线性代数5-3 方阵相似于对角矩阵的条件
矩阵相似于对角矩阵的条件
矩阵相似于对角矩阵的条件矩阵相似是线性代数中一个重要的概念，它描述了两个矩阵之间的一种关系，即它们有着相同的特征值和特征向量。
在实际应用中，矩阵相似性常常被用于矩阵的对角化，即将一个矩阵转化为对角矩阵的形式，以方便计算和分析。
本文将介绍矩阵相似于对角矩阵的条件及其应用。
一、矩阵相似的定义设A、B是两个n阶矩阵，若存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则称A与B相似，记为AB。
其中，P-1表示P的逆矩阵。
矩阵相似是一种等价关系，即具有自反性、对称性和传递性。
具体而言，对于任意n阶矩阵A，有AA（自反性）；若AB，则BA（对称性）；若AB，BC，则AC（传递性）。
根据矩阵相似的定义，我们可以得出以下结论：- 相似矩阵具有相同的特征值和特征向量。
- 相似矩阵具有相同的秩、迹、行列式、特征多项式和伴随矩阵。
二、对角矩阵的定义对角矩阵是指只有对角线上有非零元素，其余元素均为零的矩阵。
例如：$$begin{bmatrix}a_1 & 0 & 00 & a_2 & 00 & 0 & a_3end{bmatrix}$$对角矩阵具有很多优良的性质，例如易于计算行列式、逆矩阵和幂等等。
三、相似于对角矩阵的条件一个矩阵A相似于对角矩阵的条件是存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP=D，其中D为对角矩阵。
具体而言，相似于对角矩阵的条件有以下两个定理：定理1：设A为n阶矩阵，则A相似于对角矩阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
证明：若A相似于对角矩阵D，则A和D有相同的特征多项式和特征值。
设λ1，λ2，...，λk（k≤n）为A的所有不同特征值，对于每个特征值λi，都可以找到一个属于它的特征向量组成的集合Vi。
因此，A的所有特征向量的集合可以表示为V1∪V2∪...∪Vk，其中V1，V2，...，Vk两两之间线性无关。
由于A有n个特征向量，因此k=n，即A有n个线性无关的特征向量。
线性代数-矩阵相似对角化
代数重数为 当λ 2 = λ 3 = 2时：(代数重数为 2 ) 解齐次方程组 (λ 2E − A)x = 0
4 − 1 − 1 (2E − A) = 0 0 0 4 − 1 − 1
r
1 − 1 − 1 4 4 0 0 0 0 0 0
的特征值， 的特征向量， 设 λ 为方阵 A 的特征值， α为 A 的属于 λ 的特征向量， E 是单位矩阵
(1) k + λ 是 kE ＋ A 的特征值 ( kE＋ A )α = kα＋ A α = kα ＋ λα = ( k + λ )α ＋ ( 2 )k λ 是 kA 的特征值 (kA )α = kA α = kλα = ( k λ )α ( 3 )λ m 是 A m 的特征值 A m α = A m − 1 A α = A m − 1 λα = λ A m − 1α = λ m α
11
☺特征值的性质 特征值的性质
定理1
设A为n阶方阵，λ1，λ 2， λ n为A的n个特征值，则有： 阶方阵， L 个特征值，则有： (1) λ1 + λ 2 + L + λ n = a11 + a 22 + L + a nn tr ( A) 迹 ( 2) λ1λ 2 Lλ n =| A |
f ( λ ) =| λ E − A | = a n λ n + a n − 1 λ n − 1 + L + a 2 λ 2 + a 1 λ + a 0
1 0 − 1 0 1 0 0 0 0
当λ1 = －1时： 解齐次方程组 (λ 1E − A)x = 0
(－E − A)
r
相似对角化的判别条件
相似对角化的判别条件1.引言1.1 概述相似对角化是线性代数中一个重要的概念，它涉及到线性变换的可对角化性质。
在研究线性变换的性质和应用中，相似对角化是一个非常有用的工具。
具体而言，相似对角化是指对于一个给定的方阵A，是否存在一个可逆矩阵P，使得P逆矩阵乘以A再乘以P得到一个对角矩阵。
在这个概念中，我们可以从两个方面来理解。
首先，对于一个对角矩阵而言，它的主对角线上的元素是非常特殊的，它们代表着矩阵的特征值。
因此，相似对角化将矩阵的性质转化为了对角矩阵的性质，使得我们可以更加方便地研究和应用。
其次，相似对角化也涉及到线性变换的相似性。
在线性代数中，我们经常需要研究不同的线性变换之间的关系。
通过相似对角化，我们可以将一个线性变换转化为另一个具有更简单形式的线性变换，从而更方便地进行研究和比较。
在本文中，我们将重点讨论相似对角化的判别条件。
通过探究相似对角化的特点和性质，我们将提出一些判别条件，并给出相应的证明和解释。
同时，我们也将探讨相似对角化在实际问题中的应用和意义。
总之，相似对角化是线性代数中一个重要的概念，它涉及到矩阵的特征值和线性变换的相似性。
本文将从理论和应用两个方面对相似对角化进行相关研究，旨在深入理解相似对角化的判别条件，并探讨其在实际问题中的应用和意义。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将分为三个主要部分，即引言、正文和结论。
引言部分将对相似对角化的概念进行概述，并介绍文章的结构和目的。
正文部分将详细探讨相似对角化的定义和背景知识。
首先，我们会给出相似对角化的具体定义，并解释其意义和应用。
随后，我们将介绍相似对角化的判别条件1和判别条件2。
这两个判别条件是判断矩阵是否相似对角化的重要方法，并具有一定的理论和实际意义。
通过对这些判别条件的研究，我们可以更好地理解相似对角化的特性和性质。
在结论部分，我们将对相似对角化的判别条件进行总结，并讨论其应用和意义。
同时，我们还会探讨相似对角化在其他领域的可能应用，并展望未来的研究方向。
线性代数第六章 矩阵的相似变换
第六章 矩阵的相似变换本章主要讨论方阵的特征值和特征向量、方阵的相似变换和对角化等问题.第一节 方阵的特征值和特征向量一、特征值与特征向量定义1 设A 是n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非零向量X 使关系式λ=AX X （6.1）成立，则称数λ为方阵A 的特征值；非零列向量X 称为A 对应于特征值λ的特征向量.将式（6.1）改写成()λ−=A E X 0， （6.2） 将（6.2）看成关于X 的齐次线性方程组，它有非零解当且仅当其系数行列式满足 0λ−=A E ， （6.3）即1112121222120λλλ−−=−n nn n nn a a a a a a a a a ， （6.4）这是以λ为未知数的一元n 次方程，称为A 的特征方程，其左端λ−A E 是λ的n 次多项式，记作()λf ，称为A 的特征多项式，特征方程的根就是A 的特征值.根据代数基本定理，在复数范围内，n 阶方阵A 有n 个特征值（重根按重数计算），记作12,,,λλλ n .求出特征值λi 后，将λi 代入齐次线性方程组（6.2）中，求解方程组()λ−=i A E X 0 （6.5） 的所有非零解向量，就是属于λi 的特征向量。
对不同的特征值逐个计算，可求得属于各特征值的全部特征向量.若非零向量X 是方阵A 的特征向量，则由（6.1）式可知，对任意实数0k ≠，有()()k k λ=A X X ，（6.6） 这表明k X 也是方阵A 的特征向量，因此属于同一特征值的特征向量有无穷多个；反之，不同特征值对应的特征向量必不相同，即一个特征向量只能属于一个特征值（证明留给读者作为练习）.由齐次线性方程组解的性质容易证得如下定理.定理1 设λ是方阵A 的特征值，12,,,s p p p 是属于λ的特征向量，则12,,,s p p p 的任意非零线性组合仍是属于λ的特征向量.例1 求141130002−−=A 的特征值和特征向量. 解 A 的特征多项式2141()130(2)(1)002λλλλλλλ−−−=−=−=−−−f A E ,所以A 的特征值为12λ=，231λλ==. 对于12λ=，解齐次方程组(2)−=A E X 0.由3411012110011000000−−−=→−A E ，得基础解系 1111−=p ，所以111(0)≠k k p 是对应于12λ=的全部特征向量.对于231λλ==，解齐次方程组()−=A E X 0.由 241120120001001000−−−=→A E ，得基础解系 2210−=p ，所以222(0)≠k k p 是对应于231λλ==的全部特征向量. 例2 求204121103−−=A 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式2204()121(1)(2)13λλλλλλλ−−−=−=−=−+−−f A E ,所以A 的特征值为11λ=−，232λλ==. 对于11λ=−，解齐次方程组()+=A E X 0.由104104131011104000−−+=→−A E ，得基础解系 1411−=p ，所以111(0)≠k k p 是对应于11λ=−的全部特征向量.对于232λλ==，解齐次方程组(2)−=A E X 0.由 4041012101000101000−−−=→A E ，得基础解系 2010=p ，3101− = p ,所以2233+k k p p （2k ，3k 不同时为0）是对应于232λλ==的全部特征向量.二、特征值和特征向量的性质定理2* 设12,,,λλλ n 是n 阶方阵()=ij a A 的n 个特征值，则有（1）11n n i ii i i a λ==∑∑； （2）1ni i λ==∏A .其中1niii a=∑是A 的主对角元之和，称为方阵A 的迹，记作tr()A .证明 见附录六例3 设7414744y x −= −−A 的特征值为123λλ==，312λ=，求,x y 的值. 解 由定理2可得123123tr()7718331212108x x y λλλλλλ=++=++=+− A A 解之得4,1x y ==−.定理3 设λ是方阵A 的特征值，p 是A 的属于λ的任一特征向量，则有： （1）k R ∀∈，k λ是k A 的特征值，p 是k A 的属于k λ的特征向量；（2）对任意非负整数k ，k λ是k A 的特征值，p 是k A 的属于k λ的特征向量； （3）若()ϕA 是A 的m （m 为任意非负整数）次多项式，即01()m m a a a ϕ=+++A E A A ，则()ϕλ是()ϕA 的特征值，p 是()ϕA 的属于()ϕλ的特征向量；（4）若A 可逆，则0λ≠，且1λ是1−A 的特征值，p 是1−A 的属于1λ的特征向量；（5）若A 可逆，则λA是*A 的特征值，p 是*A 的属于λA的特征向量；（6）λ也是T A 的特征值.证明 （1）由λ=Ap p ，有k k λ=Ap p 成立。
线性代数 矩阵相似对角化
0 2
k2X0
上述必须有两个线性无关的解向量，r(-I-A)=1
4 2 2 4 2 2
rk4
0 2
k2rk0
0 0
0k1
k0
(2)代入k=0, 1,2 1 时，线性无关的特征向量：
1 120 T ,2 102 T
（4）Ａ~Ｂ，则 RA=RB
（5）Ａ~Ｂ，则 A B
（6）Ａ~Ｂ，且Ａ可逆，则 A1~B1
定理
若n阶矩阵A与B相似，则A与B有相同的特征 多项式，从而A与B有相同的特征值．
IAIB
QIBIP1A PP1IPP1A P
P1IAPIA
推论 若n阶矩阵A与对角矩阵
y1
x1
令Y
y2
P1
x2
,
y3
x3
Y
'
y1' y2'
P1
x1' x2'
,
y3'
x3'
故有
5 Y'00
0 3 0
003Yyyy231
推论 如果n阶矩阵Ａ有n个不同的特征值，则矩阵Ａ
可相似对角化．
推论 若n阶矩阵Ａ可相似对角化Ａ的任 t i 重特征值
i 对应 t i 个线性无关的特征向量．
注意 （1）P中的列向量 p1,p2, ,pn的排列顺序要与
1,2, ,n的顺序一致．
（2）因 p i 是 (A E )x0 的基础解系中的解向量，
的λ都是方阵Ａ的特征值．
(1)由 f()EA0求出A的所有特征值 1,2,L,n,
线性代数—相似矩阵
求 a 的值, 并讨论 A 是否可相似对角化.
1 2 3 2 ( 2) 0
解 E A 1 4 3 1
4
3
1 a 5 1 a 5
1 1 0
( 2) 1 4 3 ( 2)(2 8 18 3a) ,
1 a 5
20
E A ( 2)(2 8 18 3a)
P1AP B , 则称A与B 相似,记为 A ~ B .
矩阵的“相似”关系具有以下特性：
(1)反身性：对任何方阵 A，总有 A ~ A (令 P E 即可)；
(2)对称性：若 A ~ B ，则有 B ~ A ；
证 P 1 AP B A PBP1 ( P 1 )1 BP 1 . (3)传递性：若 A ~ B ,且 B ~ C ,则有 A ~ C .
Pn P 1
1 2
11
11
3 0
01100
1 1
11
1 2
1 1
11
3100 0
10 11
11
1 2
3100 3100
1 1
3100 3100
11
.
25
EN D
26
1 P 1 AP
1
.
0 1 3
2 16
例4
4 判断矩阵 A 2
2 0
1 1
能否对角化，若能，
1
1
0
求可逆阵P，使 P1 AP 为对角阵.
c1 c2
4 2 1 解 E A 2 1 ( 2)2 ,
1 1
2 2 1 2 2 1
对
1
2
，2E
A
2
2
1 0 0 1 ,
推论2 相似矩阵的迹相等；
线性代数 矩阵的对角化
−1
则有
−1 1 1 −2 0 P −1 AP = 0 1 0 0
−2 0 1 0 , 0 1 0 0 . 1
则有
即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应． ． 要相互对应
故
Ak = Pdiag(λ1k ,⋯ , λnk ) P −1
λ1k = P P −1 (6(6-11′) ⋱ k λn
λ2k
λ −4 λI − A = 3
3
−6 λ +5 6
0 0
= (λ − 1) (λ + 2)
2
λ −1
所以A的全部特征值为 λ1 = λ2 = 1, λ3 = −2.
− 2 ξ1 = 1 , 0
0 ξ2 = 0 . 1
将 λ3 = −2代入 (λI − A ) x = 0, 得方程组的基础 解系
例3 试将矩阵
解 特征多项式为
k (λ ) = 3− λ 2 2
3 − 1 − 2 对角化. A= 2 0 − 2 2 − 1 − 1
故特征方程 有根
λ (λ − 1) 2 = 0
λ1 = 0, λ 2 = λ3 = 1
为
对于λ1=0, (6(6-1′)
−1 −2 3− λ 1 2 −λ −2 = 2 2 λ −1 −1− λ 2 1 1+ λ
ρλ = mλ
（证略） 证略）
例５ 考察矩阵 A =
1 1 是否可对角化. 0 1
可求出对应于特征值λ=1的特征向量. 由于方程组的 系数矩阵之秩为1，故对应的特征子空间是1维的， 维的， 即
【线性代数教学资料】线性代数(14)
§5.2 相似矩阵
§5.3 实对称矩阵对角化（一）
❖目的要求：
❖
1、理解相似矩阵的概念与性质
❖
2、会利用相似矩阵解决简单问题
§5.2 相似矩阵
❖一、基本概念 定义5.2:设A，B都是n阶方阵，若存
在可逆矩阵p，使p-1Ap=B 则称B是A的相似矩阵，或称A相 似于B。 记作A～B
❖
1 2
1
p1Ap
2 1
2
1
2 1
2
12
12
1 1
11
1
2 3
2
1 2 3
2
1 1
11
1 0
03
1 2
12
~
1 0
03
或 A~∧ 其中∧为对角矩阵。
说明A的相似矩阵不唯一,p选得好，可使A与一个 对角矩阵相似
若
1
B
2
n
则B的特征值为λ1,λ2,…,λn
❖二、性质
❖ 1、反身性：对任一方阵A，都有A~A
A
是A※的特征值。
❖ 例8：设A为n阶实矩阵，满足AAT=I（I为单位矩阵）
A 0 试求A的伴随矩阵A※的一个特征值。
证明：∵ AAT=I ∴ AAT+A=I+A
A(AT+I)=A+I
两边取行列式，得
A AT I A I A (A I )T A I
(A I )T A I A A I A I
❖ 即 A(1,2 , ,n ) ( A1, A2 , , An )
(11, 22 , , nn )1n
1
(1, 2 ,
,
n
)1n
即Ap=p∧
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(2) 由于A~B,所以A的特征值为
1 1 ,22,3 2.
由 A E x 0 ,求 A 的 特 征 值 .
当λ1=-1时，由
1 0 0
1 0 0
A
E
2
1
2
～
0
1
2
3 1 2 0 0 0
0
得基础解系:
P1
2
,
1
当λ2 ＝2时，
4 0 0 1 0 0
A
2E
2
2
(2 )若 A 与 B 相 ,且 似 A 可 ,则 逆 B 也,可 且 A 1 与 逆
B 1 相 ; 似 (3 )A 与 B 相 ,则 似 k与 A k相 B,k 为 似; 常数
(4)若 A 与 B 相,而 似 f(x)是一,多 则 f(A 项 )与式 f(B )相.似
２．相似变换与相似变换矩阵
0
2
0
.
3 1 1
0 0 y
（1）求x和y的值,
2求可P 逆 ,使 P 1 矩 A P 阵 B .
（同型题：习题课教程P132第11题）
解 (1)因为A~B,所以B的主对角线元素是A的特 征值.因此有
2x112y,
AE AE 0.
整理得xx
y 2, 0,
解得
x 0, y 2.
2
～
0
1
1
,
3 1 1 0 0 0
得基础解系:
P2
0
1
,
1
当λ3 ＝-2时，
0 0 0 1 0 1
A
2E
2
2
2
～
0
1
0
,
3 1 3
0 0 0
1
得基础解系:
P3
0
,
1
令可逆矩阵
0 0 1
P
(P1,
P2,
P3)
2
1
0 .
1 1 1
即为所求.
3 2 2
§3 方阵相似于对角矩阵的条件
一、相似矩阵的概念
定义3.1.设A、B都是n阶方阵,若存在可逆矩阵P使
P1AP B
则称B是A的相似矩阵,或说B与A相似. 对A进行运 P1算 AP,称为对A进行相似变换, 可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.记作A~B.
二 、相似矩阵的性质
相似是矩阵之间的一种关系,这种关系具有以下性质:
下面我们举例说明,对于可以相似对角化的方阵, 其高次幂的计算可以得到简化.
例3.1 已知
（书P132）
A
2
1
2 3
,
计算A100
解 EA 12 23(1)(4).
A有两个互异的特征值。
λ1=1, λ2=4.故A可相似对角化.分别求得A对应
于λ1, λ2
的特征 向量α1, α2为
2
1
1
例3.4
设矩阵
A
k
1
k
,
4 2 3
问当k为何值时,存在可逆矩阵P,使得P-1AP为对角
阵，并求出 P和相应的对角阵。
解由
3 2 2
AE k 1 k
4 2 3
1 2 2
0 1 k
0 0 1
(1)2(1)0.
得A的特征值为： λ1= λ2=-1， λ3=1. 对于λ1= λ2=-1时，有
性质1 相似矩阵具有 1) 反身性 :任意方阵A,都有A~A； 2) 对称性 :若A~B,则B~ A； 3) 传递性:若A~B,B~C,则 A~ C。
性质2 若A~B，则R(A)=R(B ). 性质3 若A~B，则|A|=|B |.即A、B同时可逆或 同时不可逆。
性质4 若A~B，则AT~BT.
性质5 若可逆矩阵A~B，则B也可逆，且A-1~B-1. 性质6 若A~B,则对于任意的多项式f(λ),必有
一个方阵具体什么条件才能对角化？这是一个 比较复杂的问题,我们对此不作一般性的讨论, 而 仅讨论当 A为实对称矩阵的情形.
小结
１．相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好
的性质，除了课堂内介绍的以外，还有： ( 1 )A 与 B 相 ,则 d 似 A e ) d t( B e ); t(
2
k
4 2 4
1 1 1 1 0 1
～
k
2
k
～
0
1
0
，
0 2 0 0 0 0
1
对应特征向量可取为:
P3
0
.
因此,当 k = 0 时,令
1
1 1 1
1 0 0
P2 0 0，故P1AP0 1 0.
0 2 1
0 0 1
从上面的讨论和例题可知, A有n个单特征值,则A必 可对角化,而当 A有重特征值时, 就不一定有n 个线性无 关的特征向量 ,从而不一定能对角化 .上次课讲例2.3的 二重特征值不能对应两个线性无关的特征向量 ,所以该 方阵不能对角化. 而在本节例1中A也有二重特征值,但却 能找到 3个线性无关特征向量.所以例1中A能对角化.例 3的讨论也说明不是所有方阵都能对角化.
,
1
2
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
.
令
P
2
1
1 1 ,
则应有
P-1AP
1 0
0 4.
由A=PΛP-1可得
A 2 P P 1 P P 1 P 2 P 1 .
类推可得 A 100P100 P1.
经计算可得
P 1
1 3
1 1
1
2
,
于是
A10021
11 10
010011 4 31
1 2
132144110000
相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A 变成 P1AP，而可逆矩阵 P称为进行这一变换的 相似变换矩阵．
这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种 运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与 之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从 而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对 角矩阵的运算．
3．矩阵可对角化的条件 定理 2 n阶矩A阵 与对角矩阵 (即A相 能似 对角 ) 化
的充分必要A条 有n个 件线 是性无关的.特 4．矩阵对角化的过程
（1）计算特征根和特征向量，看是否有n个线性 无关的特征向量。
（2）可逆的相似变换矩阵的构成就是n个线性无 关的特征向量。
（3）对角阵的对角线的元素构成为n个线性无关 的特征向量对应的特征值。
1
2
O
n
相似,则λ1，λ2，…, λn是A的n个特征值.
三、相似矩阵的定理
定理3.1 n阶方阵A与对角矩阵相似 (A能对角化) 的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.
补充 n阶方阵A与对角矩阵相似 的充分必要条件是A
的每个k重特征值 k 的特征矩阵A- k E的秩为 n-k.
定理3.4 如果n阶矩阵A(在数域F上)存在n个互 异特征值,则A必可(在数域F上)相似于对角矩阵.
② 由 (A E )x 0 ,求 A 的 特 征 向 量 .
当λ1=-1时，解方程(A+E)x=0,由于
1 1 1 1 0 1
A
E
0
3
0
0
1
0
4 1 4 0 0 0
得基础解系
1
P1
0
.
1
当λ2= λ3= 2时，解方程(A-2E)x=0,由
4 1 1 4 1 1
f(A)~ f(B).
性质7 若A~B,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的 特征值相同（从而迹相同）.
值得注意的是，特征多项式相同的矩阵未必相似.
例如
A
1
0
1 1
,
E
1
0
0 1
,
显然A与E的特征多项式都是(λ-1)2,但可以证
明它们并不相似.因为与E的矩阵只有它自身。
性质8 若n阶矩阵A与对角矩阵
224100
124100
.
例3.2
求一可逆矩阵P,把
A
2
0
1 2
1
0
化成对角矩阵.
4 1 3
解 ①由|A－λE|=0,求A的全部特征值.
2 1 1
AE 0 2 0
4 1 3
(2) 2
4
1
3
(2)(22)
(1)(2)2.
所 以 A 的 特 征 值 是 1 1 ,2 3 2 .
A
2E
0
0
0
0
4 1 1 0
0
0
，
0 0
得基础解系为
0 1
P2
1
,
P3
0
.
1
4
③把P1，P2，P3拼成矩阵P，即
1 0 1
1 0 0
P
0
1
0
,
故
P
1 AP
0
2
0
.
1 1 4
0 0 2
例3.3 设矩阵A与B相似,其中
2 0 0
1 0 0
A
2
x
2
,
B
4 2 2 4 2 2
(A λE) k
0
k
～
k
0
k
,
4 2 2 0 0 0
当k = 0 时,上式变为
4
0
0
2 0 0
2
1
0
0
～
0
0
1 2 0 0
1
2
0 ,
0
1
1
对应特征向量可取为: