) N 1 d k y(t ) 简单方程： dt N ak dtk x(t ) k 0
z 1
aN
Y ( z)
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§5-8 LTI系统的信号流图表示
3、 系统的级联与并联模拟框图
根据系统函数可以分解表示为一阶分式相乘或相加，于是高阶 系统可以分别表示为一阶系统的级联或并联。
H (s)
b s
r 0 N 1 k 0 r
or
Ak (1 pk z 1 )
H pk ( z )
Bk (1 pk z 1 )
X ( z)
∑
z 1
zk
∑
Y ( z)
Ak
pk
X ( z)
∑
Y ( z)
z 1
pk
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b z
r 0 N r k 1
M
r
1 ak z k
(1 z z
r r 1 N k k 1
M
1
) )
(1 p z
1
H sk ( z ) H pk ( z )
k 1 k 1
N
N
上式中
(1 zk z 1 ) H sk ( z ) (1 pk z 1 )
2 1 s 1 s 2
or
s3 1 ( s 1) ( s 2)
于是级联实现
X (s)
∑
S -1
∑
S -1
3
∑
Y ( s)
1
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2
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§5-8 LTI系统的信号流图表示
或者
X (s)
∑
S -1
∑
S -1
H (s) 系统函数： 1 s ak s
N k 0 N 1 k
sN 1 ak s k N
k 0 N 1
模拟框图： X ( s)
s 1
aN 1
s 1
aN 2
s 1
a0
Y ( s)
d N y(t ) N 1 d k y(t ) M d r x(t ) 一般方程： N ak k br r dt dt dt k 0 r 0
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§5-8 LTI系统的信号流图表示
1、 一阶系统的模拟框图
连续时间系统： 简单方程：
dy (t ) ay (t ) x(t ) dt
系统函数：
1 s 1 H ( s) s a 1 as1
模拟框图：
自环：只有一条支路的闭环。
不接触环：环路之间，无公共节点的一类环。 前向通路：由源节点至阱节点的一条通路。
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§5-8 LTI系统的信号流图表示
例如：已知系统函数如下，试分别用一阶系统的级联与并联模拟实 现系统。
s3 H (s) 2 s 3s 2
1 0.5 z 1 H ( z) 1 0.3z 1 0.02z 2
解：将系统函数分子分母分别因式分解。于是
s3 1 s3 s3 H (s) 2 s 3s 2 ( s 1)(s 2) ( s 1) ( s 2)
3
∑
Y ( s)
2
1
并联实现如下图
2
∑
∑
S -1
X (s)
1 1
X (s)
∑
S -1
2
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§5-8 LTI系统的信号流图表示
离散时间系统的实现，也是先将分子母多项式分解因式
1 0.5z 1 4 3 1 0.5 z 1 H ( z) 1 1 1 0.3z 1 0.02z 2 (1 0.1z )(1 0.2 z ) 1 0.1z 1 1 0.2 z 1
S -1
zk
∑
Y ( s)
pk
H pk ( s)
Bk ( s pk )
X (s)
∑
S -1
Ak
Y ( s)
pk
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§5-8 LTI系统的信号流图表示
于是系统可以用一阶系统的级联形式实现：
X (s)
H s1 (s)
系统函数： H ( z )
Y ( z)
1 1 az 1
模拟框图：
X ( z)
∑
z 1
-a
y(n) ay(n 1) b0 x(n) b1 x(n 1) 一般方程：
q (n) aq (n 1) x(n) y (n) b q (n) b q (n 1) 0 1
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§5-8 LTI系统的信号流图表示
离散时间系统：
简单方程：
y(n) ak y(n k ) x(n)
k 1 N
H ( z) 系统函数：
Y ( z)
1 1 ak z k
k 1 N
模拟框图： X ( z )
z 1
a1
z 1
于是系统可以用一阶系统的级联形式实现：
X ( z)
H s1 ( z )
H s 2 ( z)
H sN ( z)
Y ( z)
或用一阶系统的并联形式实现：
H p1 ( z )
X ( z)
H p 2 ( z)
Y ( z)
H pN ( z)
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成为输出变量。
混合节点：既有输入，又有输出支路的节点。 ⑵ 与支路有关的： 输出、输入支路：流出、流入节点的支路。 通路：沿支路方向，所经各节点只一次的路径。
环（路）：起点与终点为同一点的通路，又称闭环。
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§5-8 LTI系统的信号流图表示
H s 2 ( s)
H sN ( s)
Y ( s)
也可以用一阶系统的并联形式实现：
H p1 (s)
X (s)
H p 2 ( s)
Y ( s)
H pN (s)
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§5-8 LTI系统的信号流图表示
离散时间系统也有类似模拟表示。因为
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§5-8 LTI系统的信号流图表示
⑵ 支路：表示信号流动的方向，是连接两节点的有向线段。 ⑶ 支路增益：表示所连接的两节点变量的传输比。
dy (t ) ay (t ) x(t ) 例如：一阶微分方程： dt dy (t ) x(t ) ay (t ) dt
M
r
s N ak s k
(s z )
r
M
( s pk )
k 1
r 1 N
H sk ( s ) H pk ( s )
k 1 k 1
N
N
上式中
H sk ( s) ( s zk ) ( s pk ) or Ak ( s pk )
X (s)
∑
练习2：已知离散时间系统方程如下，试作出不同形式的模拟框图。
y ( n) 5 1 1 y (n 1) y (n 2) x(n) x(n 1) 6 6 4
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二、 LTI系统的信号流图表示
X (s)
∑
S -1
Y ( s)
-a
dy (t ) dx (t ) ay ( t ) b b0 x(t ) 1 一般方程： dt dt
dq(t ) aq(t ) x(t ) dt dq(t ) y ( t ) b b q ( t ) 1 0 dt
b1
b1s b0 b1 b0 s 1 系统函数： H ( s) s a 1 as1
模拟框图：
X (s)
∑
S -1
b0
∑
Y ( s)
-a
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§5-8 LTI系统的信号流图表示
离散时间系统：
简单方程： y(n) ay(n 1) x(n)
系统函数：
b0 b1 z 1 H ( z) 1 az1
b0
模拟框图：
X ( z)
∑
z 1
b1
∑
Y ( z)
a
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2、 高阶系统的模拟框图
连续时间系统：
d N y(t ) N 1 d k y(t ) 简单方程： dt N ak dtk x(t ) k 0
z 1
aN
Y ( z)
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3、 系统的级联与并联模拟框图
根据系统函数可以分解表示为一阶分式相乘或相加，于是高阶 系统可以分别表示为一阶系统的级联或并联。
H (s)
b s
r 0 N 1 k 0 r
or
Ak (1 pk z 1 )
H pk ( z )
Bk (1 pk z 1 )
X ( z)
∑
z 1
zk
∑
Y ( z)
Ak
pk
X ( z)
∑
Y ( z)
z 1
pk
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