广州大学2017-2018实变函数试卷(A)参考答案(精品)

广州大学 2017-2018 学年第 一 学期考试卷

参考答案及评分标准

课程 实变函数 考试形式（闭卷，考试）

学院 专业 班级 学号 姓名

一、判断题 （每小题2分，共20分）

1、 对任意的集合,A B ，恒有()A A B A B --=成立。 （ √ ）

2、 可数集的无穷子集仍然是可数集。 （ √ ）

3、 可测集的任何子集都是可测集。 （ × ）

4、 设1{}n n E ∞=为一单调递减可测集列，

则lim (lim )n n n n mE m E →∞

→∞

=。 （ × ） 5、设n

E ⊂

，且|()|f x 在E 上可测，则()f x 也在E 上可测。 （ × ）

6、 定义在Cantor 集G 上的任何函数都是可测函数。 （ √ ）

7、 设∞

=1)}({n n x f 是可测集E 上的可测函数列，则)}({inf 1

x f n n ≥在E 上也可测。（ √ ）

8、 若()f x +与()f x -在可测集E 上均可积，则()f x 在E 上也可积。 （ √ ） 9、 若1

2E E E =，则1

2

()()()E

E E f x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰。 （ × ）

10、)(x f 是],[b a 上的有界变差函数当且仅当)(x f 可以分解为两个单调递增函数的差。 （ √ ）

二、（共10分）证明下列集合为可数集： （1）有理数集

；（5分）

（2）平面上坐标为有理数的点所构成的集合，即1212{(,)|,}x x x x ∈∈。（5分） 证明：(1) 对任意的自然数*

n ∈

，令

1,2,,1,2,,n n m

m

E m E m n

n

⎧⎫⎧⎫

==-=-

=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭

则有理数集

{}11()0n n n n E E ∞∞==⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

， ……………………2分

由于对每个*

n ∈

,集合n E ,n E -都是可数集，因此根据可数集的可数并仍然可数

的性质知，有理数集

{}11()0n n n n E E ∞∞==⎛⎫⎛⎫

=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

为可数集合。 ……………5分

（2）由于有理数集为可数集，故可设123{,,,}r r r =,

取{(,)|},1,2,n n A r r r n =∈=,则每个n A 都可数， ……………………7分

从而12121

{(,)|,}n n x x x x A ∞=∈∈=也是可数集。

……………………10分 三、（10分）证明：设n

E ⊂

，若*0m E =,则E 为可测集，并且0mE =。

证明：对,c A E B E ∀⊂∀⊂，由外测度的次可加性知，

*()**m A B m A m B ≤+， ……………………3分 另一方面，由于A E ⊂,故**0m A m E ≤=，则*0m A =，从而

*()***m A B m B m A m B ≥=+. ……………………6分 因此有

*()**m A B m A m B =+. ……………………8分 从而由可测集的等价定义知，E 为可测集，并且*0mE m E ==。 ………10分

四、（10分）证明：对任意可测集,n

A B ⊂

，下式恒成立：

()().m A B m A B mA mB +=+

证明： 设A B D =，由于,n

A B ⊂

都可测，则由可测集的性质知，

集合,,A D D B D --都可测， …………………2分 并且由可测集的完全可加性有：

()()()()m A B m A D m D m B D =-++- …………………4分 ()()()m A m A D m D =-+ …………………6分 ()()()m B m B D m D =-+ …………………8分

因此()()()()()()()().m A B m A B m A D m D m D m B D m A m B +=-+++-=+ …………………10分

五、（10分）证明：定义在可测集E ⊂上的任何单调函数()f x 一定是可测函数。

证明：不妨设函数()f x 在E ⊂

上单调递增，则对a ∀∈

，定义

inf{|()}a I x E f x a =∈>. ………………2分 由于()f x 在E ⊂

上单调递增，则集合

[,),(),{|()}(,),(),a a a a E I f I a E x E f x a E I f I a +∞>⎧∈>=⎨+∞≤⎩当当 ……………6分

于是根据可测集的性质知，集合{|()}E x E f x a ∈>可测，从而证明了()f x 是

E ⊂上的可测函数。 …………………10分

六、（10分）设n

E ⊂可测，且mE <+∞,()f x 为E 上几乎处处有限的非负可测

函数，证明：对任意的0ε>，存在闭集F E ε⊂，使

（i ）()m E F εε-<； （ii ）()f x 在F ε上有界。

证明：（1）据题意，由Lusin 定理知，0>∀ε，∃有界闭集E F ⊂ε，使得

εε<-)(F E m ，且)(x f 在F ε上连续。 ………………4分

（2）下面用有限覆盖定理证明：)(x f 在有界闭集F ε上有界：

事实上，εF x ∈∀0，因为)(x f 在0x 连续，故对1=ε，00>∃x δ，使得

εδF x O x x ),(00∈∀，恒有：1|)()(|0<-x f x f ，即1|)(||)(|0+

另一方面，由于),(000x F x x O F δεε∈⊂ ，并且F ε为有界闭集，从而由有限覆盖定理知，

存在)1(0x ，)2(0

x

，, εF x

k ∈)

(0

，*

k ∈

，使得),()(0

)

(01

i x i k

i x O F δε=⊂ 。 …………8分

取{}()01max |(|1i i k

M f x ≤≤=+，则εF x ∈∀，有),()(0

)

(0i x i x O x δ∈，并且

M x f x f i ≤+≤1|)(|)(|)

(0，从而证明了)(x f 在F ε上有界。 ……………10分

七、（10分）设2

sin ,[0,]2

()cos ,[0,]2

c

x x x Q f x x x Q ππ⎧∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩ ，试计算[0,]2()f x dx π⎰。

解：由于有理数集为零测度集，故()cos f x x =，.. a e 于[0,]2π

， …………4分

于是由Lebesgue 积分的性质得：

220[0,][0,]0

2

2

()cos cos sin | 1.f x dx xdx xdx x π

π

π

π

====⎰

⎰

⎰ ………………10分

八、（10分）利用Lebesgue 控制收敛定理计算积分：2[0,1]1lim cos 1n x

dx x n

→∞

+⎰

。

解：令21()cos ,1,2,1n x

f x n x n

=

=+，由于对每个*

n ∈

，函数()n f x 在[0,1]上