线性代数5-3 方阵相似于对角矩阵的条件

例3.4
设矩阵
A
k
1
k
,
4 2 3
问当k为何值时,存在可逆矩阵P,使得P-1AP为对角
阵，并求出 P和相应的对角阵。
解由
3 2 2
AE k 1 k
4 2 3
1 2 2
0 1 k
0 0 1
(1)2(1)0.
得A的特征值为： λ1= λ2=-1， λ3=1. 对于λ1= λ2=-1时，有
,
1
2
1
.
令
P
2
1
1 1 ,
则应有
P-1AP
1 0
0 4.
由A=PΛP-1可得
A 2 P P 1 P P 1 P 2 P 1 .
类推可得 A 100P100 P1.
经计算可得
P 1
1 3
1 1
1
2
,
于是
A10021
11 10
010011 4 31
1 2
132144110000
的充分必要A条 有n个 件线 是性无关的.特 4．矩阵对角化的过程
（1）计算特征根和特征向量，看是否有n个线性 无关的特征向量。
（2）可逆的相似变换矩阵的构成就是n个线性无 关的特征向量。
（3）对角阵的对角线的元素构成为n个线性无关 的特征向量对应的特征值。
224100
124100
.
例3.2
求一可逆矩阵P,把
A
2
0
1 2
1
0
化成对角矩阵.
4 1 3
解 ①由|A－λE|=0,求A的全部特征值.
2 1 1
AE 0 2 0
4 1 3
(2) 2
4
1
3
(2)(22)
(1)(2)2.
所 以 A 的 特 征 值 是 1 1 ,2 3 2 .
f(A)~ f(B).
性质7 若A~B,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的 特征值相同（从而迹相同）.
值得注意的是，特征多项式相同的矩阵未必相似.
例如
A
1
0
1 1
,
E
1
0
0 1
,
显然A与E的特征多项式都是(λ-1)2,但可以证
明它们并不相似.因为与E的矩阵只有它自身。
性质8 若n阶矩阵A与对角矩阵
下面我们举例说明,对于可以相似对角化的方阵, 其高次幂的计算可以得到简化.
例3.1 已知
（书P132）
A
2
1
2 3
,
计算A100
解 EA 12 23(1)(4).
A有两个互异的特征值。
λ1=1, λ2=4.故A可相似对角化.分别求得A对应
于λ1, λ2
的特征 向量α1, α2为
2
1
1
4 2 2 4 2 2
(A λE) k
0
k
～
k
0
k
,
4 2 2 0 0 0
当k = 0 时,上式变为
4
0
0
2 0 0
2
1
0
0
～
0
0
1 2 0 0
1
2
0 ,
0
1
1
对应特征向量可取为:
p1
2
,
p2
0
.
对于λ3=1时，有
0
2
2 2 2
(A E) k
相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A 变成 P1AP，而可逆矩阵 P称为进行这一变换的 相似变换矩阵．
这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种 运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与 之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从 而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对 角矩阵的运算．
3．矩阵可对角化的条件 定理 2 n阶矩A阵 与对角矩阵 (即A相 能似 对角 ) 化
2
k
4 2 4
1 1 1 1 0 1
～
k
2
k
～
0
1
0
，
0 2 0 0 0 0
1
对应特征向量可取为:
P3
0
.
因此,当 k = 0 时,令
1
1 1 1
1 0 0
P2 0 0，故P1AP0 1 0.
0 2 1
0 0 1
从上面的讨论和例题可知, A有n个单特征值,则A必 可对角化,而当 A有重特征值时, 就不一定有n 个线性无 关的特征向量 ,从而不一定能对角化 .上次课讲例2.3的 二重特征值不能对应两个线性无关的特征向量 ,所以该 方阵不能对角化. 而在本节例1中A也有二重特征值,但却 能找到 3个线性无关特征向量.所以例1中A能对角化.例 3的讨论也说明不是所有方阵都能对角化.
(2) 由于A~B,所以A的特征值为
1 1 ,22,3 2.
由 A E x 0 ,求 A 的 特 征 值 .
当λ1=-1时，由
1 0 0
1 0 0
A
E
2
1
2
～
0
1
2
3 1 2 0 0 0
0
得基础解系:
P1
2
,
1
当λ2 ＝2时，
4 0 0 1 0 0
A
2E
2
2
一个方阵具体什么条件才能对角化？这是一个 比较复杂的问题,我们对此不作一般性的讨论, 而 仅讨论当 A为实对称矩阵的情形.
小结
１．相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好
的性质，除了课堂内介绍的以外，还有： ( 1 )A 与 B 相 ,则 d 似 A e ) d t( B e ); t(
A
2E
0
0
0
0
4 1 1 0
0
0
，
0 0
得基础解系为
0 1
P2
1
,
P3
0
.
1
4
③把P1，P2，P3拼成矩阵P，即
1 0 1
1 0 0
P
0
1
0
,
故
P
1 AP
0
2
0
.
1 1 4
0 0 2
例3.3 设矩阵A与B相似,其中
2 0 0
1 0 0
A
2
x
2
,
B
0
2
0
.
3 1 1
0 0 y
（1）求x和y的值,
2求可P 逆 ,使 P 1 矩 A P 阵 B .
（同型题：习题课教程P132第11题）
解 (1)因为A~B,所以B的主对角线元素是A的特 征值.因此有
2x112y,
AE AE 0.
整理得xx
y 2, 0,
解得
x 0, y 2.
性质1 相似矩阵具有 1) 反身性 :任意方阵A,都有A~A； 2) 对称性 :若A~B,则B~ A； 3) 传递性:若A~B,B~C,则 A~ C。
性质2 若A~B，则R(A)=R(B ). 性质3 若A~B，则|A|=|B |.即A、B同时可逆或 同时不可逆。
性质4 若A~B，则AT~BT.
性质5 若可逆矩阵A~B，则B也可逆，且A-1~B-1. 性质6 若A~B,则对于任意的多项式f(λ),必有
(2 )若 A 与 B 相 ,且 似 A 可 ,则 逆 B 也,可 且 A 1 与 逆
B 1 相 ; 似 (3 )A 与 B 相 ,则 似 k与 A k相 B,k 为 似; 常数
(4)若 A 与 B 相,而 似 f(x)是一,多 则 f(A 项 )与式 f(B )相.似
２．相似变换与相似变换矩阵
② 由 (A E )x 0 ,求 A 的 特 征 向 量 .
当λ1=-1时，解方程(A+E)x=0,由于
1 1 1 1 0 1
A
E
0
3
0
0
1
0
4 1 4 0 0 0
得基础解系
1
P1
0
.
1
当λ2= λ3= 2时，解方程(A-2E)x=0,由
4 1 1 4 1 1
2
～
0
1
1
,
3 1 1 0 0 0
得基础解系:
P2
0
1
,
1
当λ3 ＝-2时，
0 0 0 1 0 1
A
2E
2
2
2
～
0
1
0
,
3 1 3
0 0 0
1
得基础解系:
P3
0
,
1
令可逆矩阵
0 0 1
Baidu Nhomakorabea
P
(P1,
P2,
P3)
2
1
0 .
1 1 1
即为所求.
3 2 2
1
2
O
n
相似,则λ1，λ2，…, λn是A的n个特征值.
三、相似矩阵的定理
定理3.1 n阶方阵A与对角矩阵相似 (A能对角化) 的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.
补充 n阶方阵A与对角矩阵相似 的充分必要条件是A
的每个k重特征值 k 的特征矩阵A- k E的秩为 n-k.
定理3.4 如果n阶矩阵A(在数域F上)存在n个互 异特征值,则A必可(在数域F上)相似于对角矩阵.
§3 方阵相似于对角矩阵的条件
一、相似矩阵的概念
定义3.1.设A、B都是n阶方阵,若存在可逆矩阵P使
P1AP B
则称B是A的相似矩阵,或说B与A相似. 对A进行运 P1算 AP,称为对A进行相似变换, 可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.记作A~B.
二 、相似矩阵的性质
相似是矩阵之间的一种关系,这种关系具有以下性质: