数据结构 图的基本知识点

若G为有向图，任意两个顶点Vi, Vj之间都有弧<Vi,Vj> 、 <Vj,Vi> ，称G为有向完全图。如顶点数为n，有向完全图 的弧数：
e=Pn2 =n(n1)
例如，无向图G1就是4个顶点无向完全图。 若一个图接近完全图，则称其为稠密图；反之，若一个图含
有很少条边或弧（即e＜＜n2），则称其为稀疏图。
在有向图G3中： 顶点序列（V2, V3, V2）是一个长度为2的有向简单 环。
6．连通、连通分量和连通图、生成树
在无向图G中：
如果从顶点Vi 到顶点Vj至少有一条路径，则称Vi与Vj是连通 的。
如果图中任意两个顶点都连通，则称G为连通图，否则称为 非连通图。
在非连通图G中，任何一个极大连通子图称为G的连通分量。
4．子图
若有图G=(V, E)和G′=(V′, E′)
且V′ 是V的子集，即V′V ， E′是E的子集，即 E′ E
则称图G′为图G的子图。
5．路径、回路和路径长度
在无向图G中，若存在一个顶点序列(Vp , Vi1 , Vi2 , … , Vin , Vq)， 使(Vp, Vi1)，(Vi1, Vi2)，…，(Vin, Vq)均为图G的边，则该称顶 点的序列为顶点Vp到顶点Vq的路径。若G是有向图，则路径 是有向的。
任何连通图的连通分量只有一个，即其自身，而非连通图有 多个连通分量。
在一个连通图中，含有全部顶点的极小(边数最少)连通子图， 称为该连通图的生成树。(包含图的所有 n 个结点，但只含 图的 n-1 条边。在生成树中添加一条边之后，必定会形成回 路或环)
图G1和G2为连通图
非连通图 G4
A
B
E FG
在有向图中，顶点v的度又分为入度和出度两种：
以顶点v为终点(弧头)的弧的数目称为顶点v的入度，记 为ID(v)；
以顶点v为起点(弧尾)的弧的数目称为顶点v的出度，记 为OD(v)；
有向图顶点v的度为该顶点的入度和出度之和，即 D(v)=ID(v)+OD(v)
无论是有向图还是无向图，一个图的顶点数n、边
其中对偶可以表示成： ➢ (Vi, Vj)—无序的对偶称为边，即(Vi, Vj)=(Vj, Vi) ，其图称为 无向图 ➢ <Vi, Vj>—有序的对偶称为弧，即<Vi, Vj> ≠<Vj, Vi>，则称Vi 为弧尾，称Vj为弧头，该图称为有向图
有向图和无向图示例：
无向图G1的二元组表示： V(G1)={V1, V2, V3, V4} E(G1)={(V1, V2)，(V1, V3)，(V1, V4)，(V2, V3)，(V2, V4)，(V3, V4)} 有向图G3的二元组表示： V(G3)={V1, V2, V3} E(G3)={<V1, V2>，<V1, V3>，<V2, V3>，<V3, V2>}
路径长度定义为路径上的边数或者弧的数目。 若一条路径中不出现重复顶点，则称此路径为简单路径。 若一条路径的起点和终点相同（Vp=Vq）称为回路或环。 除了起点和终点相同外，其余顶点不相同的回路，称为简单
回路或简单环。
例如，在无向图G1中： 顶点序列（V1, V2, V3, V4）是一条从顶点V1到顶点 V4，长度为3的简单路径； 顶点序列（V1, V2, V4, V1, V3）是一条从顶点V1到 顶点V3，长度为4的路径，但不是简单路径； 顶点序列（V1, V2, V3, V1）是一条长度为3的简单 回路。
二、图的定义
图G是由一个顶点集V和一个边集E构成的数据结构。
记为二元组形式： G= (V, E) 其中:
➢ V是由顶点构成的非空有限集合，记为：V＝{V0, V1, V2, …Vn-1} ➢ E是由V中顶点的对偶构成的有限集合，记为：E={(V0, V2), (V3, V4), … }，若E为空，则图中只有顶点而没有边。
(弧)数e和每个顶点的度di之间满足以下的关系式：
e
1 2
n i 1
D(vi )
即在有向图或无向图中： 所有顶点度数之和 ：边数 = 2 ：1
3．完全图、稠密图和稀疏图
在图G中：
若G为无向图，任意两个顶点之间都有一条边，称G为无 向完全图。顶点数为n，无向完全图的边数：
e=Cn2 =n(n1)/2
1．邻接点
在无向图中，若存在一条边（Vi, Vj），则称Vi和Vj 互为邻接点（Adjacent）
在有向图中，若存在一条弧<Vi, Vj >，则称Vi为此 弧的起点，称Vj为此弧的终点，称Vi邻接到Vj，Vj 邻接自Vi，Vi和Vj互为邻接点。
2．顶点的度、入度和出度
在无向图中，与顶点v相邻接的边数称为该顶点的 度，记为D(v)。
8.2 图的基本存储结构
图需存储的信息：
V0
V1
各顶点的数据
V2
V3
V4
各个边（弧）的信息，包括：
哪两个顶点有边（弧）
V0
V1
若有权要表示出来
顶点数、边（弧）数
在非强连通图G中，任何一个极大强连通子图称为G的强连 通分量。
任何强连通图的强连通分量只有一个，即其自身，而非强 连通图有多个强连通分量。
有向图G和强连通分量示例：
8．权、带权图、有向网和无向网
在一个图中，各边(或弧)上可以带一个数值，这个数值称为 权。
这种每条边都带权的图称为带权图或网 有向网：带权有向图 无向网：带权无向图
非连通图G4的三个连通分量
A
B
E
F
G
IJ
K
C
D
C
IJ
K D
连通图G5
A
BLeabharlann 连通图G5的两棵生成树A
B
A
B
C
D
C
D
C
D
7．强连通、强连通分量和强连通图
在有向图G中：
存在从顶点Vi 到顶点Vj的路径，也存在从顶点Vj 到顶点Vi 的路径，则称Vi与Vj是强连通的。
如果图中任意两个顶点都是强连通，则称G为强连通图， 否则称为非强连通图。
第8章 图
8.1 图的基本概念 8.2 图的基本存储结构
8.2.1 邻接距阵及其实现 8.2.2 邻接表及其实现 8.3 图的遍历 8.3.1 深度优先搜索遍历 8.3.2 广度优先搜索遍历 8.4 图的应用 8.4.1 连通图的最小生成树 8.4.2 拓扑排序
8.1 图的基本概念
一、现实中的图
图最常见的应用是在交通运输和通信网络中找出造价 最低的方案。通信网络示例如下图所示：