2015-2016学年高中数学北师大版选修2-1课件 第2章 空间向量与立体几何 2.3 第2课时空间向量运算的坐标表示
第二章
2.3
第2课时
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[解析] 因为a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，
所以3a＋2b＝3(2，－1，－2)＋2(0，－1,4)＝(3×2,3×(－ 1) ， 3×( － 2)) ＋ (2×0,2×( － 1) ， 2×4) ＝ (6 ，－ 3 ，－ 6) ＋ (0 ， －2,8)＝(6，－5,2)． a·b ＝ (2 ，－ 1 ，－ 2)·(0 ，－ 1,4) ＝ 2×0 ＋ ( － 1)×( － 1) ＋
空间向量平行的坐标表示为a∥b(b≠0)⇔x1＝λx2，y1＝λy2，
z1＝λz2(λ∈R)．
第二章
2.3
第2课时
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2．空间向量坐标的确定 在空间直角坐标系中，已知点 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， → (x2－x1，y2－y1，z2－z1) 则AB＝__________________________ ，即一个向量在空间直角坐 标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起 点的坐标． 3．数量积的坐标表示 设空间两个非零向量为 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则
第二章
2.3
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预习效果检测
第二章
2.3
第2课时
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→ → 1． 设 M(5， －1,2)， A(4,2， －1)， 若OM＝AB， 则点 B 应为( A．(－1,3，－3) C．(1，－3,3) B．(9,1,1) D．(－9，－1，－1)
)
[答案] B
→ → → → [解析] ∵OM＝AB＝OB－OA， → → → ∴OB＝OM＋OA＝(9,1,1)．故选 B．
第二章
2.3
第2课时
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2．向量 a＝(－1,2,3)，则向量 a 的模是( A．14 C．11 B． 14 D． 11
[答案] D
→ → [解析] 由题意可得AB＝(－2，－6，－2)，AC＝(－1,6，λ－ → → → → 3)，∵AB⊥AC，∴AB· AC＝(－2)×(－1)＋(－6)×6＋(－2)(λ－3) ＝0. ∴λ＝－14.
第二章 2.3 第2课时
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→ → 5．已知 A(3,3,3)，B(6,6,6)，O 为原点，则OA与BO的夹角是 ( ) A．0 3π C． 2 B．π D．2π
[答案] B
第二章
2.3
第2课时
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[解析]
→ → OA· BO＝(3,3,3)(－6，－6，－6)
(－2)×4＝0＋1－8＝－7.
[总结反思] 空间向量的加、减、数乘、数量积运算是今 后利用向量知识解决立体几何知识的基础，必须熟练掌握，并 且能够灵活地应用．
第二章
2.3
第2课时
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空间向量的垂直与平行的判断
1.已知空间四点 A(－8，－6,3)，B(x，－1,2)，C(1， → → －2，z)，D(4，－1,1)，若AB∥CD，则 xz＝__________________. → → [分析] 题 1 中要利用AB∥CD这一条件，首先需要求出哪些
2.3
第2课时
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向量运算的坐标表示 已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)．求：
(1)a＋b； (2)a－b； (3)2a·(－b)； (4)(a＋b)·(a－b)． [分析] 利用空间向量的运算法则坐标形式求解．
第二章
2.3
第二章 2.3 第2课时
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4．若a·b＝0，则a⊥b；若a＝λb(b≠0，λ∈R)，则a∥B． 解两直线垂直或平行的问题，或利用向量证明立体几何的 问题，应先将几何中的相关量用向量的形式表示，或建立空间 直角坐标系，求出相关点的坐标，再利用向量运算求解．
k 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立 空间直角坐标系 Oxyz，则对空间任一点 P， → 相对于原点确定了一个向量OP，设
第二章
2.3
第2课时
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→ OP＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)也就是点 P 的坐标，即以原点为 起点的向量的坐标等于向量终点的坐标． 设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 → → → AB＝OB－OA＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)． 一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有 向线段的终点坐标减去起点坐标． 注意：向量的坐标与点的坐标表示方法不同，a＝(x，y，z)， A(x，y，z)．
成才之路 ·数学
北师大版 ·选修2-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第二章
空间向量与立体几何
第二章
空间向量与立体几何
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第二章 向量的坐标表示和空间向量基 本定理 第2课时 空间向量运算的坐标表示 2.3
算(a＋b)·(a－b)，可以先求a＋b与a－b，再点乘，也可以用公
式写出a2－b2＝|a|2－|b|2然后计算．
第二章 2.3 第2课时
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已 知 a ＝ (2 ， － 1 ， － 2) ， b ＝ (0 ， － 1,4) ， 求 3a ＋ 2b ， a·B． [分析] 的和． 空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、 减、数乘运算方法类似，向量的数量积等于它们对应坐标乘积
第二章 2.3 第2课时
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2．空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算，牢记 运算公式是应用的关键．这些公式为我们用向量的知识解决立体 几何问题提供了有力的工具． 3．运用空间向量解决立体几何问题，先要考察原图形是否 方便建立直角坐标系，将问题中涉及的点、线(向量)、面(向量的 线性组合 ) 用坐标表示，如果容易表示则先建系，将点用坐标表 示出来，然后，利用垂直、平行、共面的条件通过向量运算推证 有关结论，利用向量的模、向量夹角的计算公式来求线段长度及 角，最后将计算的结果转化为几何结论；当图形中的点不方便用 坐标表示时，可直接设出向量的基底，将各条件、结论中涉及的 向量表示为基底的线性组合，再运用向量线性运算及数量积运算 的规则进行推理、计算最后转化为相应几何结论．
x1x2＋y1y2＋z1z2 2 2 2 2 2 x2 1＋y1＋z1 x2＋y2＋z2 (2)cos〈a，b〉＝__________________________(a≠0，b≠0)；
x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 (3)a⊥b⇔__________________________.
第二章
2.3
第2课时
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知识要点解读
第二章
2.3
第2课时
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1 ． 设 {i ， j ， k} 为 单 位 正 交 基 底 ， 即 i ＝ (1,0,0) ， j ＝
(0,1,0) ， k ＝ (0,0,1) ，在此基底下， a ＝ (a1 ， a2 ， a3) ， b ＝ (b1 ， b2，b3)，即a＝a1i＋a2j＋a3k，b＝b1i＋b2j＋b3k，根据向量线性 运算与数量积运算的定义及运算律，可得出 a±b ， λa ， a·b ， a⊥b，a∥b，|a|及cos〈a，b〉的坐标表示． 将 i，j，k 的起点移到同一点 O，以 i，j，
第二章
空间向量与立体几何
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1
课前自主预习
4
课堂典例讲练
2
知识要点解读
5
易混易错辨析
3
预习效果检测
6
课时作业
第二章
2.3
第2课时
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课前自主预习
第二章
2.3
第2课时
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x1x2＋y1y2＋z1z2 a· b＝__________________________. 对应坐标的乘积之和 ． 空间两向量的数量积等于它们________________________
第二章 2.3 第2课时
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4．空间向量长度与夹角的坐标表示 设 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据空间向量运算的坐 标表示，我们可以得到以下结论． 2 2 x2 ＋ y ＋ z 2 1 1 1 (1)|a|＝ a ＝__________________________ 导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-1
[解析] (1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)
＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)．
(2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4) ＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2,0，－6)． (3)(2a)·(－b)＝(4，－2，－4)·(0,1，－4) ＝4×0＋(－2)×1＋(－4)(－4)＝14. (4)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2 ＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8. [总结反思] 进行运算时可以适当地选择求解方法，如计
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高中数学选修2-1北师大版 空间向量与立体几何 本章高效整合 课件(88张)
推论：设 O，A，B，C 是不共面的四点，则对空间任一 → 点 P，都存在唯一的一个有序实数组{x，y，z}，使OP＝ → → → xOA＋yOB＋zOC. (2)两个向量的数量积(与平面向量基本相同) ①两向量的夹角：已知两个非零向量 a，b，在空间中任 → → 取一点 O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB 叫做向量 a、b 的夹角，记作〈a，b〉 ．通常规定 0≤〈a，b〉≤π.若〈a， π b〉＝ ，则称向量 a，b 互相垂直，记作 a⊥b. 2
(2)利用向量处理垂直问题 空间的线线、线面、面面垂直关系，都可以转化 为空间两个向量垂直的问题来解决． ①设a，b分别为直线a，b的一个方向向量，那么 a⊥b⇔a⊥b⇔a·b＝0； ②设a，b分别为平面α，β的一个法向量，那么 α⊥β⇔a⊥b⇔a·b＝0； ③设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b， 那么l⊥α⇔a∥b.此外，也可证明l的方向向量与平 面α内两条相交直线所对应的方向向量垂直．
第二 章
空间向量与立体几何
本章高效整合
知能整合提升
1．空间向量的概念与运算 (1)空间向量的有关定理 ①共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0， a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. ②共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么 向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有 序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. ③空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面 ，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y， z}，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}叫做空间 的一个基底．
3．求角与距离 (1)求两异面直线的夹角 若两条异面直线 a 和 b 的方向向量分别为 n1， n 2， 两条直线 a 和 b 所成的角为 θ， 则 cos (2)求直线与平面的夹角 若直线 a 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n， 直线 a 与平面 α 所成的角为 θ，则 sin
高中数学北师大版选修2-1课件 第2章 空间向量与立体几何 2.6
(2)已知由几何条件确定的平面 π，那么空间一点 A 到平面 π 的距离的算法步骤为： ①找到平面 π 的法向量 n； ②在平面 π 上任取一点 P； → → ③计算PA在向量 n 上的投影PA· n0(|n0|＝1)； → ④计算点 A 到平面 π 的距离 d＝|PA· n0|. (3)点到面的距离的计算方法有：①确定面的垂线段；②利用 等积变换法．
|PA|2－|PA· s0|2.
(3)点到直线的距离的计算方法有：①找垂线段并求其长；②
2．点面距 (1)已知一点 P 和一个过点 P 且垂直向量 n 的平面 π，那么空 间一点 A 到平面 π 的距离的算法步骤为： → ①计算斜向量PA； → → ②计算PA在向量 n 上的投影PA· n0(|n0|＝1)； → ③计算点 A 到平面 π 的距离 d＝|PA· n0|.
→ →
2．点到面的距离
如图，设π是过点P垂直于向量n的平面，A是平面π外一定 点．
作 AA′⊥π，垂足为 A′，则点 A 到平面 π 的距离 d 等于线 → 段 AA′ 的 长 度 ． 而 向 量 PA 在 n 上 的 投 影 的 大 小 → |PA· n0|(|n0|＝1) ___________________ 等于线段 AA′的长度，所以点 A 到平面 π
(2)平面到平面的距离 当两平面平行时， 一个平面内任一点到另一 平面的距离，叫平面到平面的距离． 求平面到平面的距离时，一般也是转化 成点到面的距离． 求两平行平面间的距离 → |AB· n| ①用公式 d＝ |n| 求，n 为两平行平面的一个法向量，A、B 分别为两平面上的任意两点． ②转化为点面距或线面距求解．
|PA|2－|PA· s0|2.
(2)已知由几何条件确定的直线 l，那么空间一点 A 到直线 l 的距离的算法步骤为： ①找到直线 l 的方向向量 s； ②在直线 l 上任取一点 P； → ③计算斜向量PA； → → ④计算PA在向量 s 上的投影PA· s0；
高中数学第二章空间向量与立体几何2.2空间向量的运算课件4北师大版选修2_1
(3)化简中常用的化简形式为A→B＋B→C＝A→C，A→B－A→C＝
C→B.
2.已知空间四边形 ABCD，点 M、N 分别是边 AB、CD
的中点，化简A→C＋A→D－A→B.
解析： 如图所示， 因为点 M、N 分别是边 AB、CD 的中点，
所以A→C＋A→D－A→B＝2A→N－2A→M
＝2M→N.
(1)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始 点指向末尾向量的终点的向量．因此，求空间若干 向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的 向量．
(2)若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则这 些向量的和为0.
(3)两个向量相加的三角形法则、平行四边形法则在 空间中仍成立．
3．熟练应用三角形法则和平行四边形法则
则A→P＝A→B＋B→P＝A→B＋12BD→′ ＝A→B＋12(B→A＋B→C＋BB→′) ＝A→B＋12(－A→B＋A→D＋AA→′) ＝12(A→B＋A→D＋AA→′).
同理可证：A→M＝12(A→B＋A→D＋A→A′)， A→N＝12(A→B＋A→D＋AA→′).
由此可知 O，P，M，N 四点重合． 故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平 分.
[题后感悟] 利用向量解决立体几何中的问题的一般思路：
1．空间向量与平面向量的关系 空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同 一平面内的两个向量．如图所示，已知空间向量 a，b，我们
可以在任意平面 α 内，以任意点 O 为起点，作向量O→A＝a， O→B＝b.
2．空间向量加法运算的理解
(1)利用三角形法则进行加法运算时，注意“首尾相连”和向 量的方向是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．进 行减法运算时，注意“共起点”，差向量的方向是从减向量 的终点指向被减向量的终点．
C→B.
2.已知空间四边形 ABCD，点 M、N 分别是边 AB、CD
的中点，化简A→C＋A→D－A→B.
解析： 如图所示， 因为点 M、N 分别是边 AB、CD 的中点，
所以A→C＋A→D－A→B＝2A→N－2A→M
＝2M→N.
(1)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始 点指向末尾向量的终点的向量．因此，求空间若干 向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的 向量．
(2)若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则这 些向量的和为0.
(3)两个向量相加的三角形法则、平行四边形法则在 空间中仍成立．
3．熟练应用三角形法则和平行四边形法则
则A→P＝A→B＋B→P＝A→B＋12BD→′ ＝A→B＋12(B→A＋B→C＋BB→′) ＝A→B＋12(－A→B＋A→D＋AA→′) ＝12(A→B＋A→D＋AA→′).
同理可证：A→M＝12(A→B＋A→D＋A→A′)， A→N＝12(A→B＋A→D＋AA→′).
由此可知 O，P，M，N 四点重合． 故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平 分.
[题后感悟] 利用向量解决立体几何中的问题的一般思路：
1．空间向量与平面向量的关系 空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同 一平面内的两个向量．如图所示，已知空间向量 a，b，我们
可以在任意平面 α 内，以任意点 O 为起点，作向量O→A＝a， O→B＝b.
2．空间向量加法运算的理解
(1)利用三角形法则进行加法运算时，注意“首尾相连”和向 量的方向是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．进 行减法运算时，注意“共起点”，差向量的方向是从减向量 的终点指向被减向量的终点．
高二数学选修2-1第二章 空间向量与立体几何复习(北师大版)精选教学PPT课件
3 3 a.
BS·数学 选修2-1
如图 2－5 所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截 面 AEC1F 所截而得到的，其中 AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE ＝1.求点 C 到平面 AEC1F 的距离．
图 2－5
BS·数学 选修2-1
【解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0，0,0)，
图 2－6
BS·数学 选修2-1
【思路点拨】 建立适当的坐标系，设出 M 点的坐标， 由点到平面的距离的向量公式列方程，若方程有解可求 M 点 坐标，无解则不存在 M.
【规范解答】 根据图形的结构特点，可建立如图空间 直角坐标系．
则 A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(1,1,0)，D(0,2,0)．
平面 EDB．
BS·数学 选修2-1
(2)依题意得 B(a，a,0)，P→B＝(a，a，－a)，又D→E＝(0，a2， a2)，故P→B·D→E＝0＋a22－a22＝0，所以 PB⊥DE.
由已知 EF⊥PB，且 EF∩DE＝E，所以 PB⊥平面 EFD．
BS·数学 选修2-1
如图 2－2，在三棱锥 P－ABC 中，AB⊥BC，AB＝BC， 点 O、D 分别是 AC、PC 的中点，且 OA＝OP，OP⊥平面 ABC.
BS·数学 选修2-1
如图 2－3，在空间直角坐标系中，已知 E，F 分别是正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱 BC 和 CD 的中点，求：
(1)A1D 与 EF 所成角的大小； (2)A1F 与平面 B1EB 所成角的正弦值； (3)平面 CD1B1 与平面 D1B1B 夹角的余弦值．
图 2－3
－34a2 ＝－
22a×
6 2a
3 2.
数学北师大选修2-1课件：第二章 空间向量与立体几何 2.4
即平面SDC的一个法向量为n=(-2,1,-1).
D 当堂检测 ANGTANGJIANCE
首页
X 新知导学 INZHIDAOXUE
D 答疑解惑 AYIJIEHUO
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟平面法向量的确定通常有两种方法:
(1)直接寻找:若能根据已知条件找出该平面的一条垂线,则可直
接写出法向量.
探究一
探究二
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探究三
思维辨析
X 新知导学 INZHIDAOXUE
D 答疑解惑 AYIJIEHUO
D 当堂检测 ANGTANGJIANCE
反思感悟运用空间向量解答立体几何问题应注意处理和把握好 以下两大关系:一是向量法和纯几何法在解题中相互融合渗透的关 系.大多数立体几何解答题,既可以用向量法求解,也可以用几何法 求解.二是用向量法解题时,是选用基底向量(不建立空间直角坐标 系),还是通过建立空间直角坐标系,选用坐标向量的关系,根据题目 含义而定.对于出现垂直关系的特殊几何体,如正方体、长方体、 直棱柱、有一条侧棱垂直于底面的棱锥等,往往通过建立空间直角 坐标系解答较为方便.
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D 答疑解惑 AYIJIEHUO
一 二 三 思考辨析
【做一做2】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为
A1B和AC上的点,A1M=AN=
2 3
a,则MN与平面BB1C1C的位置关系
是( )
D 当堂检测 ANGTANGJIANCE
A.相交
则 n1⊥������������,n1⊥������������,
探究一
探究二
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探究三
2-1从平面向量到空间向量 课件(北师大版选修2-1)
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
(3)空间中，若一个向量所在直线 平行于 一个平面，则称这个 向量平行于该平面． (4)把平行于同一平面的一组向量称作共面向量，
不平行于同一个平面 的一组向量称为不共面向量．
(5)平行于一个平面的向量 垂直 该平面的法向量．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
：空间两个向量能否异面？空间两个向量是否确定唯一 的平面？ 提示 空间两个向量不能异面，是因为空间任意两个向量都可 转化为共面向量；空间两个向量不能确定唯一的平面，因为同 向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量． 因此，空间两向量可以平移到以空间任意点 O 为起点的同一个 平面内，所以空间两向量确定的平面不是一个，而是一组互相 平行的平面的集合．但在研究解决具体问题时，一般只要在其 中一个平面内考虑即可．
课前探究学习 课堂讲练互动 活页限时训练
解 (1)假命题，有向线段只是空间向量的一种表示形式，但不 能把二者完全等同起来．(2)假命题，不相等的两个空间向量的 模也可以相等，只要它们的方向不相同即可．(3)假命题，当两 个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两 → → 个向量相等却不一定有相同的起点和终点． (4)真命题， 与AB BA 仅是方向相反，它们的长度是相等的．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
(4)与平面向量一样，空间向量的大小也叫作向量的长度或模， → 用 |AB| 或 |a| 表示． (5)向量夹角的定义：如图所示，两非零向量 a，b， → → 在空间中任取点 O，作OA＝a，OB＝b，则 ∠AOB 叫作向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉 ． (6)向量夹角的范围：规定 0≤〈a，b〉≤π ． π (7)特殊角： 〈a， ＝ 2 时， 当 b〉 向量 a 与 b 垂直 ， 记作 a⊥b ； 当〈a，b〉＝0 或π 时，向量 a 与 b 平行 ，记作 a∥b ．
高中数学北师大版选修2-1第二章《第二课时 空间向量与垂直关系》ppt课件
∴ AB1 ⊥ BD， AB1 ⊥ AB1 . 即AB1⊥BD，AB1⊥BA1. 又BD∩BA1＝B，∴AB1⊥平面A1BD.
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[例3] (12分)在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD， BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分别是 AC，AD的中点．求证：平面BEF⊥平面ABC.
(4分)
∴n·EF ＝0，即(x，y，z)·－ 43a， 43a，0＝0.
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∴x＝y.
(6分)
由n·BF ＝0，即(x，y，z)·0， 23a，a2＝0，
有 23ay＋a2z＝0，∴z＝－ 3y.
(8分)
取y＝1，得n＝(1,1，－ 3)．
(9分)
∵n·CD＝(1,1，－ 3)·－ 23a， 23a，0＝0， ∴n⊥CD.∴平面BEF⊥平面ABC.
[思路点拨] 本题可建立空间坐标系后，证明面 BEF内某一直线的方向向量为面ABC的法向量；也可分别 得出两面的法向量，证明法向量垂直．
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[精解详析] 建立空间直角坐标系如图，设
AB＝a，则 BD＝ 3a，于是 A(0,0，a)，B(0,0,0)，
C 23a， 23a，0，D(0， 3a,0)，E 43a， 43a，a2，
(10分)
又EF 平面BEF，∴平面ABC⊥平面BEF.
(12分)
法二：∵∠BCD＝90°，∴CD⊥BC.
(1分)
又AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.
(2分)
又AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.
(3分)
∴CD＝－ 23a， 23a，0为平面ABC的一个法向量． 设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
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[例3] (12分)在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD， BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分别是 AC，AD的中点．求证：平面BEF⊥平面ABC.
(4分)
∴n·EF ＝0，即(x，y，z)·－ 43a， 43a，0＝0.
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∴x＝y.
(6分)
由n·BF ＝0，即(x，y，z)·0， 23a，a2＝0，
有 23ay＋a2z＝0，∴z＝－ 3y.
(8分)
取y＝1，得n＝(1,1，－ 3)．
(9分)
∵n·CD＝(1,1，－ 3)·－ 23a， 23a，0＝0， ∴n⊥CD.∴平面BEF⊥平面ABC.
[思路点拨] 本题可建立空间坐标系后，证明面 BEF内某一直线的方向向量为面ABC的法向量；也可分别 得出两面的法向量，证明法向量垂直．
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[精解详析] 建立空间直角坐标系如图，设
AB＝a，则 BD＝ 3a，于是 A(0,0，a)，B(0,0,0)，
C 23a， 23a，0，D(0， 3a,0)，E 43a， 43a，a2，
(10分)
又EF 平面BEF，∴平面ABC⊥平面BEF.
(12分)
法二：∵∠BCD＝90°，∴CD⊥BC.
(1分)
又AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.
(2分)
又AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.
(3分)
∴CD＝－ 23a， 23a，0为平面ABC的一个法向量． 设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
高中数学第二章空间向量与立体几何2.2空间向量的运算课件北师大版选修2_1
＝ 12 ＋ 1×1×cos 60°－ 2×1×1×cos 60°＋ 1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60° ＝1.
讲课堂互动讲义
空间向量的线性运算 已知空间四边形 OABC， M，N 分别是对边 OA、BC 的中点， 点 G 在 MN 上，且 MG＝2GN，如 图，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c， 试用 a，b，c 表示向量O→G.
如图．
(2)减法法则 与平面向量类似，a与b的差定义为_a_与__－__b_的___ __和__向__量___，记作a－b，其中－b是b的相反向 量．
(3)运算律 交换律：a＋b＝__b_＋__a_b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝__a_＋__(_b_＋__c)__．
[强化拓展]
(1)空间向量的加减法与平面向量的加减法完全相
[强化拓展] (1)因为空间任意两个向量都是共面的，所以空间向 量共线定理与平面向量共线定理是相同的；定理中 b≠0 不可丢掉，否则实数 λ 不一定存在，且不一 定唯一．如：a≠0，b＝0，则 λ 不存在；a＝b＝0， 则 λ 不唯一． (2)在 a＝λb 中，对于确定的 λ 与 b，a＝λb 可以表 示空间中与 b 平行且长度为|λb|的所有的向量．
4．空间向量的数量积
λ(a·b)
b·a a·b＋a·c
(1)若 a，b 是非零向量，则 a⊥b⇔a·b
两个 ＝0. 向量 (2)若 a 与 b 同向，则 a·b＝|a|·|b|； 数量 若反向，则 a·b＝－|a|·|b|. 积的 特别地：a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a. 性质 (3)若 θ 为 a，b 的夹角，则 cos θ＝|aa|··b|b|.
2．射线 AB、AC、AD 不共面， 连接 BC、CD、DB，分别取 AB、BC、CD、DA 的中点 E、 F、G、H，试判断四边形 EFGH 的图形形状，并用向量的方法 证明．
讲课堂互动讲义
空间向量的线性运算 已知空间四边形 OABC， M，N 分别是对边 OA、BC 的中点， 点 G 在 MN 上，且 MG＝2GN，如 图，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c， 试用 a，b，c 表示向量O→G.
如图．
(2)减法法则 与平面向量类似，a与b的差定义为_a_与__－__b_的___ __和__向__量___，记作a－b，其中－b是b的相反向 量．
(3)运算律 交换律：a＋b＝__b_＋__a_b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝__a_＋__(_b_＋__c)__．
[强化拓展]
(1)空间向量的加减法与平面向量的加减法完全相
[强化拓展] (1)因为空间任意两个向量都是共面的，所以空间向 量共线定理与平面向量共线定理是相同的；定理中 b≠0 不可丢掉，否则实数 λ 不一定存在，且不一 定唯一．如：a≠0，b＝0，则 λ 不存在；a＝b＝0， 则 λ 不唯一． (2)在 a＝λb 中，对于确定的 λ 与 b，a＝λb 可以表 示空间中与 b 平行且长度为|λb|的所有的向量．
4．空间向量的数量积
λ(a·b)
b·a a·b＋a·c
(1)若 a，b 是非零向量，则 a⊥b⇔a·b
两个 ＝0. 向量 (2)若 a 与 b 同向，则 a·b＝|a|·|b|； 数量 若反向，则 a·b＝－|a|·|b|. 积的 特别地：a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a. 性质 (3)若 θ 为 a，b 的夹角，则 cos θ＝|aa|··b|b|.
2．射线 AB、AC、AD 不共面， 连接 BC、CD、DB，分别取 AB、BC、CD、DA 的中点 E、 F、G、H，试判断四边形 EFGH 的图形形状，并用向量的方法 证明．
北师大版选修2-1课件 第2章 空间向量与立体几何 2.2 空间向量的运算 第1课时
如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，下列各式中运算 → 的结果为向量AC1的共有( → → → ①AB＋BC＋CC1 → → → ③AB－C1C＋B1C1 A．1 个 C．3 个 ) → → → ②AA1＋B1C1＋D1C1 → → → ④AA1＋DC＋B1C1 B．2 个 D．4 个
向量与向量的乘法运算．
第二章
2.2
第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-1
5．共线向量定理 空间两个向量a与b(b≠0)共线的充分必要条件是存 a＝λB 在实数λ，使得_____________ ．
6．单位向量的求法． a 对于任意一个非零向量 a，我们把|a|叫作向量 a 的单位向量， 记作 a0，a0 与 a 同方向．
4．空间向量的数乘运算律
(1)λa＝aλ(λ∈R)；
(2)λ(a＋b)＝λa＋λb，
(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ∈R，μ∈R)；
(3)(λμ)a＝λ(μa)(λ∈R，μ∈R)．
第二章
2.2
第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-1
(3) 首尾相接的向量之和等于由起始向量 的始点指向末尾向量的终点，因此，求空间 中若干向量之和时，可通过平移将它们转化 → → → 为首尾相接的向量，如图：A1A2＋A2A3＋A3A4 → ＋…＋An－1An＝A1An
空间中任意两个向量都可以平移到同一个
平面内，成为同一个平面内的两个向量，因此
它们的加减法运算类似于平面向量的加减法．
第二章
2.2
第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-1
向量的加减运算 如图，已知长方体ABCD—A′B′C′D′，化简下列向
数学北师大选修2-1课件：第二章 空间向量与立体几何 2.5.3
=
2 1×
6
=
36>0,故<s,n><π2,
∴直线 l 与平面 π 的夹角 θ=π2-<s,n>.
∴sin θ=sin
π 2
-
<
������,������
>
=cos<s,n>= 36.
答案:
6 3
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D 答疑解惑 AYIJIEHUO
D 当堂检测 ANGTANGJIANCE
则 ������·������������ = 0,
������·������������ = 0,
即
������0 + ������0 = 0,
1 2
������0
+
1 2
������0
=
0,
探究一
探究二
一题多解
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探究一
探究二
一题多解
解:设AB的中点为D,连接CD,作PO⊥AB于点O. 因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,所以PO⊥平 面ABC.所以PO⊥CD. 由AB=BC=CA,知CD⊥AB. 设E为AC中点,连接OE,则EO∥CD, 从而OE⊥PO,OE⊥AB. 如图,以O为坐标原点,OB,OE,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴, 建立空间直角坐标系.
又������������=(-1,1,0),������������=(-1,0,c),故 -������ + ������ = 0, -������ + ������������ = 0.