抛物线的切线问题知识交流
不愤不启 不悱不发——“与抛物线切线有关的问题”课例及点评
{
· 22·
中学教研 （ 数学）
2013 年
思考：把 2 条切线的交点作为起始点， 再观察切线 QA 与 QB ， 它们是对称的， 可否从设切线方程入手？ 解 由 Q （ x0 ，－ 1 ） ， 可 设 切 线 QA： y + 1 = k （ x － x0 ） ， 代入得 x2 － 4 kx + 4 kx0 + 4 = 0 ， 利用 得 从而
2 Δ = 16 k － 4 × 4 （ x0 k + 1 ） = 0 ，
在的弦方程为 y =
x0 x － y0 ． 2
k2 － x0 k － 1 = 0 ， k1 ·k2 = － 1 ． 点评 引导本题时， 体现的思想方法是： 先借 助于图像进行粗略判断， 再进一步借助于特殊点进 行验证， 最后用数学思想方法进行严密证明， 从而 ． ， 得到结论 这种思想方法 特别是对开放题会有明 显的效果． 本题的条件多样， 如何更有效整合利用 就显得更加重要． 这些信息， 3 ． 4 问题导练， 及时反馈 2 例 3 已知抛物线 C ： x = 4 y A， B 是抛物线上的 2 的焦点为 F ， → → AF = λ FB （ λ ＞ 0 ） ． 过点 个动点， A， B 分别作抛物线的切线， 设其 → → 证明：FQ·AB 为定值． 交点为 Q， （ 学生板演． ） 图3 解法 1 x + x2 x1 － x2 y1 － y2 → → = FQ·AB = 1 ， －2 · ， 2 2 2
2 2 x2Байду номын сангаасx2 1 － x2 1 － x2 － = 0． 4 4
(
) (
)
解法 2
AB 的方程为 y = k AB =
x0 x + 1， 从而 2
直线与抛物线切线问题
直线与抛物线切线问题
1.直线和抛物线的基本概念
直线是两个不在同一直线上的点之间的最短距离的集合，可用y=kx+b表示。
抛物线是平面内，到定点F和定直线L距离相等的点P的轨迹，可用y=ax^2+bx+c表示。
2.切线的基本概念
切线是曲线上某一点处的局部直线，与曲线在该点处相切且方向相同。
对于抛物线，它在顶点处的切线是水平线，因为此时斜率为0。
3.直线和抛物线的切线问题
对于直线和抛物线，它们可能存在交点，也可能没有交点。
若要求它们的切线，需要先求出它们的交点，然后求出在该交点的切线斜率。
具体步骤如下：
①列出方程组，求解交点坐标。
方程组为y=kx+b和
y=ax^2+bx+c，将它们相减得到cx^2+(b-k)x+(c-b)=0。
求解得到交
点坐标后，即可得到在该点的斜率。
②切线斜率的求解。
对于抛物线，它在交点处的切线斜率为导数，在该点导数为2ax+b。
对于直线，它本身的斜率即为切线斜率。
4.实际应用
直线和抛物线的切线问题在物理、工程学或者经济学中经常出现，例如物体的抛射运动、管道的水流分析等等。
5.总结
直线和抛物线的切线问题需要先求解交点坐标，再求解斜率。
它们在实际应用中具有广泛的应用价值。
抛物线双切线定理
抛物线双切线定理抛物线双切线定理抛物线是一种常见的二次函数图像，它具有许多重要的性质。
其中之一是抛物线上每个点都有两条切线，这些切线被称为双切线。
本文将介绍抛物线双切线定理，该定理描述了如何通过给定点和斜率来确定抛物线上的双切线。
一、基本概念1. 抛物线抛物线是一个二次函数的图像，它可以用以下标准方程表示：y = ax² + bx + c其中a、b、c为实数且a≠0。
2. 切线在数学中，切线是与曲面（或曲线）在某一点相接触且与该点处的曲面（或曲线）相切的直线。
在二维平面上，我们可以通过求导来找到曲面（或曲线）在某一点处的斜率，从而得到该点处的切线。
3. 双切线对于任意给定的抛物线上的点P(x0, y0)，都存在两条不同的直线通过该点并且与抛物线相交。
这两条直线被称为双切线。
二、定理陈述对于任意给定的抛物线y = ax² + bx + c上的点P(x0, y0)，它的双切线的方程为：y = 2ax0x - ax0² + y0 - 2ax0x0和y = -2ax0x - ax0² + y0 + 2ax0x0其中a、b、c为抛物线的系数，即y = ax² + bx + c。
三、定理证明考虑一条通过抛物线上某点P(x0, y0)的切线。
设该切线的斜率为k，则该切线的方程可以表示为：y - y0 = k(x - x0)我们可以通过求导来求出抛物线在该点处的斜率。
对于抛物线y = ax² + bx + c，它在任意一点处（x,y）的斜率可以表示为：k = dy/dx = 2ax + b将k代入切线方程中，得到：y - y0 = (2ax0 + b)(x - x0)化简得到：y = 2ax₀x - ax₀² + y₀ - 2ax₀x₀这就是通过给定点P(x₀, y₀)和斜率k来确定抛物线上一条切线的方程。
同样地，我们可以通过将斜率取相反数得到另外一条双切线。
中考切线知识点总结
中考切线知识点总结一、定义：在数学上，切线是指曲线上的一点处与曲线相切的一条直线。
切线在几何学和微积分中都有很重要的应用，特别是在研究曲线的性质和方程的求解中。
二、切线的性质：1. 切线的斜率与曲线在该点的导数相等。
2. 切线与曲线在切点处有相同的斜率。
3. 切线是曲线的局部近似。
4. 切线与曲线在切点处有相同的斜率。
5. 切线在曲线上的位置随着切点的位置而变化。
6. 切线与曲线在切点处的切线方向一致。
三、切线的求法：1. 求曲线在某一点的切线，可以先求曲线在该点的导数，然后用该点的导数作为斜率，以该点为切点，画一条直线即为切线。
2. 求曲线的切线方程，可以根据曲线的方程和切点的坐标，利用切线的斜率-截距式或点斜式进行求解。
3. 求曲线上各点的切线方程，可以使用微积分的方法进行求解。
四、切线的应用：1. 在几何学中，切线可以用来求解曲线的局部性质，如拐点、极值等。
2. 在物理学中，切线可以用来描述曲线的运动趋势和速度变化。
3. 在工程学中，切线可以用来求解曲线的斜率和切线方程，从而为工程设计提供参考依据。
4. 在经济学中，切线可以用来描述曲线的增长率和趋势变化，为经济分析提供支持。
五、切线的经典问题：1. 求解曲线在某点的切线方程。
2. 求解曲线的平行于给定直线的切线方程。
3. 求解曲线与切线的交点坐标。
4. 求解经过给定点的曲线切线方程。
5. 求解曲线在某一点处的切线方向。
六、中考考点强化：1. 求解曲线在给定点处的切线方程。
2. 判断曲线在给定点处的切线斜率。
3. 用切线斜率求解曲线与切线的交点坐标。
4. 判断曲线在某点是否存在切线。
5. 求解曲线的切线方程和切点。
八、练习题目：1. 求曲线y=x^2-3x+2在点(2,1)处的切线方程。
2. 求曲线y=2x^3-6x^2+4x-1在点(1,-1)处的切线斜率。
3. 曲线y=3x^2-4x+1与切线y=2x-1在哪些点上相交？4. 曲线y=x^3-3x^2+3x-1是否在点(1,0)处存在切线？5. 求曲线y=x^2-2x+3在点(3,6)处的切线方程。
抛物线外一点做两条切线轨迹方程
抛物线外一点做两条切线轨迹方程1. 概述抛物线是数学中常见的一种曲线，其在物理学、工程学、计算机图形学等领域有着广泛的应用。
抛物线外一点做两条切线是一个经典的问题，其涉及到抛物线的性质和切线的几何关系。
本文将探讨抛物线外一点做两条切线的轨迹方程，希望能够为读者对此问题的理解提供一些帮助。
2. 抛物线的一般方程一般来说，抛物线的一般方程可以表示为：\[y = ax^2 + bx + c \]其中a、b、c为常数且a不为0。
抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。
3. 抛物线外一点做两条切线的条件对于给定的抛物线和一点P(x, y)外，我们希望找到通过点P的两条切线。
根据几何性质，抛物线外一点做两条切线的条件为：点P到抛物线的切线长度相等。
设点P到抛物线的距离为d，则点P到抛物线的两个切点为A和B，过点P作AB的垂线交抛物线于C和D，则PC=PD。
4. 推导轨迹方程我们可以找到切线的一般方程。
设抛物线的方程为y = f(x)，点P的坐标为(x, y)，则点P到抛物线的距离 \[d = \frac{|y - f(x)|}{\sqrt{1 +f'(x)^2}} \] 其中f'(x)为抛物线的导数。
根据切线的性质，切线的斜率为f'(x)。
由上式我们得到\[d = \frac{|y - f(x)|}{\sqrt{1 + f'(x)^2}} = \frac{|ax^2 + bx + c -f(x)|}{\sqrt{1 + f'(x)^2}} \]根据点到直线的距离公式，我们知道点P到抛物线的切线的距离为d，于是我们得到抛物线外一点做两条切线的轨迹方程。
5. 结论通过以上推导，我们得到了通过抛物线外一点的两条切线的轨迹方程。
这个问题的解决不仅涉及到抛物线的性质，也考虑到切线的几何特性。
抛物线作为数学中的经典曲线，在这个问题中展现了其独特的魅力。
希望读者通过本文能够对抛物线外一点做两条切线的轨迹方程有一个更清晰的认识。
抛物线中的切线问题(推荐完整)
式表示）
. .
变式 3 如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，
M(x0,y0)为 x2 2 py 外任意一点,过 M 引抛物线
的两条切线，切点分别为 A(x1,y1), B(x2,y2)．求
过 A, B 两点的直线方程 为: x0 x p( y y0 )
x2
x1x0 x2 x0
p( x12 2p
p( x22 2p
y0 ) y0 )
A、M、B三点的横坐标成等差数列
变式 3 如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，
M(x0,y0)为 x2 2 py 外任意一点,过 M 引抛物线
的两条切线，切点分别为 A(x1,y1), B(x2,y2)．求
抛物线中的切线问题
例题：（山东高考）如图，设抛物线方程为
x2 2 py( p 0) ， M 为直线 y 2 p 上任意 一点,过 M 引抛物线的切线，切点分别为 A，B ． 求证： A，M，B三点的横坐标成等差数列
变式 1:如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，
xx0 yy0 r2
2. 设P(x0,
y0
)为椭圆
x2 a2
y2 b2
1上的点，则过该点的切线方程为：
xx0 a2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
yy0 b2
1
3. 设P(
x0
,
y0
)为双曲线
x2 a2
y2 b2
1上的点，则过该点的切线方程为：
xx0 yy0 1
抛物线的切线方程和切点弦方程
抛物线的切线方程和切点弦方程
本文将探讨抛物线的切线方程和切点弦方程两个重要的概念。
切线方程的推导
我们知道，抛物线的一般式方程为 y=ax^2+bx+c，对其求导得到 y'=2ax+b， y' 即为切线斜率。
假设某一点的坐标为 (x0, y0)，则该点处的切线斜率为 y'=2ax0+b。
但是仅仅知道切线斜率并不能唯一确定切线方程，我们还需要另一个已知条件。
我们可以利用该点的坐标 (x0, y0) 推导出该点的切线方程。
已知某点坐标为 (x0, y0)，切线斜率为 k，则其切线方程为 y-y0=k(x-x0)。
将 k=y'，即得到切线方程：y-y0=(2ax0+b)(x-x0)。
切点弦方程的推导
切点弦方程也称作法向弦方程，它表示的是过切点且垂直于切线的直线方程。
我们可以通过该点的切线方程推导出该点的切点弦方程。
对于切线方程 y-y0=(2ax0+b)(x-x0)，其中切点坐标为 (x0, y0)，斜率为 k=2ax0+b。
由于切点弦垂直于切线，则其斜率 k' = -1/k。
切点弦过点 (x0, y0)，另一端点为 (x, y)，设切点弦方程为 y = k'(x-x0) + y0。
将 k' 代入得到 y = (-1/(2ax0+b))(x-x0) + y0，整理得到切点弦方程 y+((x-x0)/(2a)(y-y0)) = x/2a + (x0^2)/(2a)+y0。
以上即为抛物线的切线方程和切点弦方程的推导及表达方式。
抛物线外一点引两条切线,切点连线的方程
抛物线外一点引两条切线,切点连线的方程1. 引言1.1 概述在数学领域，抛物线是一种常见的曲线形状，具有许多重要的性质和应用。
与抛物线相关的一个重要问题是如何确定抛物线外一点引出的两条切线，并找到这两条切线上的切点及其连线方程。
本文将详细探讨该问题。
1.2 研究背景抛物线作为一个具有特殊形状和性质的曲线，在几何学和微积分中都占据着重要地位。
早在古希腊时期，古代数学家就开始研究抛物线，并发现了许多与之相关的定理和性质。
随着数学研究的不断深入，人们对于抛物线的认识也越来越深刻。
在这个过程中，人们逐渐发现了如何确定抛物线外一点引出的两条切线，并求解切点及其连线方程这个问题。
1.3 目的本文旨在介绍抛物线与切线之间的关系，并详细推导出抛物线外一点引两条切线所涉及的数学方法。
通过典型例题的分析和解答，将帮助读者理解并掌握如何确定抛物线外一点引出的两条切线，并求解切点及其连线方程的步骤。
此外，本文还将探讨这个问题在实际应用中的价值，并对研究尚未解决的相关问题进行展望。
以上是“1. 引言”部分的详细内容，通过介绍本文的概述、研究背景和目的，读者可以初步了解文章所要讨论的问题和内容。
接下来，“2. 抛物线与切线关系”部分将详细介绍抛物线及切线的定义及性质。
2. 抛物线与切线关系2.1 抛物线定义及性质抛物线是一种平面曲线，由所有与一个固定点（焦点）和一条直线（准线）的距离相等的点组成。
其标准方程可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c 为常数，且a不等于0。
抛物线具有以下性质：- 对称性：抛物线关于其顶点对称。
- 面积：抛物线所夹的面积相等于焦点到准线的距离乘以基本边长。
- 焦距：抛物线中焦点到顶点的距离等于焦半径。
2.2 切线定义及性质切线是指曲线上某一点处与该点处切给曲线只有一个公共交点的直线。
切线与曲线相切于该点，并且在该点处具有相同的斜率。
切线具有以下性质：- 斜率：切线与曲线在交点处具有相同的斜率。
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MB
的方程为
y
2p
x2 p
(x
x0 ).
所以
x12 2p
2p
x1 p
( x1
x0 ),
①
x22 2p
2p
x2 p
( x2
x0 ).
②
由①、②得:
x1
2
x2
x1
x2
x0 ,
因此
x0
x1
x2 2
，即 2x0
x1
x2 .
所以 A、M、B 三点的横坐标成等差数列.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当 x0=2 时，
M(x0,y0)为 x2 2 py 外任意一点,过 M 引抛物线
的两条切线，切点分别为 A(x1,y1), B(x2,y2)．求过 A, B 两点的直线方程。
x0 x p( y y0 )
. .
结论2:
P(x0 , y0 )是抛物线x2 =2py外一点,过P点作抛物 线的两条切线,切点分别为A(x1, y1), B(x2, y2 ),则
将其代入①、②并整理得：
x12 4x1 4 p2 0, x22 4x2 4 p2 0,
所以 x1、x2 是方程 x2 4x 4 p2 0 的两根， 因此 x1 x2 4, x1x2 4 p2 ,
x22 x12
又 kAB
2p x2
2p x1
M(x0,y0)为 x2 2 py 外任意一点,过 M 引抛物线 的切线，切点分别为 A，B ．
问: A，M，B三点的横坐标是否仍成等差数列?
解:由结论1可知过A(x1, y1), B(x2, y2)的切线 方程分别为:x1x p( y1 y), x2x p( y2 y)
Q
设 A(x1,y1)在抛物线上.试过 A 的切线方程
解: x2 2 py 得 y x2 ，得 y x
2p
p
y'
x x1
x p
x x1
x1 p
A(x1,y1)
过A( x1 ,
y1)的切线方程为:y
y1
x1 p
(x
x1 )
即: py py1 x1x x12 x1x 2 py1
M(x0,y0)为 x2 2 py 外任意一点,过 M 引抛物线
的两条切线，切点分别为 A(x1,y1), B(x2,y2)．求过 A, B 两点的直线方程。
. .
解:由结论1可知过A(x1, y1), B(x2, y2)的切线 方程分别为:x1x p( y1 y), x2x p( y2 y)
x1 x2 2p
x0 p
,
2
所以 kAB
. p
由弦长公式得
AB
1 k2
(x1 x2 )2 4x1x2
1
4 p2
16 16 p2 .
又 AB 4 10 ，所以 p=1 或 p=2，
因此所求抛物线方程为 x2 2 y 或 x2 4y.
思考 1:如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，
两切线过点M
x1x0 p( y1
x2
x0
p( y2
(x0 , y0 ) yy00))
x1x0 x2 x0
p( x12 2p
p( x22 2p
y0 ) y0 )
整理可得 : 2x0 x1 x2
思考 2：如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，
x2 x0 y2 y0 r2
y ·p
A B
o
x
可知A点在直线x0 x y0 y r2 B点在直线 x0 x y0 y r2
所以AB的方程为 x0 x y0 y r2
（山东高考题) 如图，设抛物线方程为 x2=2py (p＞0), M 为直线 y=-2p 上任意一点，过 M 引抛 物线的切线，切点分别为 A，B. (Ⅰ)求证：A，M，B 三点的横坐标成等差数列； (Ⅱ)已知当 M 点的坐标为（2，-2p）时，
直线AB的方程为: x0 x=p(y+y0 )
变式4:设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，若 M(x0, p )是抛物线准线l上任意一点,焦点为F,
2 过 M 引抛物线的切线，切点分别为 A，B
问:A,B,F三点是否共线?
变式5:如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ， 若M(x0, p )是抛物线准线l上任意一点,焦点为F,
Q 两切线过点P(x0 , y0 )
x1x0 x2 x0
p( y1 y0 ) p( y2 y0 )
A(x1, y1), B(x2 , y2 )都是直线x0x p( y y0 )上的点
直线AB方程为: x0x p( y y0 )
. .
思考 2：如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，
2 过 M 引抛物线的切线，切点分别为 A，B ．问: 直
线AM,BM有何位置关系?
几何画板
变式5:如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ， 若M(x0, p )是抛物线准线l上任意一点,焦点为F,
2 过 M 引抛物线的切线，切点分别为A(x1,y1)、
AB 4 10 ，求此时抛物线的方程；
（Ⅰ）证明：由题意设
A(
x1,
x12 2p
),
B(
x2
,
x22 2p
),
x1＜ x2
,
M
(
x0
,
2
p).
由
x2
2 py
得
y
x2 2p
，则
y
x p
,
所以
kMA
x1 p
, kMB
x2 p
.
因此直线
MA
的方程为
y
2p
x1 p
(x
x0 ),
直线
0, y0 )是抛物线x2 =2py(p>0)上一点,过P点 作抛物线的切线,则切线方程为:x0x=p(y+y0 )
类比圆: P(x0, y0 )是圆x2 y2 r2上一点,过P 点作圆的切线则切线方程为:x0x+y0 y=r2
变式 1:如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，
抛物线中的切线问题
过圆外一点 P
x0
,
y 0
向圆 x2 y2 r2 做切线,切于A、B两
点,求过A、B的直线方程 .
解：设
A
x1,
y 1
,
B
x2 ,
y 2
PA的方程为 x1 x y1 y r2
PB的方程为 x2 x y2 y r2
则有 x1 x0 y1 y0 r2