三角形内角和与外角性质..doc
三角形内角和与外角性质
三角形内角和与外角性质三角形是几何学中最基本的图形之一，它具有独特的性质和特点。
本文将探讨三角形内角和与外角的性质，并进行详细解释。
一、三角形内角和性质三角形的内角和是指三个内角的度数总和。
对于任意一个三角形ABC，其内角和可以表示为：内角和 = ∠A + ∠B + ∠C在三角形中，有以下几个理论性质：性质1：三角形的内角和等于180度这是三角形的基本性质，无论三角形的形状和边长如何变化，其内角和始终等于180度。
即∠A + ∠B + ∠C = 180度。
性质2：三角形的两个内角之和大于第三个内角对于任意一个三角形ABC，其中任意两个内角之和大于第三个内角。
即∠A + ∠B > ∠C，∠A + ∠C > ∠B，∠B + ∠C > ∠A。
这个性质可以通过三角形的角度和边长关系来证明，其中引入了三角不等式的概念。
二、三角形外角性质三角形的外角是指三角形的一个内角对应的补角。
对于任意一个三角形ABC，以∠A、∠B和∠C为顶点的外角分别记作∠D、∠E和∠F。
性质1：三角形的外角等于其对应内角的补角即∠D = 180度 - ∠A，∠E = 180度 - ∠B，∠F = 180度 - ∠C。
性质2：三角形内角和等于其外角和对于任意一个三角形ABC，其内角和等于其外角和。
即∠A + ∠B+ ∠C = ∠D + ∠E + ∠F。
结合三角形的内角和性质，我们可以得到公式：180度 = ∠A + ∠B + ∠C = ∠D + ∠E + ∠F这个公式表示了三角形内角和与外角和的关系。
三、示例分析为了更好地理解三角形内角和与外角的性质，我们举一个具体的三角形作为例子。
考虑一个三角形ABC，其内角分别为∠A = 60度，∠B = 70度，∠C = 50度。
根据性质1，我们可以计算出三角形的内角和为180度。
同时，根据性质2，我们可以计算出三角形的外角分别为∠D = 120度，∠E = 110度，∠F = 130度。
三角形的内角的与外角和
三角形的内角的与外角和一、知识要点：1、三角形的内角和：三角形的内角和等于。
推论:直角三角形的两个锐角。
2、三角形的外角性质性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的的和。
性质2：三角形的一个外角任何一个和它不相邻的内角。
3、三角形的外角和等于。
二、随堂练习：1、判断并说明理由。
（1）、一块三角尺的内角和是180度，用两块完全一样的三角尺拼成一个三角形，这个三角形的内角和是360度。
（）（2）、三角形越大，它的内角和就越大。
（）（3）、一个三角形剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和是90°。
（）（4）、有一个三角形，两个内角分别是95°和91°。
（）（5）、三角形中最多只有一个直角或只有一个钝角。
（）（6）、钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和。
（）（7）、在直角三角形中，两个锐角的和等于90 º（）（8）、在钝角三角形中，两个锐角的和大于90 º（）（9）、三角形中有一个角是60 º，那么这个三角形一定是个锐角三角形。
（）（10）、一个三角形中一定不可能有两个钝角。
（）2、一个三角形中，有一个角是65°，另外的两个角可能是（）A.95°，20°B.45°，80°C.55°，60°3、一个等腰三角形，顶角是100°，一个底角是（）。
A.100°B. 40°C.55°4、一个等腰三角形，一个底角是顶角的2倍，这个三角形顶角（）度，底角（）度。
A. 36°B.72°C.45°D.90°③②①5、想一想，算一算。
6、求图中∠１、∠２、∠３的度数。
7．若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是________三角形．8．△ABC中，若∠C-∠B=∠A，则△ABC的外角中最小的角是______（填“锐角”、“直角”或“钝角”）9．三角形的三个外角中最多有_______个锐角．10．如图2，△ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA到E，连EF，则∠1，∠2，∠3的大小关系是_________11．求出图（1）、（2）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数12．（趣味题）如图，在绿茵场上，足球队员带球进攻，总是向球门AB冲近，说明这是为什么？。
三角形的外角与内角
三角形的外角与内角三角形是几何学中最基本的图形之一。
在三角形中，我们可以通过角度来描述其形状和特性。
其中，外角和内角是我们常常研究和讨论的两个角度。
本文将介绍三角形的外角和内角的概念、性质以及它们之间的关系。
一、三角形的外角1. 外角的定义在任意三角形ABC中，我们可以通过延长其中一条边（比如边AB）来得到一个外角。
外角定义为该外角和与之相邻的内角的和。
2. 外角的性质（1）任何一个三角形的外角都小于360度。
这是因为在三角形中，所有的内角的和已经等于180度，如果再加上外角，总和将超过360度，这是不可能的。
（2）三角形的相邻外角互补。
这是因为相邻两个外角加上与之相邻的内角，总和等于180度。
3. 外角与其他角度的关系（1）外角与内角的关系：一个外角等于与之相邻的两个内角的和。
即外角A等于内角B和内角C的和，外角B等于内角A和内角C的和，外角C等于内角A和内角B的和。
（2）外角与对应内角的关系：对于一个三角形的任意一对对应内角和外角来说，它们的度数之和等于180度。
即外角A等于内角C的度数，外角B等于内角A的度数，外角C等于内角B的度数。
二、三角形的内角1. 内角的定义在任意三角形ABC中，我们可以通过三个顶点来确定三个内角，分别为角A、角B、角C。
2. 内角的性质（1）三个内角的和等于180度。
这是因为三个内角加起来就是三角形所有内角的总和，而任何一个三角形的所有内角总和都等于180度。
（2）任意两个内角的和大于第三个内角。
这被称为三角形的内角和定理。
例如，在三角形ABC中，角A + 角B大于角C，角A + 角C 大于角B，角B + 角C大于角A。
三、三角形的外角与内角之间的关系根据前文提到的性质可知，一个三角形的外角与其对应的内角之间存在以下关系：（1）外角等于与之相邻的两个内角的和。
（2）外角与对应内角的度数之和等于180度。
（3）三个内角与三个外角的对应关系：外角等于相应内角的度数。
综上所述，三角形的外角与内角之间有着密切的关系。
几何形三角形的内角和与外角性质
几何形三角形的内角和与外角性质三角形是几何学中最基本的形状之一，由三条边和三个内角组成。
在三角形中，内角和与外角性质是我们研究三角形的重要内容之一。
本文将深入探讨三角形的内角和与外角的性质，并进行详细解析。
一、三角形的内角和性质三角形的内角和是指三个内角的度数之和。
下面将分别讨论不同类型三角形的内角和性质。
1. 直角三角形直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个内角是直角（90度）。
根据直角三角形的性质，其两个其他内角之和必须为90度的补角。
因此，直角三角形的内角和为180度。
2. 锐角三角形锐角三角形是指三个内角都是锐角的三角形。
根据三角形内角和的性质，锐角三角形的三个内角之和必须小于180度。
具体来说，对于一个锐角三角形，三个内角的和一定是小于180度的。
3. 钝角三角形钝角三角形是指三个内角中有一个内角是钝角的三角形。
根据三角形内角和的性质，钝角三角形的三个内角之和必须大于180度。
具体来说，对于一个钝角三角形，三个内角的和一定是大于180度的。
二、三角形的外角性质三角形的外角是指一个三角形的某个内角的补角。
根据外角性质，一个三角形的三个外角之和为360度。
下面将分别讨论不同类型三角形的外角性质。
1. 直角三角形直角三角形的一个内角为直角，对应的外角为90度。
根据三角形外角和性质，直角三角形的两个其他外角之和必须为270度。
2. 锐角三角形锐角三角形的三个内角都是锐角，对应的三个外角都是钝角。
根据外角和性质，锐角三角形的三个外角之和必定为360度。
3. 钝角三角形钝角三角形的一个内角为钝角，对应的外角为钝角的补角。
根据外角和性质，钝角三角形的两个其他外角之和必须为小于90度。
三、内角和与外角的关系三角形内角和与外角之间存在一定的关系。
以一个一般的三角形为例，设三个内角分别为A、B、C，对应的三个外角为α、β、γ。
根据内角和性质，A + B + C = 180度。
而根据外角和性质，α + β + γ = 360度。
三角形的内角和外角的性质及其在建筑中的应用
三角形的内角和外角的性质及其在建筑中的应用三角形作为几何学中的重要概念之一，其内角和外角的性质一直以来都备受关注。
本文将探讨三角形内角和外角的定义、性质以及在建筑中的应用。
一、三角形内角的性质三角形的内角是指三个边的交汇处的角度。
在任意三角形ABC中，我们可以观察到以下性质：1. 内角和为180度：三角形的内角和等于180度，即∠A + ∠B +∠C = 180°。
这是因为在平面几何中，直线的两个补角之和为180度，而三角形的三个角相当于一个平行直线和两条相交直线形成的三个补角。
2. 内角的大小关系：在三角形ABC中，根据三角形内角的性质，我们可以推导出以下关系：- 若∠A > ∠B，则BC边对应的∠A > ∠C对应的∠B。
- 若∠A = ∠B，则BC边对应的∠A = ∠C对应的∠B。
- 若∠A < ∠B，则BC边对应的∠A < ∠C对应的∠B。
二、三角形外角的性质三角形的外角是指三角形一条边的延长线与相邻边之间所形成的角度。
在任意三角形ABC中，我们可以观察到以下性质：1. 外角与内角关系：三角形的外角与其对应的内角存在一定的关系。
准确地说，三角形的外角等于其对应内角的补角。
也就是说，∠D = 180° - ∠A，∠E = 180° - ∠B，∠F = 180° - ∠C。
2. 外角和为360度：三角形的三个外角之和等于360度，即∠D +∠E + ∠F = 360°。
这是因为三角形ABC的三条边的延长线形成了一条封闭的平行线，而封闭平行线上的任意角度之和为360度。
三、三角形内角和外角的应用在建筑中三角形的内角和外角的性质在建筑中有着广泛的应用。
以下是几个例子：1. 地基设计：在建筑的地基设计中，需要考虑三角形的内角和外角的性质，来确定施工中的角度和均衡力的分布。
准确地计算地基角度可以保证建筑的稳定性和结构的牢固性。
2. 房屋结构设计：三角形作为建筑结构设计中常见的形状，三角形的内角和外角的性质对于房屋的平衡和稳定至关重要。
2.三角形的内角外角及正多边形的内角和
三角形的内角外角及多边形的内角1.三角形内角与外角定理及性质⑴三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形.⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 三角形的一个外角和与之相邻的内角互补.例1.如图，AF，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝36°，∠C＝76°，求∠DAF的度数．例2.如图，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC中，三角板的两条直角边XY和XZ恰好分别经过点B 和点C.(1)若∠A＝30°，则∠ABX＋∠ACX的大小是多少？(2)若改变三角板的位置，但仍使点B、点C在三角板的边XY和边XZ上，此时∠ABX＋∠ACX的大小有变化吗？请说明你的理由．例3.如图，求证：∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C.变式练习1.如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数为________．2.如图，点D，E分别是AB，AC上的点，连接BE，CD，若∠B＝∠C，则∠AEB与∠ADC的大小关系是()A．∠ADC>∠AEB B．∠ADC＝∠AEB C．∠ADC<∠AEB D．不确定第2题第3题3.如图，B处在A处的南偏西60°方向，C处在A处的南偏东20°方向，C处在B处的正东方向，求∠ACB 的度数4.如图，已知在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，若∠BOC＝140°，求∠A的度数．5.如图，△ABC中，∠A＝50°，点D，E分别在AB，AC上，则∠1＋∠2的大小为第5题第7题第8题6.已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的外角度数之比为2∶3∶4，则这个三角形是()A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰三角形7.如图，∠1、∠2、∠3、∠4恒满足的关系是()A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B．∠1＋∠2＝∠4－∠3C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D．∠1＋∠4＝∠2－∠34.如图，△ABC中，∠B和∠C的外角平分线相交于点D，则∠BDC＝()A.12(90°－∠A) B．90°－∠A C.12(180°－∠A) D．180°－∠A1.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.2.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.3.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.4.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.5.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.6.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，7公式(1)多边形内角和公式：n 边形的内角和等于(2)n -·180° (2)多边形的外角和：多边形的外角和为360°.(3)多边形对角线的条数：①从n 边形的一个顶点出发可以引(3)n -条对角线，把多边形分成(2)n -个三角形.②n 边形共有(3)2n n -条对角线.例 4.下列说法：①等腰三角形是正多边形；②等边三角形是正多边形；③长方形是正多边形；④正方形是正多边形．其中正确的个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个例5.如图，△ABC ，△ADE 及△EFG 都是等边三角形，D 和G 分别为AC 和AE 的中点，若AB ＝4时，则图形ABCDEFG 外围的周长是( ) A ．12 B ．15 C ．18 D ．21变式练习1.一个正多边形的一个内角为162°,则这个多边形的边数为 .2.过m 边形的一个顶点有7条对角线，n 边形没有对角线，k 边形共有k 条对角线，则(m －k)n 为多少？3. 如图，图中分别是正方形、正五边形、正六边形，试求出∠1，∠2，∠3的度数。
三角形的内角和外角三角形的内角和外角的性质
三角形的内角和外角三角形的内角和外角的性质三角形的内角和外角是三角形的基本性质之一，它们的和有着固定的关系。
本文将探讨三角形的内角和外角的性质以及相关的数学定理。
一、三角形的内角和外角的定义三角形由三条边和三个角组成。
其中每个角都有对应的内角和外角。
内角是指位于三角形内部的角，即由两条边组成的夹角。
外角是指位于三角形外部的角，即由一条边和与其相邻的内角组成的夹角。
二、三角形的内角和外角的关系1. 内角和定理对于任意三角形，其内角的和等于180度。
即三个内角的度数之和为180度。
若设三角形的三个内角分别为∠A、∠B、∠C，则有∠A + ∠B + ∠C = 180度。
2. 外角和定理对于任意三角形，其外角的和也等于180度。
即三个外角的度数之和为180度。
若设三角形的三个外角分别为∠A'、∠B'、∠C'，则有∠A' +∠B' + ∠C' = 180度。
3. 内角和与外角和的关系对应一个内角和一个外角，它们的度数之和为180度。
即对于三角形的任意一组内角和外角，有∠A + ∠A' = 180度；∠B + ∠B' = 180度；∠C + ∠C' = 180度。
三、三角形的内角和外角的性质1. 三角形的内角性质a. 锐角三角形：三个内角都小于90度。
b. 直角三角形：一个内角为90度。
c. 钝角三角形：一个内角大于90度。
2. 三角形的外角性质a. 锐角三角形：三个外角都大于0度且小于180度。
b. 直角三角形：一个外角为90度。
c. 钝角三角形：两个外角大于90度且小于180度，一个外角为0度。
3. 三角形的内角和外角关系a. 两个内角的和大于第三个内角。
即∠A + ∠B > ∠C，∠A +∠C > ∠B，∠B + ∠C > ∠A。
b. 两个外角的和等于第三个外角。
即∠A' + ∠B' = ∠C'，∠A' +∠C' = ∠B'，∠B' + ∠C' = ∠A'。
三角形的内角和外角的性质
三角形的内角和外角的性质三角形是几何学中最基本的图形之一，由三条边和三个内角组成。
三角形的内角和外角具有一些特殊的性质，本文将对这些性质进行详细论述。
一、内角和三角形的内角和是指三个内角的总和。
在任意三角形ABC中，内角和等于180度。
Proof:我们可以通过几何推导来证明三角形的内角和等于180度。
首先，我们可以将三角形ABC的一个内角A延长，做出一条平行线段DE。
然后，连接DE与线段BC。
根据平行线与交线的性质，我们可以得出∠A和∠CDE是同位角，同位角是相等的。
同理，我们可以得出∠B和∠CED是同位角，同位角是相等的。
由于平行线与三角形的内角之和等于180度，我们可以得出∠CDE 和∠B的和等于180度。
所以，∠A、∠B和∠C的和等于180度。
度。
二、外角性质三角形的外角是指一个三角形的一个内角的补角。
在任意三角形ABC中，每个内角对应的外角之和为360度。
Proof:同样地，我们可以通过几何推导来证明三角形的外角之和等于360度。
首先，我们可以以边BC为基准线，延长边AB得到一条直线。
我们将直线上的点D与角ABC分别对应的外角作为同位角。
根据同位角的性质，我们可以得出∠D和∠ABC的和等于180度。
同理，我们也可以以边AC和边AB为基准线，分别延长边BC和边CA得到直线，继续得到两个点E和F，并得出∠E和∠CAB的和等于180度，以及∠F和∠BCA的和等于180度。
将以上三个方程相加：∠D + ∠E + ∠F + ∠ABC + ∠CAB + ∠BCA = 180度 + 180度 + 180度。
简化后，我们可以得出∠D、∠E和∠F的和等于360度。
的外角之和为360度。
综上所述，三角形的内角和等于180度，每个内角对应的外角之和等于360度。
这些性质是对于任意三角形都成立的。
对于求解三角形问题和证明相关定理来说，这些性质都是非常重要和有用的。
通过深入理解和应用这些性质，我们可以更好地研究和认识三角形，进一步推导和证明与三角形相关的数学定理。
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9.1.2三角形的内角和及外角的性质
丁河三中张玲
一、学习目标：
1、理解三角形内角和定理并会证明
2、理解并掌握三角形的外角的性质
3．会利用三角形内角和与外角性质进行有关计
算过程与方法：
培养学生探索、分析、解决问题的能力. 。
情感态度
通过探索三角形内角和与外角性质，提高学生逻辑思维能力，同时培养学生严谨的科学态度。
二、教学重点：
掌握三角形外角的性质
三、教学难点：
在三角形外角的性质证明的过程中，涉及到添加辅助线来沟通证明思路的方法。
四、教学方法
三疑三探教学法
五、教学过程：
（一）导入新课
同学们，在前面的学习中，我们已经初步认识了三角形的相关知识，知道三角形
的分类、内角、外角及三线（提问回答）
那么三角形的外角和又是多少呢，与内角之间有什么关系呢这就是我们今天要学习
的内容《三角形的内角和及外角的性质》，看到这个课题，你认为本节课我们要掌握
哪些知识呢？
( 二) 、讲授新课：
同学们提的问题都很有价值，也是本节的重点，请大家按照自探提示自学课本有
关内容就能得到答案。
自探提示：
请同学们思考我们今天的自探提示一：
1、猜想
三角形内角和多少度？尝试用说理的方法给予证明。
2、证明
已知△ ABC，分别用∠ 1、∠ 2、∠3 表示△ ABC的三个内角，证明∠
1+∠2+∠3=180 结论：三角形内角和等于 180 度
自探提示二：
1、看一看：一个外角与它相邻的内角有什么关系？
提示：位置关系、数量关系
2 、拼一拼：在一张白纸上任意画一个三角形ABC，把∠ A、∠ B 剪下拼在一起，
放到∠ ACD上，你发现了什么？
3、想一想：∠ A+∠B+∠1＝ 180°，∠ ACD+∠ 1=180°，你能由这两个等式推出刚才的结论吗？
4、你能用平行线的知识得到同样的结论吗？
解疑合探
1. 小组内交流学习成果。
2. 全班同学交流，学困生回答，中等生补充，优等生评价。
题目 展示小组 展示形式 评价小组
1
口答、演示、板书 2
演示、板书 展示评价要求：
1、展示要板书工整、规范、快速；不仅要有结果，还要概括出所考查的知识点。
2、未展示的同学在组长的带领下组内交流收获，解决疑难。
组长做好分工。
3、请进行评价的同学做好准备，点评声音洪亮，彩笔批注，对知识点进行讲解同时给展示同学打分，并给出相应的变式训练题。
4、非点评同学认真倾听思考，有疑问或见解及时提出来进行补充 。
师引导学生得出：三角形的外角和性质：
1、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
2、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
自探提示三：
A
2
1、在△ ABC 中， ∠１ +＿ =180 °
∠2 + ＿ =180 ° ∠3 + ＿ =180 °
5
三式相加可以得到
∠１ + ∠2 + ∠3 + ＿ + ＿ + ＿ = ＿（ 1）
6
1
而∠ 4+ ∠ 5+ ∠6 = 180
（ 2）
4
° B
将 (1) 与 (2) 相比较，你能得出什么结论？
3 C
（三、）质疑再探
请同学们再次浏览本节内容，画出重点，想想还有哪些不明白的地方，请提出来大家帮你解决。
（四、）运用拓展
1、请运用本节知识给你的同桌出一道题，考考他。
2、独立思考下列各题
1、判断：对的打“√” ，错的打“×”。
①三角形的外角都大于内角。
（ ） ②三角形的外角和都大于内角和。
（ ） ③一个三角形三个外角中，最多有 1 个是锐角。
（ ） ④直角三角形两个锐角互为余角。
（
）
3、把图中∠ 1、 ∠2、 ∠3 按由大到小的顺序排列
A
3
D
E
2
1
C
B
3 、如图4，五角星ABCDE中，请你求出∠ A + ∠ B+∠ C+∠ D+∠ E 的度数。
4、在直角△ ABC中， CD是斜边 AB上的高，∠ BCD＝
35°，求（ 1）∠ EBC的度数 .
（2）∠ A 的度数
. （五、）课堂小结
（1）本节课有什么收获。
（知识、能力、情感等方面）
（2）各小组、同学们的表现，对老师的建议等方面。
（六）布置作业
必做题：课本 88 页第 1，2 题。
选做题：课本 91 页第 2 题
七、教后记：。