第七章课件-数值分析与算法(第3版)-喻文健-清华大学出版社
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数值计算方法课件
数值计算方法课件
Introduction
数值分析 能够做什么？
数值计算方法课件
•
研究使用计算机求解各种数学问题的 数值方法（近似方法），对求得的解的 精度进行评估，以及如何在计算机上实 现求解等
数值计算方法课件
计算机解决实际问题的步骤
建立数学模型 选择数值方法 编写程序 上机计算
数值计算方法课件
lim||
k
xk x* 数值计算方法课件
||0
➢ 矩阵范数 ( matrix norms ) 定义3:对任意 A,B,R称m|n| ·|| 为Rmn空间的矩阵范数, 指|| ·||满足(1)-(3)：
(1 )|A || |0 ;|A || |0 A 0
(2) ||A||||||A|| 对任意 C
David Kincaid & Ward Cheney（机械工业出版社)
➢ Numerical Analysis (Seventh Edition)
数值分析 （第七版 影印版）
Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）
数值计算方法课件
数值计算方法课件
10n1 10n1
10n
0
1
102
0
10 1101 0
2。与计算机不能分离：上机实习（掌握一 门语言：C语言，会用Matlab）
数值计算方法课件
1.2 误差 ( Error )
§1 误差的背景介绍 ( Introduction ) 1. 来源与分类 ( Source & Classification ) 模型误差 ( Modeling Error ): 从实际问题中抽象出数 学模型
Introduction
数值分析 能够做什么？
数值计算方法课件
•
研究使用计算机求解各种数学问题的 数值方法（近似方法），对求得的解的 精度进行评估，以及如何在计算机上实 现求解等
数值计算方法课件
计算机解决实际问题的步骤
建立数学模型 选择数值方法 编写程序 上机计算
数值计算方法课件
lim||
k
xk x* 数值计算方法课件
||0
➢ 矩阵范数 ( matrix norms ) 定义3:对任意 A,B,R称m|n| ·|| 为Rmn空间的矩阵范数, 指|| ·||满足(1)-(3)：
(1 )|A || |0 ;|A || |0 A 0
(2) ||A||||||A|| 对任意 C
David Kincaid & Ward Cheney（机械工业出版社)
➢ Numerical Analysis (Seventh Edition)
数值分析 （第七版 影印版）
Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）
数值计算方法课件
数值计算方法课件
10n1 10n1
10n
0
1
102
0
10 1101 0
2。与计算机不能分离：上机实习（掌握一 门语言：C语言，会用Matlab）
数值计算方法课件
1.2 误差 ( Error )
§1 误差的背景介绍 ( Introduction ) 1. 来源与分类 ( Source & Classification ) 模型误差 ( Modeling Error ): 从实际问题中抽象出数 学模型
人教版高中数学必修三第一章-算法初步第一节《算法的概念》教学课件3(共21张PPT)
趣味益智游戏
一人带着一只狼、一只羊和一箱蔬菜要过河,但只 有一条小船.乘船时，每次只能带狼、羊和蔬菜中的一 种.当有人在场时，狼、羊、蔬菜都相安无事.一旦人 不在,狼会吃羊,羊会吃菜.请设计一个方案,安全地将狼、 羊和蔬菜带过河.
过河游戏
如何发电子邮件？
假如你的朋友不会发电子邮件，你能教会他么？ 发邮件的方法很多，下面就是其中一种的操作步骤：
第四步, 用5除35,得到余数0.因为余数为0， 所以5能整除35.因此，35不是质数.
变式: “判断53是否质数”的算法如下：
第1步,用2除53得余数为1,余数不为0,所以2不能整除53;
第2步,用3除53得余数为2,余数不为0,所以3不能整除53;
……
第52步,用52除53得余数为1,余数不为0,故52不能整除53;
第二步, 给定区间［a,b］,满足f(a) ·f(b)＜0．
第三步,
取中间点
m
a
2
b．
第四步, 若f(a) ·f(m) < 0,则含零点的区间为
［a,m］；否则，含零点的区间b］.
第五步,判断f(m)是否等于０或者［a,b］的长 度是否小于d，若是，则m是方程的近似解;否 则，返回第三步．
|a-b| 1
0.5 0.25 0.125 0.062 5 0.031 25 0.015 625 0.007 812 5 0.003 906 25
y=x2-2
1 1.25 1.5
1.375
2
于是，开区间（1.4140625,1.41796875）中 的实数都是当精确度为0.005时的原方程的近 似解.
判断“整数n(n>2)是否是质数”的算法 自然语言描述
第一步 给定大于2的整数n. 第二步 令i=2. 第三步 用i除n，得到余数r. 第四步 判断“r=0”是否成立.若是，则n不是质
一人带着一只狼、一只羊和一箱蔬菜要过河,但只 有一条小船.乘船时，每次只能带狼、羊和蔬菜中的一 种.当有人在场时，狼、羊、蔬菜都相安无事.一旦人 不在,狼会吃羊,羊会吃菜.请设计一个方案,安全地将狼、 羊和蔬菜带过河.
过河游戏
如何发电子邮件？
假如你的朋友不会发电子邮件，你能教会他么？ 发邮件的方法很多，下面就是其中一种的操作步骤：
第四步, 用5除35,得到余数0.因为余数为0， 所以5能整除35.因此，35不是质数.
变式: “判断53是否质数”的算法如下：
第1步,用2除53得余数为1,余数不为0,所以2不能整除53;
第2步,用3除53得余数为2,余数不为0,所以3不能整除53;
……
第52步,用52除53得余数为1,余数不为0,故52不能整除53;
第二步, 给定区间［a,b］,满足f(a) ·f(b)＜0．
第三步,
取中间点
m
a
2
b．
第四步, 若f(a) ·f(m) < 0,则含零点的区间为
［a,m］；否则，含零点的区间b］.
第五步,判断f(m)是否等于０或者［a,b］的长 度是否小于d，若是，则m是方程的近似解;否 则，返回第三步．
|a-b| 1
0.5 0.25 0.125 0.062 5 0.031 25 0.015 625 0.007 812 5 0.003 906 25
y=x2-2
1 1.25 1.5
1.375
2
于是，开区间（1.4140625,1.41796875）中 的实数都是当精确度为0.005时的原方程的近 似解.
判断“整数n(n>2)是否是质数”的算法 自然语言描述
第一步 给定大于2的整数n. 第二步 令i=2. 第三步 用i除n，得到余数r. 第四步 判断“r=0”是否成立.若是，则n不是质
(最新整理)高中数学必修3课件全册(人教A版)
LOOP UNTIL i>100
PRINT S
结束
END
循环体
否
条件
是
DO
循环体
LOOP UNTIL 条件
2021/7/26
22
一、辗转相除法（欧几里得算法）
1、定义：
所谓辗转相除法，就是对于给定的两个 数，用较大的数除以较小的数。若余数不为 零，则将余数和较小的数构成新的一对数， 继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则 这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。
二、程序框图
用程序框、流程线及文字说明来表示算 法的图形称为程序框图，它使算法步骤显得 直观、清晰、简明.
○
终端框 输入、 处理框 (起止框) 输出框 (执行框) 判断框 流程线 连接点
2021/7/26
7
程序框图又称流程图，是一种用规定的图形，指向线及 文字说明来准确、直观地表示算法的图形。
程序框
（2）、现代数学中的更相减损术：
第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。 若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小 的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的 减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。
2021/7/26
26
2、定义：
语句
一般格式
1.输入 语句
INPUT “提示内容”;变量
2.输出 PRINT “提示内容”;表达式 语句
3.赋值 语句
变量＝表达式
2021/7/26
主要功能
说明
可对程序中 的变量赋值
（1）提示内容和它后面 的“；”可以省略
（2）一个语句可以给多个变 量赋值，中间用“，”分隔
数值计算第六讲
曲线拟合的最小二乘法
多项式插值
(拉格朗日, 牛顿) 分段多项式插值 样条函数插值
Wenjian Yu 2
函数逼近问题的例子
1.4
sqrt(1+t2)
1.3 1.2 1.1 1 0 0.2 0.6 t cos(t) /2-4/ 0.4 0.8 1
傅里叶变换, 信号的频谱分析
3 2.5 2 1.5 1 0.5 -3 -2 -1 0 t 1 2 3
Wenjian Yu 68
样条插值及其他
B-样条函数
有k-1阶连续导数的分段k次多项式为k次样条函数 可写成基函数的线性组合,
基函数为B-样条函数 1次样条函数为分段线性函数 1 B-样条基函数应用广泛(计算机图形 学, 几何建模, 数值求解微分方程)
Matlab
yi
= interp1(x,y,xi,method) „nearest’, „linear‟, „spline‟, „pchip‟ interp2, interp3, pchip, spline, “Spline toolbox”
定义6.6
DFT
Wenjian Yu
40
插值与多项式插值
解存在、唯一吗?
Th6.6
(Vandermonde阵)
Wenjian Yu
41
Lagrange插值法
不便于计算、以及理论分析
“两点式”直线公式:
Wenjian Yu
42
Lagrange插值法
Lagrange 插值函数
(一个常用的技巧)
数值分析与算法 (6)
Numerical Analysis & Algorithms
数值分析全册完整课件
似算法的收敛性和数值稳定性； 要有好的计算复杂性，节省时间及存储量； 有数值实验，证明算法有效。
算法基本结构：顺序，分支，循环
算法描述：程序或流程图
常采用的处理方法：
构造性方法 离散化方法 递推化方法 迭代法 近似替代方法 以直代曲法 化整为零的处理方法 外推法
数学基础：
微积分的若干定理： 罗尔定理和微分中值定理； 介值定理及推论； 泰勒公式（一元、二元）； 积分中值定理；
设y=f(x)为一元函数，自变量准确值x*，对应函数准确 值y*=f(x*)，x误差为e(x)，误差限为ε(x)，函数近似值 误差e(y)，误差限为ε(y)。则（可由Taylor公式推得）
( y) | f '(x) | (x)
r
(
y)
|
xf |f
'(x) (x) |
|
r
(
x)
对于多元函数 z f (x1, x2 ,, xn )
定义1.1 设x*为某一数据的准确值，x为x*的一个近 似值，称e(x)=x-x*(近似值－准确值)为近似值x的绝对 误差，简称误差。
e(x) 可正可负，当e(x) >0时近似值偏大，叫强近似值；当e(x) <0时近似值偏小，叫弱近似值。
由于x*通常无法确定，只能估计其绝对误差值 不超过某整数ε(x)，即
设准确值
z* f (x1*, x2*,, xn* )
由多元函数Taylor公式，可得误差估计：
n
(z)
k 1
f xk
(xk )
相对误差限为：
r (z)
n k 1
xk
f xk
r (xk )
z
2. 算术运算的误差估计：
算法基本结构：顺序，分支，循环
算法描述：程序或流程图
常采用的处理方法：
构造性方法 离散化方法 递推化方法 迭代法 近似替代方法 以直代曲法 化整为零的处理方法 外推法
数学基础：
微积分的若干定理： 罗尔定理和微分中值定理； 介值定理及推论； 泰勒公式（一元、二元）； 积分中值定理；
设y=f(x)为一元函数，自变量准确值x*，对应函数准确 值y*=f(x*)，x误差为e(x)，误差限为ε(x)，函数近似值 误差e(y)，误差限为ε(y)。则（可由Taylor公式推得）
( y) | f '(x) | (x)
r
(
y)
|
xf |f
'(x) (x) |
|
r
(
x)
对于多元函数 z f (x1, x2 ,, xn )
定义1.1 设x*为某一数据的准确值，x为x*的一个近 似值，称e(x)=x-x*(近似值－准确值)为近似值x的绝对 误差，简称误差。
e(x) 可正可负，当e(x) >0时近似值偏大，叫强近似值；当e(x) <0时近似值偏小，叫弱近似值。
由于x*通常无法确定，只能估计其绝对误差值 不超过某整数ε(x)，即
设准确值
z* f (x1*, x2*,, xn* )
由多元函数Taylor公式，可得误差估计：
n
(z)
k 1
f xk
(xk )
相对误差限为：
r (z)
n k 1
xk
f xk
r (xk )
z
2. 算术运算的误差估计：
数值分析课件第3章
0
x
y
2 4 6
8 6 4 2
骄行札或务旷恰洗大而非仆椒鸿孜襟儡和跟浪陪痕骚树认邻异镍屠丰逃臃数值分析课件第3章数值分析课件第3章
初每孟缅家邱拙货另崇屎慑芝骋磨雨鹏苯核碉断策占悲异贺碴察鸿旧岿父数值分析课件第3章数值分析课件第3章
例3-4 已知实测数据表如下,确定数学模型 y=aebx, 用最小二乘法确定a，b。
帜尸砚损讹祖邱帆迄攫让汕芽柔造兔优伐具猪购冈琅高蹄熊嫌第凸貉楚章数值分析课件第3章数值分析课件第3章
伸姜积升斯钳更相傍抒匣替讯蔽炽恋喉爱著殷都皂孵羌邹捞谎寐池骇织狱数值分析课件第3章数值分析课件第3章
i
0 1 2 3 4
拙猪囤犀缎孩甸萤捷褐番舍倪酌月迢飘沟锰乡橙波旗骨渠虎偷朋袒夹惹胳数值分析课件第3章数值分析课件第3章
新隆培润已描苍淬霖绪册防嚷拇痘掂腹坏蕉吁咳洞烷携敦玻腔同翻坎镀讨数值分析课件第3章数值分析课件第3章
宽烹呼境眺泡狞瑞怕敝斧厨寞贝砚妄特痒福踊阁监桐却挠伸井竟哇含野劲数值分析课件第3章数值分析课件第3章
囊铭徒庄裸课爹压屏滴插百盗万武廷校船卿肪没弹溃想镊茨壳峨孽信骗跨数值分析课件第3章数值分析课件第3章
i
0 1 2 3 4
xi yi yi
1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 5.10 5.79 6.53 7.45 8.46 1.629 1.756 1.876 2.008 2.135
3.1基本概念
x0
x
x
x
x
x
x
x
f(x)
p(x)
虐座韦龄椽加腕槽晶僵壤漱键椒赏琢芭尊校榆唤著里钙治纹改瞥宁岁坛草数值分析课件第3章数值分析课件第3章
2、范数与赋范线形空间
x
y
2 4 6
8 6 4 2
骄行札或务旷恰洗大而非仆椒鸿孜襟儡和跟浪陪痕骚树认邻异镍屠丰逃臃数值分析课件第3章数值分析课件第3章
初每孟缅家邱拙货另崇屎慑芝骋磨雨鹏苯核碉断策占悲异贺碴察鸿旧岿父数值分析课件第3章数值分析课件第3章
例3-4 已知实测数据表如下,确定数学模型 y=aebx, 用最小二乘法确定a，b。
帜尸砚损讹祖邱帆迄攫让汕芽柔造兔优伐具猪购冈琅高蹄熊嫌第凸貉楚章数值分析课件第3章数值分析课件第3章
伸姜积升斯钳更相傍抒匣替讯蔽炽恋喉爱著殷都皂孵羌邹捞谎寐池骇织狱数值分析课件第3章数值分析课件第3章
i
0 1 2 3 4
拙猪囤犀缎孩甸萤捷褐番舍倪酌月迢飘沟锰乡橙波旗骨渠虎偷朋袒夹惹胳数值分析课件第3章数值分析课件第3章
新隆培润已描苍淬霖绪册防嚷拇痘掂腹坏蕉吁咳洞烷携敦玻腔同翻坎镀讨数值分析课件第3章数值分析课件第3章
宽烹呼境眺泡狞瑞怕敝斧厨寞贝砚妄特痒福踊阁监桐却挠伸井竟哇含野劲数值分析课件第3章数值分析课件第3章
囊铭徒庄裸课爹压屏滴插百盗万武廷校船卿肪没弹溃想镊茨壳峨孽信骗跨数值分析课件第3章数值分析课件第3章
i
0 1 2 3 4
xi yi yi
1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 5.10 5.79 6.53 7.45 8.46 1.629 1.756 1.876 2.008 2.135
3.1基本概念
x0
x
x
x
x
x
x
x
f(x)
p(x)
虐座韦龄椽加腕槽晶僵壤漱键椒赏琢芭尊校榆唤著里钙治纹改瞥宁岁坛草数值分析课件第3章数值分析课件第3章
2、范数与赋范线形空间
数值计算基础、Matlab介绍喻文健-TsinghuaUniversity
◦ 使用数值求解非线性方程的命令fzero求
◦ 注意：ezplot自动避开奇异点
plot, fzero命令
◦ 图形窗口(figure)的编辑、拷贝
>> phi = fzero (f, 1)
>> hold on
>> plot (phi, 0, ‘o')
26
脚本程序与绘图功能
◦ Matlab程序.m文件有两种: 脚本(script), 函数(function)
变量空间
命令历史
命令窗口，将Matlab作
为计算器使用
20
程序编辑窗口
帮助窗口
注释语句%
多个文件
21
如何“上手”？
◦ 安装Matlab软件，版本R2009a/b或更新的
◦ 获取NCM程序包，并设置路径
(网络学堂-”教学资源”第1项)
>> ncmgui
◦ 阅读课本第1章
◦ 多动手实验
◦ 熟悉“命令历史”键： “”, “” ，以及help, doc命令
及其化简分式，并计算它的值及近似的误差
23
=
1+ 5
2
Matlab默认采用双精度浮点数，但有多种显示格式
format命令, 或通过File-Preferences菜单设置
黄金矩形
>> phi = (1+sqrt(5)) / 2
>> format long
◦ 裁去正方形后，小矩形形状比例不变
◦ 根据这一点求
◦ 解方程:
−1 1
in Science & Engineering”(IEEE
◦ 注意：ezplot自动避开奇异点
plot, fzero命令
◦ 图形窗口(figure)的编辑、拷贝
>> phi = fzero (f, 1)
>> hold on
>> plot (phi, 0, ‘o')
26
脚本程序与绘图功能
◦ Matlab程序.m文件有两种: 脚本(script), 函数(function)
变量空间
命令历史
命令窗口，将Matlab作
为计算器使用
20
程序编辑窗口
帮助窗口
注释语句%
多个文件
21
如何“上手”？
◦ 安装Matlab软件，版本R2009a/b或更新的
◦ 获取NCM程序包，并设置路径
(网络学堂-”教学资源”第1项)
>> ncmgui
◦ 阅读课本第1章
◦ 多动手实验
◦ 熟悉“命令历史”键： “”, “” ，以及help, doc命令
及其化简分式，并计算它的值及近似的误差
23
=
1+ 5
2
Matlab默认采用双精度浮点数，但有多种显示格式
format命令, 或通过File-Preferences菜单设置
黄金矩形
>> phi = (1+sqrt(5)) / 2
>> format long
◦ 裁去正方形后，小矩形形状比例不变
◦ 根据这一点求
◦ 解方程:
−1 1
in Science & Engineering”(IEEE
数值计算第七讲-51页PPT文档资料
第二类椭圆积分, 无法解析求出 !
Wenjian Yu
4
数值积分基本思想
f (x)
积分系数 积分节点
希望用较少的计算量得到较准确的结果
Wenjian Yu
...
5
插值型求积公式
梯形公式
中矩形公式
Wenjian Yu
6
积分余项与代数精度
反映了计算的截断误差 插值余项的积分
衡量求积公式准确度的另一个指标
高斯积分有2n+1次代数精度
Wenjian Yu
38
高斯求积公式
Th7.7
Wenjian Yu
比自适应积分 算法使用方便
39
高斯-勒让德公式
高斯-勒让德积分表
0 1 2
3
4
5
Wenjian Yu
40
高斯-勒让德公式
Wenjian Yu
41
数值微分
Wenjian Yu
42
数值微分
利用Taylor展开推出:
要尽量寻求稳 定的求积公式
Wenjian Yu
10
牛顿-柯特斯公式
Wenjian Yu
11
Newton-Cotes公式
就是n阶牛顿-柯特斯公式
n=1, 1/2, 1/2 Cotes系数表 n=2, 1/6, 2/3, 1/6
• 一系列求积公式 • 便于使用
n=4, 7/90, 16/45, 2/15, 16/45, 7/90
p
3
5
9
Wenjian Yu
45
数值微分的应用
二阶中心 差分
例如n=2