工程光学第三章知识点

理想光学系统

第三章 理想光学系统

第一节 理想光学系统的共线理论

● 理想光学系统：在任意大的空间内、以任意宽的光束都能成完善像的光学系统 ● 理想光学系统理论又称“高斯光学”，理想光学系统所成的完善像又称“高斯像”

●

描述理想光学系统必须满足的物像关系的理论称为“共线理论”

共线理论

（1）物空间的每一点对应像空间的相应一点，且只对应一点（点对应点）

（2）物空间的每一条直线对应像空间的相应直线，且只对应一条直线（直线对应直线） （3）物空间的每一平面对应像空间的相应平面，且只对应一个平面（平面对应平面）

● 这种对应关系称为“共轭”，相应的点构成一对共轭点，直线构成一对共轭直线，平面构成一对共轭平面

● 推论：物空间某点位于一条直线上，则像空间中该点的共轭点必定也位于这条直线的共轭直线上（点在线上对应点在线上）

● 共轴球面系统用结构参数（r 、d 、n ）描述系统 ● 理想光学系统用“基点”和“基面”来描述系统 ● 基点基面就是理想光学系统的特征参数

第二节 无限远轴上物点与其对应像点F ’---像方焦点

● 设有一理想光学系统

● 有一条平行于光轴的光线A1E1入射到这个系统

● 在像空间必有一条直线与之共轭，即PkF’，交光轴于F’点

●

在物空间中平行于光轴入射的光线都将汇聚在F’点上，F’点称为“像方焦点”

共轴球面系统

焦点、焦平面、主平面示意图

焦点、焦平面、主平面示意图

● 过F’点作垂直于光轴的平面，称为“像方焦平面” ● 像方焦平面与物方无限远处垂直于光轴的物平面共轭

● 物方的任何平行光线若不与光轴平行，表示无限远处的轴外点，将汇聚在像方焦平面上的一点

2，无限远的轴上像点和它所对应的物方共轭点F ——物方焦点

● 像方平行于光轴的光线，表示像方光轴上的无限远点

● 在物方光轴上必定有一点F 与之共轭，F 点称为物方焦点，过F 点的垂轴平面称为物方焦平面 ● 物方焦点F 与像方焦点F’不是一对共轭点

3，垂轴放大率β=+1的一对共轭面——主平面

● 在光学系统中存在着垂轴放大率β=+1的一对共轭平面，这一对共轭面称为“主平面”即物方主平面和像方主平面

● 共轭垂轴平面QH 和Q’H’满足β=+1（因为高度h 相等） ● QH 为物方主平面，Q’ H’为像方主平面 ● H 为物方主点，H’为像方主点 ● 物方主平面QH 与像方主平面Q’H’共轭 ● 物方主点H 与像方主点H’共轭

● 对于理想光学系统，不论其实际结构如何，只要知道了主点和焦点的位置，其特性就完全被决定了 4，光学系统焦距

● 像方焦距：像方主点H ’到像方焦点F ’的距离f ’ ● 物方焦距：物方主点H 到物方焦点F 的距离f

●

焦距均以各自的主点为原点，与光线传播方向一致为正，相反为负 光学系统的焦距

计算式

tan tan h f U h f U '=

'=

焦距包含了光学系统主点和焦点的相对位置，是描述光学系统性质的重要参数 像方焦距f ’>0的光组称为正光组，f ’<0的光组称为负光组

无限远轴外物点的共轭像点

焦点、焦平面、主平面示意图

当光学系统的物方与像方处于同一介质中时，物方焦距与像方焦距数值相等，符号相反

f = -f ’

单折射球面的主平面和焦点

共轴球面系统的成像性质可以用一对主平面和两焦点表示，为此目的，先研究单个折射球面的主平面和焦点位置。 1、主点位置

按照主平面的定义和性质，知主平面是垂轴放大率为1的一对共轭面，因此有

l n nl l n nl ``1``

===

或β

同时这对共轭面又满足物像关系

r n n l n l n -=-```

l n n l nl l n ll r

n

n nl l n ``0``````=

?=--=

-Θ又

代入后得：0`==l l

即球面的两主点H 和H`与球面顶点重合。

2、球面焦距公式：

主点位置已定，只要求出焦距就可以确定焦点位置。

应用物像关系公式：焦点位置就是物在无穷远时的像距就是焦距，无穷远像的物点位置就是物方焦点。

n

n nr

f l r n n l n n ：l n n r

n f l r n n n l n ：l r

n n l n l n -==?-=-∞∞=-=

=?-=∞-∞=-=-`-`````````````

球面反射

由前面的讲述知道，可将反射看成是n`=-n 折射。代入上面导出的单个折射球面的焦距公式得到：

2`r

f f =

=

共轴球面系统主平面和焦点

讨论任意共轴球面系统的主平面和焦点位置。

如图示：折射面1和K 代表由K 个球面组成的共轴系统的第一和最后面。对单透镜代表第一面和第二面。 根据焦点的定义，来找F 和F`的位置。

计算一条平行入射的光线，出射光线与光轴的交点即为像方焦点F`：

轴外点作图求像

5，理想光学系统的节点

● 节点：角放大率γ=+1的共轭点

● 角放大率为+1的物理意义就是通过这对共轭点的光线方向不变

● 当光学系统的物方与像方处于同一介质中时，物方节点J 与物方主点H 重合，像方节点J’与像方主点H’重合 ●

第三节 理想光学系统的物像关系 1，

作图法求像

利用基点的性质，当物的位置确定后， 用作图法求像 1．轴外点求像

（1）利用焦点、主面的性质求像 （2）利用焦点、主面、节点的性质求像

2．轴上点求像

（1）物方交于焦平面，像方得平行辅助线 （2）物方作平行辅助线，像方交于焦平面

理想光学系统的节点

轴上点作图求像

3．负光组求像

原理与正光组求像相同

应特别注意物、像距的计算起点，物、像方焦点、主点的位置关系

例作图法求像

负光组求像

正光组实物成虚像正光组虚物成实像

负光组虚物成虚像

正光组虚物成虚像

1，解析法求像

1．物像位置的计算

1）牛顿公式

以焦点为原点的物像位置计算公式

用焦物距x和焦像距x’来表示物、像位置

利用相似三角形的关系，有

,

y f y x y x y f

''' ---

= =

'

-

负光组轴上点成

像

正光组求出射光线

解析法求

于是可得

xx ff ''=

（3-3）

2）高斯公式

以主点为原点的物像位置计算公式 用物距l 和像距l’来表示物、像位置 有

,x l f x l f '''=- =-

代入牛顿公式，得高斯公式

1f f l l '

+='

（3-4）

例 有一理想光组，已知焦距f ’ = -f =100mm ，物体AB 距物方主点左方300mm ，求像的位置。 解 用高斯公式计算，由题意，有l=-300mm ，代入高斯公式

100(300)

150(mm)(300)(100)f l l l f '?-'=

== ----

像位于像方主点右方150mm 处。

用牛顿公式计算，由题意，有x = l – f = (-300)-(-100) = -200 (mm) ，代入牛顿公式

(100)100

50(mm)200ff x x '-?'=

== -

像位于像方焦点右方50mm 处。

2．理想光学系统的放大率 1）垂轴放大率β 定义与近轴光学相同

y y β'

=

（3-5）

垂轴放大率的牛顿形式

f x x f β'=-

=-' （3-6）

垂轴放大率的高斯形式

nl n l β'=

'

（3-7）

2）轴向放大率α

定义与近轴光学相同，为像沿轴移动量与物沿轴移动量之比

d d d d l x l x α''=

=

（3-8）

对牛顿公式微分，可得轴向放大率的计算式

x x α'

=-

（3-9）

与近轴光学相同，α与β的关系也是

2

n n αβ'=

（3-11）

3）角放大率γ

理想光学系统的角放大率定义

tan tan U U γ'

=

（3-12）

计算式

l l γ=

'

（3-13）

与近轴光学相同，γ与β的关系

1n n γβ=

'

（3-14）

同样，3个放大率的关系

αγβ?=

（3-15）

3．理想光学系统物方焦距与像方焦距的关系

物方焦距与像方焦距的关系

f n f n ''=-

（3-17）

在绝大多数情况下，n=n’，且都等于1（在空气中） ，所以有 f = - f ’ 在同一介质中，高斯公式和牛顿公式的简化形式

2111

,xx f l l f ''-= =-''

（3-18）

4．主点、焦点处的放大率

1）主点处的放大率

不论是否在同一介质中，βH=+1 当处于同一介质时，有αH=γH=1

2）焦点处的放大率 在物方焦点上，x=0，则x’=ff’/x=±∞，因此 正负号取决于x→0+还是x→0- 同样，在像方焦点上，有

βF’=0，αF’=0，γF’→±∞

第四节 理想光学系统的多光组成像

● 复杂的光学系统往往由若干个光组组成 ● 光组可以是单透镜，也可以是复杂的透镜组

● 把几个光组组合在一起，求出组合系统的等效基点位置

●

多光组组合后与单个光组一样，同样可以计算物像位置、各种放大率

2

1

F F F F f x x f βαβγβ

'

=-

=-=±∞'

==∞

=

=

1，双光组组合

●利用焦点和主点的性质，求组合系统的焦点、主点

●从物方引一条平行于光轴的光线，从系统出射后，交光轴于F’点

●F’点即为整个组合系统的像方焦点

●入射光线与共轭的出射光线交于Q’点，则垂轴平面Q’H’为像方主面

●H’为整个组合系统的像方主点

●像方主点到像方焦点的距离即为像方焦距

●从像方引一条平行于光轴的光线，可得物方焦点F、物方主点H以及物方焦距f

●组合系统的像方焦点、像方主点位置的描述以第2光组的像方焦点F2’（对于牛顿公式）、像方主点

H2’ （对于高斯公式）的位置为原点来确定

●有像方焦点位置xF’和像方主点位置xH’（牛顿公式）、像方焦点位置lF’和像方主点位置lH’（高

斯公式）

●组合系统的物方焦点、物方主点位置的描述以第1光组的物方焦点F1（对于牛顿公式）、物方主点

H1（对于高斯公式）的位置为原点来确定

●对于高斯公式，2个光组之间的间隔d定义为第1光组的像方主点到第2光组的物方主点

●对于牛顿公式，间隔Δ称为光学间隔，定义为第1光组的像方焦点到第2光组的物方焦点。有Δ = d

- f1’ + f2

●双光组组合后基点位置的计算公式一览

2,远摄系统（摄远物镜）

例有一光学系统对无限远物体成像，要求该系统焦距f ’=1000mm，筒长

（系统第一面到像平面的距离）L=700mm，工作距离（系统最后一面到像

平面的距离）l'=400mm，求系统的结构。

解这是一个长焦望远物镜，称为摄远物镜

（远摄系统）。为使镜头机械长度（筒长）

L不致过大，要求L

如图是一种尼康长焦望远物镜，焦距1200mm，

机械筒长约为800mm，便于实际携带使用。

单个透镜（光组）不可能有这样的性质

通常由分离的正负2个透镜（光组）组成。前组为正光组，后组为负光组。整个组合系统的焦距

12

12

f f

f

f f d

''

'=

''

+-

由结构图，有

1

(1)

F

d

l l f

f

'''

==-

'

L = d + l’

解式（a）、（b）、（c），得

d = 300 (mm)，f1’= 500 (mm)，f2’= -400 (mm)

对于需要调焦而又不改变筒长的望远物镜，设计时可考虑使负光组相对正光组有少量移动

由式（a）知改变d焦距f ’也将改变，达到调焦的目的

这种物镜称为“内调焦物镜”

2．反远距系统（反摄远物镜）

例某些对无限远物体成像的物镜，要求工作距l’较大，以

便安装某些装置如反光镜等，要求l ’>f ’，求物镜结构。

解：单反相机物镜后部安装有反光镜，必须留出足够空间。

这是反摄远物镜（反远距系统），也是采取正负2个光组组合，

前组为负光组，后组为正光组，选择适当的f1’、f2’、d

组合，可使像方主面右移，从而加大工作距l ’。

反摄远物镜的解法与摄远物镜相同。

3．望远系统

例由2个正光组组成，第1光组的像方焦点F1’与第2光组的物方焦点F2重合，试分析整个系统光路特点和成像特点。

解整个系统的焦点在无限远处，主面也在无限远处。系统的焦距f ’=∞，这种系统又称为“无焦系统”。

通常，f1’ > f2’，称为望远系统。其特点是垂轴放大率为常数

2211y h f y h f β'''=

=-=-'

（3-32）

4．双光组组合的计算

例 一个有2个薄透镜组成的系统，已知f1’=40mm，f2’=-100mm 。该系统对实物成放大5×的实像，且β1= -2×。求2个透镜之间的距离d 及物像共轭距L 。 解 （1）求间隔d

已知：f1’=40mm，f2’=-100mm ，β1= -2×

111

40

20(mm)2f x β'

∴==

=--

12

111f f f f x β=

'-?

Q

212111114010040120(mm)205f f f f x β??-???'∴?=

-=--= ? ?--????

因此可得间隔

d =Δ+ f1’ + f2’=120+40-100=60(mm) （2）求共轭距L

共轭距没有现成公式，可以按最简单的结构（2个均为正透镜）推一下

L = -x1 + 2f1’+ Δ + 2f2’+ x2’

先求相应的焦物距和焦像距

2

11114080(mm)

20f f x x '-'===-

21

8012040(mm)x x '=-?=-=-

2

2222100250(mm)

40f f x x '-'===-

因此可得共轭距

L=20+2×40+120-2×100+250=270(mm)

例 一个薄透镜对某一物体成一实像，放大率为-1×，今以另一薄透镜紧贴在第一透镜上，则见像向透镜方向移动20mm ，放大率为原先的3/4倍，求两个透镜的焦距。 解 由题意，有

11

122

2

211203/4l l l l l l l l '

=- ''-= '=- '= （第一个透镜的放大率）（加第二个透镜后像移动）（加第二个透镜后的放大率）（加第二个透镜后物距不变）

可得 l1=-80，l1’=80，l2=-80，l2’=60

又有 1

11111l l f -=

''

∴ 第一个透镜的焦距f1’=40(mm) 由l2、l2’可得组合焦距f ’=34.3(mm)

当薄透镜贴合时，组合焦距与各透镜的焦距关系有

12111f f f =+''

'

∴ 第二个透镜的焦距f2’=240(mm)

第五节 实际光学系统的基点和基面 1，实际系统的基点和基面

● 实际光学系统基点基面的计算，仍是利用基点基面的性质 ● 如求实际光学系统的像方焦点

● 从物方引一条平行于光轴的入射光线，利用共轴球面系统的计算方法，对每一面进行计算 ● 用过渡公式从一个面转到下一个面，最后计算出与这条平行光线共轭的出射光线，出射光线与光轴的交点就是像方焦点

● 平行入射光线与出射光线（延长线）的交点为Q’点，过Q’点作垂轴平面就是像方主面，主面与光轴的交点就是像方主点，像方主点到像方焦点的距离就是像方焦距 ● 类似的方法，可以计算物方焦点、主点和焦距 2 透镜的基点和基面

● 透镜由2个折射球面构成

● 设透镜在空气中，透镜的结构参数为r1、r2、d （透镜中心厚度）、n （透镜材料折射率） ●

每一个折射球面可以看作是一个光组，整个透镜可以看成是双光组的组合

1．单个折射球面的基点、焦距

平行于光轴OC 的光线AD 经球面折射后交光轴于F ’，即球面的像方焦点 平行于光轴的反向入射的光线BD 经球面折射后交光轴于F ，为物方焦点 折射面2边的折射光线交折射球面于同一点D

因此球面的2个主面相重合，在近轴区，2个主面与球面顶点相切

● 由于单个折射球面两边的折射率不同，物方焦距和像方焦距是不相等的

●

由于两边折射率不同，单个折射球面的节点与主点是不重合的，事实上，单个折射球面的物方节点和像方节点则重合于球心，也就是说，通过球心的光线是不发生偏折的

● 2．透镜的基点、焦距

● 用双光组组合的公式可以计算透镜的基点位置和焦距

● 从共轴球面系统的角度看，透镜的结构参数主要为r1、r2、d 、n ● 从理想光学系统的角度看，透镜最重要的参数是焦距（像方焦距）

● 对于透镜来说，在两边介质相同的情况下，像方折射率与物方折射率大小相等、符号相反，以像方焦距作为透镜的标记焦距

● 一般来说，若厚度不是太大，其中的双凸、平凸、正弯月（月凸）为正透镜，f ’>0 ●

双凹、平凹、负弯月（月凹）为负透镜，f ’<0

3．薄透镜

若透镜的厚度与焦距（绝对值）或曲率半径、通光口径相比是一个很小的数值，称为“薄透镜” 在计算时，忽略薄透镜的厚度，即认为d=0。薄透镜的物方主面、像方主面重合，并与透镜本身重合在一起

在空气中，薄透镜的焦距仅与r1、r2、n 相关，有

12

21(1)()

r r f f

n r r '=

=--- （3-39）

第六节 习题

3-1 分别对正光组和负光组（可看作薄透镜）用作图法求下列物体位置的像： 实物：l = -∞，-2|f ’|，-|f ’|/2；虚物：l = |f ’|/2，2|f ’|。 3-5 图中已知两对共轭点A 、A'和B 、B'，作图求物点C 的共轭点C ' 。

3-10 有一薄透镜组，由焦距为-300mm的负透镜和焦距为200mm的正透镜组成，两透镜相距100mm，置于空气中，求该透镜的组合焦距和（像方）组合基点位置。

参考答案：f’=300mm，lH’=100mm，lF’=400mm

3-14 已知两光组，f1’=500mm，f2’=-400mm，两透镜间距d=300mm，求对无限远物体成像的像点位置，并求组合透镜的焦距。

参考答案：f’=1000mm，l’= lF’=400mm

3-9 有一理想光组对一实物所成的像为放大3倍的倒像，当透镜向物体靠近18mm时，物体所成的像为放大4倍的倒像。问光组的焦距为多少？

参考答案：f’=216mm

3-12一个由两个薄透镜组成的系统，已知f1’=50mm，f2’=-150mm。该系统对实物成放大4×的实像，且β1=-2×。求两个透镜之间的距离d及物像共轭距L。

参考答案：d=75mm，L=300mm