3.4基本不等式(教、学案)

（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关。
系）
提问2:我们把“风车”造型抽象成图在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为 、 ，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？
生答： ，
提问3：那4个直角三角形的面积和呢？
生答：
提问4：好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式， 。什么时候这两部分面积相等呢？
解：设圆桶的底半径为 分米，高为 分米，圆桶的成本为 元，则 3
求桶成本最低，即是求 在 、 取什么值时最小。将 代入 的解析式，得
=
当且仅当 时，取“=”号。
∴当 1（分米）， （分米）时，圆桶的成本最低为9 （元）。
点评：分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解，
归纳整理，整体认识
1．求最值常用的不等式： ， ， ．
生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即 时，正方形EFGH变成一个点，这时有
结论：（板书）一般地，对于任意实数 、 ，我们有 ，当且仅当 时，等号成立。
提问5：你能给出它的证明吗？
(学生尝试证明后口答,老师板书)
证明:
所以
注意强调当且仅当 时,
(2)特别地,如果 ,也可写成
,引导学生利用不等式的性质推导
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
教学目标 ，不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义
教学重点】
应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程；
【教学难点】
基本不等式 等号成立条件
合作探究1证;
强调：当且仅当 时,
特别地,如果 ,也可写成
易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB
即ＣD＝ .
这个圆的半径为 ，显然，它大于或等于CD，即 ，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.
因此：基本不等式 几何意义是“半径不小于半弦”
评述：1.如果把 看作是正数a、b的等差中项， 看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
[拓展探究]
2.设a,b,c 且a+b+c=1，求证：
答案：1略2提示可用a+b+c换里面的1，然后化简利用基本不等式。
§3.4.2基本不等式的应用
【教学目标】
1会应用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；
2本节课是基本不等式应用举例。整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。
(板书,请学生上台板演):
要证: ①
即证 ②
要证②,只要证 ③
要证③,只要证(-) ④
显然,④是成立的,当且仅当 时,④的等号成立
(3)观察图形3.4-3,得到不等式①的几何解释
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
探究：课本中的“探究”
在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式 的几何解释吗？
3能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题．
教学重点：正确运用基本不等式解决一些简单的实际问题
教学难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件
教学过程：
一、创设情景，引入课题
提问：前一节课我们已经学习了基本不等式，我们常把 叫做正数 的算术平均数，把 叫做正数 的几何平均数。今天我们就生活中的实际例子研究它的重用作用。
,引导学生利用不等式的性质推导
证明:
结论：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
探究2：课本中的“探究”
在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式 的几何解释
练习
1若 且 ，则下列四个数中最大的是（）
（B）两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数
（C）若两个数的和为常数，则它们的积有最大值
（D）若两个数的积为常数，则它们的和有最小值
12下面给出的解答中，正确的是（）.
（A）y＝x＋ ≥2 ＝2，∴y有最小值2
（B）y＝|sinx|＋ ≥2 ＝4，∴y有最小值4
（C）y＝x（－2x＋3）≤ ＝ ，又由x＝－2x＋3得x＝1，∴当x＝1时，y有最大值 ＝1
Ａ． Ｂ． Ｃ．2abＤ．a
2a,b是正数，则 三个数的大小顺序是 （）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案B C
例题分析：
已知x、y都是正数，求证：
(1) ≥2；
( 2）Ｘ＞0，当Ｘ取何值时Ｘ+ 有最小值，最小值是多少
分析： ，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.1正2定3相等
讲解：已知 都是正数，①如果 是定值 ，那么当 时，和 有最小值 ；
②如果和 是定值 ，那么当 时，积有最大值
二、探求新知，质疑答辩，排难解惑
1、新课讲授
例1、（1）用篱笆围一个面积为100 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（2）一段长为36 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？
3．4．1基本不等式（1）
【教学目标】
1学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；
3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣
【教学重点】
应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程；
即学即练:
1若 且 ，则下列四个数中最大的是（）
Ａ． Ｂ． Ｃ．2abＤ．a
2a,b是正数，则 三个数的大小顺序是 （）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案B C
例题分析：
(1) ＝2即 ≥2.
(2)x＋y≥2 ＞0x2＋y2≥2 ＞0x3＋y3≥2 ＞0
∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2 ·2 ·2 ＝８x3y3
（D）y＝3－ － ≤3－2 ＝－3，y有最大值－3
3.已知x＞0，则x＋ ＋3的最小值为（）.
（A）4（B）7（C）8（D）11
4.设函数f（x）＝2x＋ －1（x＜0），则f（x）（）.
（A）有最大值（B）有最小值（C）是增函数（D）是减函数
1B2.D3B4.A
基本不等式
第一课时
课前预习学案
一、预习目标
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
1用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题.
2引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心.
教学重点：正确运用基本不等式解决一些简单的实际问题
教学难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件
二、学习过程
例题分析：
例1、（1）用篱笆围一个面积为100 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（D）y＝3－ － ≤3－2 ＝－3，y有最大值－3
3.已知x＞0，则x＋ ＋3的最小值为（）.
（A）4（B）7（C）8（D）11
4.设函数f（x）＝2x＋ －1（x＜0），则f（x）（）.
（A）有最大值（B）有最小值（C）是增函数（D）是减函数
答案1B2.D3B4.A
课后练习与提高
：1已知x＜ ，则函数f（x）＝4x＋ 的最大值是多少？
2证明：（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.
分析：注意凑位法的使用。
注意基本不等式的用法。
当堂检测：
1.下列叙述中正确的是（）.
（A）两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数
（B）两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数
分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值
（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大
解：（1）设矩形菜园的长为 m,宽为 m,则 篱笆的长为2（ ）
由 ，
可得
2（ ）
等号当且仅当 ，因此，这个矩形的长、宽为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m
(2)设矩形菜园的长为 m,宽为 m,则2（ ）=36， =18，矩形菜园的面积为 ，
5某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
答案：1C2 D3 436005 时， 有最小值 ，
基本不等式的应用
课前预习学案
一、预习目标
2．注意点：一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小．
3.建立不等式模型解决实际问题
当堂检测：
1下列函数中，最小值为4的是：（）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
2.设 的最小值是( )
A. 10B. C. D.
3函数 的最大值为.
4建造一个容积为18m3,深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2的造价为200元和150元，那么池的最低造价为元.
（2）一段长为36 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？
分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值
（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大
解：
变式训练：1用长为 的铁丝围成矩形，怎样才能使所围的矩形面积最大？
解：设水池底面一边的长度为 ，水池的总造价为 元，根据题意，得