高一-函数的概念及其表示

个性化教学辅导教案学科：数 学 年级：高一 任课教师： 授课时间：2017 年 秋季班 第04周 教学 课题函数的概念及其表示教学 目标 1.熟悉函数的概念及三要素；2.熟悉函数的表示方法及相关特点。

教学 重难点 重点：函数的三要素及其表示； 难点：值域的求法。

教学过程（1） 函数的定义：①传统定义：在某一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于在某一个范围内的任一个x 的值，都有唯一的y 值与它对应，则称y 是x 的函数，x 叫自变量，y 叫因变量。

②现代定义：设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f （x ）和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y=f （x ），x ∈A ，其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{f （x ）|x ∈A}叫做函数的值域。

（2） 映射的定义：一般地，设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A 、B ，以及集合A 到集合B 的对应关系f ）叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B 。

如果集合A 中的元素a 对应到集合B 中的元素b ，那么其中集合B 中的元素b 是集合A 中元素a 对应的“象”；b 是a 的“原象”。

由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A 、B 非空且皆为数集。

总结：①根据映射的定义知“一对多”不是映射；②A 中每一个元素都有象； ③B 中每一个元素不一定都有原象，不一定只一个原象；④A 中每一个元素的象唯一。

（3） 函数的定义域：函数的定义域是自变量x 的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，如果没有标明定义域，则认为定义域是使函数解析式有意义的或使实际问题有意义的x 的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受实际意义的制约。

如：x y =的定义域是非负实数；圆半径R 与面积S 的函数关系2R S π=的定义域为正数；xy 1=的定义域是非零实数……注：求函数的定义域的常见类型 １．当)(x f 为整式时，定义域为Ｒ；２．当)(x f 为分式时，定义域为使分母不为０的x 的集合； ３．当)(x f 为二次根式时，定义域为使被开方式非负的x 的集合；４．当)(x f 是由几个式子组成时，定义域是使得各个式子都有意义的x 的值的集合。

（4） 函数的对应法则：对应关系f 是函数关系的本质特征，y=f （x ）的意义是：y 就是x 在关系到f 下的对应值，而f 是“对应”得以实现的方法和途径。

如：f(x)=3x+5，f 表示自变量的3倍加上5。

（5） 函数的值域：自变量x 在定义于内取值时相应的函数值的集合。

（6） 求函数的值域的常用方法： 1．观察法求函数值域 【例1】求下列函数值域：（1）32y x =-+， [1,2]x ∈- （2）21y x =-， {2,1,0,1,2}x ∈--（3）31y x =+ （4）1,00,01,0x y x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2．配方法求二次函数值域【例2】已知函数223y x x =+-，分别求它在下列区间上的值域。

（1）x R ∈； （2）[0,)x ∈+∞； （3）[2,2]x ∈-； （4）[1,2]x ∈． 提示：（1）函数的定义域不同，值域也不同；（2）二次函数的区间值域的求法：①配方；②作图；③求值域。

3．部分分式法求分式函数的值域（分离常数法） 【例3】求函数145-+=x x y 的值域。

4．利用“已知函数的值域”求值域【例4】求下列函数的值域： （1）13y x =-； （2）223y x x =-+；（3）225y x =-； （4）2123y x x =++．5．换元法求函数值域【例5】求函数12y x x =--的值域。

6．判别式法求函数值域【例6】 求函数x x y +-=21的值域。

（7） 两个函数相等的定义：函数的定义含有三个要素，即定义域、值域和对应法则。

当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。

因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。

【例7】试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ； （2）f （x ）=x x ||，g （x ）=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x（3）f （x ）=x1+x ，g （x ）=x x +2；（4）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1。

提示：对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数（8） 区间的概念：设a 、b 是两个实数，且a<b ，我们规定：① 满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a ，b]； ② 满足不等式a ＜x ＜b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为(a ，b)；③ 满足不等式a ≤x ＜b 和a ＜x ≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a ，b)、(a ，b ]；④ 实数集合R 可以用区间表示为) (∞+-∞，，“∞”读作“无穷大”，“∞-”读作“负无穷大”。

我们可以把满足不等式b x b x a x a x ≤<>≥，，，的实数x 的集合分别表示成] ( )( )( )[b b a a ，，，，，，，-∞-∞∞+∞+。

（9） 复合函数的定义域及其求法：若y=f(u),u=g(x),x ∈(a,b),u ∈(m,n),那么)]([x g f y =称为复合函数，u 称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域。

①已知)(x f 的定义域，求)]([x f ϕ的定义域，其实质是由)(x ϕ的取值范围求x 的范围。

②已知)]([x f ϕ的定义域，求)(x f 的定义域，其实质是由x 的取值范围求)(x ϕ的范围。

【例8】已知)(x f y =的定义域是]20(，，求下列各函数的定义域： ①)(2x f y =； ②)12(-=x f y ； ③)2(-=x f y（10） 函数的表示法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。

优点：简明；给自变量求函数值。

图像法：用图像表示两个变量之间的对应关系。

优点：直观形象，反应变化趋势。

列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。

优点：不需计算就可看出函数值。

具体实例如：二次函数等；股市走势图； 列车时刻表；银行利率表。

【例9】某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一直分裂下去．①用列表表示1个细胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的细胞个数； ②用图像表示1个细胞分裂的次数n(n ∈N ＋)与得到的细胞个数y 之间的关系。

（11） 分段函数：有些函数在其定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应关系也不同，这样的函数通常称为分段函数。

分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式，所以它的图像也由几部分构成。

但是分段函数虽然由几部分构成，但它代表的是一个函数。

求分段函数的有关函数值的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式。

作分段函数的图像时，则应分段分别作出其图像，在作每一段图像时，无不管定义域的限制，用虚线作出其图像，再用实线保留定义域内的一段图像即可。

【例10】某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：⑴乘坐公共汽车5公里以内，票价2元；⑵5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）。

已知两个相邻的公共汽车站间相距为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。

设票价为y ，里程为x ，则根据题意，如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站，那么汽车行驶的里程约为20公里，所以自变量x 的取值范围是(]2,0。

由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：y =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤<≤<)2015( 5)1510( 4)105( 3)50( 2x x x x ，，，，根据这个函数解析式，可画出函数图象（如图） 像上面那样表示的函数称为分段函数 注意：１．表示函数的式式可以不止一个，对于分几个式子表示的函数，不是几个函数而是一个分段函数 ２．函数的图象不一定是一条式几条无限长的平滑曲线，也可以是一些孤立的点，一些线段，曲线。

（12） 函数图像的作法：①描点法；②变换作图法（平移、对称、其它）【例11】作出下列函数的图像：①⎩⎨⎧<≥-=)0( 2)0( )1(2x x x x y ，，； ②122+-=x x y ； ③1122--=x x x y（13） 用代入法和待定系数法求函数的解析式：①代入法：如已知1)(2-=x x f ，求)(2x x f +时有：1)()(222-+=+x x x x f ；②待定系数法：已知)(x f 的函数类型，要示)(x f 的解析式时，可根据类型设解析式，从而确定其系数即可。

【例12】已知)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 。

③换元法：已经函数)]([x g f 求)(x f 时，令)(x g t =，再求)(t f ，然后用x 代替t 即可。

除上述方法以外，还有“拼凑法”、“方程组法”等。

【例13】求下列函数的解析式：1.已知，x x x f 2)(2+=求 )12(；+x f （代入法）2.已知，x x x f 2)1(+=-求)(x f ；（换元法,拼凑法）3.已知23)1(2)(+=-x xf x f ，求)(x f 。

（方程组法）【例14】已知函数()20,0,x x f x x x ≥⎧=⎨<⎩试求)]}2([{-f f f 的值。

课后练习1.函数y ＝x ＋1＋x -1的定义域是（ ）A ．（-1，1）B ．[0，1]C ．[-1，1]D ．（-∞，-1）Y （1，+∞）2.函数)(x f y =的图象与直线a x =的交点个数有( )A ．必有一个B ．一个或两个C ．至多一个D ．可能两个以上 3.函数341)(2++=ax ax x f 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．RB ． ]43,0[C ．),43[+∞D ．)43,0[4.已知)(x f 是一次函数,若5)1(3)2(2=-f f ,1)1()0(2=--f f ,则)(x f 的解析式为A ．23)(+=x x fB ．23)(-=x x fC ．32)(+=x x fD ．32)(-=x x f5.若x x g 21)(-=,221))((x x x g f -=,则)21(f 的值是（ ） A ．1B ．15C ．4D ．306.函数y ＝x ＋1＋12－x 的定义域是(用区间表示)7.已知)(x f 满足23)()(2+=-+x x f x f ,且316)2(-=-f ,则=)2(f 8.已知函数221)(xx x f +=， 则)20111(...)41()31()21()2011(...)3()2()1(f f f f f f f f +++++++++=________9.已知221111x xx x f +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-，则()x f 的解析式为（ ） A.21x x + B.212x x +- C.212x x + D.21xx +- 10.求下列函数的值域:342+-=x x y (2))5,1[,642∈+-=x x x y (3)}2,1,0,1,2{,12--∈-=x x y （4）21y x =+11.若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 (定义域的逆向问题)。