中外数学史第16章

第五节
韦达与符号代数
韦达（1540-1603），法国16世纪影响最大的数学家，研究领域主 要包括方程理论、符号代数、三角学及几何学等，他的著作主要有： 《三角学的数学基础》（1579）、《分析方法引论》（1591）、《几何 补编》（1615）。 一、符号代数 符号代数的发展历史，可分为三个阶段： 第一阶段，公元3世纪之前，对问题的解不用缩写和符号，而是写 成一篇论文，称为文字叙述代数。 第二阶段，3世纪-16世纪，对某些较常见的量和运算采用了所写的 方法，称为简化代数。 第三阶段，16世纪以后，对问题的解多半表现为由符号组成的数学 速记，这些符号与所表现的内容没有什么明显的联系，称为符号代数。 16世纪末，由韦达开创的符号代数，经笛卡尔改进后成为现代的形 式。用字母表示数标志着代数从算术脱胎而出，成为一门独立学科。
《分析方法引论》被公认是一部最早使用符号的代数著作。在这部著 作中，韦达不仅用字母来表示未知量和未知量的幂，而且还用来表示 一般的系数。通常用辅音字母表示已知量，用元音字母表示未知量， 用拉丁字母表示各次方幂。韦达把他的符号化代数称为“类算术”以 区别于其他算术。然而当时的大多数数学家并没有体会到符号体系对 代数发展的作用，随着数学面临的问题日益复杂，才使得他们对韦达 的工作有了深刻的认识，经由后来数学家的完善，特别是解析几何的 创始人笛卡尔（1596-1650）对韦达使用字母的方法进行了改进，用排 在英文字母表前面的字母表示已知量，用表末的字母表示未知量等， 与现在写法基本相同。 韦达有意识的引入了代数符号，使得代数成为研究对象更具有广 泛意义的独立数学分支，真正的符号代数才应运而生，韦达无愧于 “符号代数之父”的称呼。
意大利修道士帕西奥利（1454-1514）1494年的著作《算术、几何及 比例性质摘要》里认为：求解方程 x 3 mx n 与 x 3 n mx 与化圆为方一样 是不可解的。 1515年，波伦大学的教授费罗（1465-1526）用代数方法求出了三次 方程 x 3 mx n 的解，他的这个秘密透露给他的学生菲奥。 威尼斯数学教授塔塔利亚（1499-1557）自夸他也发现了一种3次方程 x 3 bx2 d 的解法，在1535年，菲奥向塔塔利亚发起挑战，他提交的30个
1202年，他撰写了《算盘书》共15章，主要介绍算术和代数，内容 非常丰富，包括印度-阿拉伯数码的读法与写法；整数与分数的计算； 平方根与立方根的求法；线性方程组和二次方程的解法。数学在实物交 易、合股、比例法和测量几何中的应用等。该书的流传为印度-阿拉伯 数码在欧洲的传播起了重要作用。 他的著作还有《实用几何》（1220），几何学和三角学问题；《平 方数书》（1225）二次丟番图方程等，是当时数论的名作。 一、“生兔子问题”——斐波那契数列的由来 假設一对小 兔子（雌雄各一），过一个月就成长为一对大兔子， 大兔子又过一个月就要生出一对雌雄各一的小兔子，小兔子过一个月又 长成一对大兔子，大兔子每过一个月都要生出一对雌雄各一的小兔子， 若照此生下去，且无死亡，问一年后应有多少对兔子？
方程全部属于那种类型的方程。例如，其中的一个问题是：一块蓝宝石 买了500金币，所得利润是其成本的立方根，求其利润是多少？在1535 年2月12日塔塔利亚发现了其解法，而菲奥却不能解出后一种类型的方 程，塔塔利亚大获全胜。竞赛的消息及3次方程的新解法不久传到了米 兰，其时，数学家卡尔达诺（1501-1576）写信给塔塔利亚请求告知解 法，卡尔达诺保守秘密的誓言打动了塔塔利亚，塔塔利亚用诗歌的形式 向卡尔达诺泄露了3种不同形式的3次方程的秘密。起初卡尔达诺保持了 自己的承诺，后来，卡尔达诺查阅了费罗当初的手稿，核实费罗是最早 的发现者，卡尔达诺便觉得不再对塔塔利亚有义务，于是在1545年，出 版了他的学术巨著《大术》，其中包括塔塔利亚教给他的方法，这激怒 了塔塔利亚，为了恢复自己的威望，他进行了另一场公开竞赛，这次是 和卡尔达诺的学生费拉里，但是他失败了。直到现在，3次方程的求解 公式仍被称为卡尔达诺公式。
三、三角学和几何学 韦达在三角学方面也有许多创造性的工作，《三角学的数学基础》 是早期论述三角学的著作之一。书中给出了许多三角函数表和造表方法， 首次给出了正切定律、钝角球面三角形的余弦定理，也给出了如何利用 6种三角函数解平面和球面三角形。由于文字比较晦涩，由后人整理汇 集编成《韦达文集》（1646）。 有积化和差、和差化积公式，半角公式等；提出了单角的正弦与n 倍角正弦的关系式等 a 《几何补编》中创造性地提出了无穷递缩等比数列的求和公式S 1 ; 1 q 求出π的近似值为：3.1415926535<π<3.1215926536 ；给出了π的首个 解析式。 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1
二、方程论和韦达定理 韦达改进了意大利数学家塔塔利亚、卡尔达诺和费拉里等人关于3、 4次方程的解法，利用变换消去方程的次高项，将2、3、4次方程的解 都用一般表达式给出，这就是所谓的公式解。在《有效的数值解法》 中，韦达给出了一种用逐步逼近求任意次幂代数方程近似根的方法。 1.关于三次方程 a y2 （1） x 3 3ax b 的独特解法，做代换 x 。 y （2）不可约三次方程y 3 py q 0 的解。 2.关于四次方程：x 4 px 2 qx r 0 。 韦达提出了四个揭示正是方程的根与系数关系之间的著名定理— —韦达定理。不过应当指出，韦达仅就2，3等几种特殊情况得出了结 论，并没有给出一般证明。事实上，这个定理的证明是笛卡尔在1637 年得出因式定理，高斯1797年证明了代数基本定理以后才给出的。
塔塔利亚发现的一元三次方程的解法。 费拉里发现的一元四次方程的解法。 费拉里（1522-1565），卡尔达诺的家仆和学生，后来成为助手。 费拉里的主要贡献是得到了4次代数方程的一般解法，记载于《大术》 中。（由于这种解法只是化归的原则，并不是公式解，所以在此不做 介绍。） 需要指出的是，虚数产生于解三次方程的需要，而不像中学数学 教材中所说的那样处于解二次方程的需要。
前12个月兔子数列表：
为了纪念提出兔子繁殖问题的斐波那契，将这个数列称为斐波那 契数列，斐波那契数列的各项，满足 F1 1, F2 1, Fn Fn1 Fn2 (n 2) 。 这个数列的每一项都叫斐波那契数。 二、斐波那契数列的性质（见教本214-216页）
第三节
穆勒与《三角全书》
16世纪里，代数学得到了发展。数学家发现了三次、四次方程的代 数解法，接受了负数并使用了虚数，得到推动了代数方程的研究和发展。 韦达的《分析方法引论》建立了抽象代数的符号，发现了“韦达定理”； 斯蒂文创设了小数改进了代数运算。
第二节
斐波那契与《算盘书》
斐波那契（约1170-约1250），13 世纪意大利著名的数学家，生于比萨， 他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为 外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔 及利亚地区，他因此得以在一个阿拉伯 老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、 叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究 数学，掌握了不同地区的商业算术体系。 他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理 论的欧洲人。
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中外数学史
聊城大学数学科学学院 房元霞 2012.11
第十六章 《九章算术》及其突出成就
第一节 概述
从5世纪中叶到15世纪文艺复兴的开始之前 ，在科学史和哲学史上 称为欧洲的中世纪。 从罗马帝国灭亡（476年）到11世纪这个时期称为欧洲的黑暗时代， 数学史没有什么成就。 12世纪，在数学史上是翻译者的世纪，是知识广泛传播的重要时期。 希腊和印度等地的数学，通过阿拉伯向西欧传播。 13世纪前期，欧洲各地兴建了一些历史上著名的大学，这个时期最 出色的数学家是意大利的斐波那契。 14世纪，数学少有建树，布雷德沃丁研究三角学，开始运用正切和 余切；奥雷斯姆第一次使用分数指数，还用坐标确定位置。 15世纪，欧洲开始了文艺复兴。在数学上最先发展起来的是透视法， 为射影几何的产生与发展奠定了基础。三角学获得了快速发展；1450年 前的三角学一般是指球面三角学，15世纪末到16世纪初建立起来的。穆 勒的名著《三角全书》是欧洲传播三角学的源泉；雷提库斯把三角函数 定义为直角三角形的边与边之比的第一人，并编制了正弦、正切、正割 三角函数表。

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四、韦达数学研究中的奇闻趣事
第四节
代数方程论及公式解法
16世纪最重要的数学成就要数意大利的数学家们关于3、4次方程解法 的研究。
16世纪，意大利的学术环境与现在不同。当时没有著作权，大学职位很不稳 定，由校方评议会定期更换。教授使评议会相信他值得继续保持他的职位的手段 之一是，赢取公开挑战。某一职位的两个竞争者需要互相解答对方的问题，除了 大学职位本身，可观的奖金通常也依赖于这种挑战的结果。这样一来，如果某一 教授对解决某些问题发现了新方法的话，保密便对他有利。他然后便可在定能胜 出的领域中向对方有把握地发问。
穆勒（1436-1476），德国数学家，出生于哥尼斯堡，在协助老师 翻译希腊数学著作的过程中对数学产生了浓厚的兴趣。穆勒在许多领域 都有建树，其中对三角学的贡献最为杰出。在1461-1464年间完成了 《三角全书》，并于1533年发表，成为欧洲第一部使三角学获得独立地 位的系统理论研究的著作。 《三角全书》共5卷，其中包括平面三角和球面三角。前2卷讲平面 三角学，其中讨论了确定三角形的问题；后3卷讲球面三角学，对球面 三角与平面三角的关系以及球面三角形的边角关系进行了系统的阐述。 穆勒编制了7位数的正弦表，后来还编制了一个5位数的正切函数表， 对三角函数表的编制工作推动很大。 穆勒通过自己的努力使三角学脱离了天文学而成为一个独立的数学 分支。