第二章 矩阵的运算及与矩阵的秩
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求矩阵的秩的三种方法实用2份
求矩阵的秩的三种方法实用2份求矩阵的秩的三种方法 1矩阵的`运算：矩阵的最基本运算包括矩阵加（减）法，数乘和转置运算。
被称为“矩阵加法”、“数乘”和“转置”的运算不止一种。
给出m×n矩阵 A 和B，可定义它们的和 A + B 为一m×n 矩阵，等i,j 项为(A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j]。
举例：另类加法可见于矩阵加法。
若给出一矩阵A 及一数字c，可定义标量积cA，其中(cA)[i, j] = cA[i, j]。
例如这两种运算令M(m, n, R) 成为一实数线性空间，维数是mn.若一矩阵的列数与另一矩阵的行数相等，则可定义这两个矩阵的乘积。
如A 是m×n 矩阵和B 是n×p矩阵，它们是乘积AB 是一个m×p 矩阵，其中(AB)[i, j] = A[i, 1] * B[1, j] + A[i, 2] * B[2, j] + . + A[i, n] *B[n, j] 对所有i 及j。
例如此乘法有如下性质：(AB)C = A(BC) 对所有k×m 矩阵A, m×n 矩阵 B 及n×p 矩阵 C (“结合律").(A + B)C = AC + BC 对所有m×n 矩阵 A 及 B 和n×k 矩阵 C ("分配律")。
C(A + B) = CA + CB 对所有m×n 矩阵 A 及 B 和k×m 矩阵 C ("分配律")。
要注意的是：可置换性不一定成立，即有矩阵A 及B 使得AB ≠ BA。
对其他特殊乘法，见矩阵乘法。
求矩阵的秩的三种方法 2矩阵的运算：矩阵的最基本运算包括矩阵加（减）法，数乘和转置运算。
被称为“矩阵加法”、“数乘”和“转置”的运算不止一种。
给出m×n 矩阵 A 和B，可定义它们的和 A + B 为一m×n 矩阵，等i,j 项为(A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j]。
线性代数第二章
其中，
s
cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj aikbkj (i 1，2 ， ，m ；j 1，2 ， ，n) ．
k 1
注：（1）只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，否则 AB
没有意义．
（2）矩阵 C 中元素 cij 等于左矩阵 A 的第 i 行与右矩阵 B 的第 j 列对应元素乘积之和．
（3）矩阵加减法与矩阵数乘统称为矩阵的线性运算．
2.2.2 数与矩阵相乘
矩阵数乘的性质
（1）分配律： k( A B) kA kB，(k l)A kA lA ； （2）结合律： (kl) A k(lA) ； （3）1A A，0A O ．
2.2.2 数与矩阵相乘
例题
3 1 2
7 5 4
a11 a12
a21
a22
am1 am2
a1n a11 a12
a2n
或
a21
a22
amn
am1
am 2
a1n
a2n
，
amn
称为 m 行 n 列矩阵，简称 m n 矩阵．通常用大写字母 A，B ，C ， 表示矩阵， aij 表示
矩阵中第 i 行、第 j 列的元素，一个 m n 矩阵可以简记为 A=Am×n=(aij) m×n
a11
只有一列的矩阵
A
a21
称为列矩阵或列向量。
am1
注：列矩阵也可记为 A a11 ，a12 ， ，a1n 。
2.1.2 几种特殊形式的矩阵
3．零矩阵
所有元素全为零的矩阵称为零矩阵， m n 零矩阵记为 Omn 或简记为 O ． 4．方阵
对于矩阵 Amn ，当 m n 时，称为 n 阶方阵，记作 Ann 或 An ，即
s
cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj aikbkj (i 1，2 ， ，m ；j 1，2 ， ，n) ．
k 1
注：（1）只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，否则 AB
没有意义．
（2）矩阵 C 中元素 cij 等于左矩阵 A 的第 i 行与右矩阵 B 的第 j 列对应元素乘积之和．
（3）矩阵加减法与矩阵数乘统称为矩阵的线性运算．
2.2.2 数与矩阵相乘
矩阵数乘的性质
（1）分配律： k( A B) kA kB，(k l)A kA lA ； （2）结合律： (kl) A k(lA) ； （3）1A A，0A O ．
2.2.2 数与矩阵相乘
例题
3 1 2
7 5 4
a11 a12
a21
a22
am1 am2
a1n a11 a12
a2n
或
a21
a22
amn
am1
am 2
a1n
a2n
，
amn
称为 m 行 n 列矩阵，简称 m n 矩阵．通常用大写字母 A，B ，C ， 表示矩阵， aij 表示
矩阵中第 i 行、第 j 列的元素，一个 m n 矩阵可以简记为 A=Am×n=(aij) m×n
a11
只有一列的矩阵
A
a21
称为列矩阵或列向量。
am1
注：列矩阵也可记为 A a11 ，a12 ， ，a1n 。
2.1.2 几种特殊形式的矩阵
3．零矩阵
所有元素全为零的矩阵称为零矩阵， m n 零矩阵记为 Omn 或简记为 O ． 4．方阵
对于矩阵 Amn ，当 m n 时，称为 n 阶方阵，记作 Ann 或 An ，即
2.6-矩阵的秩
001
1 0 5 1 0 5 1 0 5 1 0 0
E(1, 3(5)) = 0 1 0 , 0 1 0 0 1 0 = 0 1 0 .
00 1 001 00 1 001
第二章 矩阵
§2.6 方阵的逆矩阵
2. 可逆矩阵的分解
***
(1) * * *
** * ***
***
= ***
10 0
010.
000 *** 000 001
第二章 矩阵
2 0 4 1
0 1 3 2 的3阶子式有14个:
4 0 8 2
§2.5矩阵的秩
2 0 4 2 0 1 2 4 1 0 4 1
0 1 3 = 0 1 2 = 0 3 2 = 1 3 2 = 0. 4 0 8 4 0 2 4 8 2 0 8 2
第二章 矩阵
§2.5矩阵的秩
问题: 假若一个56的矩阵中所有3阶子式都等
1 0
0 1
3/2 1
3 1
5/2 1
1 3 2 故A1 = 3/2 3 5/2 .
1 1 1
第二章 矩阵
§2.6 方阵的逆矩阵
三. 用初等变换解矩阵方程
设A可逆, 则A可以经过有限次初等行变换化为 行最简形——单位矩阵E.
下面用初等变换解矩阵方程AX = B. 注意到X = A1B.
(A B) … (E ?)
第二章 矩阵
§2.5 矩阵的秩
定理2. 设A是满秩方阵，则存在初等方阵
P1, P2, , Ps. 使得 Ps Ps1 , P2P1A E
第二章 矩阵
§2.5 矩阵的秩
定理3. mn矩阵A, m阶初等矩阵
P1, P2, …, Ps 及m阶初等矩阵
1 0 5 1 0 5 1 0 5 1 0 0
E(1, 3(5)) = 0 1 0 , 0 1 0 0 1 0 = 0 1 0 .
00 1 001 00 1 001
第二章 矩阵
§2.6 方阵的逆矩阵
2. 可逆矩阵的分解
***
(1) * * *
** * ***
***
= ***
10 0
010.
000 *** 000 001
第二章 矩阵
2 0 4 1
0 1 3 2 的3阶子式有14个:
4 0 8 2
§2.5矩阵的秩
2 0 4 2 0 1 2 4 1 0 4 1
0 1 3 = 0 1 2 = 0 3 2 = 1 3 2 = 0. 4 0 8 4 0 2 4 8 2 0 8 2
第二章 矩阵
§2.5矩阵的秩
问题: 假若一个56的矩阵中所有3阶子式都等
1 0
0 1
3/2 1
3 1
5/2 1
1 3 2 故A1 = 3/2 3 5/2 .
1 1 1
第二章 矩阵
§2.6 方阵的逆矩阵
三. 用初等变换解矩阵方程
设A可逆, 则A可以经过有限次初等行变换化为 行最简形——单位矩阵E.
下面用初等变换解矩阵方程AX = B. 注意到X = A1B.
(A B) … (E ?)
第二章 矩阵
§2.5 矩阵的秩
定理2. 设A是满秩方阵，则存在初等方阵
P1, P2, , Ps. 使得 Ps Ps1 , P2P1A E
第二章 矩阵
§2.5 矩阵的秩
定理3. mn矩阵A, m阶初等矩阵
P1, P2, …, Ps 及m阶初等矩阵
线性代数第二章矩阵及其运算2-3PPT课件
例如，设实数k=2，矩阵A=[1 2; 3 4]，则kA=[2 4; 6 8]。
CHAPTER 02
矩阵的乘法
矩阵乘法的定义
01
矩阵乘法是将两个矩阵对应位置的元素相乘，得到一个新的矩 阵。
02
矩阵乘法的结果是一个矩阵，其行数等于左矩阵的行数，列数
等于右矩阵的列数。
矩阵乘法的操作顺序是先进行行操作，再进行列操作。
CHAPTER 05
矩阵的秩
秩的定义
秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
秩的Байду номын сангаас质
矩阵的秩是唯一的，且其值满足 特定的性质，如对于任何矩阵A， r(A)≤min(m,n)，其中m和n分别 为矩阵A的行数和列数。
秩的计算方法
可以通过多种方法计算矩阵的秩， 如高斯消元法、行变换法、初等 行变换法等。
线性代数第二章矩阵及 其运算2-3ppt课件
CONTENTS 目录
• 矩阵的加法与数乘 • 矩阵的乘法 • 逆矩阵与伴随矩阵 • 矩阵的行列式 • 矩阵的秩 • 矩阵的应用
CHAPTER 01
矩阵的加法与数乘
矩阵的加法
矩阵加法定义
两个矩阵A和B的和记作A+B，定义 为满足以下条件的矩阵C，即C的元 素Cij=Aij+Bij（i，j=1，2，…，n）。
03
矩阵乘法的性质
1 2
结合律
$(AB)C=A(BC)$，即矩阵乘法满足结合律。
分配律
$A(B+C)=AB+AC$，即矩阵乘法满足分配律。
3
单位元
存在一个单位矩阵，使得任意矩阵与单位矩阵相 乘都等于原矩阵。
CHAPTER 02
矩阵的乘法
矩阵乘法的定义
01
矩阵乘法是将两个矩阵对应位置的元素相乘，得到一个新的矩 阵。
02
矩阵乘法的结果是一个矩阵，其行数等于左矩阵的行数，列数
等于右矩阵的列数。
矩阵乘法的操作顺序是先进行行操作，再进行列操作。
CHAPTER 05
矩阵的秩
秩的定义
秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
秩的Байду номын сангаас质
矩阵的秩是唯一的，且其值满足 特定的性质，如对于任何矩阵A， r(A)≤min(m,n)，其中m和n分别 为矩阵A的行数和列数。
秩的计算方法
可以通过多种方法计算矩阵的秩， 如高斯消元法、行变换法、初等 行变换法等。
线性代数第二章矩阵及 其运算2-3ppt课件
CONTENTS 目录
• 矩阵的加法与数乘 • 矩阵的乘法 • 逆矩阵与伴随矩阵 • 矩阵的行列式 • 矩阵的秩 • 矩阵的应用
CHAPTER 01
矩阵的加法与数乘
矩阵的加法
矩阵加法定义
两个矩阵A和B的和记作A+B，定义 为满足以下条件的矩阵C，即C的元 素Cij=Aij+Bij（i，j=1，2，…，n）。
03
矩阵乘法的性质
1 2
结合律
$(AB)C=A(BC)$，即矩阵乘法满足结合律。
分配律
$A(B+C)=AB+AC$，即矩阵乘法满足分配律。
3
单位元
存在一个单位矩阵，使得任意矩阵与单位矩阵相 乘都等于原矩阵。
第二章 矩阵的运算及与矩阵的秩ppt课件
钢笔 100 150
铅笔 300 260
.
§2.1 矩阵的基本运算
每种商品进货单价和销售单价（元）如下表：
圆珠笔 钢笔 铅笔
进货单价 6 9 3
销售单价 8 12 4
.
§2.1 矩阵的基本运算
求每个月的总进货额和总销售额。
金额 月份
总进货额
总销售额
九月 200×6+100×9+300×3 200×8+100×12+300×4
0 0 2 5
0 1 8
0
0 0
A1
A2
0 0 0 3 2 0
A3
0 0 0 0 0 9
.
二、分块矩阵的运算
§2.2 分块矩阵
1．分块矩阵相加、减
设A、B是两个用相同方法分块的同型矩阵
A11
设Amn
A21 M
A12 L A22 L MO
Ap1 Ap2 L
A1q
B11 B12 L
001 a 31 a 32 a 33 a 3 4 a 31 a 32 a 33 a 34
.
§2.1 矩阵的基本运算
1 0 0 0
a11 A(E 2,3)a21
a12 a22
a13 a23
a a1 24 40 0
0 1
1 0
0 0a a1 21 1
a13 a23
a12 a22
a14 a24
P 1 P 2LP sA Q 1 Q 2LQ tB
.
三、矩阵的转置
§2.1 矩阵的基本运算
定义2.3：把m×n矩阵A的行和列依次互换得到的一个 n×m 矩阵，称为A的转置，记作AT或A’.
第二章 矩阵
在n阶矩阵A (aij )中，若当i j时都有aij 0,
称A为上三角矩阵。
同样，若在n阶矩阵A中，当i j时都有aij 0，
称A为下三角矩阵。
5 1 2 4
0 2 4 3
0 0
0 0
3 0
5 7
1 0 0 0
2 3 0 0
0 6
5 8
4 9
10
2. 矩阵的运算
定义1.4 矩阵的和（矩阵的加法）
b22
b23
b21
b22
b23
0
1
0
0 1 1 b31 b32 b33 b31 b32 b33 0 1 1
b11
b12
b13 b11 b12 b13 b13
b21
b22
b23
b21
b22 b23
b23
b21 b31 b22 b32 b23 b33 b31 b22 b33 b33
AB
(aij
bij ) mn
am1 bm1
a1n b1n
amn bmn
A-B=A+(-B)
A+(-A)= 0
定义1.5 矩阵的数乘
数k与m n矩阵A (aij )的数量乘积仍是m n矩阵，
ka11 ka12 L ka1n
记为kA，定义为kA
(kaij )mn
ka21 M
b11 b12 0
得到 b13 b23 b21 0, b22 b33
B
0
b22
0
b31 b32 b22
例题1.3 下面的对角矩阵A满足aii a jj (i j;
a11 0 L 0
A
0
a22 L
矩阵的秩的性质以及矩阵运算和矩阵的秩的关系
高等代数第二次大作业1120133839 周碧莹30011303班矩阵的秩的性质1.阶梯型矩阵J的行秩和列秩相等，它们都等于J的非零行的数目；并且J的主元所在的列构成列向量的一个极大线性无关组。
2.矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。
证明：设矩阵A的行向量组是a1，…,as.设A经过1型初等行变换变成矩阵B，则B的行向量组是a1，…,ai,kai+aj,…,as.显然a1，…,ai,kai+aj,…,as可以由a1，…,as线性表处。
由于aj=1*(kai+aj)-kai,因此a1，…,as可以由a 1，…,ai,kai+aj,…,as线性表处。
于是它们等价。
而等价的向量组由相同的秩，因此A的行秩等于B的行秩。
同理可证2和3型初等行变换使所得矩阵的行向量组与原矩阵的行向量组等价，从而不改变矩阵的行秩。
3.矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性。
证明：一是为什么初等行变换不改变列向量的线性相关性?二是列向量进行初等行变换后，为什么可以根据行最简形矩阵写出不属于极大无关组的向量用极大无关组表示的表示式?第一个问题：设α1，α2，…，αn是n个m维列向量，则它们的线性相关性等价于线性方程组AX=0(其中A=(α1，α2，…，αn)，X=(x1，x2，…，xn)T)是否有非零解，即α1，α2，…，αn线性相关等价于AX=0有非零解，α1，α2，…，αn 线性无关等价于AX=0只有零解。
而对A进行三种行初等变换分别相当于对线性方程组中的方程进行：两个方程交换位置，对一个方程乘一个非零常数，将一个方程的常数倍对应加到另一个方程上。
显然进行三种变换后所得方程组与原方程组同解，若设所得方程组为BX=0，则B即为对A进行行初等变换后所得矩阵。
B 的列向量的线性相关性与BX=0是否有解等价，也就是与AX=0是否有解等价，即与A的列向量的线性相关性等价!第二个问题以一个具体例子来说明。
例：设矩阵，求A的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示。
矩阵的秩
第二章 矩阵的运算
22
几个常用的矩阵秩的性质.
(5) maxRA, RB RA, B RA RB,
特别地,当B=b为列向量时,有
RA RA,b RA1.
证 A的最高阶非零子式总是(A,B)的非零
子式,所以 RA RA, B. 同理有 RB RA, B.
r3 5 r4 r3
1 2 2 1 1 0 0 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
R( A) 2, R(B) 3.
第二章 矩阵的运算
19
例2-24 设
1 1 1 2
A 3 1 2 5 3 6
综上,若 A 经有限次初等变换变为B( 即 A ~ B),则 R( A) R(B).
证毕
初等变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，
行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
第二章 矩阵的运算
10
例2-22
3 2 0 5 0
设
A
3 2
2 0
3 1
6 5
又因为 RA E RE A, 所以
RA E RA E n.
第二章 矩阵的运算
26
四、小结
1. 矩阵秩的概念 2. 求矩阵秩的方法 (1)利用定义 (即寻找矩阵中非零子式的最高阶数); (2)初等变换法 (把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行 阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).
第二章 矩阵的运算
16
例2-23
1 2 2 1 1
设A
2 2
4 4
8 2
0 3
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Ps AQ1Q2
Qt B
§2.1 矩阵的基本运算
三、矩阵的转置
定义2.3：把m×n矩阵A的行和列依次互换得到的一个 n×m 矩阵，称为A的转置，记作AT或A’.
a11 a12 a21 a22 A a m1 am 2 a1n a2 n amn
k 1
s
由这个定义可知： 1）矩阵A、B相乘的条件：矩阵A的列数=矩 阵B的行数.
§2.1 矩阵的基本运算
2）矩阵C的行数等于矩阵A的行数，矩阵 C的列数等于矩阵B的列数。 3）矩阵乘法法则：乘积C的第i行第j列的元素
Cij等于矩阵A的第i行的元素与矩阵B的第j列
的对应元素乘积之和。
例2.1 设
AE(i(k))：相当于用非零数k 乘矩阵A的第i列；
AE(i,j(k))：相当于A的第i列乘k加到第j列上．
§2.1 矩阵的基本运算
推论：若m×n矩阵A与B等价，则存在若干个
m×m初等矩阵Pi(i=1,2-----,s)和若干个n×n初 等矩阵Qj(j=1,2-----,t)使得
PP 1 2
a11 a12 T A a 1n
a21 am1 a22 am 2 . a2 n amn
§2.1 矩阵的基本运算
相关性质： 1. (AT)T=A
2. (A+B)T=AT+BT
3. (kA)T=kAT （k为常数） 4. (AB)T=BTAT
l 0 0 l lI 0 0 0 0 l
称为数量矩阵
§2.1 矩阵的基本运算
称矩阵(-1)A=(-aij)为矩阵A的负矩阵，记为-A． 矩阵的减法：A-B=A+(-B)=(aij-bij)
矩阵的加法 矩阵的线性运算 数与矩阵的乘法
§2.1 矩阵的基本运算
§2.1 矩阵的基本运算
例2.1
1 2 3 设 A 0 1 5
且A-2X=B,求X
1 1 3 B 2 4 2
§2.1 矩阵的基本运算
二、矩阵的乘法 1．矩阵乘法的定义
引例 某文化用品商店售圆珠笔、钢笔和铅笔三 种，每种商品的进货单价和数量如下表。
§2.1 矩阵的基本运算
1 0 0 a11 a E (2(k )) A 0 k 0 21 0 0 1 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 a11 ka a24 21 a34 a31
为n阶方阵A的m次多项式
a1 A a0 I
0 2 2-2x+3 例2.5 设 A 且 f(x)=x 1 1
求f(A)
§2.1 矩阵的基本运算
例2.6
用数学归纳法证
l 1 0 0 l 1 0 0 l
n
ln 0 0
nl
n 1 n
§2.1 矩阵的基本运算
1 1 例2.3 设 A 1 1
求AB
1 1 B 1 1
注：⑵由AB=0一般不能得到A=0或B=0.
1 2 例2.4 设 A 2 4
求AB，AC
7 1 1 3 B C 1 2 2 1
0 0 1 0
0 1 0 0
0 a11 0 a21 0 a31 1
a13 a23 a33
a12 a22 a32
a14 a24 a34
上述过程也可以等同于：
a11 a 21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a14 a11 a C 2 C3 a24 21 a34 a31 a13 a23 a33 a12 a22 a32 a14 a24 a34
n ( n 1) 2
l n2
n 1
l
nl
0
ln
(n为任意自然数）．
§2.1 矩阵的基本运算
线性方程组的矩阵表示
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
矩阵C与A、B之间 有什么关系？
矩阵C的第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行的元 素与矩阵B的第j列的对应元素乘积之和。
§2.1 矩阵的基本运算
定义2.2 设 A=(aij) m×s ，B=(bij)s×n ，那么称 C=AB=(cij) m×n 为矩阵A与B的乘积.其中
cij aik bkj (i 1,2 m; j 1,2 n)
ka12 ka22 ka32
a13 a23 a33
a14 a24 a34
a11 AE(2,3(k )) a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
1 a14 0 a24 0 源自 a34 00 1 0 0
0 k 1 0
系数矩阵：
A
a11 a12 a a 21 22 am1 am 2
a1n a2 n amn
§2.1 矩阵的基本运算
a11 a12 a a 21 22 am1 am 2
a1n x1 b1 a2 n x2 b2 amn xn bm
上述过程也可以等同于：
a11 a 21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a14 a11 a r2 r3 a24 31 a34 a21 a12 a32 a22 a13 a33 a23 a14 a34 a24
§2.1 矩阵的基本运算
例2.7
1 2 T T 设A 1 3 0 , B 0 3 ; 求B A . 1 2
十月
220×6+150×9+260× 3
220×8+150×12+260×4
§2.1 矩阵的基本运算
200 100 300 A 220 150 260
定义矩阵
6 8 B 9 12 3 4
200 6 100 9 300 3 200 8 100 12 300 4 C 220 6 150 9 260 3 220 8 150 12 260 4
a12 a22 ka32 a32
a13 a23 ka33 a33
a24 ka34 a34 a14
§2.1 矩阵的基本运算
a11 AE(2,3) a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
1 a14 0 a24 0 a34 0
即：
E(i,j)A： 相当于交换A的第i行与第j行；
E(i(k))A： 相当于用非零数k乘矩阵A的第i行；
E(i,j(k))A：相当于A的第j行乘k加到第i行上；
§2.1 矩阵的基本运算
同理： （2）对A施行某种初等列变换，相当于 对A右乘一个相应的n阶初等矩阵.
即：
AE(i,j)：相当于交换A的第i列与第j列；
§2.1 矩阵的基本运算
a11 AE(2(k )) a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
1 a14 0 a24 0 a34 0
0 k 0 0
0 0 1 0
0 a11 0 a21 0 a31 1
方阵的幂 设A是n阶方阵，k是正整数，k个A连乘称为
A的k次幂，记作 Ak ，即
约定A0=I
Ak AA
k个
A
相关结论：
A A A
k l
k l
,(A ) A
k l
kl
其中k,l为正整数．
一般地
( AB) k Ak B k
§2.1 矩阵的基本运算
矩阵的多项式 ：
f ( A) am Am am1 Am1
0 a11 0 a21 0 a31 1
a12 a22 a32
a13 ka12 a23 ka22 a33 ka32
a14 a24 a34
§2.1 矩阵的基本运算
定理2.1 设Am×n= (a )m×n,则：
ij
（1）对A施行某种行初等变换，相当于对A 左乘一个相应的m阶初等矩阵.
．
AX B
§2.1 矩阵的基本运算
2. 矩阵与初等矩阵的乘积
例如：计算下列矩阵与初等阵的乘积
1 0 0 a11 a12 a13 a14 a11 a12 a13 a14 a a a a E (2,3) A 0 0 1 a a a a 21 22 23 24 31 32 33 34 0 1 0 a31 a32 a33 a34 a21 a22 a23 a24
注：⑶若AB=AC，且A≠0,则一般不能得到B=C.
§2.1 矩阵的基本运算
矩阵乘法满足的运算律： 1) (AB)C=A(BC) （结律合）
k(AB)=(kA)B=A(kB)
2) A(B+C)=AB+AC （分配律）
(B+C)A=BA+CA 3) 设Am×n， 则ImA=AIn=A
§2.1 矩阵的基本运算
a12 ka22 a32
a13 ka23 a33
a14 ka24 a34
1 0 0 a11 a E (2,3(k )) A 0 1 k 21 0 0 1 a31