高一函数的表示方法
高一上学期函数的知识点
高一上学期函数的知识点一、函数的概念及表示方法函数是一种将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素的关系。
通常用f(x)来表示函数，其中x是自变量，f(x)是函数对应的因变量。
二、函数的定义域与值域1. 定义域是指函数中自变量的取值范围。
根据函数的特性和限制条件，定义域可以是实数集、整数集或其他特定的集合。
2. 值域是指函数中因变量的取值范围。
根据函数的关系式，结合定义域的范围，可以确定函数的值域。
三、函数的图像与性质1. 函数的图像是函数在坐标系中的表示形式，横轴表示自变量，纵轴表示因变量。
通过图像可以观察函数的增减性、奇偶性、周期性等性质。
2. 增减性是指函数在定义域中的单调性，可以通过观察图像的上升和下降来确定。
3. 奇偶性是指函数在定义域中的对称性，奇函数在原点对称，偶函数在y轴对称。
4. 周期性是指函数在定义域中的重复性，可以通过观察图像的重复部分来确定周期。
四、函数的基本类型与特点1. 线性函数：函数的图像是一条直线，表达式为f(x) = kx + b，其中k和b为常数。
线性函数的图像是一条直线，斜率为k，截距为b。
2. 平方函数：函数的图像是一个抛物线，表达式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b和c为常数。
平方函数的图像开口方向由a的正负确定。
3. 绝对值函数：函数的图像是一个V型的折线，表达式为f(x) = |x|。
绝对值函数的图像在原点处有一个拐点。
5. 二次函数：函数的图像是一个U型的抛物线，表达式为f(x) = ax² + bx + c，其中a不等于0。
二次函数的图像开口方向由a的正负确定。
六、函数的性质与应用1. 奇偶性对称性：根据函数的奇偶性可以确定在特定区间内的对称性，从而快速求解函数值。
2. 函数的最值：通过求解函数的极值点，可以确定函数在特定区间内的最大值和最小值。
3. 函数的图像平移、翻转和缩放：通过改变函数的参数，可以使函数的图像在平面坐标系中发生平移、翻转和缩放。
高一函数 知识点大全
高一函数知识点大全一、函数的定义函数是一种数学操作，它将输入值（或参数）映射到输出值（或结果）。
函数的定义通常包括函数名称、参数列表和函数体。
在高一阶段，我们将学习一些基本的函数，如一次函数、二次函数、幂函数和对数函数等。
二、函数的表示方法函数的表示方法有三种：符号表示法、列表表示法和图像表示法。
符号表示法是用函数名称和参数列表来表示函数，例如y = 2x + 1；列表表示法是将输入值和对应的输出值列成一个表格；图像表示法是通过绘制函数的图像来表示函数的关系。
三、函数的性质函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性和对称性等。
奇偶性是指函数是否具有奇偶性；单调性是指函数在某个区间内是单调递增或单调递减；周期性是指函数是否存在周期性；对称性是指函数是否具有对称性。
四、函数的运算函数的运算包括函数的加减乘除、复合运算和反函数运算等。
函数的加减乘除是指将两个或多个函数进行加、减、乘、除运算；复合运算是指将多个函数嵌套在一起，形成一个复合函数；反函数运算是指将一个函数转换为其反函数。
五、函数的图像函数的图像是用来描述函数变化的直观工具。
在绘制函数的图像时，我们需要先确定函数的定义域和值域，然后根据函数的表达式绘制出对应的图像。
同时，我们还需要掌握一些常见的图像变换方法，如平移、伸缩和对称变换等。
六、函数的实际应用高一函数知识点还包括一些实际应用，如利用函数解决实际问题、利用函数进行数据分析等。
在实际问题中，我们需要根据问题的具体情境来选择合适的函数和数学模型进行解决。
我们还需要掌握一些数据处理和分析的方法，如回归分析、聚类分析等。
高一函数知识点是数学学习的重要内容之一。
通过学习和掌握这些知识点，我们可以更好地理解函数的本质和特点，为后续的学习和实际应用打下坚实的基础。
高一函数知识点总结函数是数学的重要概念，是高中数学的核心内容。
在初中数学中，函数通常被视为变量之间的依赖关系，而高中的函数则更加强调映射的概念。
高一数学函数的概念表示
函数概念与表示一、知识要点：1．函数的定义及“三要素”： 定义域、对应关系 、值域。
2.常用的函数表示法：（1）列表法：（2）图象法：（3）解析法（分段函数）：（4）复合函数：（1）求函数定义域一般方法：①给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；②实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；③复合函数定义域： ,已知()f x 的定义域[],a b ，其复合函数[]()f g x 的定义域。
由()a g x b ≤≤解出。
已知[()]f g x 的定义域[],a b ，求()f x 的定义域。
是()g x 在[],a b 上的值域 （2）求函数解析式的方法：①已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法； ②已知复合关系，求函数的解析式：换元法、配凑法； ③已知函数图像，求函数解析式；数形结合法； （3）求函数值域的类型与求法：类型：①求常见函数值域；②复合函数的值域；③组合函数的值域。
$求法：①直接法、②配方法、 ③离常数法、④换元法、⑤逆求法、⑥判别式法、⑦数形结合。
二、基础练习：1、下各组函数中表示同一函数的有（1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ； （2）f （x ）=x x ||，g （x ）=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x（3）f （x ）=x 1+x ，g （x ）=x x +2； （4）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1。
2、函数y=x x x +-)1(的定义域为3、已知函数()f x 定义域为(0，2)， 2()23f x +定义域 ；*4、(2009山东卷理)定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x则f （2009）的值为5、设函数1()f x =112223()(),x f x x f x x -==，，则123(((2007)))f f f = ．三、例题精讲： 题型1：函数关系式例1．设函数).89(,)100()5()100(3)(f x x f x x x f 求⎩⎨⎧<+≥-=)变式1：已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出则[(1)]f g 的值为；当[()]2g f x =时，x =．题型2：求函数解析式例2.（1）f(x +1)=x+2x ;求f(x)(2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式.]（3）已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x 。
高一函数基础知识点
高一函数基础知识点函数是数学中的重要概念，它在数学和其他学科中都扮演着重要的角色。
高一学生在学习函数时，需要掌握一些基础的知识点，这些知识点对于理解和应用函数至关重要。
本文将介绍高一函数的基础知识点，帮助学生打好函数学习的基础。
1. 函数的定义在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
函数通常用符号表示，例如f(x)或y，其中x是自变量，y是因变量。
函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
2. 函数的表示方法函数可以用不同的表示方法来表示。
常见的表示方法有函数图像、函数关系式、函数表和函数定义域与值域等。
函数图像是函数在坐标系中的表示，可以直观地看出函数的性质。
函数关系式表示自变量和因变量之间的关系，例如y = f(x)。
函数表是将自变量和对应的因变量值列出来的表格。
函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
3. 函数的性质函数具有一些重要的性质，这些性质对于理解函数的特点和应用非常重要。
常见的函数性质有奇偶性、单调性和周期性等。
奇偶性是指函数关于y轴对称或关于原点对称的性质。
单调性是指函数在定义域上是递增还是递减的性质。
周期性意味着函数的值在一定的范围内重复出现。
4. 基本函数高一学生需要了解一些基本的函数，例如常数函数、一次函数、二次函数和指数函数等。
常数函数是形如f(x) = c的函数，其中c是一个常数。
一次函数是形如f(x) = kx + b的函数，其中k和b是常数。
二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是常数。
指数函数是形如f(x) = a^x的函数，其中a是一个常数。
5. 函数的运算高一学生需要掌握函数的运算规则，包括函数的加减乘除和复合等。
函数的加减运算是指将两个函数相加或相减得到一个新的函数。
函数的乘法是指将两个函数相乘得到一个新的函数。
函数的除法是指将一个函数除以另一个函数得到一个新的函数。
高一数学函数的表示方法
函数的表示方法(一)1、列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法2、图像法：如果图形F 是函数)(x f y =的图像，则图像上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图像上.这种由图形表示函数的方法叫做图像法.3、如果在函数)(x f y =)(A x ∈中，)(x f 是用代数式来表达的，这种方法叫做解析法4、讨论分别用a x -，a y -分别替换函数)(x f y =中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？5、讨论分别用x -，y -分别替换函数)(x f y =中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？6、讨论分别用ax ，by 分别替换函数)(x f y =中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？7、讨论分别用||x ，|)(|x f 分别替换函数)(x f y =中的x ，)(x f 以后函数的图像会发生哪些变化？8、试作出下列函数的图像： （1）43-+=x x y （2）11-=x y11、若)3()3(x f x f +=-，那么函数)(x f 的图像有何性质？ 12、)3(x f y -=与)3(x f +的图像之间有何关系函数的表示方法(二)1．例题：例1．（1）已知一次函数()f x 满足(0)5f =，图象过点(2,1)-，求()f x ；（2）已知二次函数()h x 与x 轴的两交点为(2,0)-，(3,0)，且(0)3h =-，求()h x ； （3）已知二次函数()F x ，其图象的顶点是(1,2)-，且经过原点，()F x ．例2．（1）已知2()43f x x x =-+，(1)f x +； （2）已知2(1)2f x x x +=-，求()f x ．例3．函数在闭区间[1,2]-例4．某人开汽车以60/km h 的速度从A 地到150km 远处的B 地，在B 地停留1h 后，再以50/km h 的速度返回A 地，把汽车离开A 地的路程()x km 表示为时间()t h （从A 地出发是开始）的函数，并画出函数的图象；再把车速v /km h 表示为时间()t h 的函数，并画出函数的图象．例5．已知一个函数的解析式为22y x x =-，它的值域为[1,3]-，这样的函数有多少个？试写出其中两个函数．2．练习：（1）练习：（1）已知2(3)21f x x =-，求()f x ； （答案：22()19f x x =-）（2）已知2211()1f x x xx-=++，求()f x ．（答案：2()3f x x =+）3．小结：1．已知函数类型，求函数解析式，常用待定系数法；它的基本步骤是：设出函数的一般式（或顶点式等），代入已知条件，通过解方程（组）确定未知系数； 2．已知()f x 的解析式，求[()]f g x 时，把x 用()g x 代替；已知[()]f g x 的解析式，求()f x 时，常用配凑法或换元法；3．在解决实际问题时，求出函数解析式后，一定要写出定义域。
函数的表示高一数学知识点
函数的表示高一数学知识点函数的表示函数是数学中的一种重要概念，对于高一学生来说，理解和掌握函数的表示方法是非常关键的数学知识点之一。
本文将介绍常见的函数表示方式，包括文字描述、符号表示和图像表示。
一、文字描述法文字描述法是最基本的函数表示方式之一。
通过用自然语言来描述函数的特征和性质，可以简单明了地表达函数的规律。
例如，对于函数y = 2x + 1，我们可以用文字描述为：函数y等于2乘以x再加1。
二、符号表示法符号表示法是一种常用的函数表示方式，用数学符号和表达式来表示函数的关系。
常见的函数表示符号包括等式、不等式、代数式等等。
1. 函数等式表示函数等式表示是一种常见的函数表示方式，可用于表示函数的映射关系。
例如，函数y = 2x + 1就是一种函数等式表示。
其中，x表示自变量，y表示因变量，2x + 1表示函数的规律。
2. 函数不等式表示函数不等式表示常用于表示函数的定义域、值域以及不等式关系。
例如，对于函数y = x^2，我们可以用不等式|x| ≤ 1来表示其定义域为[-1, 1]。
3. 函数代数式表示函数代数式表示是基于代数式的表达方式，常用于表示函数的表达式和方程。
例如，函数y = ax^2 + bx + c就是一种函数代数式表示，其中a、b、c为常量。
三、图像表示法图像表示法通过绘制函数的图像来展示函数的特征和规律。
常用的图像表示方式包括直角坐标系上的函数图像、极坐标系上的函数图像等。
1. 直角坐标系上的函数图像直角坐标系上的函数图像是最常见的函数表示方式之一。
通过在平面直角坐标系上绘制自变量和因变量的关系，可以直观地展示函数的变化规律。
例如，对于函数y = sin(x)，我们可以在直角坐标系上绘制正弦曲线。
2. 极坐标系上的函数图像极坐标系上的函数图像常用于表示周期性函数，通过在极坐标系上绘制自变量和因变量的关系，可以更准确地展示函数的周期性特征。
例如，对于函数r = a + bcosθ，我们可以在极坐标系上绘制螺旋线。
高一数学函数知识点归纳总结大全
高一数学函数知识点归纳总结大全函数是数学中非常重要的概念之一，在高一阶段的数学学习中，我们会接触到许多有关函数的知识点。
本文将对高一数学函数知识点进行归纳总结，旨在帮助同学们系统地理解和掌握这些内容。
一、函数的定义和表示方法函数是一个将一个集合中的元素（称为自变量）映射到另一个集合中的元素（称为因变量）的规则。
函数可以用各种方式来表示，常见的有解析式、图像和表格。
1. 解析式表示法：函数可以用解析式来表示，通常采用f(x)或y的形式表示。
例如：f(x) = 2x + 1，y = sin(x)。
2. 图像表示法：函数的图像是用直角坐标系上的点表示的，其中自变量通常对应横坐标，因变量对应纵坐标。
3. 表格表示法：函数可以用表格形式来表示，其中列出自变量的取值和对应的因变量的取值。
二、函数的性质了解函数的性质有助于我们更好地理解函数的特点和行为。
1. 定义域和值域：函数的定义域是指所有使得函数有意义的自变量的取值范围，而值域则是函数的所有可能的因变量的取值范围。
2. 奇偶性：如果对于函数的定义域中的任意x值，都有f(-x) =f(x)成立，则函数是偶函数；如果对于函数的定义域中的任意x值，都有f(-x) = -f(x)成立，则函数是奇函数；否则函数既不是偶函数也不是奇函数。
3. 单调性：如果函数的自变量增加时，其对应的因变量是单调递增或单调递减的，我们称这个函数是单调函数。
4. 周期性：如果函数的某个正数T满足对于函数的所有x值都有f(x+T) = f(x)成立，则称函数具有周期性，T是函数的一个周期。
三、常见函数的类型在高一阶段，我们会学习到以下几类常见的函数。
1. 一次函数：一次函数的解析式为f(x) = ax + b，其中a和b是常数，且a≠0。
一次函数的图像是一条斜率为a的直线。
2. 二次函数：二次函数的解析式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数，且a≠0。
二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。
高一数学函数的常用表示方法
2.1.2函数表示法 课件
例5 画出函数y=|x|的图象.
解：由绝对值的概念，我们有
y=
图象如：
x, x≥0, -x, x<0.
y
5 4 3 2 1
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
例6.某市空调公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内(含5公里)，票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元 （不足5公里的按5公里计算）。
；单创:/roll/2019-10-14/doc-iicezuev2144522.shtml
;
；
于是，带她去看，说明病史后，老中医什么都没说，只是揭开自己的白大褂，她看见，他只有一条腿。 (17)他说，人活着，不是靠双腿，靠的是一颗完整的心，我只有一条腿，活得好好的，你还比我多半条腿呢，怕什么？ (18)从那以后，她常常去老中医那里，不是看病，而是疗心。 (19)再后来，父母给她装了假肢，搬了家，学了钢琴，当了钢琴老师，成了现在的自己。 (20)说完，她淡淡地笑，而我，似乎看见另外一个不一样的她，在我眼前，诉说别人的故事。 （21）是啊，如果不是偶然看见，在我心里，在我眼里，她依旧是那个只会撒娇、娇弱漂亮的公主，而此 刻，我似乎看见，那些她曾经受过的伤害和遭遇，凝聚成一股钢铁般的力量，让她坚强。 （22）再后来，她睡了。 （23）我走在走廊的尽头，心绪难平。 （24）我看见天边有一颗星星，异常耀眼，它像天空的眼睛，注视着大地，带给深沉无助的黑夜，一方光亮，也给黑夜里迷路的人们， 一抹希望。 （25）慢慢地，我看见天边泛着鱼肚白，黎明来了。 （26）那一刻，内心的迷茫，似乎慢慢退却，一点点被一束光照亮，所有难以启齿的磨难和曾经以为的绝望，慢慢变成了希冀。 （27）是的，繁华尽头有悲凉，尘埃深处是繁花。 （2017年5月9日） 16.
高一数学 函数的表示方法
1.2.2 函数的表示法第一课时函数的表示法Q 情景引入ing jing yin ru如果一个人极有才华，我们会用“才高八斗”来形容他；如果一个人兼有文武才能，我们会用“出将入相”来形容他；如果一个人是稀有而可贵的人才，我们会用“凤毛麟角”来形容他；如果一个人品行卓越，天下绝无仅有，我们会用“斗南一人”来形容他．那么对于函数，又有哪些不同的表示方法呢？X 新知导学in zhi dao xue 函数的表示法Y 预习自测u xi zi ce1．已知f(x)＝π(x∈R)，则f(π2)等于(B) A．π2B．πC．πD．不确定[解析]因为π2∈R，所以f(π2)＝π.2．某同学在一学期的5次大型考试中的数学成绩(总分120分)如下表所示：A．成绩y不是考试次数x的函数B．成绩y是考试次数x的函数C．考试次数x是成绩y的函数D．成绩y不一定是考试次数x的函数[解析]把考试次数组成的集合看作A＝{1,2,3,4,5}，成绩组成的集合看作B＝{90,102,105,106}，∴集合A中的任一个数在集合B中有唯一一个数与之对应，∴成绩y是考试次数x的函数．3．已知函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是(C)A．(－∞，1)∪(1，＋∞)B．RC．(－∞，0)∪(0，＋∞)D．(－1,0)[解析]由图象，知x≠0，即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．4．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f[f(3)]的值等于__2__.[解析]据图象，知f(3)＝1，所以f[f(3)]＝f(1)＝2.H 互动探究解疑u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨函数的三种表示方法典例1 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x 与收款数y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．[思路分析] 函数的定义域是{1,2,3，…，10}，值域是{3 000，6 000,9 000，…，30 000}，可直接列表、画图表示．分析题意得到表达y 与x 关系的解析式，注意定义域．[解析] (1)列表法：(3)解析法：y ＝3 000x ，x ∈{1,2,3，…，10}．『规律方法』 列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．在应用三种方法表示函数时要注意：(1)解析法：必须注明函数的定义域；(2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征； (3)图象法：是否连线． 〔跟踪练习1〕将一条长为10 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形．试用多种方法表示两个正方形的面积之和S 与其中一段铁丝长x 的函数关系．(x 属于正整数集)[解析] (1)解析法：S ＝(x4)2＋(10－x 4)2.将上式整理得S ＝18x 2－54x ＋254，x ∈{x |1≤x <10，x ∈N *}．(2)列表法：命题方向2 ⇨与函数图象有关的问题典例2 作出下列函数的图象并求出其值域．(1)y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]；(2)y ＝2x ，x ∈[2，＋∞)；(3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]．[思路分析] (1)画函数的图象时首先要注意的是什么？ (2)所给三个函数的大致图象分别是什么形式的？ [解析] (1)列表：当x ∈[0,2][1,5]．(2)列表当x ∈[2，＋∞)，图象是反比例函数y ＝2x的一部分，观察图象可知其值域为(0,1]．(3)列表由图可得函数的值域是[－1,8]．『规律方法』 (1)常见函数图象的特征： ①一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)是一条直线； ②y ＝kx (k ≠0)是与坐标轴无限接近的双曲线；③y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是顶点为(－b 2a ，4ac －b 24a )，对称轴为x ＝－b 2a的抛物线． (2)作函数图象时应注意以下几点： ①在定义域内作图；②图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；③要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．〔跟踪练习2〕作出下列函数的图象，并指出其值域． (1)y ＝x 2＋x (－1≤x ≤1)； (2)y ＝2x(－2≤x ≤1，且x ≠0)．[解析] (1)用描点法可以作出函数的图象如图． 由图可知y ＝x 2＋x (－1≤x ≤1)的值域为[－14，2]．(2)用描点法可以作出函数的图象如图．由图可知y ＝2x (－2≤x ≤1，且x ≠0)的值域为(－∞，－1]∪[2，＋∞)．Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi换元求解析式时忽略自变量的取值范围致误典例3 已知f (x －1)＝3－x ，求f (x )的解析式．[错解] 令x －1＝t ，则x ＝t 2＋1，所以f (t )＝3－(t 2＋1)＝2－t 2，即有f (x )＝2－x 2.[错因分析] 本例的错误是由于忽视了已知条件中“f ”作用的对象“x －1”是有范围限制的．利用换元法求函数的解析式时，一定要注意换元后新元的限制条件．[正解] 令x －1＝t ，则t ≥0，且x ＝t 2＋1，所以f (t )＝3－(t 2＋1)＝2－t 2(t ≥0)，即f (x )＝2－x 2(x ≥0)．[警示] 利用换元法求函数解析式时，一定要注意保持换元前后自变量的范围不变． X 学科核心素养ue ke he xin su yang 求函数解析式的常用方法1．待定系数法已知函数类型(如一次、二次、正比例、反比例函数等)，可先设出函数解析式，再依据所给条件，确定待定系数．典例4 已知f (x )为二次函数，其图象的顶点坐标为(1,3)，且过原点，求f (x )的解析式．[思路分析] 已知二次函数f (x )的顶点坐标，可设顶点(配方)式，再利用其他条件确定待定系数．[解析] 由于函数图象的顶点坐标为(1,3)，则设f (x )＝a (x －1)2＋3(a ≠0)． ∵函数图象过原点(0,0)，∴a ＋3＝0，∴a ＝－3. 故f (x )＝－3(x －1)2＋3. 即f (x )＝－3x 2＋6x .『规律方法』 (1)一次函数可设为y ＝kx ＋b (k ≠0)，正比例函数可设为y ＝kx (k ≠0)；反比例函数可设为y ＝kx (k ≠0)；已知二次函数f (x )的顶点或对称轴、最值时，可设顶点式f (x )＝a (x ＋m )2＋n ；已知二次函数与x 轴两交点坐标时，常设分解(标根)式f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)．已知f (x )的图象过某三点时，常设一般式f (x )＝ax 2＋bx ＋c ；(2)凡是已知函数(或方程、不等式等)的形式时，常用待定系数法求解． 2．恒成立的应用一般地，若f (x )与g (x )是同类型的函数(或具有相同的表达式)，f (x )＝g (x )恒成立，则f (x )与g (x )的对应项系数相等．典例5 已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )．[解析] 由题意可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＋5a ＝17，∴a ＝2，b ＝7.∴f (x )＝2x ＋7. 典例6 已知f (x )＋2f (－x )＝x ＋1，求f (x )的解析式．[思路分析] 这是关于x 的一个恒等式，由于x ∈R ，∴对任意x ∈R ，此等式都成立，当x ∈R 时，－x ∈R ，因此上述等式对－x 也成立．用－x 代替原等式中的x ，可构造关于f (x )与f (－x )的方程组求解．[解析] 因为f (x )＋2f (－x )＝x ＋1，对任意x ∈R 都成立，所以用－x 替换x ，得f (－x )＋2f (x )＝－x ＋1，由以上两式可解得f (x )＝－x ＋13.K 课堂达标验收e tang da biao yan shou1．如图，函数f (x )的图象是折线段，其中点A ，B ，C 的坐标分别是(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f [f (2)]＝( C )A ．0B ．2C ．4D ．6[解析] 由图象可得f [f (2)]＝f (0)＝4.2．函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( A ) A ．{－1,0,3} B ．{0,1,2,3} C ．{y |－1≤y ≤3}D ．{y |0≤y ≤3} [解析] 把x ＝0,1,2,3分别代入y ＝x 2－2x 中得y 的值共三个为－1,0,3，故值域为{－1,0,3}．3．某人开车去某地旅行，先沿直线匀速前行了a km ，到达目的地后游玩了一段时间，又原路返回匀速行驶了b km(b <a )，再折回匀速前进c km ，则此人距起点的距离s 与时间t 的关系示意图正确的是( C )[解析] 注意理解两坐标轴s ，t 的含义，这里s 是指距起点的距离，不是路程的累加，结合题意可知C 符合．故选C ．4．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则它的高y 与x 的函数关系为__y ＝50x(x ＞0)__. [解析] 由梯形的面积公式有100＝(x ＋3x )2·y ，得y ＝50x(x >0)．5．已知函数f (x )＝ax ＋b ，且f (－1)＝－4，f (2)＝5， 求：(1)a ，b 的值；(2)f (0)的值．[解析] (1)由⎩⎨⎧f (－1)＝－4f (2)＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝－42a ＋b ＝5，解得a ＝3，b ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝3x －1，所以f (0)＝－1.一、选择题1．已知函数f (x )由下表给出，则f (3)等于( C )A ．1 C ．3D ．不存在[解析] ∵2<x ≤4时， f (x )＝3，∴f (3)＝3，故选C ．2．已知y 与x 成反比，且当x ＝2时，y ＝1，则y 关于x 的函数关系式为( C ) A ．y ＝1xB ．y ＝－1xC ．y ＝2xD ．y ＝－2x[解析] 设y ＝k x ，由1＝k2得，k ＝2，因此，y 关于x 的函数关系式为y ＝2x.3．一等腰三角形的周长是20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则它的解析式为( D ) A ．y ＝20－2xB ．y ＝20－2x (0＜x ＜10)C ．y ＝20－2x (5≤x ≤10)D ．y ＝20－2x (5＜x ＜10)[解析] 由题意得y ＋2x ＝20，∴y ＝20－2x .又∵2x ＞y ，∴2x ＞20－2x ，即x ＞5.由y ＞0，即20－2x ＞0得x ＜10，∴5＜x ＜10.故选D ．4．若f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的表达式为( B ) A ．g (x )＝2x ＋1 B ．g (x )＝2x －1 C ．g (x )＝2x －3D ．g (x )＝2x ＋7[解析] ∵g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3， 令x ＋2＝t ，∴x ＝t －2， ∴g (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1， ∴g (x )＝2x －1. 5．观察下表：则f [g (3)－f A ．3 B ．4 C ．－3D ．5[解析] 由题表知，g (3)－f (－1)＝－4－(－1)＝－3， ∴f [g (3)－f (－1)]＝f (－3)＝4.6．若f (1x )＝x1－x ，则当x ≠0，且x ≠1时，f (x )＝( B )A ．1xB ．1x －1C ．11－xD ．1x－1[解析] f (1x )＝x 1－x ＝11x －1∴f (x )＝1x －1，故选B ．二、填空题7．已知函数f (x )是反比例函数，且f (－1)＝2，则f (x )＝__－2x __.[解析] 设f (x )＝kx (k ≠0)，∴f (－1)＝－k ＝2，∴k ＝－2， ∴f (x )＝－2x.8．已知g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2(x ≠0)，则f (12)等于__15__.[解析] 令g (x )＝1－2x ＝12，∴x ＝14，∴f (12)＝f [g (14)]＝1－(14)2(14)2＝15.三、解答题9．作出下列函数的图象． (1)y ＝x2＋1，x ∈{1,2,3,4,5}；(2)y ＝2x 2－4x －3(0≤x <3)．[解析] (1)函数y ＝x 2＋1，x ∈{1,2,3,4,5}是由(1，32)，(2,2)，(3，52)，(4,3)，(5，72)五个孤立的点构成，如图．(2)因为0≤x <3，所以这个函数的图象是抛物线y ＝2x 2－4x －3介于0≤x <3之间的一段曲线，且y ＝2x 2－4x －3＝2(x －1)2－5，当x ＝0时，y ＝－3；当x ＝3时，y ＝3，如图所示．10．已知函数f (x )＝xax ＋b (a ，b 为常数，且a ≠0)满足f (2)＝1，且f (x )＝x 有唯一解，求函数y ＝f (x )的解析式和f [f(－3)]的值．[解析] 因为f (2)＝1，所以22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2，①又因为f (x )＝x 有唯一解，即xax ＋b＝x 有唯一解，所以ax 2＋(b －1)x ＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝(b －1)2＝0，即b ＝1.代入①得a ＝12.所以f (x )＝x 12x ＋1＝2xx ＋2，所以f (－3)＝2×(－3)－3＋2＝6，所以f [(f (－3)]＝f (6)＝2×66＋2＝32.。
高一函数知识点总结
高一函数知识点总结函数是数学中非常重要的一个概念，它在高一阶段的数学学习中占据着重要的地位。
掌握函数的基本概念和性质，对于后续的学习和应用非常有帮助。
下面是我对高一函数知识点的总结。
一、函数的定义和表示方法：函数是一个将自变量的取值映射到唯一的因变量值的规则，可以用一个映射关系式表示。
常见的表示方法有：1. 函数表达式：例如f(x) = x^2 + 1，表示函数f，自变量为x，因变量为x^2 + 1。
2. 函数关系式：例如y = x^2 + 1，表示函数y，自变量为x，因变量为x^2 + 1。
3. 函数图像：函数的图像是函数关系式在平面直角坐标系上的表示。
二、函数的定义域、值域和图像：1. 定义域：函数的定义域是自变量的取值范围，使函数关系式有意义。
2. 值域：函数的值域是因变量的取值范围，是函数关系式在定义域上的所有可能取值。
3. 图像：函数的图像是函数关系式在平面直角坐标系上的表示，将自变量和因变量之间的关系用点的方式进行表示。
三、函数的性质：1. 奇偶性：若对于函数f(x)，有f(-x) = f(x)，则函数f(x)为偶函数；若对于函数f(x)，有f(-x) = -f(x)，则函数f(x)为奇函数；若不满足以上两个条件，则函数为无奇偶性。
2. 增减性：函数f(x)在定义域上单调递增，如果对于任意的x1 < x2，有f(x1) < f(x2)；函数f(x)在定义域上单调递减，如果对于任意的x1 < x2，有f(x1) > f(x2)。
3. 最值：函数f(x)在定义域上的最大值叫做最大值，函数f(x)在定义域上的最小值叫做最小值。
4. 对称轴：对于偶函数f(x)，关于y轴对称；对于奇函数f(x)，关于原点对称。
5. 零点：如果函数f(x)的因变量为0的解叫做函数f(x)的零点。
四、初等函数：初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算、复合运算和反函数运算得到的函数。
常见的初等函数有：1. 幂函数：f(x) = a^x，其中a>0且a≠1；2. 指数函数：f(x) = a^x，其中a>0且a≠1；3. 对数函数：f(x) = loga(x)，其中a>0且a≠1；4. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等；5. 反三角函数：包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等；6. 二次函数：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a≠0；7. 一次函数：f(x) = kx + b，其中k≠0。
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函数的表示方法1、 能根据不同需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数；2、 了解简单的分段函数，并能简单应用；一、函数的常用表示方法简介： 1、解析法如果函数()()y f x x A =∈中，()f x 是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法（公式法）。
例如，s =602t ，A =π2r ，2S rl π=,2)y x =≥等等都是用解析式表示函数关系的。
特别提醒：解析法的优点：（1）简明、全面地概括了变量间的关系；（2）可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值；（3）便于利用解析式研究函数的性质。
中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数。
解析法的缺点：（1）并不是所有的函数都能用解析法表示；（2）不能直观地观察到函数的变化规律。
2、列表法：通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法。
例如：初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表。
我们生活中也经常遇到列表法，如银行里的利息表，列车时刻表，公共汽车上的票价表等等都是用列表法来表示函数关系的.特别提醒：列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。
这种表格常常应用到实际生产和生活中。
列表法的缺点：对于自变量的有些取值，从表格中得不到相应的函数值。
3、图象法：用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。
例如：气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。
特别提醒：图像法的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质。
图像法的缺点：不能够精确地求出某一自变量的相应函数值。
二、函数图像：1、判断一个图像是不是函数图像的方法：要检验一个图形是否是函数的图像，其方法为：任作一条与x轴垂直的直线，当该直线保持与x轴垂直并左右任意移动时，若与要检验的图像相交，并且交点始终唯一的，那么这个图像就是函数图像。
2、函数图像的作图方法大致分为两种：（1）描点作图法。
步骤分三步：列表，描点，连线成图。
（2）图像变换法。
利用我们熟知基本初等函数图像，将其进行平移、对成等变换，从而得到我们所求的函数图像的方法。
三、根据函数图像确定函数的定义域和值域：1、由函数图像来确定函数的值域的方法是看函数图像在y轴上的正投影所覆盖的区域；2、由函数图像来确定函数的定义域的方法是看函数图像在x轴上的正投影所覆盖的区域；四、分段函数图像：有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数。
由此可知，作分段函数的图像时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出。
类型一函数的表示方法例1：某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试分别用列表法、图象法、解析法表示售出台数x(x∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10})与收款总额y(元)之间的函数关系．解析：(1)该函数关系用列表法表示为：（2）该函数关系用图象法表示，如图所示．（3）该函数关系用解析法表示为y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．答案：见解析练习1：某问答游戏的规则是：共5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分，试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈ {0,1,2,3,4,5})之间的函数关系．答案：(1)该函数关系用列表法表示为：（2）该函数关系用图象法表示，如图所示（3）该函数关系用解析法表示为y ＝50－10x (x ∈ {0,1,2,3,4,5})．练习2：(2014～2015学年度浙江舟山中学高一上学期期中测试)已知f (x ＋1)＝2x ＋3，则f (x )＝________.答案：2x ＋1类型二 识画函数的图象例2：作出函数y ＝2x 2－4x －3,0≤x <3的图象．解析 ∵0≤x <3，∴这个函数的图象是抛物线y ＝2x 2－4x －3介于0≤x <3之间的一段弧答案：见解析练习1：某种笔记本每个5元，买x (x ∈{1,2,3,4})个笔记本的钱数记为y (元)，试写出以x 为自变量的函数y 的解析式，并画出这个函数的图象．答案：练习2：画出函数3y x =-的图像答案：类型三函数图象的应用例3：若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数的较小者，求f(x)的最大值．解析：在同一坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图象，如图，根据题意，坐标系中实线部分即为函数f(x)的图象，∴x＝1时，f(x)max＝1.答案：1.练习1：某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则四个图形中较符合该学生走法的是( )答案：D练习2：如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A、B、C的坐标分别为(0,4)、(2,0)、(6,4)，则f{f[f(2)]}＝________.答案：2．类型四分段函数求值例4：(2014～2015学年度广东珠海四中高一上学期月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2x ≤1x 2－x －3x >1，则f [1f 3]的值为( ) A ．1516 B ．－2716 C ．89 D ．18 解析：f (3)＝32－3－3＝3，f [1f 3]＝f (13)＝1－19＝89. 答案：C ．练习1：(2014～2015学年度四川成都七中实验学校高一上学期期中测试)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1 x ≥2－x 2－3x x <2，则f (4)的值为( )A ．7B ．3C ．－8D ．4 答案：A练习2：(2014～2015学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1x ≤12xx >1，则f [f (3)]＝______.答案： 139类型五 分段函数在实际问题中的应用例5：如图(1)所示，在边长为4的正方形ABCD 边上有一点P ，沿着折线BCDA ，由点B (起点)向点A (终点)运动．设点P 运动的路程为x ，△APB 的面积为y ，求：y 与x 之间的函数关系式；解析：当点P 在BC 上，即0≤x ≤4时，S △ABP ＝12×4x ＝2x ，当点P 在CD 上，即4<x ≤8时，S △ABP ＝12×4×4＝8，当点P 在DA 上，即8<x ≤12时，S △ABP ＝12×4×(12－x )＝24－2x ，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 0≤x ≤484<x ≤824－2x 8<x ≤12.答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 0≤x ≤484<x ≤824－2x 8<x ≤12练习1：(2014～2015学年度宁夏育才中学高一上学期月考)已知A 、B 两地相距150 km ，某人开汽车以60 km/h 的速度从A 地到达B 地；在B 地停留1 h 后再以50 km/h 的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离S 表示为时间t (h )的函数表达式为( )A ．S ＝60tB ．S ＝60t ＋50tC ．S ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t 0≤t ≤2.5150－50t t >3.5D ．S ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t 0≤t ≤2.5150 2.5<t ≤3.5150－50t －3.5 3.5<t ≤6.5答案：D练习2：某市区住宅电话通话费为前3 min 0.20元，以后每分钟0.10元(不足3 min 按3 min 计，以后不足1 min 按1 min 计)．在直角坐标系内，画出接通后通话在6 min 内(不包括0 min ，包括6 min)的通话费y (元)关于通话时间t (min)的函数图象，并写出函数解析式及函数的值域．答案：这个函数的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.2，t ∈0，3]0.3，t ∈3，4]0.4，t ∈4，5]0.5，t ∈5，6]，函数的值域为{0.2,0.3,0.4,0.5}．1. 下列图像中，那些可能是函数图像，把你认为正确图像的序号填写在横线上。
①②③④⑤答案：②④⑤2. 根据下列函数图像分别确定函数的定义域和值域（1）（2）（3）答案：（1）定义域为{}2,1,0,1,2--；值域是{}2,1,2--。
（2）定义域为R；值域是(]6,6-;（3）定义域为R；值域是R.3. 作出分段函数21++-=xxy的图像答案：Oyx4. 下列各图中，能作为()y f x =的图象的是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）答案:C5．画出函数31y x =-的图像答案：基础巩固1.设{}{}02,02M x x N y y =≤≤=≤≤ 给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（ ）(A) (B) (C) (D) 答案：B2. 函数2y ax a =+与(0)ay a x=≠在同一坐标系内的图像可能是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 答案：D3. 函数()x f x x x =+的图像是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）答案：C4. 已知函数22,5)2(3)(212->-+-=x x x x f 且，则( )A 、)x (f )x (f 21>B 、)x (f )x (f 21=C 、)x (f )x (f 21<D 、不能确定大小答案: A5. 如图，已知函数)x (f 的图象关于直线1x =对称，则满足不等式)3(f )2m (f >-的实数m 的取值范围是 或 。
答案：1m < 5m > -2 -1 O 1 2 3 4 y x 1 2 3 4 56. 根据函数的图象)3x 0(1)1x (y 2≤≤+-=，可以知道，)0(f )1(f ， )0(f )3(f ，)3(f )1(f (横线上填“>”或“<”符号)答案： > < >7. 设(),x ∈-∞+∞，求函数213y x x =--的最大值。
答案：2能力提升8. 某人开车沿直线旅行，先前进了a km ，到达目的地后游玩用去了一段时间，由原路返回b km ()b a <，再前进c km ，此人离起点的距离s 与时间t 的关系示意图是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）答案: C9. 当m 为何值时，方程245x x m -+=有4个互不相等的实数根。
答案：15m <<。
10. 对于任意实数{}1212,,min ,x x x x 表示12,x x 中较小的那个数，若()()22,f x x g x x =-=，则()(){}min ,f x g x 的最大值是 。