矩阵不等式
线性矩阵不等式
则应用引理 2.1.2，可以将矩阵不等式（2.1.6）的可行性问题转化成一个等价的矩阵不等 式
AT P PA Q PB
BT P
R0
（2.1.7）
的可行性问题，而后者是一个关于矩阵变量P的线性矩阵不等式。
2.3一些标准的线性矩阵不等式问题
例2.1.1 稳定性问题 考虑线性自治系统
x(t) Ax(t)
setlmis([]) X=lmivar(1,[61]) S=lmivar(1,[20;21]) ﹪lst LMI lmiterm([111x],1,A,’s’) lmiterm([111s],c’,c) lmiterm([112x],1,B) lmiterm([122s],-1,1) ﹪2nd LMI lmiterm([-211X],1,1) ﹪3rd LMI lmiterm([-311s],1,1) lmiterm([3110],1) lmisys=getlmis
m 是一组给定的实对称矩阵，（2.1.1）中的不等号“＜”指的是矩阵 F(x)是负定的，即对所有
非零的向量 v Rm , vT F (x)v0 或者 F(x)的最大特征值小于零。
在许多系统与控制问题问题中，问题的变量是以矩阵的形式出现的。例如 Lyapunov 矩阵 不等式：
F ( X ) AT X XA Q0
lmivar 函数lmivar用来描述出现在线性矩阵不等式系
统中的矩阵变量，每一次只能描述一个矩阵变 量。矩阵变量的描述包括该矩阵变量的结构。 该函数的一般表达是：
X=lmivar(type,struct) 这一函数定义了一个新的矩阵变量X。函数中
的第一个输入量type确定了矩阵变量X的类型， 第二个输入量struct进一步根据变量X的类型给 出该变量的结构。变量的类型分成三类：
矩阵迹的几个不等式
矩阵迹的几个不等式矩阵迹是矩阵理论中的一个重要概念，它是矩阵的一种量度，可以用来衡量矩阵的大小。
矩阵迹的不等式是矩阵理论中的一个重要概念，它可以用来衡量矩阵的大小，以及矩阵之间的关系。
首先，我们来看一下矩阵迹的定义。
矩阵迹是矩阵的一种量度，它是矩阵的对角元素之和。
换句话说，矩阵迹就是矩阵的对角元素的总和。
例如，对于一个3×3的矩阵A，它的矩阵迹就是A的对角元素a11+a22+a33的和。
矩阵迹的不等式是矩阵理论中的一个重要概念，它可以用来衡量矩阵的大小，以及矩阵之间的关系。
矩阵迹的不等式有很多，其中最重要的是Hadamard不等式，它表明矩阵的迹不能大于矩阵的乘积。
Hadamard不等式可以表示为：|A| ≤ |A|1|A|2|A|3|…|A|n其中，|A|表示矩阵A的迹，|A|1、|A|2、|A|3…|A|n表示矩阵A的各个分量的迹。
此外，还有一些其他的矩阵迹不等式，比如Gershgorin不等式，它表明矩阵的迹不能小于矩阵的最小特征值。
Gershgorin不等式可以表示为：|A| ≥ λmin其中，|A|表示矩阵A的迹，λmin表示矩阵A的最小特征值。
另外，还有一些其他的矩阵迹不等式，比如Frobenius不等式，它表明矩阵的迹不能小于矩阵的Frobenius范数。
Frobenius不等式可以表示为：|A| ≥ ||A||F其中，|A|表示矩阵A的迹，||A||F表示矩阵A的Frobenius范数。
总之，矩阵迹的不等式是矩阵理论中的一个重要概念，它可以用来衡量矩阵的大小，以及矩阵之间的关系。
Hadamard不等式、Gershgorin不等式和Frobenius不等式是矩阵迹不等式中最重要的三个不等式，它们可以用来衡量矩阵的大小，以及矩阵之间的关系。
矩阵不等式理论及其在控制理论中的应用
矩阵不等式理论及其在控制理论中的应用矩阵不等式理论是现代数学中的一个重要分支，其在控制理论领域中扮演着重要角色。
本文将介绍矩阵不等式理论的基本概念，讨论其在控制理论中的应用，并探讨相关研究的前沿发展。
一、矩阵不等式理论的基本概念1.1 矩阵基础知识在讨论矩阵不等式理论之前，我们首先需要了解一些矩阵的基础知识。
矩阵是由一些数构成的矩形阵列，可以表示为$m\times n$的矩阵$A$：$A=[a_{ij}]_{m\times n}$，其中$a_{ij}$表示第$i$行第$j$列元素。
1.2 矩阵不等式定义矩阵不等式是对矩阵中元素的一种约束条件。
常见的矩阵不等式有大于等于不等式、小于等于不等式、严格大于不等式和严格小于不等式。
比如对于两个矩阵$A$和$B$，$A\geq B$表示对应元素满足$a_{ij}\geq b_{ij}$。
二、矩阵不等式理论在控制理论中的应用2.1 线性矩阵不等式线性矩阵不等式是矩阵不等式理论的重要应用之一。
在控制理论中，通过线性矩阵不等式可以描述线性系统的性能和稳定性。
线性矩阵不等式的求解可以通过线性矩阵不等式方法或凸优化方法来实现。
2.2 非线性矩阵不等式除了线性矩阵不等式，非线性矩阵不等式也在控制理论中起到关键作用。
非线性矩阵不等式可以描述非线性系统的性能和稳定性。
然而，非线性矩阵不等式的求解相较于线性矩阵不等式更加复杂，需要运用数值计算和最优化等方法。
2.3 随机矩阵不等式随机矩阵不等式是指矩阵不等式中包含随机变量的情况。
在控制理论中，随机矩阵不等式可用于描述带有随机干扰的系统的性能和鲁棒稳定性问题。
随机矩阵不等式的求解方法包括最优化方法和随机矩阵计算方法。
三、矩阵不等式理论的前沿发展矩阵不等式理论在控制理论中的应用仍在不断发展。
近年来，针对矩阵不等式理论的研究趋势主要体现在以下几个方面：3.1 非线性矩阵不等式的求解算法改进由于非线性矩阵不等式的求解复杂度较高，需要运用数值计算和最优化等方法。
schur不等式 矩阵证明
schur不等式矩阵证明Schur不等式是著名的非凸无约束优化问题的一类经典算法，是比较有名的一种矩阵不等式。
Schur不等式本身就是常见的矩阵不等式，又称Schur-Hadamard不等式，换句话说就是某类矩阵相乘，每个元素的乘积大于或等于每个矩阵中各元素的乘积之和。
它可以说是一类矩阵不等式，用通俗的话来说就是联合不等式，要求满足所有元素的乘积能够大于等于所有元素之间的乘积之和，这是Schur不等式的基本形式。
一.Schur不等式的定义Schur不等式又称Schur-Hadamard不等式，它指的是某类矩阵相乘，每个元素的乘积大于或等于每个矩阵中各元素的乘积之和，例如：若A, B为m×n矩阵，那么Schur不等式可以用下式表示：$$(\sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij})(\sum\limits_{i=1} ^{m}\sum\limits_{j=1}^{n}b_{ij})\leq\sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{n}(a_{ij}b_{ij})$$二.Schur不等式的证明证明Schur不等式的时候，我们可以首先用抽象的数学话来介绍，从数学的角度来解释这个不等式。
1.首先，Schur不等式本质上是一个定性的不等式，它的基本原理就是一组矩阵相乘，每个元素的乘积大于或等于每个矩阵中各元素的乘积之和，而这个不等式可以由另一种方式来证明，其公式为：$$det(A)det(B)\leq det(AB)$$2.其次，再来看Schur不等式的正式定义，及它的证明方法：若A,B 为m×n矩阵，那么我们可以用下式表示：$$(\sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij})(\sum\limits_{i=1} ^{m}\sum\limits_{j=1}^{n}b_{ij})\leq\sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{n}(a_{ij}b_{ij})$$其中a_ij和b_ij表示A或B的第i行第j列的元素，接下来我们要看它的证明：（1）由初等变换的定义，若A为任意矩阵，则它的行变换、列变换和元素的变换均不会影响A的行列式值。
矩阵不等式
(5.1.3) (5.1.4)
推论: Hermite 矩阵的特征值都是实数; 反 Hermite 矩阵的特征值为零或纯虚数。 事实上，当 A 为 Hermite 矩阵时，由式（5.1.4） 知 Im( )=0,即 为实数； 当 A 为反 Hermite 矩阵时，由式（5.1.3）知 Re( )=0,即为 为零或纯虚数。 定义.5.1 设 A (ars ) C
a1
h
p O q ak
定理 5.5 （Schur’s inequality） 设 A=(ars)Cn×n 的特征值为1，…，n，则有
| r |2
r 1
n
r ,s 1
| a
n
rs
|2 || A ||2 F
(5.1.9)
证明：根据定理 1.43,存在酉矩阵 U 使得 A=UTUH 其中 T 为上三角矩阵。因此 T 的对角元素为 A 的特征值，且有
b
i 1 j i
n 1
ij
( xi y j x j yi ) |2
2
n (2M) | xi y j x j yi | i 1 j i
2
(利用(a1+a2+…+an)2 n((a1)2+(a2)2+…+(an)2)
n 2 (2M) (n(n1)/2) | xi y j x j yi | i 1 j i
xT x yT x
(求等式两边矩阵的对角元之和，可得 (xTx+yTy)=xTAx+yTAy (1) 等式两边矩阵的左上角单元减去右下角单元 可得： (xTx+yTy)=xT(AAT)y 1). 记 B=AAT,则 |xTBy|||x||2 ||B||2||y||2 从而 ||||x||2 ||B||2||y||2 /((||x||2)2 +(||y||2)2) 利用 ab/(a2+b2)1/2 可得 ||||B||2 /2. 2). 由于|xTBy|||Bx||1 ||y||||B||1||x||1 ||y|| 从而 ||||B||1 ||x||1 ||y|| /((||x||2)2 +(||y||2)2) 易证明 ||x||1 ||y|| /((||x||2)2 +(||y||2)2) n /2. (显然，不妨假设(||x||2)2 +(||y||2)2=1, 设||y||=t=cos(), 则 y 必为 t ej 的形式（为什么？） ， 从而极值转化为求解如下最大值问题： max ||x||1, 满足约束(||x||2)2=1t2 这样有均值不等式||x||1 n ||x||2=
线性矩阵不等式
7.4.2线性矩阵不等式的确定
LMI工具箱可以处理具有以下一般形式的线性 矩阵不等式。 NTL（X1，…，Xk）N<MTR（X1，…，XK）M 其中：X1…，XK是具有一定结构的矩阵变量， 左、右外因子N和M是具有相同维数的给定矩 阵，左、右内因子L（﹒）和R（﹒）是具有相 同块结构的对称块矩阵。 注意，在线性矩阵不等式的描述中，左边总是 指不等式较小的一边，例如对线性矩阵不等式 X>0，X称为是不等式的右边，0称为是不等式 的左边，常表示成0< X。
I F T ( x) F ( x) F ( x) I 0 0 F ( x) I
T 2
因此，可以通过求解：
min x,
(7.3.2)
I F T ( x) s.t 0 F ( x) I
来得到所求问题的解。显然，问题（7.3.2）是一个具有线性矩阵不等式约束的线性目标函数 的最优化问题。
定的常数矩阵。由于
DED 1 1 D T E T D T DED 1 1
E T DT DE DT D
ET XE X 0
1 T 其中 X D D0 。因此，使得 DED 1 成立的对角矩阵 D 的存在性问题等价
于线性矩阵不等式 E XE X 0 的可行性问题。
要确定一个线性矩阵不等式系统，需要做以下两步： 给出每个矩阵变量X1，…，XK的维数和结构； 描述每一个线性矩阵不等式中各个项的内容。 这个过程产生所描述线性矩阵不等式系统的一个内部 表示，它以一个单一向量的形式储存在计算机内，通 常用一个名字，例如lmisys来表示。该内部表示lmisys 可以在后面处理这个线性矩阵不等式时调用。 下面将通过LMI工具箱中的一个例子来说明线性矩阵不 等式系统的确定。运行lmidem可以看到这个例子的完 整描述。
LMI线性矩阵不等式
线性矩阵不等式
Linear matrix inequality(LMI): 矩阵变量集合中线性（或仿
射）的矩阵不等式.
1.1: LMI的 基 本 性 质
1
Q正定：如果 xT Qx > 0, ∀x ̸= 0 Q半正定：如果 xT Qx ≥ 0, ∀x ̸= 0 P 负定（半负定）：如果Q = −P 正定（半正定）。
9
%可行 ( 是稳定的A) tmin
当且仅当 tmin <0
运行结果：
Lyap =
1
S o l v e r f o r LMI f e a s i b i l i t y problems L ( x ) < R( x )
10
T h i s s o l v e r minimizes
t
subject to
只需要写出对角线上面，或下面的项。
% AP+PA’ <0 % 0 % P>0
l m i t e r m ( [ Lyap 1 1 P ] , 1 , A , ’ s ’ ) ; l m i t e r m ( [ Lyap 1 2 0 ] , 0 ) ; l m i t e r m ( [ Lyap 2 2 P] ,1 , − 1) ; LMIsys= g e t l m i s ; [ tmin , x f e a s ] = feasp ( LMIsys ) ;
L ( x ) < R( x ) + t ∗ I
The b e s t v a l u e o f t should be n e g a t i v e f o r f e a s i b i l i t y
控制论常用的矩阵不等式
控制论常用的矩阵不等式控制论是一门研究如何通过控制手段来实现系统稳定、优化和鲁棒性的学科，而矩阵不等式则是控制论中常用的数学工具之一。
本文将介绍控制论中常用的几种矩阵不等式，并讨论其在控制系统设计中的应用。
1. 线性矩阵不等式(LMI)线性矩阵不等式是控制论中最常用的矩阵不等式之一。
它的形式为：$$A(x)X+B(x)Y+C^{T}(x)YC(x)<0$$其中，$A(x)$、$B(x)$、$C(x)$均为实系数矩阵函数，$X$、$Y$均为矩阵变量。
该不等式表示的是矩阵函数$A(x)$、$B(x)$、$C(x)$构成的线性系统对应的闭环系统是渐进稳定的，即对任意的初值$x_0$，系统的输出$y(t)$都会收敛到零。
2. Lyapunov矩阵不等式Lyapunov矩阵不等式是控制论中另一种常用的矩阵不等式。
它的形式为：$$A^{T}P+PA<-Q$$其中，$A$为系统的状态转移矩阵，$P$为对称正定矩阵，$Q$为对称正定矩阵。
该不等式表示的是系统的Lyapunov函数$V(x)=x^{T}Px$满足$V(x)leqslant-alpha x^{T}x$，其中$alpha$是正常数。
3. Riccati矩阵不等式Riccati矩阵不等式也是控制论中常用的矩阵不等式之一。
它的形式为：$$A^{T}P+PA-PBR^{-1}B^{T}P<-Q$$其中，$A$、$B$为系统的状态转移矩阵和输入矩阵，$P$为对称正定矩阵，$R$为对称正定矩阵。
该不等式表示的是系统的最优控制输入满足线性方程$u=-R^{-1}B^{T}Px$。
4. Schur矩阵不等式Schur矩阵不等式是控制论中最基本的矩阵不等式之一。
它的形式为：$$Mprec N$$其中，$M$、$N$为两个对称矩阵，$prec$表示矩阵的部分序。
该不等式表示的是矩阵$N-M$是正定的。
总之，矩阵不等式在控制论中具有广泛的应用，可以用于系统稳定性分析、最优控制设计和鲁棒性分析等领域。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
如果A按行严格对角占优，则
(5.1.5)
且当ars=0(s>r)时，式(5.1.5)中等号成立。
证明：由于A按对角占优，所以det(A)0.
考虑方程组
因为A按行对角占优，因此A1也按行对角占优。
从而A1可逆。上述线性方程组有唯一解
x(1)=(2,…,n)T.
可以证明|k|=max {|2|,…,|n|} <1,
则|yHBy| .
定理5.2设ACn×n，则A的任一特征值 满足
| | ||A||
(5.1.3)
(5.1.4)
推论:Hermite矩阵的特征值都是实数;
反Hermite矩阵的特征值为零或纯虚数。
事实上，当A为Hermite矩阵时，由式（5.1.4）
知Im( )=0,即 为实数；
当A为反Hermite矩阵时，由式（5.1.3）知
4). |xTBy|=| |
而 (xTx)1/2(yTy)1/2
由此可以有||(1/2)
思考题：对于(1)式，利用定理特征值都是实数。
事实上，当A这实对称矩阵时，M=0.
由定理5.1可得Im( )=0,即 为实数。
引理1设BCn×n,列向量yCn满足||y||2=1,
易证明||x||1||y||/((||x||2)2+(||y||2)2) /2.
(显然，不妨假设(||x||2)2+(||y||2)2=1,
设||y||=t=cos(),则y必为tej的形式（为什么？），
从而极值转化为求解如下最大值问题：
max||x||1,满足约束(||x||2)2=1t2
这样有均值不等式||x||1 ||x||2= (1t2)1/2,
不妨设a1,…,an线性无关，则对它们进行Gram-schmidt
正交化过程得到：
a1=b1
a2=b2+21b1
…
an=bn+n1b1+n2b2+…+n,n1bn1
其中b1,b2,…bn为正交向量。
从而||ai||2||bi||2
记B=(b1,b2,…bn).
则A=BL,其中L为单位下三角矩阵。
|det(A)|2=|det(B)|2=det(BTB)=||b1||2||b2||2…||bn||2.
事实上，若|k|=0则显然成立。若|k|0，我们有
ak1+ =0 (2kn)
则有 (2kn)
如果|k|1,则可得
(2kn)
这和A对角占优矛盾。
因此|k|=max {|2|,…,|n|} <1成立。
利用分块矩阵的性质和x(1)的定义，我们有
det(A)=det
= det
其中
b11=a11+ , |s|<1 (s=2,…,n)
Re( )=0,即为 为零或纯虚数。
定义.5.1设
,
则称矩阵A按行(弱)对角占优。
定义5.2设ACn×n。如果AT按行严格对角
占优，则称A按列严格对角占优；
如果AT按行（弱）对角占优，
则称A按列（弱）对角占优。
对直接估计矩阵特征之乘积的模的界，
再给出以下两个方法。
定理5.3设A=(ars)Cn×n,
其中 =+i.显然x,y为实向量，且x,y为
线性无关的向量。
经整理A(x,y)=(x,y)B,
其中B= 。
从而(x,y)TA(x,y)=(x,y)T(x,y)B
展开有
=
+
(求等式两边矩阵的对角元之和，可得
(xTx+yTy)=xTAx+yTAy(1)
等式两边矩阵的左上角单元减去右下角单元
可得：
(xTx+yTy)=xT(AAT)y
从而我们需要求解t(1t2)1/2的最大值，设t=cos()
可得t(1t2)1/2的最大值为1/2.从而得证。)
因此||||B||1 /2.
3).由于bii=0,i=1,2,…,n,bij=bji,
因此|xTBy|2=| |2
(2M)2
(利用(a1+a2+…+an)2n((a1)2+(a2)2+…+(an)2)
(2M)2(n(n1)/2)
(2M)2(n(n1)/2)
=M2(n(n1))2[ (xTx)(yTy)(xTy)2]
利用[ (xTx)(yTy)(xTy)2](xTx)(yTy)可得
||M(2n(n1))1/2(xTx)1/2(yTy)1/2/(xTx+yTy)
M(2n(n1))1/2/ 2
=M (n(n1)/2)1/2
|det(A)|2[(a1,a1)maxk>1|(a1,ak)|2/(ak,ak)]det(A1)（*）
从而m1|b11|M1,其余类推可得
0<
定理5.4（Hadamard’s inequality）
设A=(ars)Cn×n,则有
(5.1.7)
且式(5.1.7)中等号成立的充分条件是某
as0=0或者（ar,as）=0(rs),
这里a1,…,an表示A的n个列向量。
证明：若a1,…,an线性相关，则式(5.17)显然成立。
|| a1||2||a2||2…||an||2.
推广的定理5.4（Hadamard’s inequality）
设A=(ars)Cn×n,则有
证明：由于|det(A)|2=det（AHA）
=det
= det
利用对于任给的0有
从而有|det(A)|2[(a1,a1)|H|2/HA1]det(A1)
我们可以取=ek,这样我们就有
5.1特征值的估计
一、特征值的界
首先给出直接估计矩阵特征值模的上界的
一些方法
定理5.1设A=(ars)Rn×n,令
M=
表示A任一特征值，则 的虚部Im( )
满足不等式
|Im()|||AAT||2/ 2
|Im()|||AAT||1 /2.
证明：设x+iy为对应于 的A的特征向量，
则A(x+iy)=(+i)(x+iy)
本章主要讨论数值代数中的三个特殊理论，
即
特征值的估计
广义特征值问题
实对称矩阵（一般是Hermite矩阵）特征值的
极小极大原理，其次也涉及到一些特征值
和奇异值的扰动问题,最后简要地介绍矩阵
直积的一些性质及其在线性矩阵方程求解
方面的应用。这几方面的内容，在矩阵的
理论研究与实际应用当中都有着相当重要
的作用。
1).
记B=AAT,则|xTBy|||x||2||B||2||y||2
从而||||x||2||B||2||y||2/((||x||2)2+(||y||2)2)
利用ab/(a2+b2)1/2可得||||B||2/2.
2).
由于|xTBy|||Bx||1||y||||B||1||x||1||y||
从而||||B||1||x||1||y||/((||x||2)2+(||y||2)2)