第5章 扰动模型
方法三：用前馈削减扰动的影响
用前馈削减可测量的扰动，其方法一般原理如图所示。
图 用前馈削减扰动
前馈是另一种控制方法。它是用来消除可测量的扰动，其 基本思想为：用实测扰动来预防扰动对于过程变量的影响，进 而引入适当的补偿控制作用。 与反馈相比较，其优点为：可以在扰动影响变量之前就发 挥校正作用。
如果对扰动w和控制u到输出y的传递函数分别为Hw和Hp，则 前馈补偿器的传递函数Hff理论上为：
重点内容：
描述扰动的方法 分析扰动对于系统的影响的不同方法
5.1 减小扰动影响的方法
在扰动源出削减扰动； 局部反馈削减扰动的影响； 来自可测扰动的前馈削减扰动的影响； 用预报来估计不可测扰动，扰动中的可预报部分则可以 用前馈削减；
方法一：在扰动源出削减扰动
削减扰动影响的最明显的方法就是尽量减少扰动源。 典型例子： 采用能有效搅拌的水箱以减弱成分的偏差； 在伺服系统中利用优质轴承减少摩擦力； 把传感器放在扰动较小的地方； 改进传感器的电子部分，使得噪声减小； 用低噪声的传感器代替一般的传感器； 在时间上或者空间上更好的安排样点来改变采样方式，以便 能较好的再现过程特征。
如果这个传递函数是不稳定的或者是不能实现的，则选择一个 适合的近似代替。常常基于一个静态模型设计前馈补偿器，这 时，传递函数Hff可以简化为一个定态增益。
因为前馈是一种开环补偿，它需要一个准确的过程模型，用
数字控制容易加入过程模型，这样，可以预料随着数字控制的使
用，前馈的应用将会增加。实际上，前馈补偿器就是一个动态系统 求逆的计算。 前馈的一般过程为： 1. 测出扰动；
方法二：局部反馈削减扰动的影响
如果不能在扰动源出削减扰动，可以设法用局部反馈削减它 们，图示说明其方法的一般原理。
图 用局部反馈削减扰动，扰动应当在A点和B点之间进入系 统， A点和B点之间的动力学应允许回路采用高的增益
对于使用该方法需要具有以下条件： 1. 必须完全明确扰动进入系统的途径； 2. 必须得到反映扰动结果的实测变量； 3. 必须得到在扰动附近得到进入系统的控制变量； 4. 把控制变量与实测变量联系起来的动力学应允许使用高增益 的控制回路，因此，需要一个附加的反馈回路。 典型例子： 采用稳压其减小到电子管、仪器和调节器的电源电压变化； 用稳压电源电压的方法削减温控中的温度偏差。
线性随机差分方程
如果过程模型由连续时间微分方程表示，采样得到的方程为离散 时间随机模型。 连续时间过程微分方程为：
其中 v 是向量，其元素是白噪声随机过程，由于其具有无穷大方 差，习惯上把上述微分方程写成： 随机微分方程 假设信号v具有零均值，不相关增量和方差为： (4)
令采样瞬时为{tk: k=0,1…}，在一个采样周期内对(4)积分，得：
为了形式化一个切合实际的预报问题，需要不同的模型。构造 能合理地表达预报问题地扰动模型是非常重要的。
分段确定性扰动
例子一：阶跃信号的预报器
例子二：斜坡信号的预报器
上述例子表明，除了少数几点之外预报误差总是为零。这个观 察结果与扰动难以预报的实际经验不完全符合。这表明：阶跃 和斜坡信号不是解决预报问题的合理模型。解析的信号是无用 的，因为解析函数由它在任意短时间间隔内的值是唯一给定的。 阶跃和斜坡除了原点外处处解析。
线性随机差分方程的特性
研究线性随机差分方程定义的随机过程的特性，并且计算出该 过程的一阶矩和二阶矩。 特性一：均值函数
对线性随机差分方程两边取均值，可以得到下面的差分方程：
初始条件为： 这样，该均值将以无扰系统的同样方式传播。
特性二：协方差函数
为了计算协方差函数，引入：
其中， 其满足具有初始条件的均值为零的线性随机差分方程。 因为：
根据能观测性的条件的推导，可以获得状态为：
其中，Wo是系统的能观测性矩阵。下述预报器给出前m步的状态：
于是，由n个实测信号值的线性组合就得到信号的预报器。该预报器 可以表示为： 预报器模型I 其中，P是(n－1)次多项式。
还可用递推方程表示：
预报器模型II
表示预报器，其中矩阵K的选择要使得矩阵(I-KC)的所有的 特征值为零。
其中： 由： 给出。
精品课件！
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注一：如果随机变量是高斯分布的，那么，此随机过程惟一的 由其均值函数m和且协方差函数r表征。
注二：如果系统有输出y＝Cx，那么，由my＝Cm给出y的均值 函数，并且，由于：ryy ＝CrxxCT给出y的协方差。
注三：式(3)中各项都由物理解释。协方差P可以表示状态的不 确定性，P(k)T此项表明由于系统动力学特性在时刻k的不确 定性是怎样传播的，而R1项描述扰动v引起的不确定性的增加。
线性随机差分方程定义为： 考虑把采样周期选作时间单位的离散时间系统。
1. 假设时刻k的状态x(k)给出，那么，在时刻k＋1的状态的概 率分布就是x(k)的函数。
2. 如果x(k)的均值是线性的且围绕均值的分布与x(k)独立，那 么， x(k＋1)可以表示为：
线性随机差分方程 其中，v(k)是一个均值为零，协方差为R1的随机变量，它与x(k) 独立并且与x所有的过去值独立。这意味着v(k)还与其所有过去 值独立。 序列 {v(k)，k＝…，－1，0，1…}是个独立同分布随机变量v(k)}，需要规定其初始条件，假定其初 始状态均值为m0，协方差矩阵为R0
测量误差
测量误差要进入传感器中。在某些传感器中，可能由于校准而由 定态误差，典型的测量误差具有高频成分，由于传感器的动力学 特性还可能由动态误差，在传感器和过程之间还可能存在复杂的 动态相互作用。典型的例子就是陀螺测量和核反应堆中液位的测 量。 参数变化 使用着线性理论，再附加负载扰动和测量噪声。不过，实际系统 常常是非线性的。把非线性的模型线性化得到线性模型，这意味 着各种扰动可以更复杂的方式加入，于是，某些扰动还可以当作 模型参数的偏差。
考虑随机变量：
因为v的均值为零，所以，这个变量的均值也为零。因为在整个 不交叉的时间间隔上v的增量是不相关的。故，对于k1的随机变 量v(tk)和v(t0)也是不相关的。 v(tk)的协方差为：
(5)
由采样过程{x(t)}而得到的随机序列{x(tk): k=0,1…}可由差分方程
描述。其中{v(tk): k=0,1…}是均值为零和协方差为式(5)的不相关的 随机变量序列。
5.2 扰动的模型
经典扰动模型 分段确定性扰动 其他扰动
习惯上，把不同类型的扰动区分为： 负载扰动，测量误差和参数变化。 负载扰动 负载扰动 影响过程的变量，是典型缓慢变化的量，可以是周期 性的。 典型例子： 力学系统：稳定天线上的阵风，船的波浪，电动机的负载； 过程控制：供给流涕的质量偏差，指令流量的偏差； 热力学系统：环境温度的变化。
假定脉冲出现的时刻事前未知，脉冲的幅值也是未知的，这种信 号称为分段确定性信号。除了孤立点(给定集合，孤立点就是存在 它的一个临域，在这个临域内除了它之外没有属于集合的点 )外， 该信号是确定的，但是孤立点的变化是不可预报的。例子：
图 m＝3时，分段恒定信号和分段线性信号以及它们m步预报
状态空间模型
让信号由动态系统：
产生。假设系统输出y是标量且是完全能观测的。假定除了在孤 立点外输入v(k)都为零。如果系统状态已知，那么就可直接预报 输入为零的任何时间间隔上的状态。然而，当有脉冲时，状态 可能以任意方式变化，但在一个脉冲之后将总有一个输入为零 的时间间隔。由于系统时能观测的，于是，可以计算出过程状 态。这样，直到一个新的脉冲出现之前，都可以获得准确的预 报。
2. 生成力图抵消扰动的控制信号；
3. 再把控制信号加到过程上。 前馈特别适用于： 由于指令信号或者参考信号变化产生的扰动；
适用于由过程逆向偏差产生顺向扰动的串级过程。
方法四：用预报削减扰动的影响
用预报削减扰动的方法是前馈原理的推广。当扰动不能实测时， 就可以用此方法。其原理为： 用可测信号预报扰动，再由此预报产生前馈信号。重要的是： 预报扰动本本身不是必须的，能模拟出代表扰动对重要的过程 变量的影响的信号就足够了。
随机过程是平稳的的定义为：
如果对于所有的，n，t1…tn，x(t1)… x(tn)的有限维分布等 于x(t1＋)，x(t2＋)… x(tn＋)… 的有限维分布，则称此随 机过程是平稳的。
随机过程是弱平稳的的定义为： 如果对于所有的，只要分布的前两个矩相同，则称此随 机过程是弱平稳的。 (弱)平稳过程的互频谱密度是其互协方差函数的傅立叶变换： 互谱密度函数
经典扰动模型
这些经典的扰动模型对于分析扰动对系统的影响是有用的，可 以用这些模型研究局部反馈和前馈可能得到改进，不适合用预 报削减扰动的情况。 脉冲 阶跃 斜坡
正弦
图 简单的扰动模型
冲击和脉冲 冲击和脉冲是短时突变扰动的简单抽象。它们可以代表负载 扰动以及测量误差，对于连续系统，这种扰动是一种冲击( 函数)；在采用系统中，把这种扰动模型化为幅值为1，持续 时间为一个采用周期的脉冲。 阶跃 阶跃信号是扰动的另一种模式。它常用以代表负载扰动或者 是测量偏差。 斜坡 斜坡函数时间为负时，它为零；时间为正时，它线性的增加。 它可以表示漂移的测量误差和突然开始漂移的扰动。 正弦 正弦周期性扰动的模型。适当选择频率可以表示低频负载扰 动以及高频的测量噪声。
v( k) 和
(k)是独立的，对上式两边取均值，得到：
初始条件为： P的递推方程表明协方差是怎样传播的。 为了计算状态协方差函数，观察：
v( k) 和
(k)是独立的，并且v(k)均值为零，得到：
重复上述步骤，得到：
于是通过一个具有用给定的动态系统传播方差函数变得到协方差 函数。
小结：离散的白噪声随机过程 考虑线性随机差分方程定义的随机过程。其中，v(k)是一个均 值为零，协方差为R1的白噪声过程。令其初始状态均值为m0， 协方差矩阵为R0，于是此过程的均值函数为： (1 ) 其协方差函数为： (2 ) (3 )
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第一部分5 IV和GMM
第五章 IV 和GMM一、IV 估计量1、内生解释变量 （1）什么是内生性回顾经典假设：对于回归模型， YX uβ=+ ，OLS 的基本假设：(见陈强，书P15)严格外生性假定可以推出： Cov[X,u] = 0。
即： 解释变量X 与随机项不相关； 定义：内生解释变量。
——如果X 与随机项u 之间存在相关性，称X 为内生解释变量。
（2）内生性解释变量产生的原因 ①遗漏了重要的解释变量– True:012wage edu abil u βββ=+⋅+⋅+ – Do:01wage edu uββ=+⋅+②观测误差– True: **X =X +e (X 为真实值）— Do:01011Y =()()X e u X u e βββββ+⋅-+=+⋅+-⋅X 与1()u e β-⋅是否相关？比如吸烟与健康的调查中。
不吸烟者的误差为零。
吸烟者对吸烟次数的报告有较大的偏差③滞后被解释变量t 0121Y =t tX Y u βββ-+++如果时间序列中有自相关的话④联立方程中（说明见陈强书：第十章，P120-121）（3）、内生性的后果①参数估计是有偏的，有时甚至（同期相关）是不一致的。
难以通过扩大样本改善估计性质。
内生性问题'1''1''1''1''1'C ov(X ,u)0ˆ)ˆ()[)()][))][))] [))]X X X Y E E X X X X u E X X X X E X X X u E X X X u ββββββ-----≠==+=+=+≠参数估计：（（（（（（因为'EX 0u ≠，所以OLS 估计是有偏的）②此时参数估计的偏差不仅仅存在于内生解释变量的参数上，而是所有的参数估计值都会受到影响2、工具变量对内生变量的解决思路•增加遗漏的变量，或者其代理变量•面板数据•工具变量法（Instrument variables）（1）工具变量的定义：工具变量：在模型估计过程中被作为工具使用，以替代模型中与随机误差项相关的随机解释变量。
【计量经济学】第5章 第3节 几何分布滞后模型
Yt* = t 期预期的最佳货币供应量 Xt = t 期的经济总量水平
这些例子说明，解释变量的现值决定了被解释变 量的预期值（期望达到的水平）。
（3）局部调整假定：
由于技术、制度、市场以及管理等各方面的限 制，被解释变量的预期水平在单一周期内一般不会 完全实现，而只能得到部分的调整。
局部调整假定数学表示是：
此模型称为局部调整模型（Partial adjustment model）。
（2）实际经济背景
部分调整模型首先是由 Nerlove 基于如下事实 提出的：在讨论滞后效应时，解释变量在某一时期 内的变动所引起的被解释变量值的变化，要经过相 当长一段时间才能充分表现出来。
这样，模型表达的应该是第t期解释变量观测值 与同期被解释变量期望达到的水平之间的关系。
局部调整假设认为，被解释变量的实际变化仅 仅是预期变化的一部分，即
Yt Yt1 (Yt* Yt1 )
其中， 为部分调整系数，它代表调整速度。且有
0 ≤ ≤ 1。越接近 1，表明调整到预期最佳水平
的速度越快。
（4）将局部调整模型转化为一阶自回归模型 由部分调整假设可得
Yt*
1
Yt
1
Yt 1
在建立经济计量模型时，很多情况下，库伊克 假设有一定的合理性。
（二）几何分布滞后模型
将式 j 0 j 代入原无限分布滞后模型中，得 到如下模型：
Yt 0 X t 0 X t1 0 2 X t2 0 j X t j ut
此模型就称为几何分布滞后模型，因为滞后权重 数列是以几何数列下降的。
接观测的变量化成可以直接观测的变量。
Cangan 和 Friedman 这两位经济学家提出了对
预期
X
这些例子说明，解释变量的现值决定了被解释变 量的预期值（期望达到的水平）。
（3）局部调整假定：
由于技术、制度、市场以及管理等各方面的限 制，被解释变量的预期水平在单一周期内一般不会 完全实现，而只能得到部分的调整。
局部调整假定数学表示是：
此模型称为局部调整模型（Partial adjustment model）。
（2）实际经济背景
部分调整模型首先是由 Nerlove 基于如下事实 提出的：在讨论滞后效应时，解释变量在某一时期 内的变动所引起的被解释变量值的变化，要经过相 当长一段时间才能充分表现出来。
这样，模型表达的应该是第t期解释变量观测值 与同期被解释变量期望达到的水平之间的关系。
局部调整假设认为，被解释变量的实际变化仅 仅是预期变化的一部分，即
Yt Yt1 (Yt* Yt1 )
其中， 为部分调整系数，它代表调整速度。且有
0 ≤ ≤ 1。越接近 1，表明调整到预期最佳水平
的速度越快。
（4）将局部调整模型转化为一阶自回归模型 由部分调整假设可得
Yt*
1
Yt
1
Yt 1
在建立经济计量模型时，很多情况下，库伊克 假设有一定的合理性。
（二）几何分布滞后模型
将式 j 0 j 代入原无限分布滞后模型中，得 到如下模型：
Yt 0 X t 0 X t1 0 2 X t2 0 j X t j ut
此模型就称为几何分布滞后模型，因为滞后权重 数列是以几何数列下降的。
接观测的变量化成可以直接观测的变量。
Cangan 和 Friedman 这两位经济学家提出了对
预期
X
过程控制系统第五章 前馈控制系统
TC 为温度调节器；K v为温度调节阀门。
5.1 前馈控制的基本概念
b）系统框图 图5-1 换热器温度反馈控制系统
在图5-1所示的温度反馈控制系统中，当扰动（如被加热的物料流量 q、入口
温化的度，大使小1其 和或偏方蒸离向汽给产压定生力值控p制D作等20 用的，，变随通化之过）温调发度节生调阀后节的，器动将按作引照改起被变热控加流量热体偏用出差蒸口值汽温e的度流2量20发q生D2变， 从而补偿扰动对被控量 2 的影响。
2. 前馈控制只适用于克服可测不可控的扰动，而对系统中的其它扰动无抑制作 用，前馈控制具有指定性补偿的局限性。为了克服这种局限性，通常将前馈、 反馈两者结合起来，构成复合控制系统。可测不可控的主要扰动由前馈控制抑 制，其它的由闭环控制解决。
3. 前馈控制具有静态和动态两种。静态前馈控制只能对扰动的稳态响应有良好 的补偿作用，但静态前馈控制器只是一个比例调节器，实施起来十分方便。动 态前馈控制几乎每时每刻都在补偿扰动对被控量的影响，故能极大提高控制过 程的动态品质，是改善控制系统品质的有效手段，但控制器取决于被控对象的 特性，往往比较复杂，难以实施。
（1）完全补偿难以实现。
前馈控制只有在实现完全补偿的前提下，才能使系统得到良好的动态品质、
但完全补偿几乎是难以作到的，因为要准确地掌握过程扰动通道特性 Wf (s)及
控制通道特性 W0 (s) 是不容易的。故而前馈模型 Wm (s) 难以准确获得；且被控
对象常含有非线性特性，在不同的工况下其动态特性参数将产生明显的变化，
（5-3）
5.1 前馈控制的基本概念
由此，可将前馈控制器的特点归纳如下：
1）前馈控制是“基于扰动来消除扰动对被控量的影响”，故前馈控制又称为 “扰动补偿”。
第五章前馈控制系统ppt课件
第5章
前馈控制系统
5.1 前馈控制系统的特点 5.2 前馈控制系统的几种主要结构形式 5.3 前馈控制规律的实施 5.4 前馈控制系统的应用 5.5 前馈控制系统的参数整定 5.6 多变量前馈控制
实验：前馈控制系统实验
5.4 前馈控制系统的应用
什么情况下采用前馈控制：
（1）对象滞后较大，反馈难以满足要求，可把主要干 扰进行前馈控制
G(s) K es Ts 1
T1s 1 T2s 1
1 T2s 1
e f s
1
1 2
f
s
1
1 2
f
s
-K
输入
+Σ
+K
1
+
1 2
f
s
1
+Σ
-
输出
5.3 前馈控制系统的实施
输入
K=T1/T2-1
Kf
K
1/(T2s+1)
+
输出 －Σ
+
图5-12 （T1s+1）/（T2s+1）实施框图
t
mf
mf (t) K f [1 ( 1)e ]T1 （输出）
实验：前馈控制系统实验
5.3 前馈控制系统的实施
前馈控制规律取决于对象干扰通道和控制通道的 传递函数
工业对象特性复杂，导致前馈控制规律种类繁多， 不利于实施
工业应用希望控制规律能具有一定的通用性， 便于控制实施（特别是仪表）
5.3 前馈控制系统的实施
一般的工业对象可以用一阶容量滞后加纯滞后环节近似,如：
同样对于上述换热器FFC-FBC系统，如果蒸汽流量不稳定， 无论FFC或FBC的效果都不能正常发挥
第五章 图像复原
12
5.3.1 均值滤波器
算术均值滤波器
最简单的均值滤波器。令Sxy表示中心在点(x,y)、窗 口尺寸为m×n的矩形子图坐标集合，g(x,y)为污染 图像。则复原图像 fˆ 在点(x,y)处的值为区域Sxy内像 素的算术平均值：
ˆ ( x, y) 1 f S g (s, t) mn ( s ,t ) xy
21
5.3.2 统计排序滤波器
回顾：什么是统计排序滤波器？
本节介绍四类统计排序滤波器： 中值滤波器 最大和最小值滤波器 中点滤波器 阿尔法修剪均值滤波器
22
5.3.2 统计排序滤波器
中值滤波器 当前像素位置的新灰度值为邻域中像素的 灰度中值：
ˆ f ( x, y) median{g (s, t )}
若b a, 灰度值b将显示为一个亮点, a的值将显示为一个暗点. 若Pa或Pb为零, 则脉冲噪声称为单极脉冲. 若Pa或Pb均不为零, 尤其是近似相等时, 脉冲噪声值类似于随机 分布在图像上的胡椒和盐粉细粒.
10
5.2 噪声模型
例5.1：样本噪声图 像和它们的直方图
11
高斯
瑞利
伽马
指数
均匀
椒盐
g ( x, y) f [ x x0 (t ), y y0 (t )]dt
0
35
T
5.6.3 建模法估计退化函数
( s ,t )S xy
尤其适合于脉冲噪声(即冲击噪声或椒盐噪 声)的处理(无论单极或双极)
23
5.3.2 统计排序滤波器
对噪声图像多次应用中值滤波器 (a)由概率Pa=Pb=0.1的椒盐 噪声污染的图像 (b) 用尺寸为3×3的中值滤波 器处理的结果 (c) 用该滤波器处理(b)的结果 (d) 用相同的滤波器处理(c)的 结果 经过多次处理,逐渐消除 噪声；但多次应用中值滤 波器,会使图像模糊
5.3.1 均值滤波器
算术均值滤波器
最简单的均值滤波器。令Sxy表示中心在点(x,y)、窗 口尺寸为m×n的矩形子图坐标集合，g(x,y)为污染 图像。则复原图像 fˆ 在点(x,y)处的值为区域Sxy内像 素的算术平均值：
ˆ ( x, y) 1 f S g (s, t) mn ( s ,t ) xy
21
5.3.2 统计排序滤波器
回顾：什么是统计排序滤波器？
本节介绍四类统计排序滤波器： 中值滤波器 最大和最小值滤波器 中点滤波器 阿尔法修剪均值滤波器
22
5.3.2 统计排序滤波器
中值滤波器 当前像素位置的新灰度值为邻域中像素的 灰度中值：
ˆ f ( x, y) median{g (s, t )}
若b a, 灰度值b将显示为一个亮点, a的值将显示为一个暗点. 若Pa或Pb为零, 则脉冲噪声称为单极脉冲. 若Pa或Pb均不为零, 尤其是近似相等时, 脉冲噪声值类似于随机 分布在图像上的胡椒和盐粉细粒.
10
5.2 噪声模型
例5.1：样本噪声图 像和它们的直方图
11
高斯
瑞利
伽马
指数
均匀
椒盐
g ( x, y) f [ x x0 (t ), y y0 (t )]dt
0
35
T
5.6.3 建模法估计退化函数
( s ,t )S xy
尤其适合于脉冲噪声(即冲击噪声或椒盐噪 声)的处理(无论单极或双极)
23
5.3.2 统计排序滤波器
对噪声图像多次应用中值滤波器 (a)由概率Pa=Pb=0.1的椒盐 噪声污染的图像 (b) 用尺寸为3×3的中值滤波 器处理的结果 (c) 用该滤波器处理(b)的结果 (d) 用相同的滤波器处理(c)的 结果 经过多次处理,逐渐消除 噪声；但多次应用中值滤 波器,会使图像模糊
第5章现代控制理论之系统运动的稳定性分析
当然，对于线性系统， 从不稳定平衡状态出发的轨 迹，理论上趋于无穷远。
由稳定性定义知，球域S(δ) 限制着初始状态x0的取值，球域
S(ε)规定了系统自由运动响应 xt xt; x0的, t0边 界。
简单地说：1.如果 x t; x0, t0 有界，则称 xe 稳定；
2.如果 x t; x0, t0 不仅有界，而且当t→∞时收敛于原点，则
5.1.1 平衡状态
李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。
1. 平衡状态的定义
设系统状态方程为： x f x,t , x Rn
若对所有t ，状态 x 满足 x 0 ，则称该状态x为平衡状
态，记为xe。故有下式成立：f xe ,t 0
由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
2.平衡状态的求法
由定义，平衡状态将包含在 f x,t 这样0 一个代数方程组
中。
对于线性定常系统 x A，x其平衡状态为 xe 应满足代数
方程 。Ax 0
只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。
对于非线性系统，方程 方程而定。
如：
x1 x2
x1 x1
x2
x
3 2
f x的,t 解 可0 能有多个，视系统
稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。
稳定性是指系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动 的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而 言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不 考虑输入作用。
1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统 初始条件及外作用无关； 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与 系统初始条件及外作用有关；
当稳定性与 t0 的选择无关时，称一致全局渐近稳定。
由稳定性定义知，球域S(δ) 限制着初始状态x0的取值，球域
S(ε)规定了系统自由运动响应 xt xt; x0的, t0边 界。
简单地说：1.如果 x t; x0, t0 有界，则称 xe 稳定；
2.如果 x t; x0, t0 不仅有界，而且当t→∞时收敛于原点，则
5.1.1 平衡状态
李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。
1. 平衡状态的定义
设系统状态方程为： x f x,t , x Rn
若对所有t ，状态 x 满足 x 0 ，则称该状态x为平衡状
态，记为xe。故有下式成立：f xe ,t 0
由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
2.平衡状态的求法
由定义，平衡状态将包含在 f x,t 这样0 一个代数方程组
中。
对于线性定常系统 x A，x其平衡状态为 xe 应满足代数
方程 。Ax 0
只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。
对于非线性系统，方程 方程而定。
如：
x1 x2
x1 x1
x2
x
3 2
f x的,t 解 可0 能有多个，视系统
稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。
稳定性是指系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动 的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而 言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不 考虑输入作用。
1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统 初始条件及外作用无关； 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与 系统初始条件及外作用有关；
当稳定性与 t0 的选择无关时，称一致全局渐近稳定。
第5章 被控过程的数学模型
5.3.3.1 多容液位过程 （续）－例题
◇
5.3.3.1 多容液位过程 （续）－例题
◇
5.3.3.1 多容液位过程 （续）－例题
◇
5.3.3.1 多容液位过程 （续）－课堂练习
◇ 课堂练习
请同学画出如下液位过程的信号方框图：
设 R2, R3, R4 为线性液阻
求： Q1→h3 的数学模型（传递函数）
5.4 测试法建模－5.4.1 阶跃响应曲线法建模（续）
（三）若测得阶跃响应y(t)曲线如下形状
可处理成： ① 近似一阶加纯滞后 （用“作图法”或“计算法”） ② 二阶惯性（或高阶）
5.4 测试法建模－5.4.1 阶跃响应曲线法建模（续）
（三）若测得阶跃响应y(t)曲线如下形状
5.4 测试法建模－5.4.1 阶跃响应曲线法建模（续）
◇多容（高阶）过程对于扰动的响应在时间上的这种延迟被称为容量滞后。
5.3.3 多容过程建模——5.3.3.2 容量滞后与纯滞后
5.3.3.2 容量滞后与纯滞后（续）
1. 容量滞后
高阶对象的阶跃响应可近似为 一阶加纯滞后对象的响应：
5.3.3 多容过程建模——5.3.3.2 容量滞后与纯滞后
5.3.3.2 容量滞后与纯滞后（续）
5.4 测试法建模－5.4.1 阶跃响应曲线法建模（续）
（六）矩形脉冲响应曲线与阶跃响应曲线的关系
由于阶跃输入测试对象特性会造成长时间的干扰，有的过程不允许，则可 考虑采用矩形脉冲输入。如下：
但希望将矩形脉冲响应转换成阶跃响应，以便使用上述介绍的方法处理。 对线性系统满足叠加原理。
5.4 测试法建模－5.4.1 阶跃响应曲线法建模（续） （六）矩形脉冲响应曲线与阶跃响应曲线的关系 对线性系统满足叠加原理。
第五章波动率的估计(GARCH模型)
求garch12的向前一步和向前两步预测公式vararmagarch性质白噪声armagarcharmagarch条件均值条件方差条件分布边际均值和方差边际分布常数常数非常数常数非常数非常数实际例子52实际例子53arch与garch模型一些共同的缺点约束强要求系数非负如果要求高阶矩存在还有更多的约束不能解释为什么存在异方差只是描述了条件异方差的行为gjr模型1是虚拟变量如果t11取值为1如果t11取值为0
令 wt = ε t2 − ht 合并同类项有
j > q 时α j
=0
l > p 时 βl = 0
而
wt = ε t2 − ht 满足：
E ( wt ) = 0
cov( wt , wt − j ) = 0,
j ≥1
但 wt 一般不是独立同分布的
GARCH(1,1)过程的峰度公式
GARCH(1,1)过程的峰度刻画波动率的厚尾性 峰度=4阶原点矩/标准差的四次方 4 正态分布的峰度=3意味着 E (v t ) = 3
反映波动率的非对称性 ε t = htν t
S-1是虚拟变量，如果εt-1<0，则S-1取值为1， 如果εt-1≥0则S-1取值为0。 通过画出响应曲线，看到市场利空和利好 消息对波动率的不同影响
GJR模型
响应曲线
20
15
SIG2
10
5
0 -10
-5
0 Z
5
EGARCH 指数广义条件异方差模型
ln ht = k 0 + β 1 ln ht −1 + L + β r ln ht − r +
EGARCH模型
1）重要特征是引入不对称性 2）参数没有大于0的约束，因为对求对数后 的条件方差建模，，可以保证方差为对数。 3）可以假设νt~广义误差分布 4）假设vt是正态分布时E(|vt|)= (2/π)1/2
令 wt = ε t2 − ht 合并同类项有
j > q 时α j
=0
l > p 时 βl = 0
而
wt = ε t2 − ht 满足：
E ( wt ) = 0
cov( wt , wt − j ) = 0,
j ≥1
但 wt 一般不是独立同分布的
GARCH(1,1)过程的峰度公式
GARCH(1,1)过程的峰度刻画波动率的厚尾性 峰度=4阶原点矩/标准差的四次方 4 正态分布的峰度=3意味着 E (v t ) = 3
反映波动率的非对称性 ε t = htν t
S-1是虚拟变量，如果εt-1<0，则S-1取值为1， 如果εt-1≥0则S-1取值为0。 通过画出响应曲线，看到市场利空和利好 消息对波动率的不同影响
GJR模型
响应曲线
20
15
SIG2
10
5
0 -10
-5
0 Z
5
EGARCH 指数广义条件异方差模型
ln ht = k 0 + β 1 ln ht −1 + L + β r ln ht − r +
EGARCH模型
1）重要特征是引入不对称性 2）参数没有大于0的约束，因为对求对数后 的条件方差建模，，可以保证方差为对数。 3）可以假设νt~广义误差分布 4）假设vt是正态分布时E(|vt|)= (2/π)1/2
第五章经典线性回归模型(II)(高级计量经济学清华大学潘文清)
X1’X1b1+X1’X2b2=X1’Y (*) X2’X1b1+X2’X2b2=X2’Y (**) 由(**)得 b2=(X2’X2)-1X2’Y-(X2’X2)-1X2’X1b1 代入(*)且整理得： X1’M2X1b1=X1’M2Y b1=(X1’M2X1)-1X1’M2Y=X1-1M2Y=b* 其中，M2=I-X2(X2’X2)-1X2’ 又 M2Y=M2X1b1+M2X2b2+M2e1 而 M2X2=0， M2e1=e1-X2(X2’X2)-1X2’e1=e1 则 M2Y=M2X1b1+e1 或 e1=M2Y-M2X1b1=e* 或
X2=X1Q1+(I-P1)X2 =explained part + residuals
其中，Q1=(X1’X1)-1X1’X2
对
X2=X1Q1+(I-P1)X2 =X1Q1+M1X2
=explained part + residuals
M1X2就是排除了X1的其他因素对X2的“净”影响。
X2对X1的回归称为辅助回归(aon: 如何测度X1对Y的“净”影响？ 部分回归(Partial regression) Step 1: 排除X2的影响。 将Y对X2回归，得“残差”M2Y=[(I-X2(X2’X2)-1X2’]Y 将X1对X2回归，得“残差”M2X1=[(I-X2(X2’X2)1X ’]X 1 M 2Y为排除了 X 的净Y，M X 为排除了X 的净X
2 2 2 1 2
1
Step 2: 估计X1对Y的“净”影响。
将 M2Y对M2X1回归，得X1对Y的“净”影响：
M2Y=M2X1b*+e*
这里，b*=[(M2X1)’(M2X1)]-1(M2X1)’M2Y=X1-1M2Y e*=M2Y-M2X1b*
第5章交流等效电路分析
开关位于 1位置：
开关位于 2位置：
0
dTs
i(dTs ) i(0) (dTs )
终值 初值 作用时间
vg
(t )
Ts
L
平均斜率
i{ (Ts ) i{ (dTs ) ({ dTs )
终值
初值
作用时间
v(t)
1
4
L 2
Ts
43
平均斜率
i TS
Ts
t
电感电流在一个开关周期内的净增量
•忽略开关纹波的影响 •忽略复杂的开关谐波和边带 方法： •通过平均一个开关周期中的波形来消除谐波。
波形平均消除开关波形
在一个开关周期中求平 均值消除开关谐波：
d L
iL (t) TS dt
vL (t) Ts
d C
vc (t) TS dt
ic (t)
TS
xL (t )
Ts
1 Ts
tTs x( )d
交流变量 Vg t, R,d t 如何影响输出电压？ 什么是变换器的小信号传递函数？ •将第二、三章变换器稳态模型知识扩展到连续导通模式下 的变换器动态特性（第5章） •构造变换器小信号传递函数（第6章） •设计变换器控制系统（第7章）
5.1 交流等效模型
•用数学方式表示的物理现象 •系统模型主导的现象，忽略其他不重要的因素 •简化的模型能表达出物理实质，帮助工程师以某种特定 方式设计系统 •近似忽略小而复杂的因素 •物理实质获得后，模型进而可以细化去解释之前被忽略 的因素（这些因素值得花费精力去做）
整理可得：
L
dI dt
diˆ(t dt
)
DVg DV
直流分量
Dvˆg (t) D vˆ(t) dˆ(t) Vg V