勾股定理计算作图
3.如图为4×4的正方形网格,以格点与点A为端点,你能画出几条边
长为 10 的线段?
10= 1 9= 12 32
10
A
4. 如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在
格点上，求AB边上的高.
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.
∵
Q S△ABC
2 2 1 1 2 1 11 1 1 2 3 ，
学习目标 1. 会运用勾股定理确定数轴上表示无理数的点及解决
网格问题.（重点） 2.灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理
解决相应问题.（难点）
探究1: 利用勾股定理计算，证明
问题1 在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等． (HL ) 学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
在数轴上作出表示无 理数的点
在网格背景中表示长 度为无理数的线段
则点C即为表示 13的点。
l
B
∴点C即为表示 13 的点
在数轴上画出表示无理数的点
的方法：
1、凑数
0
1
2
A•3 C 4
2、构造 在数轴上画出合适Rt△ 3、画弧 在数轴上找到对应点
17
15
练习2
17
15
17= 1 16= 12 42
17
∴点C即为表示 17的点
lB
1
15= ？2 ？2 151=5=16-1？=2 -4？ 2-212
BC
AB2 (2x)2
2BD 1 6 2
3
6 3
9
3
探究2: 利用勾股定理作图（在数轴上表示无理数）
问题2：你能在数轴上表示出 2 的点吗？ 2呢 ?
思考：你能画出 2 长的线段吗？
“数”
21
2= 12 12
2 -1
0 112 2
3
数形结合思想
“数”
21
1 “形”
∴点C即为表示 15的点
B
?
4
1
15
17 4
4
15
4
0 A•1
2
17
0 1 A•1
2
3 4C 5
3C 4
15
5
数学海螺图：
在数学中也有这样一幅美丽的 “海螺型”图案
由此可知,利用勾股定理,可以作 出长为
2, 3, 5, , n
的线段.
1 1 1 1
111 1
1
13 14
12 11
例1：证明“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等” (HL )
已知：如图，在Rt△A′B′C′和Rt△A′B′C′中，∠C=
∠C ′=90°，AB=A′B′，AC=A′C ′．
A
A′
求证：△ABC≌△A′B′C′．
证明：在Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′ =90°，根据勾股定理，得
BC= AB2 -AC2 ，
B′C′= A′B′2 -A′C′2 ．
C
B C′ B′
∵ AB=A′B′ AC=A′C′
∴ BC=B′C′
∴ △ABC≌△A′B′C′（SSS）．
练习1
A
变已式知：:如图,等边△ABC的边长是 6 . 已知，(1如)求图高，A等D的边长△;ABC的高AD是
2x
6
?
33
例2.你能在数轴上画出表示 13 的点吗？ 分析： 构造长度为 13的线段
“数”
13= 4 9= 22 32
“形”
例2.你能在数轴上画出表示 13 的点吗？
步骤： 1、在数轴上找到点A,使OA=3;
2、作直线 l ⊥OA,在 l 上取一点B，使AB=2;
3,以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C点，
10
1
1
15
9
16
81
17
1
7
18
12
61
19
1
3 45 1
n
1
学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的
2个单位长度的位置找一个点D，然后点D做一条垂直于数轴的线段
CD，CD为3个单位长度，以原点为圆心，以到点C的距离为半径作弧，
交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（ B ）
(2()1求)求S△边AB长C ;. (2)求S△ABC .
B 3x D
C
解设解123(解、、、：题2B)：(D在列结利解∴1=∴策A()在Rx方合用决DS1∴∵∴∠t略=)△∵R则△A程∵问 勾 原AtADA△A：BAD△DAA是△DCABB求BBB题 股 问=A是A===BD=△AB12BB99中2出BC△2背 定 题CD00AxBC是-=中°°BC是AB线景 理6C等B•D，，的等CA2段，直边的D=BB高边DD长三高构接==三612角12122造计角6BB形CCR算形3==3t312或△23=A建3B9(2立33)∴相，S△等AB关C= 系Bx122DBBx2CD(3•3AA3D3D),22
2
2
2
2
D
又 Q∵
S△ABC
1 2
AB CD,
1 2
AB CD
3, 2
∵Q AB 12 22 5，
CD 3 3 5 . 55
归纳 此类网格中求格点三角形的高的题，常用的方法是利用网格求 面积，再用面积法求高.
课堂小结
用勾股定理解决几何问题
利用勾股定理计算，证明
利用勾股定理作图
A.2和3之间
B.3和4之间
C.4和5之间
D.5和6之间
2.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是
格点，则线段AB的长度为（A ）
A.5
B.6
C.7
D.25
A B
计算网格中不在同一网格线上两点间 的距离的方法： 1、放 把这条线放到合适Rt△中 2、看 看Rt△两直角边长 3、算 利用勾股定理算出斜边长
中考数学几何模型专题专题六—勾股定理
专题六勾股定理模型26 “勾股树”模型故事“勾股树”毕达哥拉斯树(如图), 也叫“勾股树”. 是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形. 又因为重复数次后的形状好似一棵树, 所以被称为毕达哥拉斯树. 重复的次数越多, 毕达哥拉斯树的“枝千”就越茂密.模型展现基础模型勾股定理: 222a b c+=.勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长a,,b c满足222a b c+=或222a c b+=或222b c a+=,那么这个三角形是直角三角形在直角三角形外，分别以三边作同样图形，可得下面结论作等边三角形作半圆作等腰直角三角形作正方形（毕达哥拉斯树的起始图形）怎么用?1. 找模型分别以直角三角形三边为边作相同图形2. 用模型根据勾股定理的关系及等式性质求解, 常用来解决面积问题结论分析：结论: 123S S S +=以作等边三角形为例.证明: 如解图, 过点 D 作 DM AC ⊥ 于点 M ,ACD 是等边三角形, 12AM MC b ∴==, 在 Rt ADM 中, 3tan tan602DM AM DAC AM b ∠=⋅=⋅=, 2111332224S DM AC b b b ∴=⋅⋅=⋅⋅=, 同理可得, 222333,44S a S c ==, ()222212333444S S a b a b ∴+=+=+, Rt ABC 满足 222a b c +=,()222123344S S a b c ∴+=+=.123.S S S ∴+=拓展延伸其余图形的证明, 均是用面积的计算, 然后求和即可, 同学们可以参考给出的证明过程, 自行完成.满分技法以三边分别为边作相同的图形, 解题的基本思想是勾股定理, 但所作图形的性质也是解题的关键.勾股数中常见图形面积公式:1 ;2S =⨯⨯三角形底高2 S =等边三角形边长； 21;2360n r S π=⨯半圆 2 S =正方形边长典例小试例 1 如图,和 AC 为直径的半圆的面积（与模型的作图方法一致）, 则123,S S S 和满足的关系式（求面积，可使用结论）为（ ）A . 123S S S +=B . 123S S S =+C . 123S S S >+D . 123S S S =⋅考什么？圆的面积计算，勾股定理思路点拨满足模型，选填项目中，可直接使用结论，高效解题。
勾股定理
第1讲勾股定理第一部分知识梳理1．勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
若直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，则a²+b²=c²。
2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。
3．满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数。
若a，b，c是一组勾股数，则ak，bk，ck（k为正整数）也必然是一组勾股数。
常用的几组勾股数有3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9,40,41等。
4．勾股定理的应用:①圆柱形物体表面上的两点间的最短距离；②长方体或正方体表面上两点间的最短距离问题。
5．直角三角形的判别：①定义，判断一个三角形中有一个角是直角；②根据勾股定理的逆定理，三角形一边的平方等于另外两边的平方和，则该三角形是直角三角形。
6．勾股定理中的方程思想：勾股定理三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范．对于一些几何问题，往往借助于勾股定理，利用代数方法来解决．把一条边的长设为未知数，根据勾股定理列出方程，解方程求出未知数的值，即使有时出现了二次方程，大多可通过抵消而去掉二次项。
7．勾股定理中的转化思想：在利用勾股定理计算时，常先利用转化的数学思想构造出直角三角形，比如立体图形上两点之间的最短距离的求解，解答时先把立体图形转化为平面图形，在平面图形中构造直角三角形求解。
8．拓展：特殊角的直角三角形相关性质定理。
第二部分精讲点拨考点1. 勾股定理【例1】在Rt△ABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为变式1 等腰三角形的两边长为10和12，则周长为______，底边上的高是________，面积是_________。
变式2 等边三角形的边长为6，则它的高是________变式3 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，（1）已知c＝4，b＝3，求a；（2）若a:b=3:4，c=10cm，求a、b。
人教版勾股定理 PPT
B A
C D
勾股树
E
10
H
E
公知道DA 元道许C前和多P 应约 勾大中的载用3股约总高的0B勾0数公结低第0股组年元出差一大高载I 定，，前了．位约就在理古如勾可与2在提《0，巴3股以勾0公出周,0公欧给他比4术说股年“元髀,元几出们伦5，，定，勾前算．前里一还人用禹理大1三经13德个知就来是有禹0、》世0巨勾确世关在股年中纪著股定界的治四，．，《定两上人水、周古几理处有．的弦朝希何的水史实五数腊公 汉明原证位记践学”数元时了本明家，学2期勾》．世商记家，股中纪刘定的徽理东证．
则是“半文圆明A人，”B，，也C必的定面认积识关这系种图为形.
根据勾股定理， a2 + b2=c2，
C c
b B
aA
C
圆的面积公式c：
S=πr2
aA
,
b
得到半圆A，B，C的面积关系 B
为SA+SB=SC．
数形结合
13
从直角三角形的各边向外作正方形能否推广到从 各边向外作等边三角形（正n边形）吗？
C c aA b
后的土地时，也应规作用律出过的了勾证详股明为细定．大注理会释．会和徽证的明图．案．
11
在探索勾股定理的过程中，你有什么感悟和欣赏.
C B
A
H
D C
E
A
P
I B
c
a
b
a bc
ac b
b
c
a
cb a
GQ
F
12
如放眼图未，来以，直华角罗庚三曾角设形想各：边向为太空直发径射向一外种作图半形，圆因，为
这种图形在几千年前就已经被人类所认识，如果外星人
c a2 b2 12 22 5
《勾股定理》PPT(第3课时利用勾股定理作图和计算)
17.1 勾股定理
第3课时
利用勾股定理作图和计算
- .
知识要点
1.勾股定理与数轴、坐标系
2.勾股定理与网格
3.勾股定理与几何图形
新知导入
想一想：
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你
能在数轴上画出表示 13 的点吗？
如果能画出长为 13 的线段，就能在数轴上画出表示 13 的
2
2
2
D
∵ = 12 + 22 = 5，
CD
3
5
3 5
.
5
课程讲授
2
勾股定理与网格
归纳：1.勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放
在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.
2.网格中求格点三角形的高的题，常用的方法是利用网格
求面积，再用面积法求高.
课程讲授
3
勾股定理与几何图形
两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，
115.2
PH＝6，则长方形ABCD的面积为________．
课堂小
结
在数轴上表示出无理数
的点
利用勾股定理
作图或计算
在网格中利用勾股定理
解决问题
勾股定理在几何图形中
的应用
如图所示．作法：
解：
(1)在数轴上找出表示4的点A，则OA＝4；
(2)过A作直线l垂直于OA；
O
(3)在直线l上取点B，使AB＝1；
(4)以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与
数轴的交点C即为表示
B
17 的点．
0
1 2
•
3 4
人教版八年级数学下册《勾股定理》PPT精品教学课件
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 13 的点.
0
1 2
•
3 4
新知导入
想一想：
2， 3， 5 …的线段(图1).
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平
方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，
则b的面积为( D )
A．16
B．12
C．9
D．7
随堂练习
64 cm²
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.
角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式
S1 S 2 S3
是_______________.(用图中字母表示)
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及
正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图
形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了
第17章勾股定理
勾股定理：勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
几何语言：在Rt△ABC中，若∠C=90°，则a2+b2=c2。
直角边：a、b斜边：c运算结果：写成最简二次根式的形式1能开方的必须开方2根号里不含分母，分母里不含根号勾股定理的证明：等面积法赵爽外弦图邹元治内弦图总统证法一副三角板勾股定理的应用1设未知数x2用x表示三角形中相关边3根据题意列方程直角边与斜边未定分类讨论1．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值为（）A．3B．25C．23D．25或23 x斜边x直角边美丽的勾股树1．如图是一株美丽的勾股树，其中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B的面积分别为5、3，则最大正方形C的面积是（）A．15B．13C．11D．82．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．2022B．2021C．2020D．13．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（）A．16B．25C．144D．1694．图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为（）A．B．C．D．两直角边的正多边形的面积和=斜边正多边形的面积5．如图，以直角三角形的三边为边，分别向直角三角形外部作等边三角形，三个等边三角形的面积分别为S1，S2，S3．则它们满足的数量关系为．尺规画实数：1．小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝1；再以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，那么点P表示的数是（）A．2.2B．5C．1+2D．62．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的正半轴于点C，则点C的横坐标介于（）A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间注意起点和方向3．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（）A．﹣1−5B．1−5C．−5D．﹣1+5注意起点和方向4.尺规作图：在数轴上分别作出表示17，20，−41的点先把被开方数拆成两个完全平方数之和17=1+1620=4+1641=16+25确定两直角边连接斜边以o为圆心，斜边为半径画弧等面积法：求斜边高ch=ab斜边高：h=ab÷c2．已知：如图，△ABC中，AB＝4，∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，求△ABC 的面积．等腰直角三角形：�：�：�含30°角的直角三角形�：�：�方程的思想：设未知数，根据等量关系列方程1．如图，A，B，H是直线上的三个点，AC⊥l于点A，BD⊥l于点B，HC＝HD，AB＝5，AC＝2，BD＝3，求AH的长．3．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD，（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）若AB＝21，AD＝9，BC＝CD＝10，求AC的长．1.如图，把两个边长为1的小正方形沿着对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．（1）图2中A、B两点表示的数分别为，；（2）请你参考以上方法：①把图3中5×1的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形，在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长a ＝．（注：小正方形边长都是1，拼接不重叠也无空隙）②在①的基础上，参考图2的画法，在数轴上用M表示数a，图中标出必要线段长．2．阅读下列材料并回答问题．画一个直角三角形，使它的两条直角边分别是3和4，则我们可以量得直角三角形的斜边长为5，并且发现32+42＝52，事实上，在任何个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方．如果直角三角形中两直角边长分别为a，b斜边长为c，则a2+b2＝c2，这个结论就是著名的勾股定理．请利用这个结论完成下面的活动：（1）一个直角三角形的两条直角边分别为1，3，那么这个直角三角形的斜边长为．（2）一个直角三角形的两条边分别为2，3，那么这个直角三角形的另一边长为．（3）如图，在数轴上画一个直角三角形OBC，∠OCB＝90°，且两条直角边OC和BC的长分别是2和1，设原点为O，以O为原点，斜边长OB为半径画圆交数轴于点A，则线段AC的长度是．勾股定理的证明：等面积法：整体求法=局部面积和1．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．D完全平方公式勾股定理：勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
直角三角形-勾股定理1上海学
第 讲 勾股定理知识点睛1、勾股定理：如果直角三角形的两直角边上分别为a, b ，斜边长为c ，那么222a b c +=。
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的证明方法：法1（赵爽：内弦图）：甲的面积=（大正方形面积）-（4个直角三角形面积）．法2（赵爽：外弦图）：：四个直角三角形的面积和 +小正方形的面积 =大正方形的面积，222()ab a b c +-=，22222ab a ab b c +-+=，∴222a b c +=法3（美国第20任总统伽菲尔德的证法）：2111()()2222a b a b ab c ++=⨯+ 梯形面积=三个直角三角形的面积和22()2a b ab c +=+ 22222a ab b ab c ++=+∴222a b c +=法4（毕达哥拉斯的旋转证法）：若设AB=a ，BC=b ，DB=c ，则梯形A′B′BC 面积()()()21122S a b a b a b =++=+梯形ABBC ， 又"""2111222BCD A B D DBB S S S S ab c ab ∆∆∆=++=++""梯形A B BC ，所以()2211112222a b ab c ab +=++，则22222a b ab c ab ++=+，即222a b c +=。
甲c ccbababa cb acb acb aab ca bcb-ab-acc cc甲丙乙ab cabc法5（新娘图法）：用方格来验证勾股定理法6（欧几里得证法）：如图2-16所示．在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是c2，a2，b2．下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和．过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE．因为AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG，所以△ACE≌△AGB(SAS)．而所以 S AEML=b2，同理可证 S BLMD=a2．相加得S ABDE=S AEML+S BLMD=b2+a2，即 c2=a2+b2．法7：如图2-18．在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，延长CB，自E作EG⊥CB延长线于G，自D作DK⊥CB延长线于K，又作AF， DH分别垂直EG于F，H．由作图不难证明，下述各直角三角形均与Rt△ABC全等：△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB．设五边形ACKDE的面积为S，一方面S=S ABDE+2S△ABC，另一方面S=S ACGF+S HGKD+2S△ABC，相加得所以 c2=a2+b2．练习：用下面各图验证勾股定理(虚线代表辅助线)：（1）赵君卿图(图2-27)； (2)项名达图(2-28)； (3)杨作枚图(图2-29)．CBA3、由勾股定理的基本关系式222a b c +=，还可得到一些变形关系式如：22c a b =+，222()()a c b c b c b =-=+-，22a c b =-，222()()b c a c a c a =-=+-，22b c a =-等。
勾股定理例题详解
勾股定理经典例题详解知识点一：勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为：a,b,斜边长为c,那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．要点诠释：1勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理;2勾股定理只适用于直角三角形,而不适用于锐角三角形和钝角三角;3理解勾股定理的一些变式：c2=a2+b2, a2=c2-b2, b2=c2-a2 , c2=a+b2-2ab知识点二：用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形;图1中,所以;方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图2所示的正方形;图2中,所以;方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图3—1和3—2所示的两个形状相同的正方形;在3—1中,甲的面积=大正方形面积—4个直角三角形面积,在3—2中,乙和丙的面积和=大正方形面积—4个直角三角形面积,所以,甲的面积=乙和丙的面积和,即：.方法四：如图4所示,将两个直角三角形拼成直角梯形;,所以;知识点三：勾股定理的作用1．已知直角三角形的两条边长求第三边；2．已知直角三角形的一条边,求另两边的关系；3．用于证明平方关系的问题； 4．利用勾股定理,作出长为的线段;2. 在理解的基础上熟悉下列勾股数满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数,称为勾股数又称为高数或毕达哥拉斯数,显然,以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形;熟悉下列勾股数,对解题是会有帮助的：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41．如果a,b,c是勾股数,当t>0时,以at,bt,ct为三角形的三边长,此三角形必为直角三角形;经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中,∠C=90°1已知a=6, c=10,求b, 2已知a=40,b=9,求c；3已知c=25,b=15,求a.思路点拨:写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用;解析：1 在△ABC中,∠C=90°,a=6,c=10,b=2 在△ABC中,∠C=90°,a=40,b=9,c=3 在△ABC中,∠C=90°,c=25,b=15,a=总结升华：有一些题目的图形较复杂,但中心思想还是化为直角三角形来解决;如：不规则图形的面积,可转化为特殊图形求解,本题通过将图形转化为直角三角形的方法,把四边形面积转化为三角形面积之差或和;举一反三变式:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少答案∵∠ACD=90°AD=13, CD=12∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得AB2=AC2－BC2=52－32=16∴AB= 4∴AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图,已知：在中,,,. 求：BC的长.思路点拨：由条件,想到构造含角的直角三角形,为此作于D,则有,,再由勾股定理计算出AD、DC的长,进而求出BC的长.解析：作于D,则因,∴的两个锐角互余∴在中,如果一个锐角等于,那么它所对的直角边等于斜边的一半.根据勾股定理,在中,.根据勾股定理,在中,.∴.总结升华：利用勾股定理计算线段的长,是勾股定理的一个重要应用. 当题目中没有垂直条件时,也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理.举一反三变式1如图,已知：,,于P. 求证：.思路点拨: 图中已有两个直角三角形,但是还没有以BP为边的直角三角形. 因此,我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形. 所以连结BM. 这样,实际上就得到了4个直角三角形. 那么根据勾股定理,可证明这几条线段的平方之间的关系.解析：连结BM,根据勾股定理,在中,.而在中,则根据勾股定理有.∴又∵已知,∴.在中,根据勾股定理有,∴.变式2已知：如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2;求：四边形ABCD的面积;分析：如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结AC,或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单;解析：延长AD、BC交于E;∵∠A=∠60°,∠B=90°,∴∠E=30°;∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE==;∵DE2= CE2-CD2=42-22=12,∴DE==;∴S四边形ABCD =S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=类型三：勾股定理的实际应用一用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60°方向走了到达B点,然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点;1求A、C两点之间的距离;2确定目的地C在营地A的什么方向;思路点拨：把实际问题中的角度转化为图形中的角度,利用勾股定理求解;解析：1过B点作BE米, CＨ＝０.６＋２.３＝２.９米＞２.５米．因此高度上有米的余量,所以卡车能通过厂门．二用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造,某地有四个村庄A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点,现计划在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图实线部分．请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线．思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短,通过利用勾股定理计算线路长,然后进行比较,得出结论．解析：设正方形的边长为1,则图1、图2中的总线路长分别为AB+BC+CD＝3,AB+BC+CD＝3图3中,在Rt△ABC中同理∴图3中的路线长为图4中,延长EF交BC于H,则FH⊥BC,BH＝CH由∠FBH＝及勾股定理得：EA＝ED＝FB＝FC＝∴EF＝1－2FH＝1－∴此图中总线路的长为4EA+EF＝3＞>∴图4的连接线路最短,即图4的架设方案最省电线．总结升华：在实际生产工作中,往往工程设计的方案比较多,需要运用所学的数学知识进行计算,比较从中选出最优设计．本题利用勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的性质．举一反三变式如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高ＡＢ为4cm,ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程．解：如图,在Rt△ＡＢＣ中,ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm, 根据勾股定理得提问：勾股定理∴ AC＝＝＝≈１０．７７cm勾股定理．答：最短路程约为１０．７７cm．类型四：利用勾股定理作长为的线段5、作长为、、的线段;思路点拨：由勾股定理得,直角边为1的等腰直角三角形,斜边长就等于,直角边为和1的直角三角形斜边长就是,类似地可作;作法：如图所示1作直角边为1单位长的等腰直角△ACB,使AB为斜边；2以AB为一条直角边,作另一直角边为1的直角;斜边为；3顺次这样做下去,最后做到直角三角形,这样斜边、、、的长度就是、、、;总结升华：1以上作法根据勾股定理均可证明是正确的；2取单位长时可自定;一般习惯用国际标准的单位,如1cm、1m等,我们作图时只要取定一个长为单位即可;举一反三变式在数轴上表示的点;解析：可以把看作是直角三角形的斜边,,为了有利于画图让其他两边的长为整数,而10又是9和1这两个完全平方数的和,得另外两边分别是3和1;作法：如图所示在数轴上找到A点,使OA=3,作AC⊥OA且截取AC=1,以OC为半径,以O为圆心做弧,弧与数轴的交点B即为;类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1．原命题：猫有四只脚．正确2．原命题：对顶角相等正确3．原命题：线段垂直平分线上的点,到这条线段两端距离相等．正确4．原命题：角平分线上的点,到这个角的两边距离相等．正确思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系;解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫不正确2. 逆命题：相等的角是对顶角不正确3. 逆命题：到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上．•正确4. 逆命题：到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上．正确总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备;7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断ΔABC 的形状;思路点拨：要判断ΔABC的形状,需要找到a、b、c的关系,而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有从该条件入手,解决问题;解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得：a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,∴ a-32+b-42+c-52=0;∵ a-32≥0, b-42≥0, c-52≥0;∴ a=3,b=4,c=5;∵ 32+42=52,∴ a2+b2=c2;由勾股定理的逆定理,得ΔABC是直角三角形;总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到;举一反三变式1四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积;答案：连结AC∵∠B=90°,AB=3,BC=4∴AC2=AB2+BC2=25勾股定理∴AC=5∵AC2+CD2=169,AD2=169∴AC2+CD2=AD2∴∠ACD=90°勾股定理逆定理变式2已知:△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2m,n为正整数,且m＞n,判断△ABC是否为直角三角形.分析:本题是利用勾股定理的的逆定理, 只要证明:a2+b2=c2即可证明：所以△ABC是直角三角形.变式3如图正方形ABCD,E为BC中点,F为AB上一点,且BF=AB;请问FE与DE是否垂直请说明;答案答：DE⊥EF;证明：设BF=a,则BE=EC=2a, AF=3a,AB=4a,∴ EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2;连接DF如图DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2;∴ DF2=EF2+DE2,∴ FE⊥DE;经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是3：4,斜边长是20,求此直角三角形的面积;思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度,求面积,可以先通过比值设未知数,再根据勾股定理列出方程,求出未知数的值进而求面积;解析：设此直角三角形两直角边分别是3x,4x,根据题意得：3x2+4x2＝202化简得x2＝16；∴直角三角形的面积＝×3x×4x＝6x2＝96总结升华：直角三角形边的有关计算中,常常要设未知数,然后用勾股定理列方程组求解;举一反三变式1等边三角形的边长为2,求它的面积;答案如图,等边△ABC,作AD⊥BC于D则：BD＝BC等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合∵AB＝AC＝BC＝2等边三角形各边都相等∴BD＝1在直角三角形ABD中,AB2＝AD2+BD2,即：AD2＝AB2－BD2＝4－1＝3∴AD＝＝BC·AD＝S△ABC注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a,则其面积为a;变式2直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积;答案设此直角三角形两直角边长分别是x,y,根据题意得：由1得：x+y＝7,x+y2＝49,x2+2xy+y2＝49 33－2,得：xy＝12∴直角三角形的面积是xy＝×12＝6cm2变式3若直角三角形的三边长分别是n+1,n+2,n+3,求n;思路点拨：首先要确定斜边最长的边长n+3,然后利用勾股定理列方程求解;解：此直角三角形的斜边长为n+3,由勾股定理可得：n+12+n+22＝n+32化简得：n2＝4∴n＝±2,但当n＝－2时,n+1＝－1<0,∴n＝2总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方,在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下,首先要先确定斜边,直角边;变式4以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是A、8,15,17B、4,5,6C、5,8,10D、8,39,40解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断,对数据较大的可以用c2＝a2+b2的变形：b2＝c2－a2＝c－ac+a来判断;例如：对于选择D,∵82≠40+39×40－39,∴以8,39,40为边长不能组成直角三角形;同理可以判断其它选项; 答案：A变式5四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积;解：连结AC∵∠B=90°,AB=3,BC=4∴AC2=AB2+BC2=25勾股定理∴AC=5∵AC2+CD2=169,AD2=169∴AC2+CD2=AD2∴∠ACD=90°勾股定理逆定理∴S四边形ABCD =S△ABC+S△ACD=AB·BC+AC·CD=36类型二：勾股定理的应用2、如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN＝30°,点A处有一所中学,AP＝160m;假设拖拉机行驶时,周围100m以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响请说明理由,如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒思路点拨：1要判断拖拉机的噪音是否影响学校A,实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响,大于100m则不受影响,故作垂线段AB并计算其长度;2要求出学校受影响的时间,实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程;因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校,行至哪一点后结束影响学校;解析：作AB⊥MN,垂足为B;在 RtΔABP中,∵∠ABP＝90°,∠APB＝30°, AP＝160,∴ AB＝AP＝80; 在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半∵点 A到直线MN的距离小于100m,∴这所中学会受到噪声的影响;如图,假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响,那么AC＝100m,由勾股定理得： BC2＝1002-802＝3600,∴ BC＝60;同理,拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响,那么,AD＝100m,BD＝60m,∴CD＝120m;拖拉机行驶的速度为 : 18km/h＝5m/st＝120m÷5m/s＝24s;答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时,学校会受到噪声影响,学校受影响的时间为24秒;总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理;举一反三变式1如图学校有一块长方形花园,有极少数人为了避开拐角而走“捷径”,在花园内走出了一条“路”;他们仅仅少走了__________步路假设2步为1m,却踩伤了花草;解析：他们原来走的路为3+4＝7m设走“捷径”的路长为xm,则故少走的路长为7－5＝2m又因为2步为1m,所以他们仅仅少走了4步路;答案4变式2如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格,它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形,这样的三角形称为单位正三角形;1直接写出单位正三角形的高与面积;2图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形平行四边形ABCD的面积是多少3求出图中线段AC的长可作辅助线;答案1单位正三角形的高为,面积是;2如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形,因此其面积;3过A作AK⊥BC于点K如图所示,则在Rt△ACK中,,,故类型三：数学思想方法一转化的思想方法我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,常常作垂线,构造直角三角形,将问题转化为直角三角形问题来解决．3、如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5．求线段EF的长;思路点拨：现已知BE、CF,要求EF,但这三条线段不在同一三角形中,所以关键是线段的转化,根据直角三角形的特征,三角形的中线有特殊的性质,不妨先连接AD．解：连接AD．因为∠BAC=90°,AB=AC．又因为AD为△ABC的中线,所以AD=DC=DB．AD⊥BC．且∠BAD=∠C=45°．因为∠EDA+∠ADF=90°．又因为∠CDF+∠ADF=90°．所以∠EDA=∠CDF．所以△AED≌△CFDASA．所以AE=FC=5．同理：AF=BE=12．在Rt△AEF中,根据勾股定理得：,所以EF=13;总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识;通过此题,我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时,应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解;二方程的思想方法4、如图所示,已知△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,,求、、的值;思路点拨：由,再找出、的关系即可求出和的值;解：在Rt△ABC中,∠A=60°,∠B=90°-∠A=30°,则,由勾股定理,得;因为,所以,,,;总结升华：在直角三角形中,30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半;举一反三：变式如图所示,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求EF的长;解：因为△ADE与△AFE关于AE对称,所以AD=AF,DE=EF;因为四边形ABCD是矩形,所以∠B=∠C=90°,在Rt△ABF中, AF=AD=BC=10cm,AB=8cm,所以; 所以;设,则;在Rt△ECF中,,即,解得;即EF的长为5cm;。
勾股定理的作图及典型计算(课件)八年级数学下册(人教版)
B. 5
C. 7
D. 9
2.如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均
为格点，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交网格线于点D，则CD的长为
( D)
1
A.
2
1
B.
3
C. 3
D.2- 3
3.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(-4,3),以点B(-1，0)为圆心，
三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=2+ 3; 将位置
②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3， 此时AP3=3+ 3;
.......按此规律继续旋转，直至得到点P2050为止，则AP2050等于( C )
A.2049+683 3
B.2050+683 3
C.2051+683 3
AD=4, AB=8，则DE的长为_______.
5
7.如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，画出一个三
角形的长分别为 2， 3， 17.
解:如图所示，△ABC为所求.
8.在数轴上作出表示 5， 10的点.
解:如图所示，点C表示 5，点D表示 10.
9.如图，将长方形纸片沿直线折叠，使点C落在边的中点 ′ 处，
是斜边长.
1.如图，点A表示的实数是（ D ）
A. 3
B. 5
C.- 3
D.- 5
2.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对
角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（ C ）
A.2
B. 5 − 1
C. 10 − 1
17.1.3利用勾股定理作图、计算3
问题2
2.若直角三角形的三边为6、8、x， 则x的长为 （ D） A.6 C.10 B.8 D.以上答案均不对
例1：已知等边三角形的边长为6,求它 的高和面积. A
⑴求它的高.
⑵求它的面积.
B D C
练习：1、 等边三角形的边长为12，
则它的高为______
例2：在Rt△ABC中,∠ACB=90°， AC=5,BC=3. A 求Rt△ABC斜边上的高．
A
1m B D
2m
C
解：在Rt△ ABC中，∠B=90°,由勾股定理可知：
AC AB2 BC 2 12 22 5
想一想：
练习：小丁的妈妈买了一部34英 寸（86厘米）的电视机。小丁量 50 了电视机的屏幕后，发现屏幕只 有70厘米长和50厘米宽，他觉得 一定是售货员搞错了。你能解释 这是为什么吗？
课堂练习
• 1．△ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,则 BC= ，S△ABC= 。 • 2．△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，AC=cm，则 ∠A= 度，∠B= 度,∠C= 度， BC= ，S△ABC= 。 • 3．△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC= 2 3 ， CD⊥AB于D，则AC= ，CD= ， • BD= ，AD= ,S△ABC= 。 • 4．已知：如图，△ABC中，AB=26，BC=25， A AC=17， 求S△ABC。
D
C 练习：2.直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘 米，那么斜边上的高是（ ） A、6厘米 B、 8厘米 C、 80/13厘米； D、 60/13厘米；
B
例3：已知：在Rt△ABC中， ∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60 °， C 3 CD= ， 求线段AB的长。