§1[1].2.2函数的表示方法(二)
必修1课件1.2.1-2 函数的概念 (二)
3．分段函数：有些函数在它的定义域中，对于自变 量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通 常称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个 函数. 4．复合函数：设 f(x)=2x3，g(x)=x2+2，
则称 f[g(x)] =2(x2+2)3=2x2+1
g[f(x)] =(2x3)2+2=4x212x+11为复合函数.
2
a2
实数a 的取值范围(0,2].
复合函数
例如、y f (u ) u 2 , u R u g ( x) 2 x 1, x R 则y f [ g ( x)] (2 x 1) , x R.
2
例4．已知
f ( x) 的定义域为[-1,3]，
的定义域。 解：∵f(x)的定义域为[-1,3]，∴ 1 ∴
例2、求函数 y x 4x 6, x [1,5] 的值域
解：配方，得 ( x 2) 2 y xR y 2
2
函数的值域为 y | y 2} {
7 7 ∴函数的定义域为： , ) ( , ) ( 3 3
例3. 若函数
1 y ax ax 的定义域是R， a
2
求实数a 的取值范围
解：∵定义域是R,
1 ∴ ax ax 0恒成立， a a0 0 1 等价于 2 a 4a 0 a
例6．已知y=f(x+1)的定义域为[1,2]，求f(x)，f(x-3) 的定义域。 解：∵y=f(x+1)的定义域为[1,2]， 即f(x)的定义域为[2,3] 又∵f(x)的定义域为[2,3]， ∴ ∴
∴ 2 x 1 3
2 x3 3
§2 2.2 函数的表示法
像这样， 像这样，用图像把两个变量间的函数关系表示出来 的方法，称为图像法. 的方法，称为图像法. 特点：图像法可以直观地表示函数的局部变化规律， 特点：图像法可以直观地表示函数的局部变化规律， 进而可以预测它的整体趋势. 进而可以预测它的整体趋势.
3.解析法 3.解析法
一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式 （简称解析式）表示出来，这种方法称为解析法. 简称解析式）表示出来，这种方法称为解析法. 例如，设正方形的边长为x 面积为y 例如，设正方形的边长为x，面积为y，则y 是x的函数，用解析式表示为 y 的函数，
2.2 函数的表示法
1. 通过丰富的实例，体会函数的三种表示方法. 通过丰富的实例，体会函数的三种表示方法. 体会三种表示方法的使用情境与各自的特点. 2. 体会三种表示方法的使用情境与各自的特点. 3.通过具体实例，了解简单的分段函数， 3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能 通过具体实例 简单应用. 简单应用.
= x , x ∈ (0, +∞).
2
特点： 特点：解析法表示的函数关系能较便利地通过计算 等手段研究函数性质.但是，一些实际问题很难找到它的 等手段研究函数性质.但是， 解析式. 解析式.
例题讲解
例1.国内跨省市之间邮寄信函,每封信函的质量和对应的 1.国内跨省市之间邮寄信函, 国内跨省市之间邮寄信函 邮资如下表: 邮资如下表:
在研究函数的过程中， 在研究函数的过程中，采用不同的方法表示函 数，可以帮助我们从不同的角度理解函数的性质， 可以帮助我们从不同的角度理解函数的性质， 同时也是研究函数的重要手段. 同时也是研究函数的重要手段. 初中学习过的函数的表示法有三种： 初中学习过的函数的表示法有三种： 法一：列表法，即题中的表格. 法一：列表法，即题中的表格. 法二：解析法， 法二：解析法， 法三：图像法. 法三：图像法. y
教案8 函数的表示法(二)
包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思．
（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1．下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？
（1）A={ 是数轴上的点}，B=R，对应关系 ：数轴上的点与它所代表的实数对应；
（2）A={ 是平面直角坐标中的点}， 对应关系 ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
2
教
学
设
计
教学内容
教学环节与活动设计
A开平方B A求正弦B
（1）（2）
A求平方B A乘以2 B
（四）巩固深化，反馈矫正
1、画图表示集合A到集合B的对应（集合A，B各取4个元素）
已知：（1） ，对应法则是“乘以2”；
（2）A= ＞ ，B=R，对应法则是“求算术平方根”；
（3） ，对应法则是“求倒数”；
2、23页4题
教
学
小
结
怎样判断建立在两个集合上的一个对应关系是否是一个映射，你能归纳出几个“标准”呢？
课后
反思
3
5．函数的概念．
（二）研探新知
1．我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种对应就叫映射（板书课题）．
2．先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系：
（1）开平方；
（2）求正弦；
映射的概念
教
学
设
计
教学内容
教学环节与活动设计
（一）创设情景，揭示课题
复习初中常见的对应关系
1．对于任何一个实数 ，数轴上都有唯一的点 和它对应；
函数的表示方法及分段函数
5 25
小明带了25元钱，去买某种笔记本的单价是 5元，买x个笔记本需要y元.试用解析法和列 表法表示y与x的函数关系.
图像法欣赏
y（元）
25
20 15 10 5 0 1
2
3
4
5 x（本）
分段函数
国内跨省市之间邮寄平信,每封信的重量 x 和对应的邮资 y 如下表:
信函质量(x)/g 邮资(y)/元
优点：能形象直观显示 数据的变化规律
y
6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x -1 -2 函数可以用图像法来表 -3 -4 示，但并不是形如图像 -5 的变量关系，都是函数 -6
关系。
注意
函数的三种表示方法
解析法 列表法 图象法
函数的三种表示方法，各有优缺点。 解析法表示简洁，列表法数值清晰，图像法变化 直观。但是，解析法不能表示所有的函数，列表 法只能反映局部的函数关系，图像法又不够精确。 现实生活中常常根据实际问题的需要选择函数的 表示方法。
探究二：分段函数求值
例2：已知函 数
5 (1) 求f(－5)，f(－3)，f[f(－ )]的值； 2
(2) 若f(a)＝3，求实数a的值。
解
(1)、f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－ 3)＝(－ 3)2＋2(－ 3)＝3－2 3.
5 5 3 3 － ∵f 2 ＝－ ＋1＝－ ，而－2<－ <2， 2 2 2 3 5 3 ∴f[f(－ )]＝f－2＝－ . 2 4
设票价为y，里程为x，则根据题意，如果某空 解： 调汽车运行路线中设21个汽车站，那么汽车行 驶的里程约为20公里，所以自变量x的取值范围 是（0，20]。 由空调汽车票价的规定，可得到以下函数解析式： 2, 0<x ≤ 5 3, 5 < x ≤ 10 4, 10 < x ≤ 15 y= 5, 15 < x≤20
§2.2 函数的定义域、值域及函数的解析式
(3)常见基本初等函数的定义域
①分式函数中分母不等于零． ②偶次根式函数、被开方式大于或等于0. ③一次函数、二次函数的定义域为___. R ④y＝ax (a>0且a≠1),y＝sin x, y＝cos x,定义域均为__. R { x | x R且x k π , k Z} π ⑤y＝tan x的定义域为________________________. 2 0的定义域为_________________． ⑥函数f(x)＝x {x|x∈R且x≠0}
R
{ y | y R且y 0}
④y＝ax (a>0且a≠1) ⑤y＝logax (a>0且a≠1) ⑥y＝sin x, y＝cos x ⑦ y＝tan x 主页
(0, ) R [1, 1] R
要点梳理
忆一忆知识要点
3．函数解析式的求法
(1)换元法：若已知f(g(x))的表达式，求f(x)的解析式, 通常是令g(x)＝t，从中解出x＝ (t)，再将g(x)、x代入已知 解析式求得f(t)的解析式，即得函数f(x)的解析式，这种方 法叫做换元法，需注意新设变量“t”的范围． (2)待定系数法：若已知函数类型，可设出所求函数的 解析式，然后利用已知条件列方程(组)，再求系数． (3)消去法：若所给解析式中含有f(x), f ( 1 ) 或 f(x), f(－x) x 等形式，可构造另一个方程，通过解方程组得到f(x)． (4)配凑法或赋值法：依据题目特征，能够由一般到特 殊或由特殊到一般寻求普遍规律，求出解析式．
对称性
函数的 基本性质 奇偶性 周期性 最值 函数常见的 几种变换 基本初等 函数 复合函数 抽象函数 函数与方程 函数的应用 常见函数模型
函 数
平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换. 正(反)比例函数; 一次(二次)函数; 幂、指、对函数;
函数的表示
§1.2.2 函数的表示法¤学习目标：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数；通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；了解映射的概念.¤知识要点：一．函数有三种表示方法：1、解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；2、图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）；3、列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）.二．分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x，对应法则不同）.三．一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应:f A B→为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“:f A B→”.判别一个对应是否映射的关键：A中任意，B中唯一；对应法则f.¤例题精讲：例1：某种笔记本的单价是5元，买{}(1,2,3,4,5)x x∈个笔记本需要y元，试用函数的三种表示法表示函数()y f x=练习：如图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．例2画出的y x=图象练习：1．画出下列函数的图象：（1）|1|y x=-；（2）|1||4|y x x=-++.2．函数f(x)= 2(1)xx x⎧⎨+⎩,0,0xx≥<，则(2)f-=（）.A. 1 B .2 C. 3 D. 4例3：某市“招手即停”公共汽车的票价按照下列规则制定：（1）5公里以内（含5公里），票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价为1元（不足5公里的按照5公里计算）。
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。
新北师大版高中数学必修1课件：第二章 §2 2.2 第1课时 函数的三种表示方法
题型一 题型二 题型三
反思列表法、图像法和解析法分别从三个不同的角度刻画了自 变量与函数值的对应关系.采用列表法的前提是定义域内自变量的 个数较少;采用图像法的前提是函数的变化规律清晰;采用解析法 的前提是变量间的对应关系明确.
题型一 题型二 题型三
【变式训练1】 某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个 笔记本需要y元,试用三种表示法表示函数y=f(x).
123456
解析:由题意知该学生离学校越来越近,故排除选项A;又由于开始 匀速,后来因交通堵塞停留一段时间,最后是加快速度行驶,故选C. 答案:C
123456
3若g(x+2)=2x+3,则g(3)的值是( ) A.9 B.7 C.5 D.3 答案:C
123456
4某航空公司规定,乘客所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由图中 的函数图像确定,则乘客可免费携带行李的最大质量为( )
题型一 题型二 题型三
题型一 函数的表示方法 【例1】 某商场新进了10台彩电,每台售价3 000元,试分别用列 表法、图像法、解析法表示售出台数x(x∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10})与 收款总额y(元)之间的函数关系. 分析:明确函数的定义域 明确函数的值域 用三种表示 方法表示函数
2.2 函数的表示法
第1课时 函数的三种表示方法
1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图像法、列表法. 2.会作简单函数的图像,掌握求函数解析式的一般方法.
1.函数的表示法
名师点拨函数的三种表示方法的优缺点比较.
【做一做1】 以下形式中,不能表示“y是x的函数”的是 ( )
A.
x
1
2
3
4
必修1课件1.2.2函数的表示法
笔记本数x 钱数y
1 5
2 10
3 15
4 20
5 25
例2.下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年 度六次数学测试的成绩及班级平均分表。
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
王 伟 张 城 赵 磊
班平分
98 90 68 88．2
87 76 65 78．3
91 88 73 85．4
92 75 72 80．3
观察得出映射（1）有两个特点： ①集合A中不同的元素在B中有不同的象； ②集合B中的元素都有原象；
一一映射：
设A、B是两个集合， f : A B 是集合A到集合B 的映射，如果在这个映射下，对于集合A中不同的元 素在B中有不同的象，而且集合B中的每一个元素都 有原象，这个映射叫做A到B上的 一一映射。
解：这个函数的定义域是数集｛1，2，3，4，5｝
用解析法可将函数y=f(x)表示为
y 5 x, x 1, 2, 3,4,5
用列表法可将函数表示为
笔记本数x 钱数y
1 5
2 10
3 15
4 20
5 25
用图象法可将函数表示为下图
y 25
20 ． ．
1 2 3 4
．
5
x
上例中（1）是A到B上的一一映射，（2）是A到B的 映射，但不是一一映射。
一一映射： 设A、B是两个集合， f : A B 是集合A到集合B 的映射，如果在这个映射下，对于集合A中不同的元 素在B中有不同的象，而且集合B中的每一个元素都 有原象，这个映射叫做A到B上的 一一映射。 注意：
①一一映射中集合A中不同的元素在B中有不同的象， 集合B中的元素都有原象；
例6 .判断下列对应是否映射？有没有对应法则？
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§1.2.2 函数的表示法（二）
编制：陈伟锋 审核：高一备课组 2009年8月 高一年级 班级 姓名
学习目标
1. 了解映射的概念及表示方法；
2. 能解决简单函数应用问题. 学习重、难点
重难点： 映射的概念. 知识链接
1．函数的定义是 ． 2．函数的三要素指 ． 3．函数的表示方法有 、 、 ． 学习过程
一、知识点解析
一般地，设 A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f ，使对 于集合 A 中的_______________元素 x ，在集合 B 中都有_________________ 的元素 y 与之对应，那么就称对应 f : A →B 为从集合 A 到集合 B 的一个映 射（mapping ）．记作“ f : A →B ” 注：
① 映射的对应情况有__________、_________ ，一对多是映射吗？_________. ② 关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则 f.
③ 函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱 化为“任意两个非空集合”， 按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对 应关系，即映射. 二、典型例题
例1 用图示意两个集合 A 、B 的元素之间的一些对应关系，并判断是否为映射？ ① A = {1,4,9} , B ={-3,-2,-1 ,1,2,3} ，对应法则：开平方； ② A ={-3,-2,-1 ,1,2,3} ， B = {1,4,9} ，对应法则：平方； ③ A ={30°,45°,60°} , B ={1, 22, 2
3 ,21}, 对应法则：求正弦.
例2 探究从集合 A 到集合 B 一些对应法则，哪些是映射？如果是从 B 到 A 呢？ （1）A={P | P 是数轴上的点}，B=R ； （2）A={三角形}，B={圆}；
（3）A={ P | P 是平面直角体系中的点}，B ={(x, y) | x ∈R, y ∈R} ； （4）A={ x ∣ x 是新华中学的班级}，B= { x ∣x 是新华中学的学生}.
当堂检测
练1.下列对应是否是集合 A 到集合B 的映射？
（1）A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则 f : x →2x + 1 ； （2）A = N* ,B = {0,1} ，对应法则 f : x → x 除以 2得的余数； （3）A = N ， B = {0,1,2} ， f : x →x 被 3 除所得的余数； （4）设X={1,2,3,4},Y={1,
21 , 3
1
, 41 }， f : x →x 1； （5） A ={x | x > 2, x ∈N}, B = N ， f : x →小于 x 的最大质数.
（6）A ={1,2,3,4} , B = { 2,4,6,8} ，对应法则是“ 乘以 2”； （7）A=R*，B=R ，对应法则是“求算术平方根”；
（8） A = { x | x ≠ 0} , B =R ，对应法则是“求倒数”.
练 2. 已知集合 A = { a,b} , B = {- 1,1} , 从集合 A 到集合 B 的映射，试问能构造 出多少映射？
学习小结
1. 映射的概念；
2. 判定是否是映射主要看两条：一 条是 A 集合中的元素都要有对应，但B 中元素未必要有 对应；二条是 A 中元素与 B 中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形式．
作业布置
1. 在映射 f : A → B 中， A = B = {(x, y) | x, y ∈R} ，且 f : (x, y)→(x - y, x + y ) ，则 与 A 中的元素(-1 ,2)对应的 B 中的元素为（ ）. A. (- 3,1) B. (1,3) C. (-1,- 3) D. (3,1)
2.下列对应 f : A → B ：
① A = R, B = { x ∈R x > 0} , f : x → x ; ② A = N, B = N* , f : x →∣x - 1∣;
③ A = { x ∈R ∣ x > 0} ,B = R, f : x →2
x .
不是从集合A 到 B 映像的有（ ）.
A. ①②③
B. ①②
C. ②③
D. ①③ 3. 已知f(
x 1)=x
11， 则 f (x ) =______________ . 4. 已知 f(x)= 2
x - 1，g(x)= x + 1 则 f[g(x)] = ________________.。