北京交通大学《复变函数和积分变换》期末试卷及其答案

北 京 交 通 大 学2006-2007学年第二学期《复变函数和积分变换》期末试卷（B ）学院_____________ 专业_________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________ 任课教师一．（1） 方程()t i 1z +=（t 为实参数）给出的曲线是 ； （2） 复数3i 1+的指数形式是 ； （3） 函数()224z z 1z +-，z=0为 级极点，2i z ±=为 级极点；（4） 计算（5） 若∑==n nn 2nz )(z f ，则其收敛半径 ；（6） 计算留数：⎪⎭⎫⎝⎛0,zcosz Res 3 ； （7） 函数()()()y ,x iv y ,x u z f +=在()y ,x z =可微的充要条件为 ；（8） 曲线y x :=C 在映射z1)(=z f 下的像是 ；（9） C 为以a 为圆心，r 为半径的圆周，计算()⎰-Cna z dz（n 为正整数） ；（10） 判断n1n 25i 1∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+的敛散性 .二、计算题（25分，每小题各5分） (1)、计算积分⎰CRezdz 其中积分路径C 为：①连接由原点到1+i 的直线段；②连接由原点到点1的直线段及连接由点1到点1+i 的直线段所组成的折线.(2)、已知：()()3ze 1zsinzz f -=求：]0),z (f [Re s(3)、计算()()10dz z 1ln rz <<+⎰=r（4）、计算()()dz i z z 9zC2⎰+-，其中2||=z C 为正向圆周：。

（5）计算dz e 1z z 12⎰=.三、求积分()dz 1z ze4z 22z⎰=-（7分）四、求解析函数),(),()(y x v y x u z f +=，已知()233xy x y ,x u -= ，且()i 0f =.（7分）五、验证()()0x xya r c t g y ,x v >=在右半z 平面内满足Laplace 方程，即0,0=∆=∆ψϕ；其中22yx∂∂+∂∂=∆， 并求以此为虚部的解析函数()z f .（8分）六、（8分）求函数()()()2z 1z 1z f --=分别在如下区域展成洛朗展式（1）.1|1|0<-<z （2）0<2z -<1.七、求实轴在映射iz 2i +=ω下的象曲线（8分）八、求函数()()0t 0,t 1,t f >⎪⎩⎪⎨⎧>≤=δδδ的傅立叶变换（7分）一、(1)直线y=x(2)i32k 2e⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππ(3)一;二 (4)()()3i 12;2;3i 12313231--+--(5)2 (6)21-(7)①函数u(x,y),v(x,y)在(x,y)可微②u(x,y),v(x,y)在(x,y)满足C.-R.条件.即x y y x v u ,v u -==. (8)x=-y(9)⎩⎨⎧>=1n ,01n ,i 2π(10发散二、(1) ①连接原点到点1+i 的直线段的参数方程为：z=(1+i)t 1)t (0≤≤故⎰CR e z d z =()[]{}()dt i 1t i 1Re 1++⎰=()⎰+1tdt i 1=2i 1+②连接由原点到点1的直线段的参数方程为: z=t 1)t (0≤≤,连接由点1到点1+i 的直线段参数方程为: z=(1-t)+(1+i)t 1)t (0≤≤, 即 z=1+it 1)t (0≤≤,故⎰CRezdz =()[]⎰⎰++110idtit 1Re Retdt=⎰⎰+11dt i tdt=i 21+(2)由题可知被积函数只有z=0一个奇点。

将被积函数展为罗朗级数()32323233z2!z 1!3z 1zz !2zz !3zz z e 1zsinz⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=- ，后面那个分式在z=0为解析，故可展为z 的幂级数： ++z a 11 （其中1a 及以下各项不需关心） 于是在z=0的去心邻域内有()---=-13za z1e 1zsinz由此即得()10,e-1zsinzRes 3z-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ 故由留数定理，原积分等于π2-i.(3)因为()z 1ln +在积分区域内解析，在边界连续，故由柯西积分定理 原积分等于0。

(4)因为z=-i 在积分区域内，所以 原积分=()dz i z z9zC2⎰---=5|z9z i 2i z 2ππ=-⋅-=(5)在单位圆周1z =内，函数2z 1e 只有一个本性奇点z=0.在该点的去心邻域内有罗朗展式,z1!21z11e 42z 12+++=于是 00,e Res 2z 1=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡故由留数定理 原积分等于00,Re 221=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅zes i π. 三、函数在4z =内有两个奇点：z=0,1.由复合闭路定理有()dz 1z ze4z 22z⎰=-=()()⎰⎰==-+-211-z 22z 21z 22zdz 1z zedz z1z e()()ie eii z e i z e i z z z z -=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-===32262121'20'2πππππ四、由C.-R.条件中的一个得(),x y -y 3x v ,3y 3xu v 3222x y ϕ+=-==再由C.-R.条件中的另一个得 (),6xy u x 6xy v y 'x =-=+=ϕ故 ()(),C x 0x '==ϕϕ即 因此 ()C y y 3x y ,x v 32+-=故()()().iC iy x Cy y 3x i y 3x x iv u z f 33223++=+-+-=+=要满足 f(i)=0,必C=1，故f(z)=i z 3+. 五、解：()()0x y x x xy 1x 1v 0x yx y x y 1x yv 2222y 22222x >+=+=>+-=+-=()()222yy ,222xx yx2xyv yx2xyv +=+-=(x>0)于是 ()0x 0v v yy xx >=+故在右半z 平面内，v(x,y)是调和函数。

()()y dx uy ,x u xψ+=⎰()y dx vyψ+=⎰ =()()()y yx ln 21y dx yx x 2222ψψ++=++⎰两端对y 求导()22x y '22yx y v u y yx 2y21+=-==+⋅ψ所以 ()()()，任意常数从而C y ,0y '==ψψ()()C yxln 21y ,x u 22++=故 ()()()0x xy iarctgC yxln 21z f 22>+++=Clnz C iarctgz z ln +=++=六、由题可知被积函数在z 平面内只有两个奇点z=1及z=2.则(1) 在去心邻域 .1|1|0<-<z 内 ()()()2z 1z 1z f --==2z 11z 1-+--=()()∑∞=----=--+--n n1z 1z 111z 11z 1(2) 在去心邻域0<2z -<1内 ()()()2z 1z 1z f --=12z 12z 1+---==()()nn n 2z 12z 1----∑∞=.七、在实轴上取三点1z ,0z ,z 321==∞=，则对应的三个象点为i 1,2,0321+===ωωω.由此得到象曲线为.11=-ω进一步还可得到，上半平面被映射到圆的内部，而下半平面被映射到圆的外部。

八、由题意知所求函数的傅立叶变换等于()()dt edt et f F tj -tj ⎰⎰-+∞∞--==δδωωω()δωδωδωδωωωωδωδδδωsin 2sin 2eej 1ej 1j j tj ==--=-=---。