工科数学分析考试题

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工科数学分析期末试卷部分参考答案

六（17）．（本题满分 8 分）解 dy (t) ， d2 y (1 t)(t) (t) 3 ，
dx 2(1 t) dx2
4(1 t)3
4(1 t)
(1 t)(t) (t) 3(1 t)2 ，解得(t) C1(1 t) 3t(1 t) ，由(1) 6 ，得
C1
0
，于是 (t )
3t (1
2
四（15）．（本题满分 8 分）解 A
2
x(1
sin
x)dx
2
1，
0
8
V
2
(
x2
x2
sin
2
x)dxΒιβλιοθήκη 2x2 (1cos 2x)dx
4
2
0
20
48 8
五（16）．（本题满分 7 分）解 y C1ex C2e2x x(x 2)ex ，由 y(0) 0 ，
y(0) 0 ，得 C1 2 ， C2 2 ， y 2ex 2e2x x(x 2)ex .
一点 [a,b]，使得 F ( )
b
f (x)dx ，此即
b f (x)dx M ( a) m(b ) .
a
a
共2页
第2页
10-11-2 高数 AB 期末（ A）卷参考答案及评分标准
一。填空题(本题共 9 小题，每小题 4 分，满分 36 分)
1． eab ；2． y x 1；3． y 2x ；4． 6 ；5． 2n (n 1)!；6． 1；7． 4 ； 8． 2 ；9． xy 1.
3
二．(本题共 4 小题，每小题 7 分,满分 28 分)
t)
， (t )
t3
3 2
t2
C2

大学工科数学分析期中考试___试题及答案

20XX年复习资料大学复习资料专业：班级：科目老师：日期：一、客观题（每题4分，共40分）1. 曲线⎩⎨⎧==21yx xyz 在点)1,1,1(处切线的的参数方程为 .2. 设函数(,)z z x y =由方程2222(,)0F x y y z --=所确定，其中(,)F u v 是可微函数，且0v zF ≠，则z z yx x y ∂∂+=∂∂ . xy z3. 当 , , a b c ===时，抛物线2y ax bx c =++与正弦曲线sin y x=在点(,1)2π相切，并有相同的曲率.1,2a =-,2b π=21.8c π=-4.用柯西收敛原理叙述级数1n n a ∞=∑收敛的充分必要条件是 .；正项级数1n n a ∞=∑收敛的充分必要条件是 .（1）0ε∀>，0N ∃>，当n N >时，对p ∀∈，有1pn i i a ε+=<∑. （2）部分和数列有界.5. 函数)ln(22z y x u ++=在点)1 ,0 ,1(A 处沿A 点指向)2 ,2 ,3(-B 点的方向导数为21，在点)1 ,0 ,1(A 处的方向导数的最大值为22，最小值为22-.本题分数 40得分6. 曲面cos sin x u vy u v z av=⎧⎪=⎨⎪=⎩当1,4u v π==时的切平面方程为 .20x y +=7. 设zy xu =，则=∂∂)2,2,3(yu（）（ C ）（A ）3ln 4 （B ）3ln 8 （C ）3ln 324 （D ）3ln 1628. 旋转曲面2221499x y z ++=是（）（B ）（A ）xOy 平面上椭圆22149x y +=绕Oy 轴旋转成的椭球面（B ）xOy 平面上椭圆22149x y +=绕Ox 轴旋转成的椭球面（C ）xOz 平面上椭圆22149x z +=绕Oz 轴旋转成的椭球面（D ）xOz 平面上椭圆22149x z +=绕Oy 轴旋转成的椭球面9. 设1,02()122,12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，01()cos ,2n n a S x a n x x π∞==+-∞<<+∞∑，其中102()cos ,(0,1,2,.....)n a f x n xdx n π==⎰ ，则5()2S -=（）（A ）（A ）34 （B ）34- （C ）12 （D ）12-20XXXX.下列结论正确的是（）（C ）（A ）若级数1n n a ∞=∑和1n n b ∞=∑均为发散，则级数()1n n n b a ∞=+∑必为发散（B ）p -级数11p n n ∞=∑当1p >时收敛，现在因为111n +>，所以级数1111n nn ∞+=∑收敛（C ）若1lim 1n n nu r u +→∞=>，则1n n u ∞=∑必发散（D ）若1,1,2n n u u n +<=且lim 0n n u →∞=，则1n n u ∞=∑收敛，其和1S u ≤二、解答题（共60分）11. （8分）设),(),,(y x g y x f 有连续的二阶偏导数，令2(,(,))z f x g x x =，求22d d zx.12. （8分）设直线0:30x y b l x ay z ++=⎧⎨+--=⎩在平面π上且平面π又与曲面22z x y =+相切于点(1,2,5)-，求,a b 的值.解：曲面22z x y =+的法向量为()2,2,1x y -，则平面方程为()()()214250x y z --+--=，即245x y z --=，于是直线的方向向量可取为()()()1,1,01,,11101,1,111i j ks a a a →=⨯-==---，由()2,4,10s →⋅--=可得5a =-，由直线方程知2430x y z b --+-=，故2b =-. 20XXXX. （20XXXX 分）求幂级数21112n+1n n x ∞=⎛⎫-⎪⎝⎭∑的收敛域与和函数()S x .解：令∑∞=+=121121)(n nx n x S ，∑∞==122)(n n x x S ，则 )()()(21x S x S x S -=，).1,1(-∈x 由于本题分数 60得分∑∞==122)(n nxx S =221x x -， )1,1(,1))((22121-∈-=='∑∞=x xx xx xS n n, 因此 ⎰-++-=-=xx xx dt tt x xS 022111ln 211)(，又由于 0)0(1=S ，故.0,1,0,11ln 211)(1=<⎪⎩⎪⎨⎧-++-=x x xx x x S 所以 )()()(21x S x S x S -=.0,1,0,1111ln 212=<⎪⎩⎪⎨⎧---+=x x x x xx20XXXX. （8分）已知ABCD 是等腰梯形，,,8,BC AD BC AD AB BC CD <++=∥ 求AB ，BC ，AD 的长，使该梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大.解：设, AB x AE y ==，则旋转体体积为22222222(,)()()(82)()(82)33F x y y x y x y x x y x y πππ=-+--=--+. 由0,0x y F F ==，得3,1x y ==. 故3,2,4AB BC AD ===. 也可以用条件极值做！15. （7分）证明：53275x y z xyz ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.证明：令a x y z =++，3(,,,)()F x y z xyz x y z a λλ=-++-，则3320, 0, 30, 0,x y z F yz F xz F xyz F x y z a λλλλ=-==-==-==++-=由上述解得：3,,555a a a x y z ===. 所以33553()27()27()55555a a a a x y z xyz ++≤==，即原不等式得证.16. （7分）证明函数()222222220(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0,0)连续且偏导数存在, 但偏导数在(0,0)不连续, 而f 在原点(0,0)可微. 解：由于221sin x y +有界，()2222(,)(0,0)lim 0x y x y x y→+=+，所以(,)f x y 在（0,0）连续. 同时220sinsin(0,0)0, (0,0)0x yx x y x y x f f →→===.可得222222222220(,)0,0x x x y f x y x y x y x yx y ⎧+≠⎪=+++⎨⎪+=⎩，显然(,)(0,0)lim (,)x x y f x y →不存在，故x f 在(0,0)不连续，同理y f 在(0,0)不连续. 又由于()22222222(,)(,)sinlim lim0x yx y x y xy xf yf x y x y x yx y→→+--++=++，所以f 在原点(0,0)可微. 20XXXX. （6分）讨论1(1)(1)nnn en∞=--∑的收敛性，若收敛是条件收还是绝对收敛. 解：条件收敛。

工科数学分析期末试卷

工科数学分析期末试卷1.(10分) 设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有二阶导数，且f(a)=f(b)=0。

证明：存在 $\\xi \\in (a,b)$，使得 $f''(\\xi)= -\\frac{4}{(b-a)^2}f(\\xi)$。

2.(15分) 求解微分方程初值问题：$$ \\begin{cases} y'' + 2y' + 5y = 0 \\\\ y(0) = 2 \\\\ y'(0) = -2\\end{cases} $$3.(15分) 计算 $\\int_{-\\infty}^{\\infty} \\frac{e^{-x^2}}{1+x^2} dx$。

4.(20分) 设 $\\{a_n\\}$，$\\{b_n\\}$ 均为正数数列，$\\lim_{n\\to \\infty} \\frac{a_{n+1}}{a_n} = a$，$\\lim_{n \\to \\infty}\\frac{b_{n+1}}{b_n} = b$，证明：$$ \\lim_{n \\to \\infty}\\frac{(a_1b_1)(a_2b_2)\\cdots(a_nb_n)}{(ab)^n} = 1 $$5.(20分) 设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有二阶导数，f(a)=f(b)=0，且f″(x)+k2f(x)=0，其中k>0。

证明：对任意$\\epsilon > 0$，存在 $0<\\delta \\leq \\frac{1}{2}(b-a)$，使得当$\\left|\\frac{h}{\\delta}\\right|<1$ 时，有$$ \\left|\\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2} - k^2f(x)\\right| <\\epsilon $$6.(20分) 计算 $\\int_{0}^{1} \\frac{\\ln(1+x)}{x} dx$。

工科数学分析期中考试试题及答案

第1页（共5页）一、填空题：填空题：1. 33()ln(1sin )arcsin ()f x x x =++在0x =处的导数(0)f ′= ；22.2. 2lim (100)x x x x →−∞++= ；50−3. 设(2)!!n n n a n n = ，则 1lim n n n a a +→∞= ；4e4. )1ln()(2x x f +=，已知000()()4lim 5h f x h f x h h →+−−=， =0x 5212±=5. 设2()sgn ,()1f x x g x x ==+，则[()]g f x = ,0lim [()]x g f x →= ；20[()]10x g f x x ≠⎧=⎨=⎩ 0lim [()]2x g f x →=6．若11()lim1x tt xx f x t −→−⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠，则()f x 的连续区间为 .11()x f x e−= 连续区间为1x ≠二、填空题：填空题：1．当0x →时，下列函数中，哪一个是其它三个的高阶无穷小( （C ） ) （A ） 1000x ；（B ）1cos x − ；（C ）4ln(1)x − （D ）arctan x2．若曲线2y x ax b =++和321y xy =−+在点(1,1)−处相切，其中a ,b 是常数,则（（D ））（A ）0, 2a b ==−；（B ）1, 3a b ==−；（C ）3, 1a b =−=；（D ）1, 1a b =−=−3. 设函数21sin ,0,()0,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,则正确的结果是（）（C）（A）f 在[0,1]上不一致连续；（B）f 在0x =处可导,处可导,0x =是'()f x 的连续点；（C）'()f x 在(,)−∞+∞上有界，0x =是'()f x 的第二类间断点；（D）因为0lim'()x f x →不存在，所以'(0)f 不存在4. 下列命题中正确的一个是（下列命题中正确的一个是（（D ））（A ）设s 是数集E 的上确界，则s 必是数集E 中最大的数；中最大的数；（B ）若有界数列{}n a 中有一个子列收敛，则{}n a 必是收敛的数列；必是收敛的数列；（C ）数列{}n a 有唯一的极限点，则{}n a 必是收敛的数列；必是收敛的数列；（D ）设数列{}n a 单调递增，{}n b 单调递减，且n n a b ≤，n N +∈，则对,m n N +∀∈， n m a b ≤成立.三、计算题三、计算题1．()()23tan sin lim 1tan 111xx xx x →−+−+− .02tan sin lim 11tan 32x x x x x →−=⋅333001sin (1cos )26lim 6lim 3cos x x x x x x x x →→−===⋅2. 若2ln y x x =，求()()n y x . 3()(2)22ln (2ln 1)2ln 3(1)(3)!(2ln 3)2n n n n y x x x x x y x n yx x −−−′=+=+′′=+−−=+=3．设 ()()()x f t y tf t f t =⎧⎨=−⎩，其中()f t ′′存在，且()f t ′不为零，求22dxy d .(1)()()()dy t f t f t dx f t ′−+=′ 22(1)()()(1)()()()()d y d t f t f t d t f t f t dtdx dx f t dt f t dx′′−+−+==⋅′′ 232()()()()f t f t f t f t ′′′−=′4．求函数11()tan ()()xxe e xf x x e e +=−在区间[-π, π]内的间断点,并判断其类型.并判断其类型.间断点：0x =，1x =，2x π=±11110()tan ()tan (00)lim 1,(00)lim 1()()xxx x xxe e xe e xf f x e e x e e ++→→+++==−==−−−1111()tan lim ()lim ,()xx xxe e xf x x e e →→+==∞−1122()tan lim ()lim .()x x x x e e xf x x e e ππ→±→±+==∞−5．确定,a b 的值，使函数21cos ,0,0,0,()ln(),0ax x xx f x b x x x −⎧<⎪==⎨⎪+⎪>⎩在(,)−∞+∞内处处可导，并求它的导函数.并求它的导函数.因20ln()(00)lim (0)0x b x f f x +→++===，所以，20lim ln()0x b x +→+=，则1b = 22222sin 1cos ,0,()2ln(1)1,0ax ax ax x x f x x x x x x −+⎧<⎪⎪⎪′=⎨⎪−+⎪+>⎪⎩222200ln(1)1cos 1(0)lim 1(0)lim 2x x x ax f f a x x +−+−→→+−′′==== 由(0)(0)f f +−′′=，2a =± (0)1f ′=四、证明题四、证明题1.设可导函数()f x 对任意实数12,x x 恒有121221()()()x x f x x e f x e f x +=+，且(0)2f ′=，证明：()()2xf x f x e ′=+.00120(00)(0)(0)(0)0x x f e f e f f ==⇒+=+⇒= 12,x x x x ==∆⇒()()()()()[()(0)](1)()x x xx f x x f x e f x e f x f x e f x f e f x x x x∆∆+∆−∆+−∆−+−==∆∆∆ 00()()()()()()lim lim x x x x f x x f x e f x e f x f x f x x x∆∆→∆→+∆−∆+−′==∆∆ 0[()(0)](1)()lim (0)()x x x x e f x f e f x e f f x x∆∆→∆−+−′==+∆2．根据柯西收敛原理，叙述{}na 发散的充要条件，并应用它证明数列111123n a n ααα=++++ 当1α≤时发散． {}n a 发散000,,,n n p n N p N a a εε+++⇔∃>∀∈∃∈∂−>= 1111(1)()1n n p pa a n n p n n p n p αα+−=++≥++≥+++++∵011,,,22n n p n N p n aa ε++∴∃=∀∈∃=−>={}n a 发散000,,,n m n N m N a a εε++⇔∃>∀∈∃∈∂−>=3．设数列{}n x 满足条件10x >，121(2),(1,2,...)3n nn a x x n x +=+=，其中0a >为常数，证明lim n n x →+∞存在，并求出极限值．3121(2),(1,2,...){}3n n n n a x x a n x x +=+≥=∴∵有下界又 131(2)1,(1,2,...)3n n nx a n x x +=+≤=∵ 1,(1,2,...)n n x x n +∴≤=故lim n n x →+∞存在。

工科数学分析试卷+答案

工科数学分析试题卷及答案考试形式（闭卷）：闭答题时间：150 （分钟）本卷面成绩占课程成绩 80 %一、填空题（每题2分，共20分）1．---→xx x x sin 11lim 30 3-2．若⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0,0,13sin )(2x a x xe x xf ax 在0=x 处连续，则a 3- 3．设01lim 23=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→b ax x x x ，则 =a 1 ， =b 0 4．用《δε-》语言叙述函数极限R U ⊂∈=→)(,)(lim 0x x A x f x x 的定义： εδδε)()()(:000A x f x x ∈→∈∀>∍>∀U 5．若当)1(,023+++-→cx bx ax e x x是3x 的高阶无穷小，则=a61=b21=c 1 6．设N ∈=--→n x x x f x f nx x ,1)()()(lim2000，则在0x x =处函数)(x f 取得何种极值？答：极小值姓名: 班级：学号：遵守考试纪律注意行为规范7．设x x y +=，则dydx x)211(+⋅8．设x x y sin =，则=dy dx xxx x xx)sin ln (cos sin +9．⎰=+dx x x 21arctan C x +2arctan 21 10．⎰=+dx ee xx12 C e e x x ++-)1l n ( 二、选择题：（每题2分，共20分）1．设0,2)1()1l n (2s i n2t a n li m 2222≠+=-+-+-→c a e d x c xb x a x x ，则必有（ D ）（A ）d b 4=；（B ）c a 4-=；（C ）d b 4-=；（D ）c a 2-= 2．设9320:0<<>k x ，则方程112=+x kx 的根的个数为（ B ）（A ）1 ；（B ） 2 ；（C ） 3 ；（D ）03．设)(x f 连续，且0)0(>'f ，则存在0>δ使得（ A ）（A ）)(x f 在),0(δ内单增；（B ）对),0(δ∈∀x 有)0()(f x f >；（C ）对)0,(δ-∈∀有)0()(f x f >；（D ）)(x f 在)0,(δ-内单减。

大学工科数学分析期末考试___29(答案)B

20XX年复习资料大学复习资料专业：班级：科目老师：日期：一、填空题1. 1,2a b ==； 2．0； 3．023 0(cos ,sin )d f d πϕρϕρϕρρ⎰⎰；4．21223(cos sin )t t x C e C e C t C t =++； 5．24()t f t π；6．22(,)2f x y x y =-+二、选择题（B ）（C ）（B ） (D)三、 1 解：21)('f x f xz+=∂∂ϕ，………………… (4分)2212112)(']1)(')('[)('f y f y x f x yx zψψϕϕ+-+-=∂∂∂………………… (7分) 2解：添加辅助线段BA ：1=y ，11 :-→x ，则BA C +构成正向封闭曲线. xy e P y 12-=，y xe Q y cos -=，x e y P y 12-=∂∂，y e xQ =∂∂，x y P x Q 12=∂∂-∂∂，…..…(3分)⎰⎰--+-=+BABAC y y dy y xe dx xy e I )cos ()12(………………… (5分) 11112(12)01Dxdxdy e x dx ex--=--=-⎰⎰⎰………………… (8分)2e =.………………… (9分)3解：记1,4:221=≤+z y x S ，并取下侧．……………… (2分) 根据高斯公式可得1122(()d d d d ()d d S S S I x z y z x z x y x x y +=--Λ+Λ++Λ⎰⎰⎰⎰2()VDdv y x dxdy =-+⎰⎰⎰⎰⎰……………… (5分)=5 1()D z dz dxdy ⎰⎰⎰2222 00sin 8412d d πθρθρρπππ+=+=⎰⎰．……………… (9分)四、解：在点P 处沿该切线方向的曲线切线方程：1191161--=-=-z y x ，………………… (5分)22(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)(,2,3)(0,1,4)21)2132u y yz xy xz z xy u u l ∇=----=-∂=∇-=∂…………………(20XXXX 分)五、解：解得特征根为210321===λλλ，， ……………… (3分)对应的特征向量是,021,122,201321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=r r r ……………… (9分)所以通解为：()X t =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022202122t tt t t e e e e e ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321c c c ． ………………… (11分)六、解：利用积分与路径无关的条件可得0)(21)(9)(2=+'-''x f x f x x f x ………… (4分)解得7231)(x C x C x f += ………… (7分)利用初始条件得⎩⎨⎧=+=+77312121C C C C ,所以120,1,C C ==7()f x x =………… (9分)(0,3)2(1,1)[()11()]32()B A x f x xf x dy f x ydx '--⎰(0,3)877(1,1)1432324B A x dy x ydx x dx =-+=-=⎰⎰………… (20XXXX 分)七、证明：由条件(,)(,)0xx yy f x y f x y +=，(,)0xy f x y ≠易得对D 内任意点(,)x y ，(,)(,)(,)(,)(,)xx xy f xy yy f x y f x y H x y f x y f x y ⎛⎫=⎪⎝⎭是不定的，………(4分)所以在D 内不存在极值点，故(,)z f x y =的最大值和最小值只能在D 的边界上取得…………………(6分)。

工科数学分析上学期AB卷期末考试题及答案2套

,考试作弊将带来严重后果！期末考试《工科数学分析》试卷A1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)；．考试形式：闭卷；5分，共10分）（1）)(lim 22x x x x x --++∞→ （2）xx x ln 1)(cot lim +→（10分）设1lim )(2212+++=-∞→n n n x bxax x x f 为连续函数, 试确定常数a 和b .（10分）设参数方程⎩⎨⎧=+=ty t x arctan )1ln(2确定了函数0)(>=x f y , 求x yd d 与22d d xy, 并判定函数)(x f 的单调性及凸性. （10分）造一个容积为V 的圆柱形无盖水池, 问高h 及底半径r为多少时, 可使其表面积最小? （10分）设0>x 时, 方程112=+xkx 有且仅有一个解, 求k 的取值范围.（10分）计算下列积分（每小题5分，共10分）（1）⎰+x x x )1(d 3 （2）⎰-+226d )cos (sin ππx x x x七．（10分）设⎰+∞-=0d e x x I x n n (n 为正整数), 试建立数列}{n I 的递推公式, 并求n I 的值.八．（10分）求抛物线px y 22=在点),2(p p 处法线与抛物线围成的图形的面积.九.（10分）设函数)(x f 在),(+∞-∞上有二阶导数且0)(≥''x f , 如果A xx f x =→)(lim, 试证明对任意),(+∞-∞∈x , 有Ax x f ≥)(. 十．（10分）设01>x , )(211nn n x ax x +=+, 证明数列}{n x 收敛并求其极限.《工科数学分析》试卷A 答案一. （1）解：12lim)(lim 2222=-++=--++∞→+∞→xx x x xx x x x x x（2）解：)1)1sin (cot 1lim exp()ln cot ln lim exp()(cot lim 200ln 10xx x xx x x x x x -==+++→→→ e1)1exp()cos sin lim exp(0=-=-=+→x x x x二. 解: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=-+-=++<+=1|| ,/11 ,2/)1(1,2/)1(1|| ,)(2x x x b a x b a x bx ax x f , 由于)(x f 为连续函数, 故)1()1()1(f f f ==+-, )1()1()1(-=-=-+-f f f即1=+b a , 1-=-b a解之得.1 ,0==b a三. 解: t t t t x y 21)1/(2)1/(1d d 22=++=, 32222241)1/(2/121d d tt t t t x y +-=+-=. 因0)(>x f , 故0>t , 从而0d d >xy, 0d d 22<x y . 因此, 方程确定的函数)(x f y =单调增加且上凸.四. 解: 表面积2222r r V r rh S πππ+=+=, 令0222=+-='r rVS π, 得32/πV r =, 此时3/4πV h =. 因S 有唯一驻点, 由实际问题可知必有最小表面积, 故当32/πV r =, 3/4πV h =时, 表面积最小. 五. 解: 令11)(2-+=x kx x f , 则32)(xk x f -='. 0≤k 时, )(x f 在),0(+∞单调下降. 又+∞=+→)(lim 0x f x , -∞=+∞→)(lim x f x (0<k ), 1)(lim -=+∞→x f x (0=k )因此, 当0≤k 时, )(x f 在),0(+∞只有一个零点, 即原方程在),0(+∞内只有一个解. 当0>k 时, )(x f 有唯一驻点30/2k x =, 且)(x f 在),(0+∞x 与),0(0x 内分别单调增加和单调减少. 注意到此时+∞=+→)(lim 0x f x , +∞=+∞→)(lim x f x故当且仅当0)(0=x f 即392=k 时, 函数有且仅有一个零点, 即原方程在),0(+∞内有且仅有一个解. 六. 解: (1) 令6x t =, 于是Cx x C t t dt t dt t t t t dt t x x x +-=+-=+-=+=+=+⎰⎰⎰⎰)arctan (6 )arctan (6)111(616)1(6)1(d 662223253(2)⎰⎰⎰⎰-===+--202022226dcos 2d sin 2d sin d )cos (sin ππππππx x x x x x x x x x x x.2d cos 2cos 2202/0=+-=⎰ππx x x x 七. 因为101010d e 0d e |e d e -+∞--+∞--∞+-+∞-=+=+-==⎰⎰⎰n x n xn x n x n n nI x x n x nx x x x I于是容易知道1!I n I n =. 又因为1|e 0d e |e d e 001=-=+-==∞+-+∞-∞+-+∞-⎰⎰x x x xx x x x I , 故有!.n I n =八. 因p y y 22=', 故1|2=='=y py p x , 从而可知抛物线在点),2(p p 的法线方程为)2(p x p y --=-或y px -=23.除去切点外抛物线与法线的另一个交点坐标为)3,29(p p -, 所以所求图形的面积232316d )223(p y p y y p A pp =--=⎰-九. 0)(lim)(lim )0(0===→→x xx f x f f x x , A xx f x f x f f x x ==-='→→)(lim )0()(lim)0(00. 由泰勒公式, ),(+∞-∞∈∀x , 0≠x , 有Ax x f x f x f f x f ='≥''+'+=)0(!2)()0()0()(2ξ上式当0=x 时显然成立. 证毕.十. 单调增加（减少）有上界（下界）的数列必收敛. 下面我们证明数列}{n x 是单调减少有下界的数列. 由于a x ax x nn n =⋅≥+1 故数列}{n x 有下界. 此外, 因为1)11(21)1(2121=+≤+=+n n n x a x x 故数列}{n x 单调减少. 因此, 数列}{n x 收敛, 设其极限为A , 于是AaA x a x x A n n n n n +=+==∞→+∞→)(21limlim 1 解之得a A =（由极限保号性负根舍去）.,考试作弊将带来严重后果！期末考试《工科数学分析》试卷B1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)；．考试形式：闭卷；5分，共10分）（1）)2(lim 2x x x x -++∞→ （2）x x x +→0lim二．（10分）设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0 ,e 0,1sin )(x x xx x f x βα, 试根据α和β的值, 讨论)(x f 在0=x 处的连续性(包括左连续、右连续及间断点的类型).三．（10分）设方程22ln arctan y x x y +=确定函数)(x f y =, 求22d d x y .四．（10分）试确定数列}{n n 中的最大项.五．（10分）设0>a , 试讨论方程ax x =ln 实根的个数. 六．计算下列积分（每小题5分，共10分）（1）⎰+xx e1d （2）⎰-+22d )e (sin 4ππx x x x七．（10分）设⎰+∞-=0d e x x I x n n (n 为正整数), 试建立数列}{n I 的递推公式, 并求n I 的值.八．（10分）求抛物线x y 22=与直线21=x 所围成的图形绕直线1-=y 旋转而成的立体的体积.九.（10分）设函数)(x f 在]1,0[上二阶可导, a x f ≤|)(|, b x f ≤''|)(|,)1,0(∈c , 试证明22|)(|b a c f +≤'. 十．（10分）已知0>a , a x =1, n n x a x +=+1, 证明数列}{n x 收敛并求其极限.《工科数学分析》试卷B 答案一. （1）解：122lim)2(lim 22=++=-++∞→+∞→xx x x x x x x x（2）解：1)/1/1lim exp()/1ln lim exp()ln lim exp(lim 20000=-===++++→→→→xx x x x x x x x x x x 二. 解: )0(1)0(f f =+=-β. 当0>α时, 0)0(=+f ; 当0≤α时, )0(+f 不存在. 因此, 当0>α且1-=β时, 函数在0=x 处连续; 当0>α且1-≠β时, 函数在0=x 处左连续但又不连续, 0=x 为第一类间断点; 当0≤α时, 函数在0=x 处左连续, 0=x 为第二类间断点.三. 解: 方程两边关于x 求导得22222221)/(11yx y y x x y y x x y +'+=-'+ 整理得 yx yx x y -+=d d 于是, 322222)()(2)()1)(())(1(d d y x y x y x y y x y x y x y -+=-'-+--'+=. 四. 解: 令x x x f /1)(=, 0>x . 令0ln 1)(2/1=-='xxx x f x , 得e /1=x . 则在)/1,0(e 与),/1(+∞e 上)(x f 分别单调增加和单调减少. 从而33)/1(2<<e e因此,33为最大项.五. 解: 令ax x x f -=ln )(, 0>x . 解01)(=-='a xx f 得唯一驻点ax 1=. )(x f 在)/1,0(a 与),/1(+∞a 内分别单调增加和单调减少. 又由于-∞=+→)(lim 0x f x , -∞=+∞→)(lim x f x , 所以有如下结论:(1) 当e a /1>时, 0)/1(<a f , 原方程没有根; (2) 当e a /1=时, 0)/1(=a f , 原方程有一个根; (3) 当e a /1<时, 0)/1(>a f , 原方程有两个根六. (1)令1+=x e t , 则)1ln(2-=t x , 于是Cx e C e e C t t dt t t dt t t t e dxx x x x+--+=+++-+=++-=+--=-=+⎰⎰⎰)11ln(21111ln 11ln )1111(12112(2) ⎰⎰⎰⎰-===+--20202222dcos 2d sin 2d sin d )e (sin 4ππππππx x x x x x x x x x x x.2d cos 2cos 2202/0=+-=⎰ππx x x x 七. 因为1010100d e 0d e |e d e -+∞--+∞--∞+-+∞-=+=+-==⎰⎰⎰n x n xn x n x n n nI x x n x nx x x x I于是容易知道1!I n I n =. 又因为1|e 0d e |e d e 001=-=+-==∞+-+∞-∞+-+∞-⎰⎰x x x xx x x x I , 故有!.n I n = 八. 体积元素x x x dV πππ24)12()12(22=+--+=, 因此所求体积ππ342421==⎰dx x V九. 由泰勒公式21)0)((21)0)(()()0(c f c c f c f f -''+-'+=ξ, ),0(1c ∈ξ 22)1)((21)1)(()()1(c f c c f c f f -''+-'+=ξ, )1,(2c ∈ξ 两式相减得2122)(21)1)((21)()1()0(c f c f c f f f ξξ''--''+'=- 因此22])1[(212 |)(|21)1(|)(|21|)1(||)0(||)(|222122b a c c b a c f c f f f c f +≤+-+≤''+-''++≤'ξξ十. 单调增加（减少）有上界（下界）的数列必收敛. 下面我们证明数列}{n x 是单调增加有上界的数列. 显然, 12x x >, 假设1->n n x x , 则n n n n x x a x a x =+>+=-+11故数列}{n x 单调增加. 此外, 显然, 11+<a x , 假设1+<a x n , 则111+<++<+=+a a a x a x n n故数列}{n x 有上界. 因此, 数列}{n x 收敛, 设其极限为A , 于是A a x a x A n n n n +=+==∞→+∞→lim lim 1解之得2411aA ++-=（由极限保号性负根舍去）.。

工科数学分析基础题集

工科数学分析题集一、选择题1. 下列关于函数极限的定义，正确的是（）A. 对于任意给定的正数ε，存在正数δ，当 0 < |x - x₀| < δ时，|f(x) - L| < ε成立，则称函数 f(x) 在 x → x₀时的极限为 LB. 对于任意给定的正数ε，存在正数δ，当 |x - x₀| < δ时，|f(x) - L| < ε成立，则称函数 f(x) 在 x → x₀时的极限为 LC. 对于任意给定的正数ε，存在正数δ，当 0 < |x - x₀| < δ时，|f(x) - L| ≤ε成立，则称函数 f(x) 在 x → x₀时的极限为 LD. 对于任意给定的正数ε，存在正数δ，当 |x - x₀| < δ时，|f(x) - L| ≤ε成立，则称函数 f(x) 在 x → x₀时的极限为 L 答案：A解析：函数极限的精确定义为：对于任意给定的正数ε，存在正数δ，当 0 < |x - x₀| < δ时，|f(x) - L| < ε成立，则称函数 f(x) 在 x → x₀时的极限为 L。

2. 关于无穷小量的描述，正确的是（）A. 以零为极限的变量称为无穷小量B. 绝对值无限趋近于零的变量称为无穷小量C. 函数值无限趋近于零的变量称为无穷小量D. 当自变量趋于某个值时，函数值无限趋近于零的变量称为无穷小量答案：A解析：以零为极限的变量称为无穷小量。

3. 下列关于无穷大量的说法，错误的是（）A. 绝对值无限增大的变量称为无穷大量B. 当自变量趋于某个值时，函数值的绝对值无限增大的变量称为无穷大量C. 无穷大量一定是无界变量D. 无界变量一定是无穷大量答案：D解析：无界变量不一定是无穷大量，但无穷大量一定是无界变量。

4. 对于函数极限的性质，下列说法不正确的是（）A. 函数极限具有唯一性B. 函数极限具有局部有界性C. 函数极限具有局部保号性D. 函数极限具有可加性，即若 lim(x→x₀) f(x) 和 lim(x→x₀) g(x) 存在，则 lim(x→x₀) (f(x) + g(x)) = lim(x→x₀) f(x) + lim(x →x₀) g(x) 一定成立答案：D解析：函数极限具有唯一性、局部有界性、局部保号性。

工科数学分析(下)考试题(带答案)培训资料

工科数学分析（下）期末考试模拟试题姓名：___________得分: _________一、填空题（每小题3分，满分18分）1、设()xz y x z y x f ++=2,,，则()z y x f ,,在()1,0,1沿方向→→→→+-=k j i l 22的方向导数为_________.2.,,,-__________.222L L xdy ydx L x y=⎰+Ñ设为一条不过原点的光滑闭曲线且原点位于内部其走向为逆时针方向则曲线积分1,()cc x y x y ds +=+=⎰Ñ3.设曲线为则曲线积分 ___________4、微分方程2(3xy y)dx 0x dy +-=的通解为___________5、2sin(xy)(y)______________.y yF dx x=⎰的导数为 6、{,01,0x (x),2x e x f x ππππ--≤<≤≤==则其以为周期的傅里叶级数在点处收敛于_____________.二、计算下列各题（每小题6分，满分18分） 1. (1) 求极限lim0→→y x ()xy yx y x sin 11232+-(2) 220)(lim 22y x x y x y +→→2.设f ，g 为连续可微函数，()xy x f u ,=，()xy x g v +=，求xvx u ∂∂⋅∂∂（中间为乘号）.3..222V z x y z V +=设是由所围成的立体,求的体积.三、判断积数收敛性（每小题4分，共8分）1. ∑∞=1!.2n n n nn2.∑∞=-1!2)1(2n n nn四、（本小题8分）求向量场2(23)()(2)x z xz y y z =+-+++A i j k u r r r u r 穿过球面∑： 222(3)(1)(2)9x y z -+++-=流向外侧的通量；五、（本小题7分）2(1sin )cos ,(0,1)(0,1)y y lx e x dy e xdx l x A B +--=-⎰计算其中为半圆到的一段弧。

工科数学分析下册其中考试(修改)附参考答案

z xv yu 2 ; 代入①即得 2 x x y
z vy xu 2 . 代入②即得 2 y x y
y2 6.(1) z x f ( ) : x
2y f
y2 2y3 2 y f ( 2 ) 2 f x x
y2 (2) z f ( x ) : x
7.在第一卦限作椭球面
的切平面,
使其在三坐标轴上的截距的平方和最小, 并求切点.
x2 y2 z 2 解: 设 F ( x, y, z ) 2 2 2 1, 切点为 a b c 则切平面的法向量为 2 x0 2 y0 2 z0 n ( Fx , Fy , Fz ) , 2 , 2 2 M a b c 切平面方程
z u v v u y y y
1 u ln( x 2 y 2 ) 2
②
由 x eu cos v, y eu sin v , 得
y v arctan x

u x 2 , 2 x x y y x y 2
唯一驻点
c2 c2 z 2 2 2 0 Fz 2 z z c
由实际意义可知
为所求切点 .
利用行列式解出 du, dv ：
du
d x e u sin v d y e u cos v e u cos v e u sin v u u e sin v e cos v
e
u
cos v
e u sin v
e u sin v
e u cos v
z u v v u x x x ① u v z v u ② y y y
期中考试参考答案
1. 求过点( 2 , 1 , 3 ) 且与直线

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工科数学分析（下）期末考试模拟试题
姓名：___________ 得分: _________
一、填空题（每小题3分，满分18分）
1、设()xz y x z y x f ++=2
,,，则()z y x f ,,在()1,0,1沿方向→
→→→+-=k j i l 22的方向导数为
_________.
2.,,,-__________.222L L xdy ydx L x y
=⎰+Ñ设为一条不过原点的光滑闭曲线且原点位于内部其走向为逆时针方向则曲线
积分
1,()c
c x y x y ds +=+=⎰Ñ3.设曲线为则曲线积分 ___________
4、微分方程2
(3xy y)dx 0x dy +-=的通解为___________
5、2
sin(xy)
(y)______________.y y
F dx x
=
⎰
的导数为 6、
{
,01,0x (x),2x e x f x ππ
ππ--≤<≤≤=
=则其以为周期的傅里叶级数在点处收敛于
_____________.
二、计算下列各题（每小题6分，满分18分） 1. (1) 求极限lim
0→→y x ()xy y
x y x sin 1
12
3
2+-
(2) 2
20
)
(lim 22
0y x x y x y +→→
2.设f ，g 为连续可微函数，()xy x f u ,=，()xy x g v +=，求x
v
x u ∂∂⋅∂∂（中间为乘号）.
3..222V z x y z V +=设是由所围成的立体,求的体积.
三、判断积数收敛性（每小题4分，共8分）
1. ∑∞
=1!.2n n n n
n
2.∑∞
=-1
!2)1(2
n n n
n
四、（
本小题8分）求向量场2
(23)()(2)x z xz y y z =+-+++A i j k u r r r u r 穿过球面∑： 222(3)(1)(2)9x y z -+++-=流向外侧的通量；五、（本小题7分）
2(1sin )cos ,(0,1)
(0,1)y y l
x e x dy e xdx l x A B +--=-⎰计算其中为半圆到的一段弧。

六、（本小题8分）将函数2
31)(2
++=x x x f 展开成4+x 的幂级数.
(0)0,'()1(sin ()),()
0x
t f f x e t f t dt f x ==++-⎰七、(本小题9分)已知求
22
34
23(,)x y x dx dy u x y y y -+八、(本小题7分)验证是某个函数的全微分，并求出这个函数。

(y x,y z)0,G(xy,)0(y),z z(y),
z
F x x y --====九、(本小题7分)设方程组确定隐函数
其中F ，G 都具有一阶连续偏导数，求dx
dy
十、（本小题10分）求旋转椭球面14
2
2
2
=++z y x 在第一卦限部分上的点，使该点处的切平面在三个坐标轴上的截距平方和最小.
工科数学分析（下）期末考试题答案
一、1. 3
5
3. 4. x
e Cx y 1
3
-
-= 5.
32
3sin 2sin y y y -
6.1+2e π
二、1.（1）1
2-
（2）
|)ln(|4)(|)ln(|0222
222
2
2
2y x y x y x y x ++≤+≤，
又 0ln 4lim )ln(4
)(lim 202
22220
0==+++→→→t t y x y x t y x ，
∴ 1)
(lim )22ln(22)
0,0(),(lim 2
222
0==++→→→y x y x y x y x y x e
y x 。

2.()()'211g y yf f x
v
x u ++=∂∂⋅∂∂
三、1.解：11
11
)1(2lim )1()!1(2!
.2lim lim
-∞
→--∞→-∞→-=--=n n n n n n n n n
n n n n n n n u u 12)11(lim 21.<=-+=---∞→e n n n n n
由比值法，级数∑∞
=1!.2n n n n
n 收敛
2. 解： 12lim )!
1(2
!
2lim lim 12)1(122
>∞==-=-∞→-∞→-∞→n n n u u n n n n n n n n
由比值法，级数∑∞
=-1
!2)1(2
n n n
n 发散
四、108π（提示：高斯公式的应用）
五、103
六、解：设4+=x t 则4-=t x
1
1
21341)24(1)(---=+--+-=
t t t t x f
t t -+--
=112
121∑∑∞
=∞=+-=002)2(21n n n t t )2(<t 所以231)(2++=x x x f =∑∑∞=∞=+-=0
02)2(21n n n t t
七、解：，即)(sin )(x f x e x f x -+=''
x e x f x f x
sin )()(+=+'' 特征方程：.,012i r r ±==+
齐次方程通解为x C x C y sin cos 21+= 再考虑方程①的特解，设特解为
)sin cos (*x C x B x Ae y x
++= 代入方程①定出系数 0
,21
,21=-==C B A
于是
.cos 21
21*x x e y x -=
式的通解.
cos 21
21sin cos 21x x e x C x C y x -++=
将1
21
1)0(',0)0(21＝，＝－代入上式，得C C f f ==。

所求 .
cos 21
21cos 21sin )(x x e x x x f x -+-= 231
(,)1
x u x y y y =-+八、
1221221221111
[(1)]/[]
dx z FG xF G F G FG yF G dy y y y y =++--九、
十、设所取的点为()z y x M ,,，在点M 处切平面的法向量为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
2,2,2z y x ，切平面方程为
()()()02
22=-+
-+-z Z z
y Y y x X x ，即 14
=++Z z yY xX （考虑到1422
2=++z y x ）此平面在三个坐标轴上的截距分别为：
x 1，y 1，z
4 问题即为求()z y x ,,，使得函数()2221611,,z y x z y x F ++=在条件⎪⎩
⎪⎨⎧>>>=+
+0
,0,014
222z y x z y x 下求极值令 ()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+++++=141611,,,22
2222z y x z y x z y x G λλ 则 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎧=-++==+-==+-==+-
=0
140220
22
022
22
2'
2'2'
2'
z y x G z z
G y y G x x G z y x λλλλ 解得 λ1822
2=
==z y x 代入约束条件得 14181812
=⎪⎭⎫
⎝
⎛++z 由 0,0,0>>>z y x 知 21=
=y x ，2=z ， ∴所求点为 ⎪⎭⎫
⎝⎛2,21,21M。