有限元第四章一些数学概念和结论
有限元法的原理_求解域_概述及解释说明
有限元法的原理求解域概述及解释说明1. 引言1.1 概述有限元法是一种数值分析方法，用于求解物理问题的数学模型。
它在工程领域得到了广泛的应用，能够对复杂的结构和系统进行精确的建模和计算。
有限元法通过将连续域划分为许多小的离散单元，在每个单元上使用适当的近似函数来表示待求解的变量，然后利用这些离散单元之间相互连接关系建立代数方程组，并通过求解该方程组得到所需结果。
1.2 文章结构本文将围绕有限元法展开讨论，并按照以下结构组织内容：引言包含概述、文章结构和目的；有限元法的原理部分将涵盖离散化方法、强弱形式及变分问题以及单元划分和网格生成；求解域部分将介绍求解域的定义与划分、边界条件设定和处理以及网格节点和单元的挑选策略；概述及解释说明部分将探讨有限元法在工程领域中的应用、与其他数值方法之间的对比与优势以及未来发展趋势和挑战；最后，本文将总结主要观点，并展望有限元法在应用领域的发展前景。
1.3 目的本文旨在对有限元法进行全面而清晰的介绍和解释，包括其基本原理、求解域的定义与处理方法以及在工程领域中的应用。
通过深入理解有限元法的原理和应用，读者可以更好地了解该方法的优劣势，并掌握将其应用于实际问题求解的能力。
此外，本文还将通过探讨有限元法未来的发展趋势和挑战，为研究者提供对该方法进行进一步改进和扩展的思路。
2. 有限元法的原理2.1 离散化方法有限元法是一种使用离散化方法来对偏微分方程进行求解的数值方法。
它将求解域划分为许多小单元，每个小单元称为有限元。
在这些有限元内，我们假设待求解的场量是线性或非线性的，并通过适当选择合适的函数空间来进行近似。
2.2 强弱形式及变分问题在有限元法中，我们将偏微分方程转化为一个弱形式或者说变分问题。
这是通过将原始方程乘以一个测试函数并进行积分得到的。
这样可以减小方程中高阶导数项对近似解产生的影响，并提供了更好的数学性质以进行计算。
2.3 单元划分和网格生成为了进行离散化，求解域需要被划分成一系列小单元。
有限元基本概念和原理
有限元基本概念和原理有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。
它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。
这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。
由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。
有限元是那些集合在一起能够表示实际连续域的离散单元。
有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形（有限个直线单元）逼近圆来求得圆的周长，但作为一种方法而被提出，则是最近的事。
有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。
经过短短数十年的努力，随着计算机技术的快速发展和普及，有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。
有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。
20世纪60年代初首次提出结构力学计算有限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地将其描绘为：“有限元法=Rayleigh Ritz法＋分片函数”，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一种局部化情况。
不同于求解（往往是困难的）满足整个定义域边界条件的允许函数的Rayleigh Ritz法，有限元法将函数定义在简单几何形状（如二维问题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片函数），且不考虑整个定义域的复杂边界条件，这是有限元法优于其他近似方法的原因之一。
对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元求解法的基本步骤是相同的，只是具体公式推导和运算求解不同。
有限元求解问题的基本步骤通常为：第一步：问题及求解域定义：根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。
有限元知识点汇总
有限元知识点汇总有限元知识点汇总第一章1、何为有限元法？其基本思想是什么？》有限元法是一种基于变分法而发展起来的求解微分方程的数值计算方法。
》基本思想：化整为零，化零为整2、为什么说有限元法是近似的方法，体现在哪里？》有限元法的基本思想是几何离散和分片插值；》用离散单元的组合来逼近原始结构，体现了几何上的近似；用近似函数逼近未知量在单元内的真实解，体现了数学上的近似；利用与问题的等效的变分原理建立有限元基本方程，又体现了明确的物理背景。
3、单元、节点的概念？》单元：把参数单元划分成网格，这些网格就称为单元。
》节点：网格间相互连接的点称为节点。
4、有限元法分析过程可归纳为几个步骤？》3大步骤；——结构离散化；——单元分析；——整体分析。
5、有限元方法分几种？本课程讲授的是哪一种？》有限元方法分3种；——位移法、力法、混合法。
》本课程讲授的：位移法6、弹性力学的基本变量是什么？何为几何方程、物理方程及虚功方程？弹性矩阵的特点？》弹性力学的基本变量是——{外力、应力、应变、位移}》几何方程——{描述弹性体应变分量与位移分量之间关系的方程} 》物理方程——{描述应力分量与应变分量之间的关系}》虚功方程——{描述内力和外力的关系的方程}》弹性矩阵特点——{ }7、何为平面应力问题和平面应变问题？》平面应力问题——{满足（1）几何条件——所研究的是一根很薄的等厚度薄板，即一个方向上的几何尺寸远远小于其余两个面上的几何尺寸;（2）载荷条件——作用于薄板上的载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而在两板面上无外力作用}》平面应变问题——{满足（1）几何条件——所研究的是长柱体，即长度方向的尺寸远远大于横截面的尺寸，且横截面沿长度方向不变；（2）载荷条件——作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力}第二章7、形函数的特点？》1形函数Ni再节点i处等于1，在其他节点上的值等于0，对于Nj、Nm也有同样的性质。
有限元第四章 一些数学概念和结论
a b a b cos a a b
Euclid空间的三角不等式
5. 收敛性与完备性 （1）收敛性
点列xn E
（赋范线性空间），若存在
lim xn x0 0
则，称 x 0 为点列x 的强极限，读作：x 强收敛于 n n 义不同。
n
x0
，模的定义不同收敛的涵
例２ 由于可以找出任意多个线性无 关的连续函数（1、x、x 2 x n ） 所以Ｃ空间为无限维线性空间。Ｌ2 空 间也是无限维线性空间。
u u i i , v vi i
i 1 i 1
的位移场则组成 2n 维线性空间。
3. 线性空间的模（范数）
（１）模的定义 当线性空间 E 中的任意一个元素 x 可用一个非负实数与之对应，记作‖x‖ （表示“大小”或“长度”）称为E 空间为模线性空间或赋范线性空间，实数‖x‖ 称为模或范数。模的性质如下：
b
２. 内积模
在内积空间，可以直接利用内积来定义元素的模
u
u, u
在内积空间Ｅ中，u 与 v 之间的距离可用内积模表示
u v
u v, u v
3. 正交性
内积空间与一般线性空间的不同之处是可以用内积来定义两个元素之间的正交关 系，函数之间的“正交”。 若（ u、v）＝０
b
1 2
L2 模 定义为：
u
L2
b 2 u dx a
按一致模收敛是一致收敛，按 L2 模收敛则是平均收敛。
§4-2 内积空间（酉空间）
１. 内积 对于线性空间Ｅ 的每一对元素 u、v 定义一个确定的实数与之对应，称
为 u、v 的内积，记作（u、v），且满足:
有限元基本知识归纳
有限元知识点归纳1.、有限元解的特点、原因？答：有限元解一般偏小，即位移解下限性原因：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。
在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此，连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度较实际的刚度K为大，因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。
2、形函数收敛准则（写出某种单元的形函数，并讨论收敛性）P49(1)在节点i处N i=1,其它节点N i=0;(2)在单元之间，必须使由其定义的未知量连续；(3)应包含完全一次多项式；(4)应满足∑Ni=1以上条件是使单元满足收敛条件所必须得。
可以推证，由满足以上条件的形函数所建单元是完备协调的单元，所以一定是收敛的。
4、等参元的概念、特点、用时注意什么？（王勖成P131）答：等参元—为了将局部坐标中几何形状规则的单元转换成总体（笛卡尔）坐标中的几何形状扭曲的单元，以满足对一般形状求解域进行离散化的需要，必须建立一个坐标变换。
即：为建立上述的变换，最方便的方法是将上式表示成插值函数的形式，即：其中m是用以进行坐标变换的单元节点数，xi,yi,zi是这些结点在总体（笛卡尔）坐标内的坐标值，Ni’称为形状函数，实际上它也是局部坐标表示的插值函数。
称前者为母单元，后者为子单元。
还可以看到坐标变换关系式和函数插值表示式：在形式上是相同的。
如果坐标变换和函数插值采用相同的结点，并且采用相同的插值函数，即m=n，Ni’=Ni,则称这种变换为等参变换。
5、单元离散？P42答：离散化既是将连续体用假想的线或面分割成有限个部分，各部分之间用有限个点相连。
每个部分称为一个单元，连接点称为结点。
对于平面问题，最简单、最常用的离散方式是将其分解成有限个三角形单元，单元之间在三角形顶点上相连。
这种单元称为常应变三角形单元。
常用的单元离散有三节点三角形单元、六节点三角形单元、四节点四边形单元、八节点四边形单元以及等参元。
有限元的核心概念
有限元的核心概念有限元（Finite Element，简称FEM）是一种用于求解工程和科学问题的数值方法。
它通过将连续的物理问题离散化为离散的小单元，然后利用各个单元之间的关系来近似求解整个问题。
在有限元方法中，存在一些核心概念，包括离散化、单元、自由度、插值、形函数、刚度矩阵、质量矩阵和边界条件等。
离散化是指将连续问题转化为离散的小单元。
在有限元方法中，通常将求解域划分为许多小单元，如三角形、四边形或六面体等，这些小单元被称为有限元。
通过将问题的定义域离散化，可以将计算问题简化为对单元上的计算。
在有限元分析中，单元是离散化的基本单元。
每个单元都有其自身的性质和几何形状。
根据问题类型的不同，常见的有限元包括一维线段单元、二维三角形和四边形单元以及三维四面体和六面体单元等。
自由度是指在有限元中用于描述问题解的不同位置和方向的变量。
在每个单元内部，根据问题的自由度的数量，定义相应数量的自由度。
通过将连续问题离散化为离散的单元，并为每个单元定义自由度，可以将整个离散化的问题转化为代数形式的问题。
插值是指通过已知的节点值来估计未知节点值的过程。
在有限元方法中，通过使用插值函数，可以在每个单元内部估计出问题的解。
插值函数通常由形函数表示，形函数是通过节点值之间的插值计算得到的。
形函数是描述单元内部节点上解的变化规律的数学函数。
它是对单元内部解的近似表达，通常选择具有一定形状特点的函数，例如线性、二次、三次等。
形函数的选择和性质直接影响到解的计算结果的精度。
刚度矩阵是描述物体变形时各个部分相互作用的力的程度。
它是由单元的几何形状和材料特性决定的。
在有限元方法中，通过组装各个单元的刚度矩阵，可以得到整个问题的总刚度矩阵。
刚度矩阵是求解有限元问题的关键。
质量矩阵是描述物体对动态负载响应的能力。
在求解动力学问题时，需要考虑物体的质量特性。
通过组装各个单元的质量矩阵，可以得到整个问题的总质量矩阵。
质量矩阵是求解动力学问题的关键。
有限元分析及应用第四章
则称ϕ1、ϕ２Lϕ n 线性相关；
(ii) 若 c1ϕ1 + c2ϕ 2 + L + cnϕ n ≡ 0
仅当
c1
才成立，则称
ϕ=1c、2
=L= ϕ２Lϕ
cn
n
≡0
线性无关。
（２） 线性空间的维数
若线性空间Ｅ满足
（i）任意 n+1 个元素一定线性相关。
（ii）存在着 n 个线性无关的元素。
则称线性空间Ｅ的维数为 n。
a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cosα ≤ a ⋅ b
上式为 Euclid 空间的三角不等式，此式仅是 Schwarz 不等式的一个特例。 ５、收敛性与完备性 （1）收敛性
∀ 点列{xn } ∈E（赋范线性空间），若存在
lim xn − x0 = 0
n →∞
则，x0 称为点列{xn }的强极限，读作：{xn }强收敛于 x0 ，注意模的定义不同收敛的涵
c1ϕ1 + c2ϕ 2
c1ϕ1′ + c2ϕ 2′
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有限元分析与应用
霍战鹏
也在（a, b）上连续。所有函数本身及一阶导数都在（a, b）上连续的函数组成一种线性空
间，记作 C1[a, b]。 例４ Rn n 维欧氏空间是线性空间，R2（二维平面）, R3（三维空间）是 n 维欧氏空
形的项点为结点，以结点处的函数值对单元内的位移场进行分片线性插值。根据第 3-4 节的
分析可知，对于这样定义的函数 u(x,y)在Ω上连续，且积分
y
∫∫ ∫∫ ∫∫ Ω
u 2dxdy
、
Ω
∂u ∂x
2 dxdy
、
Ω
有限元分析理论基础大全超详细
有限元分析理论基础大全超详细有限元分析概念有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。
由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。
有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。
并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。
线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。
在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。
如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。
线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。
非线性问题与线弹性问题的区别：1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解；2）非线性问题不能采用叠加原理；3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。
有限元求解非线性问题可分为以下三类：1）材料非线性问题材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。
由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。
在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。
2）几何非线性问题几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。
当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。
研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。
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续函数。故定义在[a, b]上的所有连续函数组成一个线性空间。记作C [a, b]。
例２ L2 （a,b）
b
b
若 1(x)、2 (x)是（a, b）上平方可积的函数，即 1 (x)2 dx 、 2 (x)2 dx 存在
设真实解为u，有限元解为uh，
当‖u-uh‖→0，
有限元解收敛于真实解。 模的定义不同，收敛的意义也不同。
例１ 在 平面(Ｒ２) 内，向量 x（x1, x2）可以有下列三种模的定义:
x 2
x12
x
2 2
x 1
x1
x2
x
max
x1 , x2
例２ 设 x, y E 则， II x- y II 可以表示这两个元素的“接近程度”，若在
若线性空间Ｅ 满足
（i）任意n+1个元素一定线性相关。 （ii）存在着n个线性无关的元素。
则称线性空间Ｅ 的维数为n。
(ii) 若 c11 c22 cnn 0
仅当 c1 c2 cn 0
例１ 若 1、２n 线性无关，则
所有形式为
才成立，则称 1、２n 线性无关。
c11 c22 cnn
§4-2 内积空间（酉空间）
１. 内积 对于线性空间Ｅ 的每一对元素 u、v 定义一个确定的实数与之对应，称 为 u、v 的内积，记作（u、v），且满足:
(i) （ u、v）＝（v、u）
（对称性）
(ii) 对任一常数α有(αu, v) = α(u, v)
（齐次性）
(iii) 对于u1、u2、v ∈E 有 ( u1+u2 , v ) = ( u1 , v )+( u2 , v ) （可加性）
(2) 设Ｅ 中的元素与实数域的元素有“数乘”运算，即 x, y E，a, b K(实数
域） abx abx E （i） 1 x x
（ii） a b x ax bx
（iii） ax y ax ay
（iv）若Ｋ为实数域则Ｅ 称为实线性空间，Ｋ 为复数域则Ｅ 称为复线性空间。
例１ C [a,b]
a
a
则
c11 (x) c22 (x)2
c1212 (x) c2 22 2 (x) 2c1c21 (x)2 (x)
2 c1212 (x) c2222 (x)
所以 c11 (x) c22 (x) 也是（a, b）上平方可积的函数。所有（a, b）上平方可积的
函数组成一个线性空间，记作L2 (a, b) 。
R2 空间中的两个元素，x ( 1, 1 ), y ( 2, 4 ) 可以有如下模的定义:
xy 2
x1 y1 2 x2 y2 2
10
xy 1
x1 y1
x2 y2
4
x y max
Hale Waihona Puke x1 y1 , x2 y2
＝3
y (2,4)
10 3 １
x (1,1)
在实数域内， 模 x 与绝对值 x 是等价的。
(i) ‖x‖≥0 ,仅当 x ≡ 0 时 ‖x‖=0 (ii) 对任一常数α有: ‖αx‖=∣α∣•‖x‖ (iii) 对任意 x、y ∈ E 有:
‖x + y‖≤‖x‖＋‖y‖ （此式又称三角不等式）。
‖x‖----------元素 x 的“大小”，
‖x - y‖--------两个元素 x、y 之间的“距离”。
第四章 一些数学概念和结论
关于有限元方法的一些数学概念和结论； 有限元解的收敛性以及单元精度问题； 本章的主要对象是函数：
真实解是一个函数； 基函数是一组函数； 试探函数是某一类函数； 有限元解是某类函数中使πP 取最小值的那一个函数。 本章中： “元素”指的就是函数； “空间” 就是具有某种性质的函数的集合，即函数空间。
图４－１
（２）两种常用的模
① 一致模 若u ∈ C [a, b]，则 u 必在 [a, b] 上取到最大值和最小值，故:
② L2 模
u max u
a xb
b
若u ∈ L2 (a, b) 则 L2 u 2dx
a
存在，
L2 模 定义为：
u
L2
1
b u 2dx 2
a
按一致模收敛是一致收敛，按 L2 模收敛则是平均收敛。
例２ 由于可以找出任意多个线性无 的试探函数组成n维线性空间。而所有
关的连续函数（1、x、x2 xn ） 所以Ｃ空间为无限维线性空间。Ｌ2 空 间也是无限维线性空间。
形式为
n
n
u uii , v vii
的位移场则组成 2ni1维线性空间。i1
3. 线性空间的模（范数）
（１）模的定义
当线性空间 E 中的任意一个元素 x 可用一个非负实数与之对应，记作‖x‖ （表示“大小”或“长度”）称为E 空间为模线性空间或赋范线性空间，实数‖x‖ 称为模或范数。模的性质如下：
§4-1 线性空间（向量空间）
1. 线性空间的定义
满足下列条件的空间E为线性空间 (1) x, y , zE 有如下“加法”运算 （i） x ( y z) ( y x) z
（ii） x y y x
（iii）存在“零元素” q E x E 有 x x
（iv） x E 存在逆元素 –x E 使 x (x)
例３ C1 [a,b] 若 1 (x) 、1(x) 、2 (x) 、2 (x) 在[a, b]上连续，则
c11 c22 c11 c22
也在（a, b）上连续。所有函数本身及一阶导数都在（a, b）上连续的函数组成 一种线性空间，记作C1 [a, b]。
例４ Rn
n 维欧氏空间是线性空间，R2（二维平面）, R3（三维空间）是 n 维欧氏空 间的特例。
(iv) (u , u) ≥0 仅当 u ≡0 时 (u , u ) = 0。
定义了内积的线性空间称为内积空间。
例 u(x), v(x) C2 [a, b] 至少存在以下四种形式的内积：
u,
v
b
a
u
例５Pn(x) [a,b] 定义在 [a,b] 上的n 次多项式 Pn(x) [a,b] C [a,b] 构成线性空间。
2 线性空间的维数
( 1 ) 线性相关与线性无关
( 2 ) 线性空间的维数
设 1、２n 为线性空间Ｅ的n个元素
（i）若存在不全为零的常数使得
c11 c22 cnn 0 则称 1、２n 线性相关；