两角和与差的余弦正弦正切公式第一课时课件-数学高一必修4第三章三角恒等变换3.1.2人教A版
2
3 ∴sin β＝ sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos α sin(α－β)＝ 2 .
【答案】
3 2
类型3 条件求值(角)问题
例 4.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两 个锐角 α，β，它们的终边分别与单位圆相交于 A，B 两点，已知 2 2 5 A，B 的横坐标分别为 ， . 10 5 (1)求 tan(α＋β)的值；(2)求 α＋2β 的值.
12 2 5 1－13 ＝13， 1－sin2α＋β
cos(α＋β)＝－
＝－
32 4 1－－ ＝－ . 5 5
所以 sin 2α＝ sin[(α－β)＋(α＋β)] ＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) 5 4 12 3 56 ＝13×(－5)＋13×(－5)＝－65.
1. 对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正 弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径： (1)化为特殊角的三角函数值； (2)化为正负相消的项，消去，求值； (3)化为分子、分母形式，进行约分再求值.
2.在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基 本原则， 先整体分析三角函数式的特点， 如果整体符合三角公式， 则整体变形，否则进行各局部的变换.
第三章 三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 两角和与差的余弦正弦正切公式
1.能利用两角差的余弦公式及诱导公式导出两角和的 余弦公式。
2.能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角
差(和)的正弦公式.(难点) 3.能利用两角和与差的余弦公式、正弦公式推导出两 角和与差的正切公式. 4.掌握两角和与差的余弦正弦正切公式的变形使用， 能利用公式进行简单的求值、化简等.(重点、难点)
类型1 给角求值
例 1. (1)求 sin 157° cos 67° ＋cos 23° sin 67° 的值； (2)求 sin(θ＋75° )＋cos(θ＋45° )－ 3cos(θ＋15° )的值.
【思路探究】
(1) 的形式与公式有差异，应先由诱导公式
化角，再逆用公式求值. (2) 所给角有差异，应先拆角，将角统一再用公式， θ ＋75° ＝(θ＋15° )＋60° ，θ＋45° ＝(θ＋15° )＋30° .
求下列各式的值： (1)sin 165° ；(2)sin 14° cos 16° ＋sin 76° cos 74° .
【解】 cos(45° ＋30° ) 6－ 2 ＝cos 45° cos 30° －sin 45° sin 30° ＝ . 4 法二 sin 165° ＝sin(180° －15° )＝sin 15° 6－ 2 . 4 (1) 法 一 sin 165° ＝ sin(90° ＋ 75° ) ＝ cos 75° ＝
名称 两角和 的正切
简记符号
公式 tan(α＋β)＝
使用条件 π α、 β、 α＋β≠kπ＋ 2 (k∈R) 且 tan α· tan β≠1 π α、 β、 α－β≠kπ＋ 2 (k∈Z)且 tan α· tan β≠－1
Tα＋β
tan αtan β 1－tan αtan β
两角差 的正切
Hale Waihona Puke tan(α－β)＝ Tα－β tan α－tan β 1＋tan αtan β
【自主解答】 (1)tan 15° ＝tan(45° －30° ) 3 tan 45° －tan 30° 1－ 3 ＝ ＝ 1＋tan 45° tan 30° 3 1＋ 3 3－ 3 3－1 ＝ ＝ 3＋ 3 3＋1 ＝2－ 3.
3 1－ 3tan 75° 3 －tan 75° tan 30° －tan 75° (2) ＝ ＝ 3＋tan 75° 3 1＋tan 30° tan 75° 1＋ 3 tan 75° ＝tan(30° －75° )＝tan(－45° )＝－tan 45° ＝－1. tan 23° ＋tan 37° (3)∵tan(23° ＋37° )＝tan 60° ＝ ＝ 3， 1－tan 23° tan 37° ∴tan 23° ＋tan 37° ＝ 3(1－tan 23° tan 37° )， ∴原式＝ 3(1－tan 23° tan 37° )＋ 3tan 23° tan 37° ＝ 3.
π 1＋tan 2α tan2α＋ ＝ 4 1－tan 2α
4 1－ 7 3 ＝ ＝ . 4 11 1＋ 7
类型2 给值求值
π 3π 例 3. (2013· 青岛高一检测)已知 ＜β＜α＜ ，cos(α－β)＝ 2 4 12 3 ，sin(α＋β)＝－ ，求 sin 2α 的值. 13 5
sin αcos β－cos αsin β
(α，β∈R).
知识点3 两角和与差的正切公式
【问题导思】 已知 tan α，tan β 的值，能否利用公式 S(α±β)和 C(α±β)推导出 tan(α± β)?
sinα＋β 【提示】 tan(α＋β)＝ cosα＋β sin αcos β＋cos α sin β ＝ cos αcos β－sin α sin β sin αcos β＋cos α sin β tan α＋tan β cos αcos β ＝ ＝ ， cos αcos β－sin α sin β 1－tan αtan β cos αcos β tan α＋tan－β tan α－tan β tan(α－β)＝ ＝ . 1－tan αtan－β 1＋tan αtan β
1 13 π 已知 cos α＝ ，cos(α－β)＝ ，且 0＜β＜α＜ ，则 sin β＝ 7 14 2 ________.
【解析】 π ∵0＜β＜α＜2，
π 4 3 2 ∴0＜α－β＜ ，sin α＝ 1－cos α＝ . 2 7 3 3 ∴sin(α－β)＝ 1－cos α－β＝ 14 .
例 2. 求下列各式的值： 1－ 3tan 75° (1)tan 15° ；(2) ； 3＋tan 75° (3)tan 23° ＋tan 37° ＋ 3tan 23° tan 37° .
【思路探究】 解决本题的关键是把非特殊角转化为特殊角 (如(1))及公式的逆用(如(2))与活用(如(3))，通过适当的变形变为 可以使用公式的形式，从而达到化简或求值的目的.
2.把公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos α sin β 中的 β 用－β 代 替，结果如何？
【提示】 sin(α－β)＝sin αcos β－cos α sin β.
(1)两角和的正弦公式： sin(α＋β)＝
sin αcos β＋cos αsin β
(α，β∈R).
(2)两角差的正弦公式： sin(α－β)＝
【问题导思】 1. 如何利用两角和( 差 ) 的余弦公式推导出两角和的正弦公 式？
【提示】
π sin(α＋β)＝cos[ －(α＋β)] 2
π ＝cos[(2－α)－β] π π ＝cos( －α)cos β＋ sin( －α)sin β 2 2 ＝sin αcos β＋cos α sin β. 即 sin(α＋β)＝ sin αcos β＋ cos α sin β.
1.公式 T(α＋β)，T( α－β) 是变形较多的两个公式，公式中有 tan α· tan β，tan α＋tan β(或 tan α－tan β)，tan(α＋β)(或 tan(α－β)).三 者知二可表示或求出第三个. 2.一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.
tan 5° ＋tan 40° ＋tan 135° (1)(2014· 遵义高一检测)化简： tan 5° tan 40° tan 30° ； (2)已知 tan(α＋β) ＝5，tan(α－β) ＝3，求 tan 2α ，tan 2β，
解答此类问题的关键是把“ 所求角”用 “已知角” 表示出 来，一般注意以下几方面： (1) 当“已知角”有两个时， “所求角” 一般表示为两 “已 知角”的和与差的形式. (2) 当 “ 已知角 ” 有一个时，应注意 “ 所求角 ” 与 “ 已知 角 ” 的和与差的形式， “ 所求角 ” 再用诱导公式变成 “ 已知 角”. (3)角的拆分方法不惟一，应根据题目合理拆分. (4) 用同角三角函数的基本关系式求值时，一定要注意角的 范围.
【思路探究】 解决本题可先由任意角的三角函数定义求出 cos α，cos β，再求 sin α，sin β，从而求出 tan α，tan β，然后利 用 T(α＋β)求 tan(α＋β)， 最后利用 α＋2β＝(α＋β)＋β， 求 tan(α＋2β) 进而得到 α＋2β 的值.
【自主解答】 由条件得 2 2 5 cos α＝ 10 ，cos β＝ 5 ， 7 2 5 ∵α，β 为锐角.∴sin α＝ 10 ，sin β＝ 5 . 1 ∴tan α＝7，tan β＝ . 2
π tan2α＋4.
tan 45° 1－tan 5° tan 40° －tan 45° 【解】 (1)原式＝ 3 tan 5° tan 40° × 3 －tan 5° tan 40° ＝ ＝－ 3. 3 tan 5° tan 40° × 3
(2)tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] tanα＋β＋tanα－β ＝ 1－tanα＋βtanα－β 5＋3 4 ＝ ＝－7， 1－5×3 tan 2β＝tan[(α＋β)－(α－β)] tanα＋β－tanα－β ＝ 1＋tanα＋βtanα－β 5－3 1 ＝ ＝8， 1＋5×3
＝sin(45° －30° )＝sin 45° cos 30° －cos 45° sin 30° ＝
(2)法一 sin 14° cos 16° ＋sin 76° cos 74° ＝sin 14° cos 16° ＋ 1 cos 14° sin 16° ＝sin(14° ＋16° )＝sin 30° ＝2. 法二 76° sin 16° 1 ＝cos(76° －16° )＝cos 60° ＝ . 2 sin 14° cos 16° ＋sin 76° cos 74° ＝cos 76° cos 16° ＋sin
3 ∴sin β＝ sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos α sin(α－β)＝ 2 .
【答案】
3 2
类型3 条件求值(角)问题
例 4.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两 个锐角 α，β，它们的终边分别与单位圆相交于 A，B 两点，已知 2 2 5 A，B 的横坐标分别为 ， . 10 5 (1)求 tan(α＋β)的值；(2)求 α＋2β 的值.
12 2 5 1－13 ＝13， 1－sin2α＋β
cos(α＋β)＝－
＝－
32 4 1－－ ＝－ . 5 5
所以 sin 2α＝ sin[(α－β)＋(α＋β)] ＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) 5 4 12 3 56 ＝13×(－5)＋13×(－5)＝－65.
1. 对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正 弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径： (1)化为特殊角的三角函数值； (2)化为正负相消的项，消去，求值； (3)化为分子、分母形式，进行约分再求值.
2.在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基 本原则， 先整体分析三角函数式的特点， 如果整体符合三角公式， 则整体变形，否则进行各局部的变换.
第三章 三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 两角和与差的余弦正弦正切公式
1.能利用两角差的余弦公式及诱导公式导出两角和的 余弦公式。
2.能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角
差(和)的正弦公式.(难点) 3.能利用两角和与差的余弦公式、正弦公式推导出两 角和与差的正切公式. 4.掌握两角和与差的余弦正弦正切公式的变形使用， 能利用公式进行简单的求值、化简等.(重点、难点)
类型1 给角求值
例 1. (1)求 sin 157° cos 67° ＋cos 23° sin 67° 的值； (2)求 sin(θ＋75° )＋cos(θ＋45° )－ 3cos(θ＋15° )的值.
【思路探究】
(1) 的形式与公式有差异，应先由诱导公式
化角，再逆用公式求值. (2) 所给角有差异，应先拆角，将角统一再用公式， θ ＋75° ＝(θ＋15° )＋60° ，θ＋45° ＝(θ＋15° )＋30° .
求下列各式的值： (1)sin 165° ；(2)sin 14° cos 16° ＋sin 76° cos 74° .
【解】 cos(45° ＋30° ) 6－ 2 ＝cos 45° cos 30° －sin 45° sin 30° ＝ . 4 法二 sin 165° ＝sin(180° －15° )＝sin 15° 6－ 2 . 4 (1) 法 一 sin 165° ＝ sin(90° ＋ 75° ) ＝ cos 75° ＝
名称 两角和 的正切
简记符号
公式 tan(α＋β)＝
使用条件 π α、 β、 α＋β≠kπ＋ 2 (k∈R) 且 tan α· tan β≠1 π α、 β、 α－β≠kπ＋ 2 (k∈Z)且 tan α· tan β≠－1
Tα＋β
tan αtan β 1－tan αtan β
两角差 的正切
Hale Waihona Puke tan(α－β)＝ Tα－β tan α－tan β 1＋tan αtan β
【自主解答】 (1)tan 15° ＝tan(45° －30° ) 3 tan 45° －tan 30° 1－ 3 ＝ ＝ 1＋tan 45° tan 30° 3 1＋ 3 3－ 3 3－1 ＝ ＝ 3＋ 3 3＋1 ＝2－ 3.
3 1－ 3tan 75° 3 －tan 75° tan 30° －tan 75° (2) ＝ ＝ 3＋tan 75° 3 1＋tan 30° tan 75° 1＋ 3 tan 75° ＝tan(30° －75° )＝tan(－45° )＝－tan 45° ＝－1. tan 23° ＋tan 37° (3)∵tan(23° ＋37° )＝tan 60° ＝ ＝ 3， 1－tan 23° tan 37° ∴tan 23° ＋tan 37° ＝ 3(1－tan 23° tan 37° )， ∴原式＝ 3(1－tan 23° tan 37° )＋ 3tan 23° tan 37° ＝ 3.
π 1＋tan 2α tan2α＋ ＝ 4 1－tan 2α
4 1－ 7 3 ＝ ＝ . 4 11 1＋ 7
类型2 给值求值
π 3π 例 3. (2013· 青岛高一检测)已知 ＜β＜α＜ ，cos(α－β)＝ 2 4 12 3 ，sin(α＋β)＝－ ，求 sin 2α 的值. 13 5
sin αcos β－cos αsin β
(α，β∈R).
知识点3 两角和与差的正切公式
【问题导思】 已知 tan α，tan β 的值，能否利用公式 S(α±β)和 C(α±β)推导出 tan(α± β)?
sinα＋β 【提示】 tan(α＋β)＝ cosα＋β sin αcos β＋cos α sin β ＝ cos αcos β－sin α sin β sin αcos β＋cos α sin β tan α＋tan β cos αcos β ＝ ＝ ， cos αcos β－sin α sin β 1－tan αtan β cos αcos β tan α＋tan－β tan α－tan β tan(α－β)＝ ＝ . 1－tan αtan－β 1＋tan αtan β
1 13 π 已知 cos α＝ ，cos(α－β)＝ ，且 0＜β＜α＜ ，则 sin β＝ 7 14 2 ________.
【解析】 π ∵0＜β＜α＜2，
π 4 3 2 ∴0＜α－β＜ ，sin α＝ 1－cos α＝ . 2 7 3 3 ∴sin(α－β)＝ 1－cos α－β＝ 14 .
例 2. 求下列各式的值： 1－ 3tan 75° (1)tan 15° ；(2) ； 3＋tan 75° (3)tan 23° ＋tan 37° ＋ 3tan 23° tan 37° .
【思路探究】 解决本题的关键是把非特殊角转化为特殊角 (如(1))及公式的逆用(如(2))与活用(如(3))，通过适当的变形变为 可以使用公式的形式，从而达到化简或求值的目的.
2.把公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos α sin β 中的 β 用－β 代 替，结果如何？
【提示】 sin(α－β)＝sin αcos β－cos α sin β.
(1)两角和的正弦公式： sin(α＋β)＝
sin αcos β＋cos αsin β
(α，β∈R).
(2)两角差的正弦公式： sin(α－β)＝
【问题导思】 1. 如何利用两角和( 差 ) 的余弦公式推导出两角和的正弦公 式？
【提示】
π sin(α＋β)＝cos[ －(α＋β)] 2
π ＝cos[(2－α)－β] π π ＝cos( －α)cos β＋ sin( －α)sin β 2 2 ＝sin αcos β＋cos α sin β. 即 sin(α＋β)＝ sin αcos β＋ cos α sin β.
1.公式 T(α＋β)，T( α－β) 是变形较多的两个公式，公式中有 tan α· tan β，tan α＋tan β(或 tan α－tan β)，tan(α＋β)(或 tan(α－β)).三 者知二可表示或求出第三个. 2.一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.
tan 5° ＋tan 40° ＋tan 135° (1)(2014· 遵义高一检测)化简： tan 5° tan 40° tan 30° ； (2)已知 tan(α＋β) ＝5，tan(α－β) ＝3，求 tan 2α ，tan 2β，
解答此类问题的关键是把“ 所求角”用 “已知角” 表示出 来，一般注意以下几方面： (1) 当“已知角”有两个时， “所求角” 一般表示为两 “已 知角”的和与差的形式. (2) 当 “ 已知角 ” 有一个时，应注意 “ 所求角 ” 与 “ 已知 角 ” 的和与差的形式， “ 所求角 ” 再用诱导公式变成 “ 已知 角”. (3)角的拆分方法不惟一，应根据题目合理拆分. (4) 用同角三角函数的基本关系式求值时，一定要注意角的 范围.
【思路探究】 解决本题可先由任意角的三角函数定义求出 cos α，cos β，再求 sin α，sin β，从而求出 tan α，tan β，然后利 用 T(α＋β)求 tan(α＋β)， 最后利用 α＋2β＝(α＋β)＋β， 求 tan(α＋2β) 进而得到 α＋2β 的值.
【自主解答】 由条件得 2 2 5 cos α＝ 10 ，cos β＝ 5 ， 7 2 5 ∵α，β 为锐角.∴sin α＝ 10 ，sin β＝ 5 . 1 ∴tan α＝7，tan β＝ . 2
π tan2α＋4.
tan 45° 1－tan 5° tan 40° －tan 45° 【解】 (1)原式＝ 3 tan 5° tan 40° × 3 －tan 5° tan 40° ＝ ＝－ 3. 3 tan 5° tan 40° × 3
(2)tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] tanα＋β＋tanα－β ＝ 1－tanα＋βtanα－β 5＋3 4 ＝ ＝－7， 1－5×3 tan 2β＝tan[(α＋β)－(α－β)] tanα＋β－tanα－β ＝ 1＋tanα＋βtanα－β 5－3 1 ＝ ＝8， 1＋5×3
＝sin(45° －30° )＝sin 45° cos 30° －cos 45° sin 30° ＝
(2)法一 sin 14° cos 16° ＋sin 76° cos 74° ＝sin 14° cos 16° ＋ 1 cos 14° sin 16° ＝sin(14° ＋16° )＝sin 30° ＝2. 法二 76° sin 16° 1 ＝cos(76° －16° )＝cos 60° ＝ . 2 sin 14° cos 16° ＋sin 76° cos 74° ＝cos 76° cos 16° ＋sin
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明目标、知重点
(3)sin
1π2－
3cos
π 12.
解
方法一
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2sin
π 6sin
1π2－cos
π 6cos
π 12
＝－2cosπ6＋1π2＝－2cos π4＝－ 2.
方法二
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2cos
π 3sin
3.函数f(x)＝sin x－ 3cos x(x∈R)的值域是 [－2,2] .
解析
∵f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－π3.
∴f(x)∈[－2,2].
明目标、知重点
1234
4.已知锐角
α、β
满足
sin
α
＝2
5 5
，cos
β＝
1100，则
α＋β
＝
.
解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100，
1π2－sin
π 3cos
π 12
＝2sin1π2－π3＝－2sin
π4＝－
2.
明目标、知重点
例 2 已知 α∈0，π2，β∈－π2，0，且 cos(α－β)＝35，sin β＝
－102，求 α 的值. 解 ∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴α－β∈(0，π). ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45. ∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知 sin α＝35，cos β＝－153，α 为第二象限角，β
(3)sin
1π2－
3cos
π 12.
解
方法一
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2sin
π 6sin
1π2－cos
π 6cos
π 12
＝－2cosπ6＋1π2＝－2cos π4＝－ 2.
方法二
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2cos
π 3sin
3.函数f(x)＝sin x－ 3cos x(x∈R)的值域是 [－2,2] .
解析
∵f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－π3.
∴f(x)∈[－2,2].
明目标、知重点
1234
4.已知锐角
α、β
满足
sin
α
＝2
5 5
，cos
β＝
1100，则
α＋β
＝
.
解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100，
1π2－sin
π 3cos
π 12
＝2sin1π2－π3＝－2sin
π4＝－
2.
明目标、知重点
例 2 已知 α∈0，π2，β∈－π2，0，且 cos(α－β)＝35，sin β＝
－102，求 α 的值. 解 ∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴α－β∈(0，π). ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45. ∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知 sin α＝35，cos β＝－153，α 为第二象限角，β
高中数学必修四1：3-1-2两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件
典例精讲：
【点评】 利用差角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式， 而要变通地从本质上使用公式．即把所求的角分解成某两个角的差， 并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可 求解．
典例精讲：
如图，设α，β为锐角，且α＞β，角α的终边与单位圆的交
点为P1, ∠P1OP＝β，那么cos(α－β)表示哪条线段长？
探究点1
两角差的余弦公式
公式 简记符号
cos(α－β)＝ _____co_s_α_c_o_s_β_＋__si_n_α_s_in__β___
C(α－β)
使用条件
α，β为任意角
探究点2 给角求值
解：(1)原式＝cos 43°cos 88°＋sin 43°sin 88° ＝cos(43°－88°)＝cos(－45°)＝cos 45°＝ 22. (2)原式＝cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105° ＝cos(60°－105°)＝cos(－45°2)原式＝cos 80°cos 35°＋sin 80°sin 35°＝cos(80°－35°)
＝cos
45°＝
2 2.
典例精讲：
已知 sin α＝45，α∈(π2，π)，cos β＝－153，β 是第三 象限角，求 cos(α－β)的值．
【解】 因为 α∈(π2，π)，sin α＝45， 由此得 cos α＝－ 1－sin2α＝ － 1－452＝－35.
y
cos(α－β)=OM
P1 P
O
M
x
典例精讲：
如何用线段分别表示sinβ和cosβ？ cosβ
y
sinβ
P1
A
P
O
x
拓展提升：
高中数学必修4课件3-1-2-1
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修四
题型三 变角求值
例 5 已知 sin(34π＋α)＝153，cos(π4－β)＝35，且 0<α<π4<β<34π， 求 cos(α＋β)
第29页
第三章 3.1 3.1.2 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修四
【解析】 ∵0<α<4π<β<34π， ∴34π<34π＋α<π，－π2<π4－β<0. 又 sin(34π＋α)＝153，cos(π4－β)＝35， ∴cos(34π＋α)＝－1123，sin(π4－β)＝－45.
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修四
求角的三角函数值时，应先分析所求角和已知角之间的关 系，将所求角用已知角的和与差表示．
第32页
第三章 3.1 3.1.2 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修四
思考题 4 (1)若 sin(α－30°)＝153，30°<α<90°，则 sinα＝ ________.
第23页
第三章 3.1 3.1.2 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修四
【解析】 f(x)＝sin(x＋3π)－ 3cos(x＋3π) ＝2·[12sin(x＋π3)－ 23cos(x＋π3)] ＝2sin(x＋3π－π3)＝2sinx 故 f(x)的单调递增区间是2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)．
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修四
【解析】 原式＝sin(α＋β)cosα－12{sin[(α＋β)＋α]－sin[(α＋ β)－α]}
＝sin(α＋β)cosα－12·2cos(α＋β)sinα ＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα ＝sin[(α＋β)－α] ＝sinβ.
高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件新人教A版必修4
探究三
思维辨析
(2)∵α 为锐角 ,sin α= ,∴cos α= .
5 5
3
4
∵β 是第四象限角 ,cos β= 5, ∴sin β=-5. ∴sin(α+β)=sin αcos β+ cos αsin β
= × + × 5 5 5 3 4 4 3 5 3
4
=0.
3.1.2
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
学 习 目 标 1.能根据两角差的余弦 公式推导出两角和与差 的正弦、余弦、正切公 式. 2.能利用两角和与差的 正弦、余弦、正切公式 进行化简求值等.
思 维 脉 络
和角、差角公式如下表:
名称 差的余弦 和的余弦 和的正弦 差的正弦 和的正切 差的正切
公式 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β sin(α+β)=sin αcos β+ cos αsin β sin(α-β)=sin αcos β- cos αsin β tan(α+β)= tan(α-β)=
简记 C(α -β) C(α+ β) S(α+ β) S(α-β) T(α+β) T(α-β)
逻辑联系
做一做 (1)sin(30°+45°)= (2)cos 55°cos 5°-sin 55°sin 5°=
.
.
(3)若 tan ������-
π 4
=2,则 tan α=
.
解析:(1)sin(30°+ 45°)=sin 30°cos 45°+ cos 30° sin 45° = ×
《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第1课时示范公开课教学课件【高中数学】
归纳小结
目标检测
已知 ，θ是第二象限角，求 的值．
1
已知 ，且 ， ，求 的值．
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第一课时
新公式应该含有两个任意角的和或差．
整体感知
问题1 我们之前学习过诱导公式，它们的共同点是，等号左侧都是一个终边落在坐标轴上的特殊角与一个任意角的和或差，现在，我们希望将它们一般化，得到新的公式．你认为新公式应具备怎样的特点？
第二步，从“数”的角度考虑，写出单位圆上相互对称的的点的坐标；
第三步，“数形”融合，将前两步的结果整合，得出结论．
整体感知
问题2 之前我们利用圆的对称性证明了诱导公式，你还记得当时我们证明诱导公式的思路和步骤吗？
新知探究
问题3 先前我们在单位圆中利用圆的对称性推导出诱导公式，下面我们继续借助单位圆，采用同样的思路研究含有两个任意角α，β的三角恒等变形公式．首先，我们考虑两个任意角终边不重合时的情形．在平面直角坐标系中，如果已知任意角α，β的正弦、余弦，那么cos（α＋β）与它们有什么关系呢？
（1）计算cos 15°的值；
（2）已知 ， ， ，β是第三象限角，
求 的值．
新知探究
例2 借助公式 ，解答以下题目：
（1）计算cos 15°的值；
新知探究
问题5 结合例1可见，两角差的余弦公式中，含有两个任意角，这与我们之前学习的诱导公式（含有一个任意角和一个特殊角）相比，具有更高的自由度．由此你能解读诱导公式与公式之间的关系吗？试一试．
第二，二者均为三角恒等变换的重要变形依据，
它们均可以经由圆的对称性质推导得到．
新知探究
问题5 结合例1可见，两角差的余弦公式中，含有两个任意角，这与我们之前学习的诱导公式（含有一个任意角和一个特殊角）相比，具有更高的自由度．由此你能解读诱导公式与公式之间的关系吗？试一试．
人教A版高中数学必修四课件：第三章 3.1.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (共43张PPT)
你想过普通的生活，就会遇到普通的挫折。你想过最好的生活，就一定会遇上最强的伤害。这个世界很公平，想要最好，就一定会给你最痛 。 人若有志，万事可为。 每个人身上都有惰性和消极情绪，成功的人都是懂得管理自己的情绪和克服自己的惰性，并像太阳一样照亮身边的人，激励身边的人。
成功是一种观念，成功是一种思想，成功是一种习惯，成功是一种心态。 为你制造一些困难和障碍的人未必是你的敌人，把你从困境里拉出来的人未必是你的朋友。不要用眼前的利益得失看人，要看长远，所谓路 遥知马力，日久见人心！ 最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。——罗曼·罗兰 要铭记在心：每天都是一年中最美好的日子。 只要我还有梦，就会看到彩虹! 读书给人以快、给人以光彩、给人以才干。 理想的路总是为有信心的人预备着。 不管做什么都不要急于回报，因为播种和收获不在同一个季节，中间隔着的一段时间，我们叫它为坚持。 再好的种子，不播种下去，也结不出丰硕的果实。 人，最大的敌人是自己。 没有爱不会死，不过有了爱会活过来。 明天的希望会让我们忘了今天的痛苦。 不是某人使你烦恼，而是你拿某人的言行来烦恼自己。 在茫茫沙漠，唯有前时进的脚步才是希望的象征。 眼要看远，脚要近迈。 战士的意志要象礁石一样坚定，战士的性格要象和风一样温柔。
成功是一种观念，成功是一种思想，成功是一种习惯，成功是一种心态。 为你制造一些困难和障碍的人未必是你的敌人，把你从困境里拉出来的人未必是你的朋友。不要用眼前的利益得失看人，要看长远，所谓路 遥知马力，日久见人心！ 最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。——罗曼·罗兰 要铭记在心：每天都是一年中最美好的日子。 只要我还有梦，就会看到彩虹! 读书给人以快、给人以光彩、给人以才干。 理想的路总是为有信心的人预备着。 不管做什么都不要急于回报，因为播种和收获不在同一个季节，中间隔着的一段时间，我们叫它为坚持。 再好的种子，不播种下去，也结不出丰硕的果实。 人，最大的敌人是自己。 没有爱不会死，不过有了爱会活过来。 明天的希望会让我们忘了今天的痛苦。 不是某人使你烦恼，而是你拿某人的言行来烦恼自己。 在茫茫沙漠，唯有前时进的脚步才是希望的象征。 眼要看远，脚要近迈。 战士的意志要象礁石一样坚定，战士的性格要象和风一样温柔。
3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件人教新课标3
你能利用cos (α－β)的公式继续探究α±β 的其它三角函数公式吗？如
2024/11/4
21
2024/11/4
22
A α β B
α
B β
O
x
O2- x
A
于是，对于任意角α，β都有
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
称202为4/11/差4 角的余弦公式。简记为C(α-β)
11
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
视察：公式有何特征？如何记忆？
１.公式的结构特征:
左边是差角α－β 的余弦,右边单角α、β 的余弦积与正弦积的和,即同名三角函数积的和.
2024/11/4
17
巩固练习:
解：
2024/11/4
18
变式2：已知cosα= 1 ，cos（α－β）= 4，
3
5
0< β < α <
,求cosβ的值。
2
思考? 若将cos（α－β）改为cos（α+β）呢?
( )
变式3:以知
cos cos 3 sin sin 4 ,求cos - 的值.
问题2:你认为cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ成立吗?
猜想：
2024/11/4
5
探究过程：
在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角 的终边与单
cos 位标圆，的也交可点以为用角P1
，
等于角 与单位圆交点的横坐
的余弦线来表示．
大家思考：怎样构造角 和 角？（注意：要与
2024/11/4
2 3 21 6 2
2 2 22
4
2024/11/4
21
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22
A α β B
α
B β
O
x
O2- x
A
于是，对于任意角α，β都有
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
称202为4/11/差4 角的余弦公式。简记为C(α-β)
11
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
视察：公式有何特征？如何记忆？
１.公式的结构特征:
左边是差角α－β 的余弦,右边单角α、β 的余弦积与正弦积的和,即同名三角函数积的和.
2024/11/4
17
巩固练习:
解：
2024/11/4
18
变式2：已知cosα= 1 ，cos（α－β）= 4，
3
5
0< β < α <
,求cosβ的值。
2
思考? 若将cos（α－β）改为cos（α+β）呢?
( )
变式3:以知
cos cos 3 sin sin 4 ,求cos - 的值.
问题2:你认为cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ成立吗?
猜想：
2024/11/4
5
探究过程：
在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角 的终边与单
cos 位标圆，的也交可点以为用角P1
，
等于角 与单位圆交点的横坐
的余弦线来表示．
大家思考：怎样构造角 和 角？（注意：要与
2024/11/4
2 3 21 6 2
2 2 22
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高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)课件新人教A版必修4
2
2
(2) 3 sin x cos x.
解：（1）1 cos x 3 sin x (2) 3 sin x cos x
2
2
sin 30 cos x cos 30 sin x
2( 3 sin x 1 cos x)
2
2
sin(30 x);
2(sin x cos 30 cos x sin 30 )
解：原式 sin(72 18 ) sin 90 1.
第十三页，共31页。
例1 已知 sin 3 , 是第四象限角，求 sin( ),
5
4
cos( )的值.
4
解：由sin=-
3 5
,
是第四象限角，得
cos 1 sin2 1 ( 3)2 4 , 55
于是有sin( ) sin cos cos sin
第七页，共31页。
探究(tànjiū)二：两角和与差的正弦公式
1.利用哪些公式可以实现正弦(zhèngxián)、余弦的互 化？
提示(tíshìs)i:n cos( ) 2
sin(
)
cos
2
(
)
第八页，共31页。
2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角和与 差的正弦(zhèngxián)公式？
(2) 2 cos x 6 sin x.
解：（1）原式 （2 2 sin x 2 cos x)
2
2
2sin(x ).
4
(2)原式 2 （2 1 cos x 3 sin x)
2
2
2 2 sin( x).
6
第二十一页，共31页。
1.(2015·四川高考)下列函数中,最小正周期为π且图象关
高中数学人教版必修4课件3-1-2两角和与差的正弦余弦正切公式1
题型三 给值(式)求角问题
[例 3] 已知△ABC 中 B＝60°，且co1s A＋co1s C＝－
cos2B，若 A>C，求 A 的值． [解] 由已知 B＝60°，A＋C＝120°， 设A－2 C＝α，∵A>C，则 α>0， 故 A＝A＋2 C＋A－2 C＝60°＋α，
C＝A＋2 C－A－2 C＝60°－α，
[活学活用] 求值：[2sin 50°＋sin 10°(1＋ 3tan 10°)]· 2sin280°.
解：[2sin 50°＋sin 10°(1＋ 3tan 10°)]· 2sin280°
＝2sin 50°＋sin 10°1＋
sin 3cos
10° 10°·
2cos210°
＝2sin
50°＋2sin
出所求角的三角函数值，从而求出角．
[活学活用]
已知α，β均为锐角，且sin α＝ 55，cos β＝ 1100，求α－ β的值．
解：∵α，β均为锐角，且sin α＝ 55，cos β＝ 1100，
∴cos α＝255，sin β＝31010. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
人教版 必修4
第三章 三角恒等变换
两角和与差的正弦、余弦 和正切公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
教材新知
知识点一 两角和的余弦公式
[提出问题] 问题1：把公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中的 β用－β代替，结果如何？ 提示：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. 问题2：在cos(α±β)的公式中，α，β的条件是什么？
利用单调性及最值建立关于 a，b 的 方程组→求得 a，b 的值
3.1.2第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式 课件
为啥总是听懂了， 但不会做，做不好？
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
高效学习模型-内外脑模型
2
内脑- 思考内化
思维导图& 超级记忆法& 费曼学习法
1
外脑- 体系优化
知识体系& 笔记体系
内外脑高效学习模型
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
超级记忆法
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
超级记忆法-记忆规律
记忆前
第三章 三角恒等变换
3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切 公式
第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式
第三章 三角恒等变换
学习导航
学习目标
结合两角差 的余弦公式
―理―解→
两角和与差的正弦、 余弦推导过程及各 公式之间的联系
―掌―握→
两角和与差的正弦、 余弦公式的应用
重点难点 重点：公式的正用、逆用及变式应用． 难点：灵活运用公式解决相关的求值、化简．
＝12sin x＋ 23cos x＋sin x－ 3cos x＋ 23cos x－32sin x
＝(12＋1－32)sin x＋( 23－
3＋
3 2 )cos
x＝0.
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
(2)原式＝sin[α＋β＋α]s－in 2αcosα＋βsin α
＝sinα＋βcos
α－cosα＋βsin sin α
＝csions 8100°°＝1.
第三章 三角恒等变换
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
小案例—哪个是你
栏目 导引
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高效学习模型-内外脑模型
2
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1
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第三章 三角恒等变换
超级记忆法
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超级记忆法-记忆规律
记忆前
第三章 三角恒等变换
3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切 公式
第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式
第三章 三角恒等变换
学习导航
学习目标
结合两角差 的余弦公式
―理―解→
两角和与差的正弦、 余弦推导过程及各 公式之间的联系
―掌―握→
两角和与差的正弦、 余弦公式的应用
重点难点 重点：公式的正用、逆用及变式应用． 难点：灵活运用公式解决相关的求值、化简．
＝12sin x＋ 23cos x＋sin x－ 3cos x＋ 23cos x－32sin x
＝(12＋1－32)sin x＋( 23－
3＋
3 2 )cos
x＝0.
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第三章 三角恒等变换
(2)原式＝sin[α＋β＋α]s－in 2αcosα＋βsin α
＝sinα＋βcos
α－cosα＋βsin sin α
＝csions 8100°°＝1.
第三章 三角恒等变换
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第三章 三角恒等变换
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
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