2019年中考数学分类讨论题专题复习精讲精练及答案

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中考专题复习精讲

分类讨论题

类型之一直线型中的分类讨论

直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.

例1．（·沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）

A．50° B．80° C．65°或50°D．50°或80°

【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：（1）当50°角是顶角时，则（180°－50°）÷2=65°，所以另两角是65°、65°；（2）当50°角是底角时，则180°－50°×2=80°，所以顶角为80°。故顶角可能是50°或80°.

答案：D .

同步测试：

1.(?乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）

A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm

2. （·江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A 落在点A′处，

(1)求证：B′E=BF；

(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.

类型之二圆中的分类讨论

圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等．

例2.（?湖北罗田）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4.若以C 点为圆心， r 为半径 所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是___ __．

【解析】圆与斜边AB 只有一个公共点有两种情况,1、圆与AB 相切，此时r ＝2.4；2、圆与线段相交，点A 在圆的内部，点B 在圆的外部或在圆上，此时3＜r ≤4。

【答案】 3＜r ≤4或r ＝2.4

同步测试：

3.（上海市）在△ABC 中，AB=AC=5，3cos 5

B

．如果圆O B 、C ，那么线段AO 的长等于 ．

4.（?威海市）如图，点A ，B 在直线MN 上，AB ＝11厘米，⊙A ，⊙B 的半径均为1厘米．⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r （厘米）与时间t （秒）之间的关系式为r ＝1+t （t ≥0）．

（1）试写出点A ，B 之间的距离d （厘米）与时间t （秒）之间的函数表达式；

（2）问点A 出发后多少秒两圆相切？

类型之三 方程、函数中的分类讨论 方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况.

例3.（·上海市）已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD ∥BC （如图）．E 是射线BC 上的动点（点E 与点B 不重合），M 是线段DE 的中点．

（1）设BE=x ，△ABM 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；

（2）如果以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，求线段BE 的长；

（3）联结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A 、N 、D 为顶点的三角形与△BME 相似，求线段BE 的长．

【解析】建立函数关系实质就是把函数y 用含自变量x 的代数式表示。要求线段的长，可假设线段的长，找到等量关系，列出方程求解。题中遇到“如果以A N D ，，为顶点的三角形与

BME △相似”

，一定要注意分类讨论。 【答案】（1）取AB 中点H ，联结MH ， M 为DE 的中点，MH BE ∴∥，1()2

MH BE AD =+． 又AB BE ⊥，MH AB ∴⊥．

12ABM S AB MH ∴=

△，得12(0)2y x x =+>； （2）由已知得．

以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，

1122MH AB DE ∴=

+， 即． 解得43x =，即线段BE 的长为43

； （3）由已知，以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似，

又易证得DAM EBM ∠=∠．

由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①ADN BEM ∠=∠；②ADB BME ∠=∠． ①当ADN BEM ∠=∠时，AD BE ∥，

ADN DBE ∴∠=∠．DBE BEM ∴∠=∠．

DB DE ∴=，易得2BE AD =．得8BE =；

②当时，AD BE ∥，

ADB DBE ∴∠=∠．

DBE BME ∴∠=∠．又BED MEB ∠=∠，

BED MEB ∴△∽△．

DE BE BE EM

∴=，即2BE EM DE =， 得2222(x x =+- 解得12x =，（舍去）．即线段BE 的长为2．

综上所述，所求线段BE 的长为8或2．

同步测试：

5.（·福州市)如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处．

（1）直接写出点E 、F 的坐标；

（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．

于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；

（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．

同步测试答案：

1.【解析】在没有明确腰长和底边长的情况下,要分两种情况进行讨论,当腰长是3cm ，底边长是6cm 时，由于3+3不能大于6所以组不成三角形；当腰长是6cm ，地边长是3cm 时能组成三角形．

【答案】D

2.【解析】由折叠图形的轴对称性可知，B F BF '=，B FE BFE '∠=∠，从而可求得B ′E=BF ；第(2)小题要注意分类讨论.

【答案】（1）证：由题意得B F BF '=，B FE BFE '∠=∠，

在矩形ABCD 中，AD BC ∥，B EF BFE '∴∠=∠，

B FE B EF ''∴∠=∠，

B F B E ''∴=．B E BF '∴=．

（2）答：a b c ，，三者关系不唯一，有两种可能情况：

（ⅰ）a b c ，，三者存在的关系是222a b c +=．

证：连结BE ，则BE B E '=．

由（1）知B E BF c '==，BE c ∴=．

在ABE △中，90A ∠=，222AE AB BE ∴+=．

AE a =，AB b =，222a b c ∴+=．

（ⅱ）a b c ，，三者存在的关系是a b c +>．

证：连结BE ，则BE B E '=．

由（1）知B E BF c '==，BE c ∴=．

在ABE △中，AE AB BE +>，

a b c ∴+>．

3.【解析】本题考察了等腰三角形的性质、垂径定理以及分类讨论思想。由AB=AC=5，3cos 5

B =，可得B

C 边上的高A

D 为4，圆O 经过点B 、C 则O 必在直线AD 上，若O 在BC 上方，则AO=3，若O 在BC 下方，则AO=5。

【答案】3或5．

4.【解析】在两圆相切的时候，可能是外切，也可能是内切，所以需要对两圆相切进行讨论.

【答案】解：（1）当0≤t ≤5.5时，函数表达式为d ＝11-2t ；

当t ＞5.5时，函数表达式为d ＝2t -11．

（2）两圆相切可分为如下四种情况：

①当两圆第一次外切，由题意，可得11－2t ＝1＋1＋t ，t ＝3；

②当两圆第一次内切，由题意，可得11－2t ＝1＋t －1，t ＝3

11； ③当两圆第二次内切，由题意，可得2t －11＝1＋t －1，t ＝11；

④当两圆第二次外切，由题意，可得2t －11＝1＋t ＋1，t ＝13．

所以，点A 出发后3秒、3

11秒、11秒、13秒两圆相切． 5.【解析】①解决翻折类问题，首先应注意翻折前后的两个图形是全等图，找出相等的边和

角．其次要注意对应点的连线被对称轴（折痕）垂直平分．结合这两个性质来解决．在运用分类讨论的方法解决问题时，关键在于正确的分类，因而应有一定的分类标准，如E 为顶点、P 为顶点、F 为顶点．在分析题意时，也应注意一些关键的点或线段，借助这些关键点和线段来准确分类．这样才能做到不重不漏．③解决和最短之类的问题，常构建水泵站模型解决．

【答案】（1）(31)E ，；(12)F ，．

（2）在Rt EBF △中，90B ∠=，

EF ∴=

设点P 的坐标为(0)n ，，其中0n >，

顶点(12)F ，，

∴设抛物线解析式为2(1)2(0)y a x a =-+≠．

①如图①，当EF PF =时，22

EF PF =，

221(2)5n ∴+-=．

解得10n =（舍去）；24n =．

(04)P ∴，．

24(01)2a ∴=-+．

解得2a =．

∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+

②如图②，当EP FP =时，22

EP FP =，

22(2)1(1)9n n ∴-+=-+． 解得52

n =-（舍去）．

③当EF EP =时，3EP =<，这种情况不存在．

综上所述，符合条件的抛物线解析式是2

2(1)2y x =-+．

（3）存在点M N ，，使得四边形MNFE 的周长最小．

如图③，作点E 关于x 轴的对称点E '，

作点F 关于y 轴的对称点F '，连接E F ''，分别与x 轴、y 轴交于点M N ，，则点M N ，就是所求点．

(31)E '∴-，，(12)F NF NF ME ME '''-==，，，．

43BF BE ''∴==，．

FN NM ME F N NM ME F E ''''∴++=++=5==． 又5EF =

∴5FN NM ME EF +++=，此时四边形MNFE 的周长最小值是5