线性方程组与矩阵秩的若干问题

引理4 对任意 ( AB)、( BC )，有
0 r BC AB B
r ( AB) r ( BC r (( I ( BC )( BC ) ) B( I ( AB) ( AB))) r ( B) r ( ABC )
定理2 在Frobenius不等式中，对任意 ( AB) 、
( BC )，有
r ( ABC ) r ( AB) r ( BC ) r ( B) ( I ( BC )( BC ) ) B( I ( AB) ( AB)) 0
参考文献
[1] 陈志杰. 高等代数与解析几何[M]. 北京: 高等教育出 版社, 2000. [2] 丘维声. 高等代数(第二版) [M]. 北京: 高等教育出版 社, 2002. [3] 胡付高. 关于一类矩阵秩的恒等式注记[J]. 武汉科技 大学学报, 2004, 27(3): 322-323. [4] 吕登峰, 刘 琼等. 矩阵秩的Sylvester与Frobenius 等式问题[J]. 孝感学院学报, 2006, 26(6): 62-65.
Sylvester不等式：
r ( A) r ( B) n 剟r ( AB) min(r ( A), r ( B))
Frobenius不等式：
r ( AB) r ( BC ) r ( B) „ r ( ABC )
问题：
在这两个不等式中等号成立的条件是什么？
即以下等式成立的条件分别是什么？
这样， L1 与 L2 的位置关系取决于线性方程组
a1 x b1 y c1 z d1 0 a x b y c z d 0 2 2 2 2 a3 x b3 y c3 z d 3 0 a4 x b4 y c4 z d 4 0
2. 直线与平面的位置关系
设几何空间中直线和平面的方程分别为
a1 x b1 y c1 z d1 0 L : a2 x b2 y c2 z d 2 0
:ax by cz d 0
记
a1 A a2 a b1 b2 b c1 a1 c2 , A a2 a c b1 b2 b c1 c2 c d1 d2 d
①r ( AB) r ( B) ②r ( AB) r ( A)
③r ( A) r ( B) n r ( AB)
④r ( AB) r ( BC ) r ( B) r ( ABC )
许多教材以习题方式给出等式①成立的充分必 要条件：
r ( AB) r ( B) 当且仅当齐次线性方程组 Bx 0 与齐
BA b)r r ( BA ) r ( C ( I A A)) C ( Fra bibliotek A A)
引理2 对于任意 A 、 B ，有
a)r ( AB)r ( A) r (( I AA ) B) r (( I BB ) A) r ( B)
（ii）三个平面有一条公共直线
r ( A) r ( A) 2
（iii）三个平面平行 r ( A) 1,r ( A) 2 （iv）三个平面构成三棱柱
r ( A) 2,r ( A) 3
二. 矩阵秩不等式中的一些问题
关于矩阵的秩,有两个重要的不等式.
nl 、 l p 矩阵. C 分别是 m n 、 B、 设 A、
解的情况。记
a1 a2 A a3 a4 b1 b2 b3 b4 c1 a1 c2 a2 , A a3 c3 c4 a4 b1 b2 b3 b4 c1 d1 c2 d 2 c3 d 3 c4 d 4
则有如下结论： （i） L 与 相交 r ( A) r ( A) 3 （ii）
L在 上
r ( A) r ( A) 2
（iii） L与 平行 r ( A) 2,r ( A) 3
3. 三个平面的位置关系
设几何空间中三个平面的方程分别为
1 : a1 xb1 yc1 zd1 0 2 :a2 x b2 y c2 z d2 0 3 :a3 x b3 y c3 z d3 0
m个方程n个未知元的线性方程组一般表示为：
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 am1 x1 am 2 x2 a1n xn b1 a2 n xn b2 amn xn bm (1)
A b)r r ( A) r ( B( I A A)) B r ( A( I B B)) r ( B)
引理3 设 A 有n列， 、 B 有n行，则对任意 A B，
有
0 r B A r ( A ) r ( B I A A I A r r ( B ) I BB r ( A) r ( B ) r (( I BB )( I A A)) n r ( AB )
线性方程组(1)的矩阵表示为：
Ax b
其中，
a11 a21 A am1 a11 a21 A am1 a12 a22 am 2 a12 a22 am 2 a1n x1 b1 a2 n x b2 2 , x ,b , amn x n bm a1n b1 a2 n b2 A b amn bm
定理1 在Sylvester不等式中，对任意 A 、 B， 有
A a r ( AB) r ( B) 为列满秩； I BB
b)r ( AB) r ( A)BI A A)为行满秩；
(c)r ( AB) r ( A) r ( B) n ( I BB )( I A A) 0
1. 直线与直线的位置关系
设几何空间中两条直线的方程分别为
a1 x b1 y c1 z d1 0 L1 : a2 x b2 y c2 z d 2 0
a3 x b3 y c3 z d3 0 L2 : a4 x b4 y c4 z d 4 0
B 的任意取定的一个满秩分解.
文献[4]的结论：
r ( AB) r ( A) r ( B) n 的充分必要条件是,对于齐次 线性方程组 Ax 0 的任一解 ,都存在 使得 B .或
者说, A的零空间包含于 B的象空间,即 N ( A) U ( B) .
r ( ABC ) r ( AB) r ( BC ) r ( B) 的充分必要条件是,对
次线性方程组 ABx 0 同解. 利用这一结果，可以得到等式②成立的充分必要条
件：
r ( AB) r ( A) 当且仅当齐次线性方程组 AT x 0 与
齐次线性方程组 B T AT x 0 同解.
对于等式③和等式④，文献[3]、文献[4]均做了 研究，给出等式成立的充分必要条件.
文献[3]的结论：
r ( AB) r ( A) r ( B) n 的充分必要条件是存在矩阵
X 和 Y ，使得 XA BY I .
r ( ABC ) r ( AB) r ( BC ) r ( B) 的充分必要条件是存
在矩阵 X和 Y ，使得 XAH LCY I . 其中， B HL 是
则有如下结论： （i） L1 与 L2 相交 r ( A) r ( A) 3 （ii） L1与 L2 重合 r ( A) r ( A) 2 （iii） L1与 L2 平行 r ( A) 2,r ( A) 3 （iv）L1与 L2异面 r ( A) 3,r ( A) 4
线性方程组有解的判定定理
线性方程组(1)有解的充分必要条件是
r (A r ( A)
这里，r ( A) 表示矩阵 A 的秩。特别地， 若 r ( A) r ( A) n，则线性方程组(1)有 唯一解； 若 r ( A) r ( A) n，则线性方程组(1)有 无穷多解。
利用上述定理，可以简洁刻画一般方程表 示的几何空间中直线及平面的位置关系。
引言
矩阵秩的概念是由J.Sylvester于1861年引进的，它 是矩阵的最重要数字特征之一。
这里，我们结合“矩阵与线性方程组”的教学讨论
以下内容： 矩阵秩描述的线性方程组解的判定定理在解析几何 中的一个应用； 矩阵秩的Sylvester不等式和Frobenius不等式中等号
成立的充分必要条件。
一.线性方程组解的判定定理在解析几何 中的一个应用
于齐次方程组 Ax 0 的任一形如 B 的解,都存在 ,使 得 BC B .
文献[5]利用矩阵的广义逆，分别给出等式① ~等式④成立的充分必要条件. 这里列出其主要结果： 引理1 对于任意适维矩阵 A 、 C ，有 B、
a)r ( AB( I AA )C)r ( AB) r (( I AA )C)
记
a1 A a2 a 3 b1 b2 b3 c1 a1 c2 , A a2 a c3 3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 d1 d2 d3
则有如下结论： （i）三个平面有一个公共点
r ( A) r ( A) 3
[5] 王松桂, 吴密霞等. 矩阵不等式(第二版) [M]. 北京: 科 学出版社, 2006.