2.3.1直线与平面垂直的判定(高中数学人教版必修二)
解(证)题中的作用．
1. 已知：正方体中，AC是面对角线，
2.过ABC所在平面外一点P,作PO ,垂足
为O,连接PA, PB, PC. 1).若PA PB PC, C 900,则O是AB边的 _中_ 点. 2).若PA PB PC,则O是ABC的 __外___ 心. 3).若PA PB, PB PC, PC PA,则O是ABC 的 __垂___ 心.
答案：D
图 22
2－2.若斜线段 AB 是它在平面α内的射影长的 2 倍，则 AB
A1
D
A
C1 B1
C B
典型例题
例2、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直 线A1B和平面A1B1CD所成的角
D1
C1
A1
B1
O
D
C
A
B
解：连接BC1交B1C于点O, 连接A1O, A1B1 B1C1，A1B1 B1B,
\ A1B1 平面BCC1B1. \ A1B1 BC1, 又BC1 B1C, \ BC1 平面A1B1CD. \ A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影， BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角. 设正方体的棱长为a
我们说直线 l 与平面 互相垂直，记作 l ．
垂足
平面 的垂线
l
直线 l 的垂面
P
对定义的认识
①“任何”表示所有. ②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在 垂直时，直线与平面的交点叫做垂足.
③a 等价于对任意的直线m ，都有 a m.
利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时 也得到了线面垂直的最基本的性质.
解析：(1)如图 23，∵PO⊥平面 ABC， ∴PA 、PB、PC 在平面 ABC 上的射影分别是 OA、OB、OC. 又∵PA ＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC. ∴O 是△ ABC 的外心．
图 23
图 24
(2)如图 24，∵PO⊥平面 ABC，
∴PA 在平面 ABC 上的射影是 OA.
∵BC⊥PA ，∴BC⊥OA. 同理可证 AC⊥OB， ∴O是△ ABC 的垂心．故填垂心．
4－1.P 为△ABC 所在平面外一点，O 为 P 在平面 ABC 上的 射影．
(1)若 PA ＝PB＝PC，则 O 是△ABC 的__外__心_； (2)若 PA ⊥BC，PB⊥AC，则 O 是△ABC 的__垂__心_； (3)若 P 到△ABC 三边的距离相等，且 O 在△ABC 内部，则 O 是△ABC 的_内__心___； (4)若 PA 、PB、PC 两两互相垂直，则 O 是△ABC 的__垂__心_．
在RtA1BO中，A1B
2a, BO 2 a, 2
\
BO
1 2
A1B,
BA1O
30
.
直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30 .
例2：如图 4，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，求 A1B 与平 面 A1B1CD 所成的角．
图4 解：连接 BC1 交 B1C 于 O，连接 A1O，在正方体 ABCD－ A1B1C1D1 中各个面为正方形，设其棱长为 a.
例 3：如图 6，已知 PA ⊥⊙O 所在平面，AB 为⊙O 直径， C 是圆周上任一点，过 A 作 AE⊥PC 于 E，
求证：AE⊥平面 PBC.
证明：∵PA ⊥⊙O 所在平面，
BC⊂⊙O 所在平面，∴PA ⊥BC，
∵AB 为⊙O 直径， ∴AC⊥BC，
又 PA ∩AC＝A， ∴BC⊥平面 PAC，
BD′是与AC 异面的体对角线.求证：AC⊥BD′
D′
C′
A′
B′
D
C
A
B
证明：连接BD
∵正方体ABCD-A′B′C′D′
∴DD′⊥正方形ABCD
D′
∵AC、BD 为对角线∴AC⊥BD A′
∵DD′∩BD=D
∴AC⊥平面D′DB
D
且BD′⊂面D′DB A
∴AC⊥BD′
C′ B′
C B
几个概念
(1)自一点P向平面α引垂 线，垂足P/叫做点P在平 面α内的正射影(射影)
2.3.1直线与平面垂直的判定
实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出 几个吗？
旗杆与底面垂直
桥柱与水面的位置关系，给人以直线与平面垂直的形象.
思考1.阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子有何位
置关系.
A
1.旗杆所在的直线始终与
影子所在的直线垂直.
α
B
请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图所 示的试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD， 将翻折后的纸片竖起放置在桌上（BD、DC与桌面接触）.
根据直线与平面垂直的定义知
A
a m,a n.
m n
又因为 b // a
所以 b m,b n.
又 m ,n ,m,n 是两条相交直线，
所以 b .
练习：
1. 如图，在三棱锥 V ABC 中，VA= VC，AB=BC,
求证: VB ⊥AC.
V
.DΒιβλιοθήκη CA提示：找AC中点D,连接VD,BD B
(2)点P与垂足P/间的线段 叫点P到平面α的垂线段
(3)如果图形F上的所有点 在一平面内的射影构成图 形F/，则F/叫做图形F在 这个平面内的射影
斜线与斜线段
一条直线和一个平面相交， 但不和这个平面垂直，这条直 线叫这个平面的斜线，斜线和 平面的交点叫斜足，斜线上一 点和斜足间的线段叫这点到这 α 个平面的斜线段．
(3)如图 25，
图 25 P到△ ABC 三边的距离分别是 PD、PE、PF， 则 PD＝PE＝PF. ∵PO⊥平面 ABC，∴PD、PE、PF 在平面 ABC 上的射影 分别是 OD、OE、OF. ∴OD＝OE＝OF，且 OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC. ∴O是△ ABC 的内心，故填内心．
AA11BB11⊥ ⊥BB11CB1⇒BAC1B11⊂⊥平平面面BBCCCC11BB11 ⇒ AB1CB11⊥⊥BB1CC1⇒BC1⊥平面 A1B1CD ⇒A1O 为 A1B 在平面 A1B1CD 内的射影 ⇒∠BA1O 为 A1B 与平面 A1B1CD 所成的角． 在 Rt△A1BO 中，A1B＝ 2a，OB＝ 22a
平面外一点到这个 平面的垂线段有且只有 一条，而这点到这个平 面的斜线段有无数条
P
oa A
斜线在平面内的射影
从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线， 过垂足和斜足的直线叫斜线在这个平面内的射 影．垂足和斜足间的线段叫这点到平面的斜线 段在这个平面上的射影
AB
斜线和平面所成的角
平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所 成的夹角，叫做斜线和平面所成的角 (或斜线 和平面的夹角). 简称线面角
证明QPA PC,点O是AC的中点 B \PO AC
又QPB PD,点O是BD的中点 \PO BD 又Q AC BD O \ PO 平面 ABCD
P
A D
O C
P
3.如图，圆O所在一平面为 ，
AB是圆O 的直径，C 在圆周上,
且PA AC, PA AB,
求证：（1）PA BC
⇒ sin∠BA1O＝AO1BB＝12⇒∠BA1O＝30° ∠BA1O为锐角
⇒A1B 与平面 A1B1CD 所成的角为 30°.
求直线和平面所成的角时，应注意的问题 是：(1)先判断直线和平面的位置关系．(2)当直线和平面斜交时， 常有以下步骤：①作——作出或找到斜线与射影所成的角；② 证——论证所作或找到的角为所求的角；③算——常用解三角 形的方法求角；④结论——说明斜线和平面所成的角值．
l为一斜线，O为斜足， A为l上任一点，
AB , B为垂足
斜线和平面所成的角
1、直线和平面垂直<＝>直线和平面所成的角是 直角 直线和平面平行或在平面内<＝>直线和平面所 成的角是0°
2、直线与平面所成的角θ的取值范 围是：___0________
2
斜线与平面所成的角θ的取值范围 是：____0__________
(4)如图 26， ∵PO⊥平面 ABC， ∴OA 是 PA 在平面 ABC 上的射影． 又∵PA ⊥PB，PA ⊥PC， ∴PA ⊥平面 PBC. 又∵BC⊂平面 PBC，
∴PA ⊥BC.∴OA⊥BC. 同理可证 OB⊥AC. ∴O是△ ABC 的垂心．故填垂心．
图 26
直线与平面垂直的性质定理的简单应用
图6
又 AE⊂平面 PAC，∴BC⊥AE， ∵AE⊥PC, PC∩BC＝C，∴AE⊥平面 PBC.
典型例题
例1 如图，已知 a // b, a ，求证 b .
即：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一 条也垂直于同一个平面
证明：在平面 内作
两条相交直线m，n．
a
b
因为直线 a ，
2
线面所成的角 关键：过斜线上一点作平面的垂线
斜线
斜足
A α
射影
P
线面所成角 （锐角∠PAO）
O
1.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）A1C1与面ABCD所成的角 （2） A1C1与面BB1D1D所成的角
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角 45o D1
（4）A1C1与面ABC1D1所成的角
必修二：2.3.1 直线与平面垂直的判定
B
D
α B
D
C
A
B
D C
A
B
D
C
A
B
D C
A
B
D C
A
B
D C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B C
D
A
B
D C
结论
直线与平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线 与平面垂直。
关键点： (1)两条
(2)相交 (3)都垂直
简记法：线线垂直
关于垂直的结论： 1.若两条平行直线中的一条垂直于一条直线，则 另一条也垂直于这条直线。 2.若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则 另一条也垂直于这个平面. 3.若两个平行平面中的一个垂直于一条直线，则 另一个也垂直于这条直线。
小 测 试：
1、若l m, m , 则（ D ） A. l B. l和 不垂直 C. l / / D. 以上都不对 2、如果l和内的无数条直线垂直，那么（ 3、下列命题中正确的是（
平面 的垂线 垂足
l
直线l 的垂面
直线与平面的 一条边垂直
P
思考：
1.如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直线都 垂直，则直线 l和平面 α互相垂直（ × ）
2.b是平面α内任一直线,a⊥α，则a⊥b （√）
探究:
（1）如果平面外的一条直线和平面内的一条直线 垂直，能不能保证该直线垂直于此平面？
证明：连接BD,AC，BD与AC交于点O，
人教版高中数学必修二 第2章 2.3 2.3.1 直线与平面垂直的判定
2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定学习目标核心素养1.了解直线与平面垂直的定义．(重点)2.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．(难点)3.理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题．(易错点)1.通过学习直线与平面垂直的判定，提升直观想象、逻辑推理的数学素养.2.通过学习直线与平面所成的角，提升直观想象、数学运算的数学素养.1．直线与平面垂直定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直文字语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α图形语言3.直线和平面所成的角有关概念对应图形斜线与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线P A斜足斜线和平面的交点，图中点A射影过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线P A在平面α上的射影为AO直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角.规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角取值范围[0°，90°]有直线”“无数条直线”？[提示]定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直．1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABCC[由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.]2．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定B[一条直线和三角形的两边同时垂直，则其垂直于三角形所在平面，从而垂直第三边．]3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________．45°[如图所示，因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影，∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角．由题意知，∠B1AB＝45°，故所求角为45°.]直线与平面垂直的判定【例1】如图，在三棱锥S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.[证明](1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.又因为SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC，所以BD⊥平面SAC.证线面垂直的方法：(1)线线垂直证明线面垂直：①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直，也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．(2)平行转化法(利用推论)：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.如图，AB是圆O的直径，P A垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.求证：AN⊥平面PBM.[证明]设圆O所在的平面为α，∵P A⊥α，且BM⊂α，∴P A⊥BM.又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，∴AM⊥BM. 由于直线P A∩AM＝A，∴BM⊥平面P AM，而AN⊂平面P AM，∴BM⊥AN.∴AN与PM、BM两条相交直线互相垂直．故A N⊥平面PBM.直线与平面所成的角[探究问题]1．若图中的∠POA是斜线PO与平面α所成的角，则需具备哪些条件？[提示]需要P A⊥α，A为垂足，OA为斜线PO的射影，这样∠POA就是斜线PO与平面α所成的角．2．空间几何体中，确定线面角的关键是什么？[提示]在空间几何体中确定线面角时，过斜线上一点向平面作垂线，确定垂足位置是关键，垂足确定，则射影确定，线面角确定．【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．[证明](1)∵直线A1A⊥平面ABCD，∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，设A1A＝1，则AC＝2，∴tan∠A1CA＝2 2.(2)连接A1C1交B1D1于O(见题图)，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，在Rt △A 1BO 中，A 1O ＝12A 1C 1＝12A 1B ， ∴∠A 1BO＝30°，即A 1B 与平面BDD 1B 1所成的角为30°.在本例正方体中，若E 为棱AB 的中点，求直线B 1E 与平面BB 1D 1D所成角的正切值．[解] 连接AC 交BD 于点O ，过E 作EO 1∥AC 交BD 于点O 1，易证AC ⊥平面BB 1D 1D ，∴EO 1⊥平面BB 1D 1D ，∴B 1O 1是B 1E 在平面BB 1D 1D 内的射影， ∴∠EB 1O 1为B 1E 与平面BB 1D 1D 所成的角． 设正方体的棱长为a ， ∵E 是AB 的中点，EO 1∥AC ， ∴O 1是BO 的中点，∴EO 1＝12AO ＝12×2a 2＝2a4， B 1O 1＝BO 21＋BB 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 42＋a 2＝3a 22， ∴tan ∠EB 1O 1＝EO 1B 1O 1＝2a 43a 22＝13.求斜线与平面所成角的步骤：(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．1．线线垂直和线面垂直的相互转化：2．证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义．(2)线面垂直的判定定理．(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能()A．平行B．相交C．异面D．垂直A[若l∥m，l⊄α，m⊂α，则l∥α，这与已知l⊥α矛盾．所以直线l与m 不可能平行．]2．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是()A．垂直B．相交但不垂直C．平行D．不确定A[因为梯形两腰所在直线为两条相交直线，所以由线面垂直的判定定理知，直线与平面垂直．选A.]3．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°A[∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝12，即∠ABO＝60°. 故选A.]4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D. [证明]如图，连接AC，∴AC⊥BD，又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，AC，A1A⊂平面A1AC，∴BD⊥平面A1AC，∵A1C⊂平面A1AC，∴BD⊥A1C.同理可证BC1⊥A1C.又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1⊂平面BC1D，∴A1C⊥平面BC1D.。
高中数学人教A版必修第二册《空间直线、平面的垂直---直线与平面、平面与平面垂直的性质》名师课件
核心素养
逻辑推理
逻辑推理
学习目标
课程目标
1.理解直线和平面、平面和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.
2.通过对性质定理的理解和应用,培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．
数学学科素养
1.逻辑推理:探究归纳直线和平面、平面和平面垂直的性质定理,线线垂直、线面垂直、
变式训练
3.如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为a的菱形,且∠DAB＝60°,G为AD边
的中点,侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD.
(1)求证:BG⊥平面PAD;(2)求证:AD⊥PB.
证明
(1)因为在菱形ABCD中,G为AD的中点, ∠DAB＝60° ,所以BG⊥AD.
复习引入
直线与平面垂直的定义:
如果直线与平面内的任意一条直线都垂直,我们说直
线与平面互相垂直,记作 ⊥ .
直线与平面垂直的判定定理:
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平
面垂直.
复习引入
平面与平面垂直的定义
一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说
这两个平面互相垂直.
求证:(1)DE＝DA;(2)平面BDM⊥平面ECA;(3)平面DEA⊥平面ECA.
证明
(1)如图,取EC的中点F,连接DF.
因为EC⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以EC⊥BC.
易知DF//BC,所以DF⊥EC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中
因为EF= EC,EC=2BD,所以EF=BD.
又FD=BC=AB所以Rt△EFD≌Rt△DBA ,故DE=DA.
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD＝AD,所以BG⊥平面PAD.
人教A版 必修二 第2章 直线与平面垂直的判定
高中数学人教版必修2课件
2．根据线面垂直的定义知：线面垂直可以得到大量线线垂 直；由线面垂直的判定定理知：要得到线面垂直就需要线线垂 直．要深切体会线面垂直与线线垂直的相互转化．
3．定理：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一 点有且只有一个平面与已知直线垂直．
难点 直线与平面所成的角 斜线和平面所成的角，简称“线面角”，它是平面的斜线和 它在平面内的射影的夹角．求直线和平面所成的角，一般先定 斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简 述为“作(作出线面角)→证(证所作为所求)→求(解直角三角形)”． 通常，过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，并连接垂足和 斜足是产生线面角的关键．
⇒A1O 为 A1B 在平面 A1B1CD 内的射影
⇒∠BA1O 为 A1B 与平面 A1B1CD 所成的角．
在 Rt△A1BO 中，A1B＝
2a，OB＝
2 2a
⇒ sin∠BA1O＝AO1BB＝12⇒∠BA1O＝30° ∠BA1O为锐角
⇒A1BБайду номын сангаас与平面 A1B1CD 所成的角为 30°.
高中数学人教版必修2课件
图3 证明：在四棱锥 P－ABCD 中， ∵PA ⊥底面 ABCD，CD⊂平面 ABCD， ∴PA ⊥CD. 又∵AC⊥CD，PA ∩AC＝A. ∴CD⊥平面 PAC. 而 AE⊂平面 PAC，∴CD⊥AE.
高中数学人教版必修2课件
直线与平面所成的角 例2：如图 4，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，求 A1B 与平 面 A1B1CD 所成的角．
A．SG⊥平面 EFG
B．SD⊥平面 EFG
C．GF⊥平面 SEF D．GD⊥平面 SEF
(1)
直线与平面垂直的判定课件人教新课标
练习
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）A1C1与面ABCD所成的角 0o （2）A1C1与面BB1D1D所成的角 90o （3）A1C1与面BB1C1C所成的角 45o
D1 A1
D
A
C1 B1
C B
1．直线与平面垂直的概念 2．直线与平面垂直的判定
二、直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则
该直线与此平面垂直．
l
即：
m ,n
lm, ln
,
m
n
P
l
mP
n
线不在多，重在相交
判定定理
线线垂直
线面垂直
例1、求证：如果两条平行直线中的一条垂直于 一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
ab
mn
a b，a b
证明: 在平面内作两条相交直线m, n.
猜一猜 我们需要寻求一个简单可行的 办法来判定直线与平面垂直.
如果直线l与平面α内的一条直线垂直， 能保证l⊥α吗？
如果直线l与平面α内的两条直线垂直， 能保证l⊥α吗？
动手操作
如图，准备一块A三角形的纸片，做一个实验：A
A
lACDB NhomakorabeaP
D
C
C
B
D
C
BD B
折线后与的过桌当纸面且片A所仅B竖C在当起的平折放顶面痕置点A在AD垂翻桌是直折面．纸B上C片（边，B上D得的，到高D折C时痕于，A桌DA面D，所接将在触翻直）
人教版高中数学必修二
2.3.1 直线与平面垂直的判定
直线与平面有那些位置关系？ c a
2.3.1 直线与平面垂直的判定
C D
B
小结
1、要证线面垂直（根据定理：一条直线与一 个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与 此平面垂直。） 2、要证线线垂直（可先证一条直线与另一 条直线所在的面垂直，再得到线线垂直。）
作业： 有平行四边形ABCD ，已知l⊥AB，l⊥BC. 求证：l⊥直线AD.
课后思考：Pα , 求证b⊥α .
证明：在平面内作两条 分析：能否在平面α 相交直线m，n. 内找出两条相交直线， a 因为直线a⊥α ，根 使得b与它们垂直？ 据直线与平面垂直的 定义知 α a⊥m，a⊥n. 又因为 b∥a， 所以 b⊥m，b⊥n. 又 m α ， n α ， m， n是两条相交直线， 所以 b⊥α
分析： 解：如图，旗杆PO=8m，两绳长PA=PB=10m，OA=OB=6m （1）两点与旗杆脚确定的平面就是地面。 因为A，O，B三点不共线， 所以A，O，B三点确定平面α（即地面所在面） （2）能否在平面上找出两条相交直线，使得旗杆与它们垂直
又因为PO2+OA2=PA2，PO2+OB2=PB2， 所以OP⊥OA ，OP⊥OB. 又因为OA∩OB=O， 所以OP⊥α . A 因此，旗杆OP与地面垂直.
A
O C
练习 2、如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC， 求证VB⊥AC.
证明：取AC的中点D，连结DV、DB 分析：（1）要证线线垂直，首先证线面垂直 ∵VA=VC，AB=BC （2）AC⊥VB所在的面，应该 ∴△VAC与△BAC都是等腰三角形 是哪一个面？ ∴AC⊥DV AC⊥DB A 给出VA=VC，AB=BC可 ∵DV∩DB=O 以知道△VAC与△BAC都是 ∴AC⊥平面VDB 等腰三角形 ∴AC⊥VB V
2.3.1 直线与平面垂直的判定
人教A版高中数学必修二《直线与平面垂直的判定》教学设计
课题：2.3.1 《直线与平面垂直的判定》教学设计一、教学目标教学目标知识目标借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义.能力目标 通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念.情感目标 让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣. 重难点重点 操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理.难点 操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理及初步应用.法制渗透 无 教学方法 启发式 教学工具 三角形纸片二、教学设计活动名称 师生互动活动意图活动1[复习旧知引入课题]1.空间中一条直线与平面有哪几种位置关系？答案：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交.2. 直线和平面相交时，有一种特殊的位置关系是什么？（垂直） 是否也可以像直线与平面平行那样，也有一个判定定理呢？ →引入课题：直线与平面垂直的判定（板书课题）1、答案让学生回答，教师引导和纠正.2、教师引导学生回忆，并对学生活动进行评价；学生回顾知识点时，可互相交流．结合学生已有知识，启发学生思考，激发学生学习兴趣．活动2[探究和证明判定定理]1．知识探究（一）：直线与平面垂直的概念 （1）创设情境请同学们找出下图中线与面垂直的地方？（2）思考：如何定义一条直线与一个平面垂直？→通过动画的展示，让学生明白到底什么叫做直线与平面垂直.直线与平面垂直的定义：如果一条直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直.记作 α⊥l .l a若a l a l ⊥⇒⊂⊥αα,（线面垂直⇒线线垂直）. （3）深入理解“线面垂直定义”教师引导学生去探索和发现直线与平面垂直的判定的证明方法。
让学生知道数学问题源于实际生活，培养学生证明直线与平面垂直的判定的方法，证明思路。
Pα①.如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面内所有的直线都垂直（ ）②.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么它与平面垂直（ ） 答案：①√，②×2、知识探究（二）：直线与平面垂直的判定定理 （1）思考：是否把平面中的直线一一找出，才能证明直线与平面垂直,该怎样判定直线与平面垂直呢？ （2）探究活动：请同学们拿出一块三角形的纸片，做以下试验：过△ABC 的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD ，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD 、DC 与桌面接触）. ①折痕AD 与桌面垂直吗？ ②如何翻折才能保证折痕AD 与桌面所在平面肯定垂直 答案：当BC AD ⊥时AD 作为BC 边上的高时，AD ⊥α，这时AD ⊥ BC ，即AD ⊥BD ，AD ⊥CD ，BD ∩CD=D.结论：AD ⊥BD ，AD ⊥CD ，BD ∩CD=D ，有AD ⊥α. (3) 直线与平面垂直的判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面.n m m n P l l m l n ααα⊂⎫⎪⊂⎪⎪⋂=⇒⊥⎬⎪⊥⎪⊥⎪⎭线线垂直⇒线面垂直活动名称师生互动 活动意图αPnml活动3[学以致用]例1.如图，已知a ∥b 、a ⊥α.求证：b ⊥α.分析已知条件 → 讨论如何利用直线与平面垂直的判定定理 → 示范格式 → 得出结论 证明：在平面α内作两条相交直线n m ,. 因为直线α⊥a ，根据直线与平面垂直的定义知n a m a ⊥⊥,.又因为b ∥a 所以.,n b m b ⊥⊥又因为n m ,是平面α内的两条相交直线， 所以α⊥b .结论：若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.例2.如图，已知OA 、OB 、OC 两两垂直.（1）求证：OA ⊥平面OBC （2）求证：OA ⊥BC.B分析已知条件 → 讨论如何利用直线与平面垂直的判定定理 → 示范格式答案：(1)OC OB OA ,, 两两垂直 OC OA OB OA ⊥⊥∴, 又O OC OB =⋂ ⊥∴OA 平面OBCBCOA OBCBC OBC OA ⊥∴⊂⊥ , )2(平面平面教师引导学生由已知条件，并结合判定定理去解决问题；并让抽学生解答, 教师应该关注并发现学生的做题步骤，对做得好的学生应该给予表扬．同时强调，立体几何是一门数与形结合的学科．教师引导学生发现答案，并让学生上黑板来板书解答过程。
人教版高一数学《2.3.1直线与平面垂直的判定》课件
A
A
B
CB
D
D
C
如何调整折痕AD的位置，才能使翻折后直线AD与桌 面所在的平面垂直？
A A
B
D
B
DC
C
思考：由上可知当折痕AD垂直平面α内的两条相 交直线时，折痕AD与平面α垂直.由此我们是否能 得出直线与平面垂直的判定方法？
定理： 如果一条直线和一个平面内的两条相交 直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.
l
m
o
E
A B DC
直线与平面垂直的定义：
如果直线l与平面α 内的任意一条直线都垂直，就称直 线l与平面α 互相垂直。
记作： l⊥α
l
平面的垂线
A
直线的垂面
垂足
思考：如果一条直线垂直于一个平面内的无数 条直线，那么这条直线与这个平面垂直吗？
问题探究（二）：直线与平面垂直的判定
思考：对于一条直线和一个平面，如果根据定义来 判断它们是否垂直，需要解决什么问题？如何操作？
D1 A1
E
D
A
C1 B1
C B
思考:如图，过平面α外一点P引平面α的两条斜 线段PA、PB，斜足为A、B，再过点P引平面α的垂 线，垂足为O，如果PA>PB，那么OA与OB的大小关 系如何？反之成立吗？
P
PA PB OA OB
αA
OB
思考:如图，直线l是平面α的一条斜线，它在平面 α内的射影为b，直线a在平面α内，如果a⊥b， 那么直线a与直线l垂直吗？为什么？反之成立吗？
l
b ab al
αa
思考:我们把平面的一条斜线和它在平面上的射影 所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角. 在实际应用或解题中，怎样去求这个角？
必修2课件：2.3.1直线与平面垂直的判定
V
K
C F B
的条件下，有人说“ ⊥ ， ⑵ 在⑴的条件下，有人说“VB⊥AC， VB⊥EF， ∴ VB⊥平面 ⊥ ， ⊥平面ABC”，对吗？ ，对吗？
线面垂直的判定定理 线线垂直 线面垂直的定义 关键： 关键：线不在多 相交则行 线面垂直
探究1 探究1： 内的一条直线垂直， 如果直线 l 与平面α内的一条直线垂直， 互相垂直? 则直线 l 和平面 α 互相垂直?
a
b
α
探究2 探究2： 内的两条直线垂直， 两条直线垂直 如果直线 l 与平面α内的两条直线垂直， 互相垂直? 则直线 l 和平面 α 互相垂直? 如果两条直线平行 如果两条直线相交 如果两条直线相交
练习： 练习：
如图,在三棱锥 如图 在三棱锥V-ABC中 , 在三棱锥 中 VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中 A ＝ ＝ 是 的中 求证： ⊥平面VKB． 点。求证：AC⊥平面 ．
V
K
C B
变式： 变式：
分别是AB、 ⑴若E、F分别是 、BC 的 、 分别是 中点，试判断EF与平面 与平面VKB 中点，试判断 与平面 的位置关系． 的位置关系．
如图， 求证： b 例2. 如图，已知 a // b, a ⊥ α ，求证： ⊥ α ．
证明： 证明：设m为 α 内的任一 直线 ．
a
n
b
因为 a ⊥α ，根据直线与 平面垂直的定义知
α
m
a ⊥ m．
又因为 b // a ， 所以 b ⊥ m ． 因为m为 α 内的任一直线 ， 所以 b ⊥ α ．
例题1 如图，在正方体ABCD例题1，如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中, ABCD
D1 A1 B1 C1
2.3.1直线与平面垂直的判定(二)
即BA1与平面A1 B1CD所成的角为30
12
0
线面角的计算小结:
1、找出或作出线面角; 2、证明（1）中的角就是所求的角; 3、求出此角的大小。
la l b a b a b A
l
l
b
A
a
作用： 判定直线与平面垂直． 思想： 直线与平面垂直
3
直线与直线垂直
随堂练习
如图，直四棱柱 ABCD ABCD（侧棱与底面垂直 的棱柱成为直棱柱）中，底面四边形 ABCD 满足什么 条件时，AC BD ？
B
0是
ABC的垂心
O A C
PA、PB、PC两两垂直 (3)P到三边AB、BC、AC距离相等
0是 ABC的内心
15
知识小结
1．直线与平面垂直的概念 2．直线与平面垂直的判定 （1）利用定义；垂直与平面内任意一条直线 （2）利用判定定理． 线线垂直 线面垂直
（3）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那 么另一条也垂直于同一个平面
步骤: 一“作”二“证”三“求”
关键：确定斜线在平面内的射影.
13
变式:在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
E，F分别是BC，CC1的中点，
求EF与面ACC1A1所成的角.
D1 C1 B1 F C
O
A1
D
E
14
1
A
B
特例：四面体P-ABC的顶点P在平面上的射影O