初中数学：二次根式易错点剖析

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八年级数学下学期《二次根式》易错题集

《二次根式》易错题集易错题知识点1．忽略二次根式有意义的条件，只有被开方数a≥0时，式子a才是二次根式；若a<0，则式子a就不能叫二次根式，即a无意义。

2．易把2a与2)(a混淆。

3．二次根式的乘除法混合运算的顺序，一般从左到右依次进行或先把除法统一成乘法后，再用乘法运算法则计算。

4．对同类二次根式的定义理解不透。

5．二次根式的混合运算顺序不正确。

典型例题选择题1．当a＞0，b＞0时，n是正整数，计算的值是（）A．（b﹣a）B．（a n b3﹣a n+1b2）C．（b3﹣ab2）D．（a n b3+a n+1b2）考点：二次根式的性质与化简。

分析：把被开方数分为指数为偶次方的因式的积，再开平方，合并被开方数相同的二次根式．解答：解：原式=﹣=a n b3﹣a n+1b2=（a n b3﹣a n+1b2）．故选B．点评：本题考查的是二次根式的化简．最简二次根式的条件：被开方数中不含开得尽方的因式或因数．2．当x取某一范围的实数时，代数式的值是一个常数，该常数是（）A．29 B．16 C．13 D．3考点：二次根式的性质与化简。

分析：将被开方数中16﹣x和x﹣13的取值范围进行讨论．解答：解：=|16﹣x|+|x﹣13|，（1）当时，解得13＜x＜16，原式=16﹣x+x﹣13=3，为常数；（2）当时，解得x＜13，原式=16﹣x+13﹣x=29﹣2x，不是常数；（3）当时，解得x＞16；原式=x﹣16+x﹣13=2x﹣29，不是常数；（4）当时，无解．故选D点评：解答此题，要弄清二次根式的性质：=|a|，分类讨论的思想．3．当x＜﹣1时，|x﹣﹣2|﹣2|x﹣1|的值为（）A．2 B．4x﹣6 C．4﹣4x D．4x+4考点：二次根式的性质与化简。

分析：根据x＜﹣1，可知2﹣x＞0，x﹣1＜0，利用开平方和绝对值的性质计算．解答：解：∵x＜﹣1∴2﹣x＞0，x﹣1＜0∴|x﹣﹣2|﹣2|x﹣1|=|x﹣（2﹣x）﹣2|﹣2（1﹣x）=|2（x﹣2）|﹣2（1﹣x）=﹣2（x﹣2）﹣2（1﹣x）=2．故选A．点评：本题主要考查二次根式的化简方法与运用：a＞0时，=a；a＜0时，=﹣a；a=0时，=0；解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式、绝对值等考点的运算．4．化简|2a+3|+（a＜﹣4）的结果是（）A．﹣3a B．3a﹣C．a+D．﹣3a考点：二次根式的性质与化简；绝对值。

二次根式运算错误剖析

二次根式运算错误剖析刘素君二次根式是初中代数的重要内容，其中的概念和性质都有条件限制，同学们在运用这些概念和性质解题时，往往会忽视这些条件而导致错解，现将同学们作业中易出现的错误归类剖析如下。

一. 忽视二次根式0a a ≥中而造成错解例1. 化简：a 31)3a (-- 错解：原式a 3a 31)3a (2-=-⨯-= 剖析：错解中忽视了0a 31>-这一隐含条件，即03a <-，此式的值应为负值。

正解：原式a 31)3a (2-⨯--= a 3--=二. 忽视0b ,0a b a b a >≥=中而造成错解例2. 已知：4x y ,5y x =-=+，求x y y x +的值。

错解：原式xy yx x yy x +=+=-=-=4525剖析：因为4xy =，所以x 、y 同号，又因5y x -=+，所以x 、y 同为负数，因此上述变形x y x y y x y x ==与是错误的。

正解1：经分析知，0y ,0x <<，原式|x |xy |y |xy x xy y xy 22+=+= 25445xyxy)y x (x xyy xy =-=+-=-+-= 解法2：经分析知，0y ,0x <<。

设：m x y y x =+，两边平方得：4252442)5(2xyxy 2)y x (2xy y x 2x y y x m 22222=+⨯--=+-+=++=++= 因为：0x y y x m >+=，所以25m =三. 忽视使用公式：|a |a 2=例3. 已知：321a +=，求：a a 1a 2a 1a a a 21222-+---+-的值。

错解：原式)1a (a 1a 1a )a 1(2-----= 132a 11a --=--= 剖析：因为132321a <-=+=，所以01a <-。

因此上述变形)1a (a 1a a a 1a 2a 22--=-+-是错误的。

考点03 二次根式-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理(解析版)

考点03 二次根式数学中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算、坡比的应用几个方面；取值范围类考点多出选择填空等小题，而化简计算则多以简答题形式考察，还常和锐角三角函数、实数概念结合出题，属于中考必考题；考向一、二次根式的相关概念；考向二、二次根式的性质与化简考向三、二次根式的运算；考向四、二次根式的应用考向一：二次根式的相关概念1.平方根与二次根式【易错警示】1．下列式子一定是二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】直接利用二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式分别分析得出答案．【解答】解：A、，a有可能小于0，故不一定是二次根式，不合题意；B、，若﹣1＜b＜1，a＞1时，无意义，不合题意；C、，（a﹣1）2≥0，故一定是二次根式，符合题意；D、，若﹣1＜a＜1时，无意义，不合题意；故选：C．2．12的平方根为　±　．【分析】由平方根的概念即可求解．【解答】解：12的平方根为±，故答案为：±．3．的算术平方根是（）A．5B．﹣5C．D．【分析】一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．【解答】解：∵＝5，∴的算术平方根是．故选：C．4．若（a +）2与|b ﹣1|互为相反数，则a +b 的值是（）A ．B ．+1C ．﹣1D ．1﹣【分析】先根据非负数的性质求出a ，b 的值，进而可得出结论．【解答】解：∵（a +）2与|b ﹣1|互为相反数，∴（a +）2+|b ﹣1|＝0，∴a +＝0，b ﹣1＝0，∴a ＝﹣，b ＝1，∴a +b ＝+1．故选：B ．5．已知n 是一个正整数，且是整数，那么n 的最小值是（）A ．6B ．36C ．3D ．2【分析】先把＝2，从而判断出6n 是完全平方数，所以得出答案正整数n 的最小值是6．【解答】解：＝2，则6n 是完全平方数，∴正整数n 的最小值是6，故选：A ．2..同类二次根式与最简二次根式【易错警示】、都是二次根式。

二次根式问题易错点分析

分析: 条件中没有给出 a 、 b 的大小关系, 解题时应该分 a > b 和 a < b 两种情况讨论 . 1 2 2 | a- b | a - 2 ab + b = . a- b a- b a- b ( 1) 当 a > b 时 , 原式= = 1; a- b 正解 : ( 2) 当 a < b 时, 原式 = 综上 , 原式 = - ( a - b) a - b = - 1.
3 a + b 是同. 由题意知 a - 1< 0, 所以 , a - 1= 正解 : ( a - 1) = - ( 1- a ) = = = ( 1- a ) 2
根式 , 则 a 、 b 的值为 ( ( A) a = 0, b = 2 ( D) a = 2, b = 0 错解 : 由题意, 得解得 a = 1,
8 ab
是同类根式 ?
错解 : 由题意, 得 2 2 k - 3 k + 2= 2 k - 7 k + 5, 2k - k - 2= 3 k - 5 k + 1. 整理得 k - 4 k + 3= 0. 解方程, 得 k 1 = 3, k 2 = 1. 分析: 当 k = 1 时 , 2 k - 7 k + 5= 0, k 3 k + 2= 0, 此时两个根式的根指数为 0, 它们没有意义 . 正解 : 由错解知 , 当 k = 3 时, 它们是同类根式. 6. 未按/ 顺序0 计算例6 计算 ( 2+ 1) A 1 @ ( 3- 1) . 3- 1
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中学教与学
二次根式问题易错点分析
秦
现就学生在解二次根式问题时经常出现的错误类型归纳分析如下 , 供大家参考 . 1. 概念不清例1 若

人教版八年级数学下册第16章二次根式重难点详解

点拨:观察发现已知条件 x, y中的 5 与2
5 2 是一对相反数,而所求式子是这
两个数的平方和与这两个数的乘积的差,故可由已知转变条件,运用完全平方式
简化求值.
栏目名：错题集
解二次根式常见错误分类解析
一、审题不清导致错误例 1 16 的平方根是______ .
错解： 16 的平方根是 4.
诊断：错把 16 的平方根当成 16 的平方根。
。
栏目名：期末练兵
综合练习题
一、选择题（每小题 3 分,共 30 分）
1．下列各式正确的是（
）
A． 4 2; B. (6)2 6; C. 7 5 7 5; .
D. 52 5
2.下列各式中属于最简二次根式的是（）
A． 27
B． 5
C． 12
3.在下列各组根式中，是同类二次根式的是（
剖析：二次根式 a 中 a 的取值范围为 a 0 ，从而 a 0 。
解：∵ x3 2x2 0; ∴ x x 2 0
而 x 2 0,x 0 即 x 0. 又 x 2 0, x 2
∴ x 的取值范围是 2 x 0 。
例 2 数 a、 b 在数轴上的位置如图所
正解： 5 2 3 5 2 3 15 2 3
3
3
十、乱用运算律导致错误
例 11 计算 6 3 2 .
错解：原式＝ 6 ÷ 3 ＋ 6 ÷ 2 ＝ 2 3 。
诊断：除法没有分配律，本题应分母有理化。
正解： 6 3 2 =
6
6 3 2
诊断:当一个式子与一个多项式相乘时,多项式应注意添括号.

第05讲实数与二次根式(易错点梳理+微练习)(解析版)

第05讲实数与二次根式易错点梳理易错点梳理易错点01混淆平方根与算术平方根对于正数a 来说，a ±表示a 的平方根，a 表示a 的算术平方根。

易错点02混淆平方根与立方根的性质正数的平方根有两个，它们互为相反数；负数没有平方根，实数a 的立方根只有一个，无论a 是正数、负数还是0。

易错点03二次根式概念理解错误对二次根式的定义理解不透，认为只要带二次根号即为二次根式，忽视了二次根式a 中0≥a 的条件，所以在平时做题中必须特别注意理解二次根式的被开方数是非负数。

易错点04二次根式运算顺序出错由于乘除是同一级运算，因此按顺序哪个在前，要先算哪个运算。

易错点05错用二次根式的性质二次根式的性质有)0,0(≥≥∙=b a b a ab ；)0,0(>≥=b a ba ba ，切记不存在b a b a ±=±。

易错点06解题时忽视限制条件应用二次根式的运算性质)0,0(≥≥∙=b a b a ab ，)0,0(>≥=b a ba ba 时，必须要满足括号里的条件。

考向01平方根例题1：（2021·四川凉山·）A ．9B ．9和﹣9C ．3D ．3和﹣3【答案】D【思路分析】先化简，再根据平方根的地红衣求解．3±，故选D ．【点拨】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a ，则这个数叫做a 的平方根，即x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根，记作x =±．例题2：（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）下列计算正确的是（）A ．4=±B ．()2234636m n m n =C ．24833a a a ⋅=D ．33xy x y-=【答案】A【思路分析】根据平方根，幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式及合并同类项的运算法则分别对每一个选项进行分析，即可得出答案．【解析】A 、4=±，正确，故该选项符合题意；B 、()2234639m n m n =,错误，故该选项不合题意；C 、24633a a a ⋅=，错误，故该选项不合题意；D 、3xy 与3x 不是同类项，不能合并，故该选项不合题意；故选：A ．【点拨】本题考查了平方根、幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式以及合并同类项，熟练掌握平方根的定义、幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式以及合并同类项的运算法则是解题关键．考向02立方根例题3：（2021·辽宁大连·中考真题）下列计算正确的是（）A ．2(3=-B=C1=D ．1)3+=【答案】B【思路分析】根据二次根式的运算及立方根可直接进行排除选项．【解析】解：A 、(23=，错误，故不符合题意；B =，正确，故符合题意；C 1=-，例题4：（2021·江苏南京·中考真题）一般地，如果n x a =（n 为正整数，且1n >），那么x 叫做a 的n 次方根，下列结论中正确的是（）A ．16的4次方根是2B ．32的5次方根是2±C ．当n 为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而减小D ．当n为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而增大【答案】C【思路分析】根据题意n 次方根，列举出选项中的n 次方根，然后逐项分析即可得出答案．【解析】A.42=16 4(2)=16-，∴16的4次方根是2±，故不符合题意；B.5232= ，5(2)32-=-，∴32的5次方根是2，故不符合题意；C.设x y =则155153232,28,x y ====1515,x y ∴>且1,1,x y >>,x y ∴>∴当n 为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而减小，故符合题意；D.由C 的判断可得：D 错误，故不符合题意．故选C ．【点拨】本题考查了新概念问题，n 次方根根据题意逐项分析，得出正确的结论，在分析的过程中注意x 是否为负数,通过简单举例验证选项是解题关键．考向03实数例题5：（2021·山东日照·中考真题）在下列四个实数中，最大的实数是（）A ．-2BC ．12D ．0【答案】B【思路分析】根据实数的大小比较方法进行比较即可．【解析】解：正数大于0，负数小于0，正数大于负数，∴1022>>>-，故选：B ．【点拨】本题考查了实数的大小比较，理解“正数大于0，负数小于0，正数大于负数”是正确判断的关键．例题6：（2021·贵州毕节·中考真题）下列各数中，为无理数的是（）A ．πB ．227C ．0D ．2-【答案】A【思路分析】根据无理数的定义逐项判断即可．【解析】A 、π是无理数，符合题意；B 、223.1428577= 小数点后的142857是无限循环的，则227是有理考向04二次根式的概念与性质例题7：（2021·湖北襄阳·中考真题）x 的取值范围是（）A ．3x ≥-B ．3x ≥C ．3x ≤-D ．3x >-【答案】A【思路分析】根据二次根式有意义的条件，列出不等式，即可求解．在实数范围内有意义，∴x +3≥0，即：3x ≥-，故选A ．【点拨】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方式是非负数，是解题的关键．例题8：（2021·浙江杭州·中考真题）下列计算正确的是（）A2=B 2=-C 2±D 2=±【答案】A【思路分析】由二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案．2==，故A 正确，C 2=，故B 、D 错误；故选：A ．【点拨】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握性质进行判断．考向05二次根式的乘除例题9：（2021·湖南株洲·中考真题）计算：4-=（）A ．-B ．－2C ．D ．【答案】A化简，然后根据乘法法则运算即可．【解析】解：()44--⨯-A ．【点拨】本题考查了二次根式的乘法运算，熟悉相关性质是解题的关键．例题10：（2021·广西桂林·中考真题）下列根式中，是最简二次根式的是（）AB C D 【答案】D【思路分析】要选择属于最简二次根式的答案，就是要求知道什么是最简二次根式的两个条件：1、被开方最简二次根式，故本选项不符合题意；C |a ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D 、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故本选项正确．故选：D ．【点拨】本题考查了满足是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开方．考向06二次根式的加减例题11：（2021·广西梧州·中考真题）下列计算正确的是（）A=B =C ．2=D ．2＝2【答案】D【思路分析】根据二次根式的性质和二次根式的加法法则和除法法则逐一进行计算，从而得出答案；=A B=选项C 错误；）2＝2，选项D 正确；故选：D【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键例题12：（2021·江苏泰州·中考真题）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（）ABC D 【答案】D【思路分析】把每个选项中的不是最简二次根式化为最简二次根式即可作出判断．【解析】A =B =与类二次根式，故此选项错误；C 故此选项错误；D ==，D ．【点拨】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的识别等知识，注意二次根式必须化成最简二次根式．微练习一、单选题【答案】B<<∴56<，∴30的算术平方根介于5与6之间．故选：B ．2．（2021·江苏·连云港市新海实验中学二模）下列计算：①222+=a a a ，②(1)x y x xy +=+，③46，④236() mn mn =，正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】解：①23a a a +=，故①错误；②(1)x y x xy +=+，故②正确；③446+，故③正确；④2336() mn m n =，故④错误；故正确的有②，③，共2个，故选：B ．3．（2021·湖南师大附中博才实验中学一模））A ．4和5之间B ．5和6之间C ．6和7之间D ．7和8之间【答案】B∴56，5和6之间；故选B ．4．（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）下列四个实数中，最小的数是（）A ．5-B ．14C ．0D 【答案】A【分析】解：∵-5＜0＜14，A ．227B C ．3.1415926D 【答案】B【分析】解：A .227是分数，属于有理数；B 是无理数；C .3.1415926是有限小数，属于有理数；D 3=是整数，属于有理数；故选：B ．6．（2021·重庆·西南大学附中模拟预测）在函数2y x =-中，自变量x 的取值范围是（）A ．1x >-B ．1x ≥-C ．1x ≥-且2x ≠D ．1x >-且2x ≠【答案】C【分析】解：根据题意得：1020x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得：x ≥−1且x ≠2．故选：C ．7．（2021·山东兰陵·一模）实数a ，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，化简a 的结果是（）A ．2a b -+B ．2a b -C ．b -D ．b【答案】A【分析】解：由数轴可知，a ＜0＜b ，∴a -b ＜0∴2a a b a b a =-+-=-；故选：A8．（2021·江苏建邺·二模）2b =-，则b 满足的条件是（）A ．2b ＞B ．2b ＜C ．2b ≥D ．2b ≤【答案】D2b =-∴20b -≥∴2b ≤故选：D ．9．（2021·内蒙古包头·三模）下列说法中，真命题有（）有意义，则1x >；②已知27α∠=︒，则α∠的补角是153︒；③已知2x =是方程260x x c -+=的一个实数根，则c 的值为8；1≥x ，故错误；②已知27α∠=︒，则α∠的补角是153︒，故正确；③已知2x =是方程260x x c -+=的一个实数根，则22-12+c =0，解得c =8，故正确；④在反比例函数2k y x-=中，若0x >时，y 随x 的增大而增大，则k -2＜0，则k 的取值范围是2k <，故错误；故选：B ．10．（2021·重庆·字水中学三模））A ．5和6之间B ．6和7之间C ．7和8之间D ．8和9之间．【答案】C【分析】解:===== 78∴<介于7和8之间，故选：C ．11．（2021·广西·南宁十四中三模）下列属于最简二次根式的是（）AB C D 【答案】B【分析】A.3=开方数是分数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；B.是最简二次根式，故此选项符合题意；3=含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；D.10=被开方数是分数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；故选B 12．（2021·甘肃庆阳·二模））A B ．3C ．D ．【答案】D【分析】解：S =D13．（2021·福建·厦门市第九中学二模））AB C ．3D合题意；C.3 D.=故选D．14．（2021·广东·江门市第二中学二模）下列运算正确的是（）B．AC．x5•x6＝11x D．（x2）5＝7x【答案】C【分析】解：A不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误；B、12a，故B选项错误；C、x5•x6＝11x，故C选项正确；D、（x2）5＝10x，故D选项错误，故选：C．15．（2021·福建南平·二模）下列运算正确的是（）A=B=C2=D=【答案】A【分析】解：A=B：选项错误，不符合题意；C：选项错误，不符合题意；D：选项错误，不符合题意；故答案选A．二、填空题16．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）______．【答案】1或2．【分析】解：∵23=∴23<<，1，2，故答案为：1或2．17．（2021·江苏·连云港市新海实验中学二模）______________．【答案】2【分析】解：原式=2，故答案为：2．|＝__．18．（2021·宁夏·银川唐徕回民中学一模）30+|﹣119．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）112-⎛⎫= ⎪⎝⎭____________．【答案】2-【分析】解：原式2=2=．故答案为2-．20．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学三模）=_______．【答案】32【分析】解：原式=32=．故答案为：32．21．（2021·浙江·杭州市采荷中学二模）=______．【答案】22=，故答案为：2．22．（2021·山东·济宁学院附属中学三模）已知1y ==_______．【答案】2【分析】 1y =，2020x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得2x =，1y =∴，∴2=．故答案为：2．23．（2021·山东省诸城市树一中学三模）已知1a =，1b -，则33a b ab -=__________．【答案】【分析】解：33a b ab -()22ab a b =-()()ab a b a b =+-，∵1a +，1b =，∴)11211ab ==-=，11a b +-=112a b -=+-=，24．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）21|3|()2--+-．【答案】4【分析】解：原式＝3﹣3+4＝4．25．（2021·湖南师大附中博才实验中学二模）计算：201332-⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭【答案】【分析】解：原式=143+-+=26．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）计算：11()(53--．【答案】2-【分析】解：11()(53--35=-+2=．27．（2021·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测）1124-⎛⎫+ ⎪⎝⎭21124-⎛⎫+ ⎪⎝⎭42=+2=．。

二次根式化简及运算的三个易错点剖析

数学篇学思导引二次根式的化简和运算是同学们学习二次根式时的一个主要内容.由于二次根式的定义、性质以及运算中包含的隐含条件、附加条件比较多，因此，同学们在化简和运算的过程中稍不注意，就会出现各种错误.对此，本文列举了几种常见错误类型，以帮助同学们提高解题的正确率.一、忽略二次根式定义中的两个非负性条件二次根式也就是形如a(a≥0)的代数式.我们在理解二次根式的定义时，要注意两个很容易被忽略的前提条件：一是二次根式当中的被开方数一定要是一个非负数，即a≥0；二是二次根式本身就是一个非负数，即a≥0(a≥0).这两个前提条件看起来并不起眼，但若在做题的时候忽视了这两个前提条件，就可能会出错.例1将式子3-m2n+5mn3-4m2n2化简.错解：原式=3m-n+5n mn-4mn.错解剖析：该错解显然没有注意挖掘二次根式成立的隐含条件，忽略了二次根式特有的双重非负性，即开根号必须注意a≥0、a≥0这两个前提条件.正解：因为-m2n≥0，m2≥0，所以n<0.又因为mn3≥0，n<0，所以m≤0.所以原式=-3m-n-5n mn-4mn.例2化简(a-的结果是______.错解：原式==-(a-2)=2-a.错解剖析：这道题难度不高，但却很容易出错，错解错在没有考虑到a-2是负值的可能性，直接就按照a-2>0来进行计算，这说明了对二次根式的定义掌握不牢固.由二次根式要满足a≥0(a≥0)的条件，能得出-1a-2>0，a-2<0，a<2这几个结论.由于a-2<0，所以a-2无法直接移到根号里.正解：原式=-(2-a==-2-a.二、忽略二次根式乘除公式中字母的取值范围二次根式的乘除公式指的是积和商的算术平方根，用公式表示就是ab=a⋅b(a≥0,b≥0)和=a a>0,b≥0).很显然，运用二次根式的乘除公式必须满足括号里的限制条件，否则二次根式就是无意义的.但很多同学在运用二次根式的乘除公式解题时经常会忽略这两个字母的取值范围，从而导致解题出错.例3根据已知条件a<2，b<3，化简.=a-2)=.二次根式化简及运算的三个易错点剖析江苏省盐城亭湖初级中学茆正权28数学篇学思导引错解剖析：解题过程看似正确，但其实忽略了二次根式的商的算术平方根中字母的取值情况，由于题目已经明确告知了a 和b 的取值范围，在运用二次根式的除法公式化简时还应明确代数式的取值范围.正解：因为a <2，b <3，所以a -2<0，b -3<0.所以原式=.例4已知m 为实数，化简-m 3.错解：-m 3=m 2⋅(-m )=m 2⋅-m =|m |⋅-m =m -m .错解剖析：解题过程没考虑m 的取值范围，盲目套用算术平方根公式.这种错误非常常见，同学们在记忆公式的时候显然只注意了前半部分，忽视了括号中的内容，这样算出来的答案显然是错误的.正解：因为m 为实数，因此-m 3≥0，m 3≤0，所以m ≤0.所以-m 3=m 2⋅-m =-m -m .三、错用二次根式的运算法则二次根式的运算法则跟整式和分式的运算法则是一致的，必须遵循同级运算的规则，即从左往右依次计算.乘法对加法存在分配律，但除法对加法没有分配律，所以同学们在进行二次根式运算，特别是进行混合运算时，应严格按照从左到右的顺序计算，且不能盲目套用运算法则.例5化简32÷(26+13)的结果是（）.A.62-23B.63-33C.63-3636错解：原式=1=+32⋅3=33+36.故选D 项.错解剖析：本题之所以会误选D 项，是因为错误地运用分配律进行计算.实际上，乘法分配律为a (b +c )=ab +ac ，但对于除法却没有对应的分配律，即不能按a ÷(b +c )=a ÷b +a ÷c 计算.正解：原式=32=32==63-36因此本题的正确答案是C 项.例6请计算ab ⋅1ab.错解：原式=1=.错解剖析：乘法和除法属于同级运算，需要按照一般运算顺序从左往右进行运算.而错解错在先算后面的乘法，再算前面的除法，虽然算起来很简单，但结果就错了.乘除混合运算是没有结合律的，正确的算法是先算前面的除法，再算后面的乘法.正解：原式=1ab ⋅1ab ==.所以正确答案应该是二次根式的化简和运算问题看似简单，却常常暗藏陷阱，是出错率较高的一类问题.同学们在做题的时候，必须认真审题，挖掘题目当中的隐含条件，以及可能出现的陷阱.同时，对于二次根式的基本知识，尤其是二次根取值范围.29。

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二次根式易错点剖析
二次根式是中考的有效考点之一，其考点形式灵活，难度不高，是比较容易得分的知识点，倘若你粗心大意，掉以轻心，也会大意失荆州，造成常态学习中不曾出现的错误，影响自己的考绩，为能及时给大家提个醒，写下这篇易错点剖析，供学习时借鉴，以杜绝以下错误走进你的考卷.
易错点1 对二次根式的意义理解不准导致错误
例1（2017x的取值范围是（）A．x≥1 B． x＞1 C. x≤1 D．x＜1
错解：x-1＞0,所以x＞1，所以选B.
正解x-1≥0,所以x≥1，所以选A.
评析：根据二次根式的意义确定字母的取值范围是二次根式的一个重要而基础性的考点，解答时，一定要准确做好如下几点：
1.准确理解二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，准确找到被开方数，准确理解非负数的意义是解题的基础；
2.准确选择不等号建立起不等式是解题的关键；
3.准确且熟练求解不等式是解题的核心所在，解集求错，一定不会有正确的选择.
易错点2 对最简二次根式的意义理解不准导致错误
例2（2017年荆州）下列根式是最简二次根式的是（）
A B C D
错解：选A或选B或选D.
正解：的被开方数是1
3
，是一个分数，含有了分母3，所以A不是最简二次根式；
的被开方数是0.3，是一个小数，实质也是一个分数，与A项实质是相同的，所以也不是最简二次根式，
20，而20=22×5，里面还有能开尽方的因式或因数，所以也是不符合最简二次根式的定义，因此也是不能选择的.所以选C.
评析：最简二次根式的条件非常重要，对条件的意义和应用也可以这样理解：
1.最简二次根式的被开方数一定不能是分数或分式或小数；
2.最简二次根式中的每一个因数或因式中一定不能含有开的尽平方的数或式；
3.判断的前提条件是被开方数中各个因数或因式之间必须只有一种运算连接而成，这就是乘法运算.
易错点3 的意义理解不准导致错误
例3 （2017年枣庄）.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简||a的结果是（）
A.2a b -+ B ．2a b - C.b - D ．b
错解：因为a ＜0，b ＞0，所以||a =|a|+|a-b|=-a+a-b==-b ，所以选择C.
正解：因为a ＜0，b ＞0，所以a-b ＜0,所以||a =|a|+|a-b|=-a-（a-b ）=2a b -+，所以选择A.
评析
|a|,从而把二次根式的化简问题转化为熟悉的绝对值型化简问题. 易错点4 对运算法则理解不准导致错误
例4 （2017年黄冈____________．
错解 .
正解3323333633=-=⨯-.
评析：二次根式的运算是一种基本运算，计算时关键是准确理解和运用计算法则，特别是把根号外部的数迁移到根号底下时，一定要满足两个条件，一是被迁移的数必须是非负数；二是迁移时，必须升级为平方幂后移到根号下.当然也可以分母有理化外移二次根式下的分母，外移时也要满足两个条件，一是外移的对象必须是非负数；二是外移时必须灵活使用绝对值的化简法则.
易错点5 解题方法不对导致错误
例5（2017年天津）估计38的值在（）
A ．4和5之间
B ．5和6之间 C. 6和7之间 D ．7和8之间错解：选A 或选B 或选D.
正解：因为36＜38＜49，所以6＜38＜7，所以选C.
评析：估算时找准被开方数的范围是解题的关键，确定范围时，一定要取相邻的两个完全平方数，不能取太大或太小的，更不能出错.只要常加练习，这种估算的方法一定能熟练运用. 易错点6 化简结果不彻底导致错误
例6（2017年福州）先化简，再求值：(1-a 1)1
2-∙a a ，其中a=2-1．错解：(1-
a 1)1
2-∙a a =1a a - (1)(1)a a a +- =11a + ，
当时，原式
正解：(1-
a 1)12-∙a a =1a a
- (1)(1)a a a +- =11a + ，
当时，原式
. 评析：一步之差，却导致结果的天壤之别，从而让你丢掉了不应该失去的分值，多么可惜啊！记住：一定要让结果最简.
易错点7 综合运用能力不强导致错误
例7（2017山东滨州）下列计算：（1）)2=2，（2，（3）(-2
=12，（4）
1=-，其中结果正确的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
错解：因为2 =2 =-2，2(- =-12，
））=2-2=2-3=-1，所以正确的个数为2个，所以B.
正解：因为2 =2 =2=| -2|=2，2(- =12，
））=2-2=2-3=-1，所以正确的个数为4个，所以D.
评析：当遇到二次根式综合题时，一定要沉着冷静，全面准确再现知识，不能似是而非，更不能自己随意杜撰，解答的每一个问题都必须找到正确的数学依据，这样，才能确保解答正确性.
二、易错点专练
1.（2017年济宁）.若1-x 2+x 21-+1在实数范围内有意义，则x 满足的条件是
A ．x ≥
21 B ．x ≤21 C ．x=21 D ．x ≠2
1 2.（2017年绵阳）使代数式x x 3431-++有意义的整数x 有（） A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个
3.（2017年益阳）下列各式化简后的结果为的是（）
A B C D 4.（2017年重庆A ）估计110+的值应在（）
A.3和4之间
B.4和5之间
C.5和6之间
D.6和7之间
5.（2017年成都）化简求值：2121211x x x x -⎛⎫÷- ⎪+++⎝⎭，其中1x = ．
参考答案：
1.C
2.B
3. C
4. B
5.解：原式=()21
121
1x x x x -+-÷++ ()21111x x x x -+=
-+ 11
x =+，
当1x =时，原式
3=.。