江苏省常州市八年级(上)期中数学试卷
12. 等腰△ABC 中，AB=AC，BD 平分∠ABC，若∠BDC=120°，则∠A=______．
13. 如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于 D，AD 与 BE 相交于点 H，
且 BH=AC，DH=DC，则∠ABC=______°．
14. 如图，五边形 ABCDE 中有一等边三角形 ACD．若
AB=DE，BC=AE，∠E=115°，则∠BAE 的度数是______°．
15. 如图，在△ABC 中，AB2-BC2=AC2，点 D 是边 BC 上一点，
点 E、F 分别是 AB、AD 的中点．若 AB=12，AD=10， EF=2，则△CEF 的周长是______．
16. 在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6．若点 P 在边 AC 上移动，
A. 1 对 B. 2 对 C. 3 对 D. 4 对
3. 如图，∠CAB=∠DBA，再添加一个条件，不一定能判定 △ABC≌△BAD 的是（ ）
总分
A. AC=BD
B. ∠1=∠2
C. AD=BC
D. ∠C=∠D
4. 如图，在等腰△ABC 中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD
线 MN⊥BC 于 B，直角三角板的直角顶点 P 落在射线 AB 上，一直角边始终经过点 C，另一直角边交直线 MN 于点 D． （1）求∠A 的度数； （2）若 AP2=2，求△ACP 的面积； （3）绕点 C 转动直角三角板，若△ACP≌△BPD，求 ∠ACP 的度数．
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. 28
D. 30
7. 如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC，BC 的中垂线交 BC
于点 E，交 BD 于点 F，连接 CF．若∠A=60°，
∠ABD=24°，则∠ACF 的度数为（ ）
A. 48∘
B. 36∘
C. 30∘
D. 24∘
8. 如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点 D，DE⊥AC 于点 E，CF⊥AB 于点 F，CF ＝6cm，则 DE 的长是（）
24. 如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，分别以 BC、BA 为边
作等边三角形 BCD 和等边三角形 BAE，连接 ED 并延 长交 AC 于点 F． 求证：（1）∠BDE=90°；（2）AF=DE-DF．
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25. 如图，已知 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=4，直
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22. 如图，点 E、F 在 BC 上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，
AF 与 DE 交于点 G，求证：GE=GF．
23. 如图，在直角三角形纸片 ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，
BC=8，折叠纸片的一角，使点 B 与点 A 重合，展开得 折痕 DE，求 DE 的长．
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A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm
二、填空题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）
9. 若等腰三角形的一个外角是 80°，则等腰三角形的底角是______°． 10. 等腰三角形两边长分别是 5 和 12，则这个等腰三角形的周长是______． 11. 如图，已知△ABC 中，D 为 BC 边上一点，且
三、解答题（本大题共 7 小题，共 56.0 分）
19. 如图，在△ABC 中，利用直尺和圆规按要求作图（不
写作法，保留作图痕迹）： （1）在 BC 边上作点 P，使得点 P 到 AB 和 AC 的距 离相等； （2）在射线 AP 上作点 Q，使得 AQ=CQ．
20. 如图，在 8×8 的正方形网格中，已知△ABC 的三个
八年级（上）期中数学试卷
题号 得分
一
二
三
一、选择题（本大题共 8 小题，共 24.0 分）
1. 如图，△ABC≌△DEF，BE=1，EC=4，则 BF 的长是（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
2. 如图，在四边形 ABCE 中，D 是 BC 的中点，连接 AD，AC．若 AB=AC，AE=CD，AD=CE，则图中的全等三角形共有（ ）
则 BP 的最小值是______．
17. 在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点 D 在 BC 边上，连接 AD．若△ABD 为直
角三角形，则∠ADC 的度数为___________
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18. 如图，在△ABC 中，BC=15cm，BP，CP 分别是∠ABC
和∠ACB 的平分线，PD∥AC 交 BC 于点 D，PH⊥AB 于 H，若 PH=3cm，BH=6cm，则△PBD 的面积是 ______cm2．
1.【答案】B
【解析】
解：∵△ABC≌△DEF， ∴BC=EF， ∴BE=CF， ∴BF=BC+CF=BE+EC+BE=1+4+1=6． 故选：B． 由三角形全等的性质可知 BC=EF，结合条件可求得 BF 的长． 本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关 键． 2.【答案】C
【解析】
解：∵D 是 BC 的中点， ∴BD=CD， 在△ABD 和△ACD 中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS）， 在△AEC 和△CDA 中，
，
∴△AEC≌△CDA（SSS）， ∴△ABD≌△CAE， ∴图中的全等三角形共有 3 对， 故选：C． 首先证明△ABD≌△ACD，再证明△AEC≌△CDA，进而得出△ABD≌△CAE． 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、 SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边 一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 3.【答案】C
等于（ ）
A. 18∘
B. 36∘
C. 54∘
D. 64∘
5. 下列三条线段不能组成直角三角形的是（ ）
A. 3，4，5
B. 6，8，10
C. 5，12，13
D. 5，12，15
6. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，周长为 24，斜边与一直角边之比为 5：4，则这个直角三
角形的面积是（ ）
顶点在格点上． （1）在图中画出△ABC 关于直线 l 的轴对称图形 △A1B1C1； （2）将图中点 A1 沿网格线横向或纵向平移一次到 格点 O，使得△OB1C1 为等腰三角形，试在图中画 出格点 O 的位置．
21. 如图，在△ABC 和△ADE 中，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2．
求证：△ABC≌△ADE．
江苏省常州市武进区2023-2024学年八年级上学期期中水平测试数学试卷(含解析)
2023-2024学年江苏省常州市武进区八年级（上）期中水平测试数学试卷一、选择题（每小题2分，共16分）1．（2分）下列各选项中，两个三角形成轴对称的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2分）若二次根式有意义，则实数x 的取值范围是（ ）A ．x ≥1B ．x ＞1C ．x ≥0D ．x ＞03．（2分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）A ．2cm ，3cm ，4cmB ．3cm ，4cm ，5cmC ．4cm ，5cm ，6cmD ．5cm ，6cm ，7cm4．（2分）如图，若△ABC ≌△DEF ，B 、E 、C 、F 在同一直线上，BC ＝7，EC ＝4，则CF 的长是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．75．（2分）一个正比例函数的图象经过（2，﹣1），则它的表达式为（ ）A ．y ＝﹣2xB ．y ＝2xC ．D ．6．（2分）到三角形各顶点距离相等的点是（ ）A ．三条边垂直平分线交点B ．三个内角平分线交点C ．三条中线交点D．三条高交点x y 21-=x y 21=7．（2分）等腰三角形的一个角是70°，它的底角的大小为（ ）A．70°B．40°C．70°或40°D．70°或55°8．（2分）如图，∠ABC＝60°，AB＝6，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线l 运动，设点P的运动时间为t秒（t＞0），当△ABP为锐角三角形时，t的取值范围是（ ）A．t＞3B．t＞6C．6＜t＜12D．3＜t＜12二、填空题（每小题2分，共20分）9．（2分）8的立方根是 ．10．（2分）近年来，5G在全球发展迅猛，中国成为这一领域基础设施建设、技术与应用落地的一大推动者．截至2021年3月底，中国已建成约819000座5G基站，占全球70%以上．数据819000用科学记数法表示为 ．11．（2分）已知点P（﹣3，1），则点P关于x轴对称的点的坐标是 ．12．（2分）比较大小： +1．（填“＞”“＜”或“＝”）13．（2分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B＝ °．14．（2分）如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC 的中点，连接DE，则△CDE的周长是 ．15．（2分）如图，已知△ABC≌△ADE，∠B＝25°，∠E＝98°，∠EAB＝20°，则∠BAD的度数为 ．16．（2分）若一次函数y＝（1﹣a）x+2的函数值y随自变量x增大而减小，则实数a的取值范围是 ．17．（2分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝4，AC＝2，且△ABD的面积为2，则△ABC的面积为 ．18．（2分）如图，将长方形OABC放置在平面直角坐标系中，点P是折线A﹣B﹣C上的动点（点P不与A、C重合），连接OP，将OP绕点P顺时针旋转90°，点O落到点Q处．已知点B坐标为（24，15），当OP＝25时，则点Q坐标为 ．三、解答题（共64分）19．（6分）计算：（1）．（2）．20．（6分）求x的值：（1）（x﹣2）2﹣16＝0；（2）（x+3）3＝﹣27．21．（6分）如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的8×8正方形网格中，点A ，B ，C ，M ，N 均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画图．（1）画出△ABC 关于直线MN 对称的△A ′B ′C ′；（2）△ABC 的面积为 ；（3）在线段MN 上找一点P ，使得∠APM ＝∠CPN ．（保留必要的画图痕迹，并标出点P 位置）22．（6分）如图，爷爷家有一块长方形空地ABCD ，空地的长AB 为m ，宽BC 为m ，爷爷准备在空地中划出一块长m ，宽m 的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜．（1）求出长方形ABCD 的周长；（结果化为最简二次根式）（2）求种植青菜部分的面积．23．（8分）如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°．点B 、D 、E 在同一条直线上，连结CE ．（1）求证：△ABD ≌△ACE ．（2）求∠BEC 的度数．（3）过点A 作AM ⊥DE 于点M ，若AM ＝3.5，BD ＝5，求线段BC 的长．24．（10分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A、B．（1）根据图象，求一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式；（2）将直线AB向下平移5个单位后经过点（m，﹣5），求m的值；（3）P（0，a）为y轴上的一动点，当△ABP的面积为15时，求a的值．25．（10分）课本再现：（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明：a2+b2＝c2．类比迁移（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若a＝3，b＝4，则空白部分的面积为 ．方法运用（3）小贤将四个全等的直角三角形拼成图3的“帽子”形状，若AH＝3，BH＝4，请求出“帽子”外围轮廓（实线）的周长．（4）如图4，分别以Rt△ABC的三条边向外作三个正方形，连接EC，BG，若设S△EBC＝S1，S △BCG＝S2，S正方形BCIH＝S3，则S1，S2，S3之间的关系为 ．26．（12分）如图①，在长方形ABCD中，已知AB＝20，AD＝12，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，设点D关于AP的对称点为点E．（1）如图②，射线PE恰好经过点B，试求此时t的值．（2）当射线PE与边AB交于点Q时，①请直接写出AQ长的取值范围： ；②是否存在这样的t的值，使得QE＝QB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．2023-2024学年江苏省常州市武进区八年级（上）期中水平测试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共16分）1．（2分）下列各选项中，两个三角形成轴对称的是（ ）A．B．C．D．【解答】解：各选项中，两个三角形成轴对称的是选项A．故选：A．2．（2分）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ）A．x≥1B．x＞1C．x≥0D．x＞0【解答】解：∵二次根式有意义，∴x﹣1≥0，解得：x≥1．故选：A．3．（2分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）A．2cm，3cm，4cm B．3cm，4cm，5cmC．4cm，5cm，6cm D．5cm，6cm，7cm【解答】解：A、22+32＝13≠42，不能构成直角三角形，故本选项错误；B、32+42＝25＝52，能构成直角三角形，故本选项正确；C、42+52＝41≠62，不能构成直角三角形，故本选项错误；D、52+62＝61≠72，不能构成直角三角形，故本选项错误；故选：B．4．（2分）如图，若△ABC≌△DEF，B、E、C、F在同一直线上，BC＝7，EC＝4，则CF的长是A ．2B ．3C ．5D ．7【解答】解：∵△ABC ≌△DEF ，BC ＝7，∴EF ＝BC ＝7，∴CF ＝EF ﹣EC ＝3，故选：B ．5．（2分）一个正比例函数的图象经过（2，﹣1），则它的表达式为（ ）A ．y ＝﹣2xB ．y ＝2xC ．D ．【解答】解：设该正比例函数的解析式为y ＝kx （k ≠0），∵正比例函数的图象经过点（2，﹣1），∴﹣1＝2k ，解得k ＝﹣，∴这个正比例函数的表达式是y ＝﹣x ．故选：C ．6．（2分）到三角形各顶点距离相等的点是（ ）A ．三条边垂直平分线交点B ．三个内角平分线交点C ．三条中线交点D ．三条高交点【解答】解：∵到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，∴到三角形各顶点距离相等的点是三角形三条边的垂直平分线的交点，故选：A ．7．（2分）等腰三角形的一个角是70°，它的底角的大小为（ ）A ．70°B ．40°C ．70°或40°D ．70°或55°【解答】解：①当这个角是顶角时，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；②当这个角是底角时，另一个底角为70°，顶角为40°．x y 21-=x y 21=8．（2分）如图，∠ABC＝60°，AB＝6，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线l 运动，设点P的运动时间为t秒（t＞0），当△ABP为锐角三角形时，t的取值范围是（ ）A．t＞3B．t＞6C．6＜t＜12D．3＜t＜12【解答】解：分两种情况：当∠APB＝90°，如图：在Rt△ABP中，∠ABC＝60°，AB＝6，∴，当∠BAP＝90°，如图：在Rt△ABP中，∠ABC＝60°，AB＝6，∴BP＝2AB＝2×6＝12，∴当3＜BP＜12时，△ABP为锐角三角形，∴3＜t＜12，故选：D．二、填空题（每小题2分，共20分）9．（2分）8的立方根是 2 ．【解答】解：∵23＝8，∴8的立方根是2．故答案为：2．10．（2分）近年来，5G在全球发展迅猛，中国成为这一领域基础设施建设、技术与应用落地的一大推动者．截至2021年3月底，中国已建成约819000座5G基站，占全球70%以上．数据819000用科学记数法表示为 8.19×105 ．【解答】解：819000＝8.19×105．故答案为：8.19×105．11．（2分）已知点P（﹣3，1），则点P关于x轴对称的点的坐标是 （﹣3，﹣1） ．【解答】解：∵点P（﹣3，1），∴点P关于x轴对称的点的坐标是（﹣3，﹣1）．故答案为：（﹣3，﹣1）．12．（2分）比较大小： ＜ +1．（填“＞”“＜”或“＝”）【解答】解：∵，，，∴，∴．故答案为：＜13．（2分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B＝ 30 °．【解答】解：∵EF垂直平分BC，∴BF＝CF，∴∠B＝∠BCF，∵△ACF为等边三角形，∴∠AFC＝60°，∴∠B＝∠BCF＝30°．故答案为：30．14．（2分）如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长是 18 ．【解答】解：∵AB＝AC，BC＝10，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，CD＝BC＝5，在Rt△ADC中，点E为AC的中点，∴DE＝AC＝，CE＝AC＝，∴△CDE的周长＝CE+DE+CD＝18，故答案为：18．15．（2分）如图，已知△ABC≌△ADE，∠B＝25°，∠E＝98°，∠EAB＝20°，则∠BAD的度数为 77° ．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠B＝25°，∴∠D＝∠B＝25°，∵∠E＝98°，∴∠EAD＝180°﹣∠D﹣∠E＝57°，∵∠EAB＝20°，∴∠BAD＝∠BAE+∠EAD＝20°+57°＝77°，故答案为：77°．16．（2分）若一次函数y＝（1﹣a）x+2的函数值y随自变量x增大而减小，则实数a的取值范围是 a＞1 ．【解答】解：∵一次函数y＝（1﹣a）x+2的函数值y随自变量x增大而减小，∴1﹣a＜0，解得：a＞1，∴实数a的取值范围是a＞1．故答案为：a＞1．17．（2分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝4，AC＝2，且△ABD的面积为2，则△ABC的面积为 3 ．【解答】解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵S△ABD＝AB•DE，∴×4×DE＝2，解得DE＝1，∵AD平分∠BAC，∴DF＝DE＝1，∴S△ACD＝AC•DF＝×2×1＝1，∴S△ABC＝S△ABD+S△ADC＝2+1＝3，故答案为3．18．（2分）如图，将长方形OABC放置在平面直角坐标系中，点P是折线A﹣B﹣C上的动点（点P不与A、C重合），连接OP，将OP绕点P顺时针旋转90°，点O落到点Q处．已知点B坐标为（24，15），当OP＝25时，则点Q坐标为 （5，35）或（17，31） ．【解答】解：如图1，当点P在AB上，过点Q作QE⊥AB于E，∵点B坐标为（24，15），∴AB＝OC＝24，AO＝BC＝15，∴AP＝＝＝20，∵将OP绕点P顺时针旋转90°，∴OP＝PQ，∠OPQ＝90°，∴∠QPE+∠OPA＝90°＝∠APO+∠AOP，∴∠QPE＝∠AOP，在△EPQ和△AOP中，，∴△EPQ≌△AOP（AAS），∴EP＝AO＝15，QE＝AP＝20，∴AE＝AP﹣EP＝5，∴点Q（5，35）；当点P在BC上时，过点Q作QF⊥BC，交CB的延长线于F，∴CP＝＝＝7，∵将OP绕点P顺时针旋转90°，∴OP＝PQ，∠OPQ＝90°，∴∠QPF+∠OPC＝90°，∠OPC+∠POC＝90°，∴∠POC＝∠QPF，在△OPC和△PQF中，，∴△OPC≌△PQF（AAS），∴QF＝CP＝7，PF＝OC＝24，∴CF＝31，∴点Q（17，31），综上所述：点Q坐标为：（5，35）或（17，31），故答案为：（5，35）或（17，31）．三、解答题（共64分）19．（6分）计算：（1）．（2）．【解答】解：（1）＝2﹣3+2﹣＝1﹣；（2）＝4×﹣2+1＝2﹣1．20．（6分）求x的值：（1）（x﹣2）2﹣16＝0；（2）（x+3）3＝﹣27．【解答】解：（1）（x﹣2）2﹣16＝0，（x﹣2）2＝16，∴x＝6或x＝﹣2；（2）（x+3）3＝﹣27，x+3＝﹣3，∴x＝﹣6．21．（6分）如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的8×8正方形网格中，点A，B，C，M，N均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画图．（1）画出△ABC关于直线MN对称的△A′B′C′；（2）△ABC的面积为 3 ；（3）在线段MN上找一点P，使得∠APM＝∠CPN．（保留必要的画图痕迹，并标出点P位置）【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求．（2）△ABC的面积＝2×4﹣×2×2﹣×1×2﹣×1×4＝3．故答案为：3；（3）如图所示，点P即为所求．22．（6分）如图，爷爷家有一块长方形空地ABCD，空地的长AB为m，宽BC为m，爷爷准备在空地中划出一块长m，宽m的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜．（1）求出长方形ABCD的周长；（结果化为最简二次根式）（2）求种植青菜部分的面积．【解答】解：（1）长方形ABCD 的周长＝2（+）＝2（3+4）＝14（m ）．答：长方形ABCD 的周长是14m ；（2）种植青菜部分的面积为：×﹣（+1）（﹣1）＝24﹣（3﹣1）＝24﹣2＝22（m 2）．答：种植青菜部分的面积为22m 2．23．（8分）如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°．点B 、D 、E 在同一条直线上，连结CE ．（1）求证：△ABD ≌△ACE ．（2）求∠BEC 的度数．（3）过点A 作AM ⊥DE 于点M ，若AM ＝3.5，BD ＝5，求线段BC 的长．【解答】（1）证明：∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC ，∴∠BAD ＝∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，，∴△ABD ≌△ACE （SAS ）；（2）解：∵AD ＝AE ，∠DAE ＝90°，∴∠ADE＝∠AED＝45°，∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣45°＝135°，∵△ABD≌△ACE，∴∠AEC＝∠ADB＝135°，∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝135°﹣45°＝90°；（3）解：∵AM⊥DE，∴∠AMD＝∠AME＝90°，∵∠ADE＝∠AED＝45°，∴∠DAM＝∠EAM＝45°，∵AM＝3.5，BD＝5，∴DM＝AM＝3.5，EM＝AM＝3.5，∴BE＝BD+DM+EM＝5+3.5+3.5＝12，∵△ABD≌△ACE，∴CE＝BD＝5，在Rt△BEC中，根据勾股定理，得．24．（10分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A、B．（1）根据图象，求一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式；（2）将直线AB向下平移5个单位后经过点（m，﹣5），求m的值；（3）P（0，a）为y轴上的一动点，当△ABP的面积为15时，求a的值．【解答】解：（1）由图象可知，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（2，6）、B（﹣4，﹣3），∴，解得，所以一次函数的表达式为：y＝x+3；（2）将直线AB向下平移5个单位后得到y＝x+3﹣5，即y＝x﹣2，∵经过点（m，﹣5），∴﹣5＝m﹣2，解得m＝﹣2；（3）在y＝x+3中，令x＝0，则y＝3，∵P（0，a）为y轴上的一动点，当△ABP的面积为15时，∴，解得a＝13或﹣7．25．（10分）课本再现：（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明：a2+b2＝c2．类比迁移（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若a＝3，b＝4，则空白部分的面积为 13 ．方法运用（3）小贤将四个全等的直角三角形拼成图3的“帽子”形状，若AH＝3，BH＝4，请求出“帽子”外围轮廓（实线）的周长．（4）如图4，分别以Rt△ABC的三条边向外作三个正方形，连接EC，BG，若设S△EBC＝S1，S △BCG＝S2，S正方形BCIH＝S3，则S1，S2，S3之间的关系为 2（S1+S2）＝S3 ．【解答】（1）证明：如图1，∵大的正方形的面积可以表示为（a+b）2，大的正方形的面积又可以表示为c2+4×ab，∴c2+2ab＝a2+b2+2ab，∴a2+b2＝c2；（2）解：如图2，空白部分的面积＝边长为c的正方形的面积﹣2个直角三角形的面积＝c2﹣2×ab，∵a＝3，b＝4，∴空白部分的面积＝32+42﹣2×＝13．故答案为：13．（3）解：如图3，在Rt△ABH中，AB＝＝＝5，∵△ABH≌△AFH≌△ADI≌△ADG，∴AD＝AF＝AB＝5，∴DH＝AD﹣AH＝5﹣3＝2，BI＝AB﹣AI＝5﹣3＝2，∴DH＝BI，∵∠DCH＝∠BCI，∠CHD＝∠CIB＝90°，∴△CDH≌△CBI（AAS），∴CD＝BC，设BC＝x，则CH＝4﹣x，在Rt△CDH中，CH2+DH2＝CD2，∴（4﹣x）2+22＝x2，解得：x＝，∴BC＝CD＝，同理可得DE＝EF＝BC＝，∴“帽子”外围轮廓（实线）的周长为AB+AF+BC+CD+DE+EF＝5+5++++＝20．（4）解：如图4，过点A作AK⊥HI于点K，交BC于点J，∵RtABC中，∠BAC＝90°，∴AB2+AC2＝BC2，∵四边形ABED、四边形ACGF、四边形BCIH均为正方形，∴S正方形ABED＝AB2，S正方形ACGF＝AC2，S3＝S正方形BCIH＝BC2，∵正方形ABED与△EBC同底等高，∴S正方形ABED＝2S△EBC＝2S1，∴AB2＝2S1，∵正方形ACGF与△EBC同底等高，∴S正方形ACGF＝2S△BCG＝2S2，∴AC2＝2S2，∵S正方形BCIH＝S3，∴2S1+2S2＝S3，即2（S1+S2）＝S3．26．（12分）如图①，在长方形ABCD中，已知AB＝20，AD＝12，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，设点D关于AP的对称点为点E．（1）如图②，射线PE恰好经过点B，试求此时t的值．（2）当射线PE与边AB交于点Q时，①请直接写出AQ长的取值范围： 12≤AQ≤20 ；②是否存在这样的t的值，使得QE＝QB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图1，∵AB∥CD，∴∠DPA＝∠PAB，由轴对称得：∠DPA＝∠EPA，∴∠EPA＝∠PAB，∴BP＝AB＝20，在Rt△PCB中，由勾股定理得：PC＝＝＝16，∴PD＝4＝2t，∴t＝2；（2）①解法一：如图2，过点P作PH⊥AB于H，过点Q作QG⊥CD于G，∴PH＝QG＝AD＝12，∵∠APQ＝∠PAQ，∴AQ＝PQ，∵PQ2＝PG2+QG2＝PG2+122＝144+PG2，∴AQ2＝144+PG2，∵AQ＝DG＝DP+PG，∴（DP+PG）2＝144+PG2，∵PD＝2t，∴（2t+PG）2＝144+PG2，解得：PG＝，∵AQ＝PD+PG＝2t+＝＝t+，∵t+＝（﹣）2+2≥2＝12，∴AQ＝t+≥12，由（1）可知：当t＝2时，Q与B重合，此时AQ＝AB＝20，∴12≤AQ≤20；解法二：由（1）可知：当t＝2时，Q与B重合，此时AQ＝AB＝20，如图2，当PQ⊥AB时，E与Q重合，此时AQ＝AD＝12，∴12≤AQ≤20，故答案为：12≤AQ≤20；②存在，分两种情况：当点E在矩形ABCD内部时，如图3，∵QE＝PQ﹣PE＝PQ﹣DP＝PQ﹣2t，∵QE＝QB，PQ＝AQ，∴QB＝AQ﹣2t，∵AQ+BQ＝AB＝20，∴AQ+AQ﹣2t＝20，∴AQ＝10+t，由①可知：AQ＝t+，∴t+＝10+t，解得：t＝3.6；当点E在矩形ABCD的外部时，如图4，∵QE＝PE﹣PQ＝DP﹣PQ＝2t﹣PQ，∵QE＝QB，∴BQ＝2t﹣AQ，∴AB﹣AQ＝2t﹣AQ，∴AB＝2t，∴t＝＝10（此时P与C重合），综上，存在这样的t值，使得QE＝QB，t的值为3.6或10．。
2023-2024学年江苏省常州市新北区八年级(上)期中数学试卷(含答案解析)
2023-2024学年江苏省常州市新北区八年级第一学期期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．下列剪纸图案中，为轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．如图，△ABC≌△DBC，AC＝2，则DC等于（ ）A．1B．2C．3D．43．如图，直线MN是四边形MANB的对称轴，点P在MN上．则下列结论错误的是（ ）A．∠ANM＝∠BNM B．∠MAP＝∠MBP C．AM＝BM D．AP＝BN4．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）A．a＝1，b＝2，c＝3B．a＝2，b＝3，c＝4C．a＝3，b＝4，c＝5D．a＝4，b＝5，c＝65．点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是（ ）A．PQ＜5B．PQ＞5C．PQ≥5D．PQ≤56．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E、D两点，△ABC的周长为23，ABD的周长为15，则EC的长是（ ）A．3B．4C．6D．87．如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，并且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠BAC的度数是（ ）A．100°B．110°C．120°D．150°8．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连接CD，则∠BCD的度数是（ ）A．10°B．120°C．10°或100°D．60°或120°二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）9．如图，已知BC＝EC，∠BCE＝∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为 ．（答案不唯一，只需填一个）10．如图，已知D是AB上一点，DF交AC于点E，AE＝EC，CF∥AB．若AB＝9cm，CF ＝6cm，则BD＝ cm．11．等腰三角形的顶角为40°，则其底角为 度．12．若一个等腰三角形的周长是20，底边长是8，则等腰三角形的腰长是 ．13．若n＞1，△ABC三边长分别是n2﹣1，2n，n2+1，则△ABC是 三角形．14．如图，已知点D，E分别在AB，AC上，AD＝AE，BD＝CE．若∠BDC＝100°，则∠AEB ＝ °．15．如图，在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若CD＝2，则AC2+BC2＝ ．16．如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝8，DE ＝2．则△BCE的面积等于 ．17．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE．若点D恰好落在边BC上，且AD＝CD，则∠E＝ °．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3．直线BE∥AC，D是BE上一动点．则AD+CD的最小值是 ．三、解答题（本大题共7小题，第19，20，21，22，23题每小题8分，第24，25题每小题8分，共64分）19．利用网格线画图：（1）在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等；（2）在射线AP上找一点Q，使QB＝QC．20．已知：如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D、C，AE∥BF，且AE＝BF．求证：AC ＝BD．21．已知：如图，AB＝DC，AC＝DB，AC，DB交于点O，∠AOB与∠OBC有怎样的数量关系？证明你的结论．22．已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在BD上，点G在CA的延长线上，且GE∥AD，GE交AB于点F．（1）求证：AG＝AF；（2）连接BG，若BE2+GE2＝BG2，判断△ABC的形状，并说明理由．23．如图，折叠长方形纸片ABCD，使得点D落在边BC上的点F处，折痕为AE．已知AB ＝DC＝6，AD＝BC＝10．求：（1）CF的长；（2）EC的长．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D是边BC的中点，E是边AB 上一点，且DE＝DC．（1）用直尺和圆规在边AC上作点F，使得△CDF≌△EDF；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下：①求CF的长；②线段DF与线段AB的数量关系是 ，位置关系是 ．25．已知：如图，C是线段AB上一点，直线AM⊥AB，射线CN⊥AB，AC＝3，CB＝2，在直线AM上取一点D，在射线CN上取一点E，连接BD，ED，BE．（1）如图，若△ABD≌△CEB．①判断△BDE的形状，并证明你的结论；②求△BDE的面积；（2）若△ABD与△BDE全等，求CE2的值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．下列剪纸图案中，为轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．解：选项A、B，C中的剪纸图案都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；选项D中的剪纸图案能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．所以选项D符合题意．故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．如图，△ABC≌△DBC，AC＝2，则DC等于（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】根据全等三角形的性质解答即可．解：∵△ABC≌△DEC，∴DC＝AC＝2，故选：B．【点评】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应边相等解答．3．如图，直线MN是四边形MANB的对称轴，点P在MN上．则下列结论错误的是（ ）A．∠ANM＝∠BNM B．∠MAP＝∠MBP C．AM＝BM D．AP＝BN【分析】根据直线MN是四边形AMBN的对称轴，得到点A与点B对应，根据轴对称的性质即可得到结论．解：∵直线MN是四边形AMBN的对称轴，∴点A与点B对应，∴AM＝BM，AN＝BN，∠ANM＝∠BNM，∵点P是直线MN上的点，∴∠MAP＝∠MBP，∴A，B，C正确，而D错误，故选：D．【点评】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．4．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）A．a＝1，b＝2，c＝3B．a＝2，b＝3，c＝4C．a＝3，b＝4，c＝5D．a＝4，b＝5，c＝6【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断．解：A、∵c2＝9，a2+b2＝5，∴c2≠a2+b2，故A不能够构成直角三角形，B、∵c2＝16，a2+b2＝13，∴c2≠a2+b2，故B不能够构成直角三角形，C、∵c2＝25，a2+b2＝25，∴c2＝a2+b2，故C能够构成直角三角形，D、∵c2＝36，a2+b2＝41，∴c2≠a2+b2，故D不能够构成直角三角形．故选：C．【点评】本题考查勾股定理的逆定理，注意是最长边的平方要等于另外两条边的平方和．5．点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是（ ）A．PQ＜5B．PQ＞5C．PQ≥5D．PQ≤5【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为5，再根据垂线段最短解答．解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，∴点P到OB的距离为5，∵点Q是OB边上的任意一点，∴PQ≥5．故选：C．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．6．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E、D两点，△ABC的周长为23，ABD的周长为15，则EC的长是（ ）A．3B．4C．6D．8【分析】由在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，可得AD＝CD，又由△ABC的周长是23cm，△ABD的周长是15cm，即可求得答案．解：∵在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，∴AD＝CD，∵△ABC的周长是23cm，△ABD的周长是15cm，∴AB+AC+BC＝23cm，AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝15cm，∴AC＝8（cm），∴CE＝AC＝4cm．故选：B．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想与整体思想的应用．7．如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，并且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠BAC的度数是（ ）A．100°B．110°C．120°D．150°【分析】根据等边三角形的性质，得∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质求得∠BAP＝∠CAQ＝30°，从而求解．解：∵BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，∴∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°，∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ．又∵∠BAP+∠ABP＝∠APQ，∠C+∠CAQ＝∠AQP，∴∠BAP＝∠CAQ＝30°．∴∠BAC＝120°．故∠BAC的度数是120°．故选：C．【点评】此题主要考查了运用等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质．8．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连接CD，则∠BCD的度数是（ ）A．10°B．120°C．10°或100°D．60°或120°【分析】分两种情况画图，由作图可知得AC＝AD，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．解：如图，点D即为所求；在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，由作图可知：AC＝AD，∴，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝60°﹣50°＝10°；由作图可知：AC＝AD'，∴∠ACD'＝∠AD'C，∵∠ACD'+∠AD'C＝∠BAC＝80°，∴∠AD'C＝40°，∴∠BCD'＝180°﹣∠ABC﹣∠AD'C＝180°﹣40°﹣40°＝100°．综上所述：∠BCD的度数是10°或100°．故选：C．【点评】本题考查了作图﹣基本作图，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）9．如图，已知BC＝EC，∠BCE＝∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为 AC ＝CD ．（答案不唯一，只需填一个）【分析】可以添加条件AC＝CD，再由条件∠BCE＝∠ACD，可得∠ACB＝∠DCE，再加上条件CB＝EC，可根据SAS定理证明△ABC≌△DEC．解：添加条件：AC＝CD，∵∠BCE＝∠ACD，∴∠ACB＝∠DCE，在△ABC和△DEC中，∴△ABC≌△DEC（SAS），故答案为：AC＝CD（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．10．如图，已知D是AB上一点，DF交AC于点E，AE＝EC，CF∥AB．若AB＝9cm，CF ＝6cm，则BD＝ 3 cm．【分析】利用全等三角形的性质，这是一般思路．根据ASA证明△AED≌△CEF求解．解：∵AB∥CF，∴∠A＝∠ECF．在△AED与△CEF中，，∴△AED≌△CEF（ASA）．∴AD＝CF＝6cm，∴BD＝AB﹣AD＝9﹣6＝3（cm）．故答案为：3．【点评】本题考查三角形全等的判定方法即平行线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．11．等腰三角形的顶角为40°，则其底角为 70 度．【分析】由已知等腰三角形的顶角为40°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可．解：由题意，得（180°﹣40°）÷2＝70°故此等腰三角形的底角为70°．故填70．【点评】此题主要考查的是等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．利用等边对等角式解答本题的关键．12．若一个等腰三角形的周长是20，底边长是8，则等腰三角形的腰长是 6 ．【分析】利用等腰三角形的性质进行计算，即可解答．解：∵一个等腰三角形的周长是20，底边长是8，∴等腰三角形的腰长＝＝6，故答案为：6．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．13．若n＞1，△ABC三边长分别是n2﹣1，2n，n2+1，则△ABC是 直角 三角形．【分析】利用较短两边的平方和与较长边的平方比较即可判断三角形的形状．解：∵（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1，（n2+1）2＝n4+2n2+1，∴（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2，∴△ABC是直角三角形，故答案为：直角．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用，掌握利用较短两边的平方和等于较长边的平方即可得到三角形是直角三角形是解题的关键．14．如图，已知点D，E分别在AB，AC上，AD＝AE，BD＝CE．若∠BDC＝100°，则∠AEB ＝ 80 °．【分析】由“SAS”可证△ADC≌△AEB，可得∠ADC＝∠AEB＝80°．解：∵∠BDC＝100°，∴∠ADC＝80°，∵AD＝AE，BD＝CE，∴AB＝AC，在△ADC和△AEB中，，∴△ADC≌△AEB（SAS），∴∠ADC＝∠AEB＝80°，故答案为：80．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．15．如图，在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若CD＝2，则AC2+BC2＝ 16 ．【分析】根据斜边的中线长求出斜边，根据勾股定理求出AC2+BC2＝AB2，即可求出答案．解：∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，且CD＝2，∴AB＝2CD＝4，∵由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2＝16，故答案为：16．【点评】本题考查了勾股定理和直角三角形斜边上中线性质的应用，解此题的关键是求出斜边长，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．16．如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝8，DE ＝2．则△BCE的面积等于 8 ．【分析】先作辅助线EF⊥BC交BC于点F，然后根据角平分线的性质，可以得到DE＝EF，再根据三角形的面积公式，即可求得△BCE的面积．解：作EF⊥BC交BC于点F，∵CD是AB边上的高，∴CD⊥BA，∵BE平分∠ABC，∴DE＝EF，∵DE＝2，∴EF＝2，∵BC＝8，∴S△BCE＝＝＝8，故答案为：8．【点评】本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是作辅助线EF⊥BC，求出EF的长．17．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE．若点D恰好落在边BC上，且AD＝CD，则∠E＝ 24 °．【分析】由旋转的性质可知AD＝AB，由AD＝DC，推出∠ADB＝∠B，∠C＝∠DAC，设∠C＝x，则∠ADB＝∠C+∠DAC＝2x，利用三角形内角和定理，构建方程求出x即可．解：由旋转的性质可知AD＝AB，∠C＝∠E，∵AD＝DC，∴∠ADB＝∠B，∠C＝∠DAC，设∠C＝x，则∠ADB＝∠B＝∠C+∠DAC＝2x，∵∠C+∠B+∠BAC＝180°，∴3x+108°＝180°，∴x＝24°，∴∠E＝24°．故答案为：24．【点评】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3．直线BE∥AC，D是BE上一动点．则AD+CD的最小值是 5 ．【分析】延长CB到E，使CB＝BE，则E与B关于直线BE对称，连接AE，则当A、D、E共线时，AD+CD＝AE最小，根据勾股定理可得结论．解：∵∠ACB＝90°，BE∥AC，∴CB⊥BE，延长CB到E，使CB＝BE，则E与B关于直线BE对称，连接AE，交BE于E，此时CD ＝DE，则AD+CD＝AD+DE＝AE，AD+CD的值最小Rt△ACE中，AC＝3，CE＝4，∴AE＝＝5，∴AD+CD的最小值是5，故答案为：5．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，平行线的性质，勾股定理，明确两点之间线段最短是解题的关键，并利用了数形结合的思想．三、解答题（本大题共7小题，第19，20，21，22，23题每小题8分，第24，25题每小题8分，共64分）19．利用网格线画图：（1）在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等；（2）在射线AP上找一点Q，使QB＝QC．【分析】（1）作∠CAB的角平分线AT交BC于点P，点P即为所求．（2）作线段BC的垂直平分线交AT于点Q，点Q即为所求．解：（1）如图，点P即为所求．（2）如图，点Q即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质．20．已知：如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D、C，AE∥BF，且AE＝BF．求证：AC ＝BD．【分析】根据垂直的定义得到∠ADE＝∠BCF＝90°根据平行线的性质得到∠A＝∠B，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：∵ED⊥AB，FC⊥AB，∴∠ADE＝∠BCF＝90°，∵AE‖BF，∴∠A＝∠B，在△ADE与△BCF中，，∴△ADE≌△BCF，∴AD＝BC，∴AC＝BD．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，解此题的关键是推出△AED≌△BFC，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等．21．已知：如图，AB＝DC，AC＝DB，AC，DB交于点O，∠AOB与∠OBC有怎样的数量关系？证明你的结论．【分析】结论：∠AOB＝2∠OBC．证明△ABC≌△DCB（SSS），推出∠ACB＝∠DBC，可得结论．解：结论：∠AOB＝2∠OBC．理由：在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SSS），∴∠ACB＝∠DBC，∵∠AOB＝∠OBC+∠OCB，∴∠AOB＝2∠OBC．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．22．已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在BD上，点G在CA的延长线上，且GE∥AD，GE交AB于点F．（1）求证：AG＝AF；（2）连接BG，若BE2+GE2＝BG2，判断△ABC的形状，并说明理由．【分析】（1）由角平分线定义得到∠BAD＝∠CAD，由平行线的性质推出∠G＝∠CAD，∠AFG＝∠BAD，因此∠G＝∠AFG，即可证明AG＝AF；（2）由勾股定理的逆定理推出∠BEG＝90°，由平行线的性质推出∠ADB＝∠BEG＝90°，求出∠ADC＝180°﹣∠ADB＝90°，得到∠ADB＝∠ADC，又∠BAD＝∠CAD，由三角形内角和定理推出∠ABC＝∠C，因此AB＝AC．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵GE∥AD，∴∠G＝∠CAD，∠AFG＝∠BAD，∴∠G＝∠AFG，∴AG＝AF；（2）解：△ABC是等腰三角形，理由如下：∵BE2+GE2＝BG2，∴∠BEG＝90°，∵AD∥GE，∴∠ADB＝∠BEG＝90°，∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝90°，∴∠ADB＝∠ADC，∵∠BAD＝∠CAD，∴∠ABC＝∠C，∴AB＝AC．【点评】本题考查平行线的性质，角平分线定义，等腰三角形的判定，勾股定理的逆定理，关键是由平行线的性质，角平分线定义推出∠G＝∠AFG；由勾股定理的逆定理推出∠BEG＝90°．23．如图，折叠长方形纸片ABCD，使得点D落在边BC上的点F处，折痕为AE．已知AB ＝DC＝6，AD＝BC＝10．求：（1）CF的长；（2）EC的长．【分析】（1）由矩形的性质得∠B＝∠C＝90°，由折叠的性质得AF＝AD＝10，FE＝DE＝6﹣EC，根据勾股定理得求得BF的长为8，则CF的长为2；（2）在Rt△CEF中，由CF2+EC2＝FE2，得22+EC2＝（6﹣EC）2，求得EC即可．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，由折叠的性质得AF＝AD＝10，FE＝DE＝6﹣EC，∴BF＝＝8，∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，即CF的长为2；（2）在Rt△CEF中，由勾股定理得CF2+EC2＝FE2，∴22+EC2＝（6﹣EC）2，解得EC＝，∴EC的长是．【点评】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，证明FE＝DE＝6﹣EC并且求得CF＝2是解题的关键．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D是边BC的中点，E是边AB 上一点，且DE＝DC．（1）用直尺和圆规在边AC上作点F，使得△CDF≌△EDF；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下：①求CF的长；②线段DF与线段AB的数量关系是 DF＝AB ，位置关系是 平行 ．【分析】（1）作∠CDE的平分线交AC于F，则∠CDF＝∠EDF，加上DE＝DC，DF 为公共边，则根据“SAS”可判断△CDF≌△EDF，从而可确定F点满足条件；（2）①证明∠CDF＝∠B得到DF∥AB，则DF为△ABC的中位线，于是得到CF＝AC；②利用DF为△ABC的中位线得到DF与AB的数量关系和位置关系．解：（1）如图，点F为所作；（2）①∵D是边BC的中点，∴DC＝DE，∵DE＝DC，∴DB＝DE，∴∠B＝∠DEB，∵△CDF≌△EDF，∴∠CDF＝∠EDF，∵∠CDE＝∠B+∠DEB，∴∠CDF＝∠B，∴DF∥AB，∴DF为△ABC的中位线，∴CF＝AC＝×3＝；②由①得DF为△ABC的中位线，∴DF＝AB，DF∥AB，故答案为：DF＝AB，平行．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质．25．已知：如图，C是线段AB上一点，直线AM⊥AB，射线CN⊥AB，AC＝3，CB＝2，在直线AM上取一点D，在射线CN上取一点E，连接BD，ED，BE．（1）如图，若△ABD≌△CEB．①判断△BDE的形状，并证明你的结论；②求△BDE的面积；（2）若△ABD与△BDE全等，求CE2的值．【分析】（1）①由全等三角形的性质可得BD＝BE，∠ABD＝∠BEC，AD＝BC＝2，由余角的性质可得∠DBE＝90°，即可求解；②由勾股定理可求BD的长，由等腰直角三角形的面积公式可求解；（2）分两种情况讨论，由全等三角形的性质和勾股定理可求解．解：（1）①△BDE是等腰直角三角形，理由如下：∵△ABD≌△CEB，∴BD＝BE，∠ABD＝∠BEC，AD＝BC＝2，∵∠BEC+∠ABE＝90°，∴∠ABE+∠ABD＝90°，∴∠DBE＝90°，∴△BDE是等腰直角三角形；②∵BD＝＝＝，∴△BDE的面积＝DB2＝；（2）①如图，当△ABD≌△EBD时，BE＝AB＝5，∴CE2＝BE2﹣BC2＝25﹣4＝21．②当点D在直线AB下方时，△ADB≌△EBD．∴ED＝AB，∠ABD＝∠EDB，∴DK＝BK，∴AK＝EK，设AK＝EK＝a，则DK＝BK＝5﹣a，CK＝3﹣a，∵EC∥AD，∴，∴，解得a＝，在Rt△ECK中，EC2＝EK2﹣CK2＝（）2﹣（）2＝．综上所述，满足条件的CE2的值为21或．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．。
初中数学 2023-2024学年江苏省常州八年级(上)期中数学试卷
2023-2024学年江苏省常州二十四中教育集团八年级（上）期中数学试卷解答题151．为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如右表：经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元．A型B型价格（万元/台）1210处理污水量（吨/月）240200年消耗费（万元/台）11（1）请你设计该企业有几种购买方案；（2）若企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案；（3）在第（2）问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）152．李大爷一年前买入了相同数量的A、B两种种兔，目前，他所养的这两种种兔数量仍然相同，且A种种兔的数量比买入时增加了20只，B种种兔比买入时的2倍少10只．（1）求一年前李大爷共买了多少只种兔？（2）李大爷目前准备卖出30只种兔，已知卖A种种兔可获利15元/只，卖B种种兔可获利6元/只．如果要求卖出的A种种兔少于B 种种兔，且总共获利不低于280元，那么他有哪几种卖兔方案？哪种方案获利最大？请求出最大获利．153．我国沪深股市交易中，如果买、卖一次股票均需付交易金额的0.5%作费用．张先生以每股5元的价格买入“西昌电力”股票1 000股，若他期望获利不低于1000元，问他至少要等到该股票涨到每股多少元时才能卖出？（精确到0.01元）154．绿谷商场“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价和售价如下表所示：类别冰箱彩电进价（元/台）23201900售价（元/台）24201980（1）按国家政策，农民购买“家电下乡”产品可享受售价13%的政府补贴．农民田大伯到该商场购买了冰箱、彩电各一台，可以享受多少元的政府补贴？．（2）为满足农民需求，商场决定用不超过85000元采购冰箱、彩电共40台，且冰箱的数量不少于彩电数量的56①请你帮助该商场设计相应的进货方案；②哪种进货方案商场获得利润最大（利润=售价-进价），最大利润是多少？155．蓝天运输公司要将300吨物资运往某地，现有A、B两种型号的汽车可供调用．已知A型汽车每辆最多可装该物资20吨，B型汽车每辆最多可装该物资15吨．在每辆车不超载的条件下，要把这300吨物资一次性装运完．问：在已确定调用7辆A型车的前提下至少还需调用B型车多少辆？156．（1）解不等式：3x>x+2，并在数轴上表示解集．（2）整理一批图书，如果由一个人单独做要花60小时．现先由一部分人用一小时整理，随后增加15人和他们一起又做了两小时，恰好完成整理工作．假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少人？157．某超市销售有甲、乙两种商品，甲商品每件进价10元，售价15元；乙商品每件进价30元，售价40元．（1）若该超市同时一次购进甲、两种商品共80件，恰好用去1600元，求能购进甲乙两种商品各多少件？（2）该超市为使甲、乙两种商品共80件的总利润（利润=售价-进价）不少于600元，但又不超过610元，请你帮助该超市设计相应的进货方案．158．2008年5月12日四川汶川发生强烈地震后，某地民政局迅速地组织了30吨食物和13吨衣物的救灾物资，准备于当晚用甲、乙两种型号的货车将它们快速地运往灾区．已知甲型货车每辆可装食物5吨和衣物1吨，乙型货车每辆可装食物3吨和衣物2吨，但由于时间仓促，只招募到9名长途驾驶员志愿者．（1）3名驾驶员开甲种货车，6名驾驶员开乙种货车，这样能否将救灾物资一次性地运往灾区？（2）要使救灾物资一次性地运往灾区，共有哪几种运货方案？159．某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有A、B两种型号的车可供调用，已知A型车每辆可装20吨，B型车每辆可装15吨，在每辆车不超载的条件下，把300吨物资装运完．问：在已确定调用5辆A型车的前提下至少还需调用B型车多少辆？160．某学校准备添置一些“中国结”挂在教室．若到商店去批量购买，每个“中国结”需要10元；若组织一些同学自己制作，每个“中国结”的成本是4元，无论制作多少，另外还需共付场地租金200元．亲爱的同学，请你帮该学校出个主意，用哪种方式添置“中国结”的费用较节省？161．现有一个种植总面积为540m2的矩形塑料温棚，分垄间隔套种草莓和西红柿共24垄，种植的草莓或西红柿单种农作物的总垄数不低于10垄，又不超过14垄（垄数为正整数），它们的占地面积，产量、利润分别如下：占地面积（m2/垄）产量（千克/垄）利润（元/千克）西红柿30160 1.1草莓1550 1.6（1）若设草莓共种植了x垄，通过计算说明共有几种种植方案？分别是哪几种；（2）在这几种种植方案中，哪种方案获得的利润最大？最大利润是多少？162．某乒乓球训练馆准备购买n副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配k（k≥3）个乒乓球．已知A、B两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为20元，每个乒乓球的标价都为1元．现两家超市正在促销，A超市所有商品均打九折（按原价的90%付费）销售，而B超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球．若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用，请解答下列问题：（1）如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球，那么去A超市还是B超市买更合算？（2）当k=12时，请设计最省钱的购买方案．163．阅读下列内容后，解答下列各题：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．例如：考查代数式（x-1）（x-2）的值与0的大小当x<1时，x-1<0，x-2<0，∴（x-1）（x-2）>0当1<x<2时，x-1>0，x-2<0，∴（x-1）（x-2）<0当x>2时，x-1>0，x-2>0，∴（x-1）（x-2）>0综上：当1<x<2时，（x-1）（x-2）<0当x<1或x>2时，（x-1）（x-2）>0（1）填写下表：（用“+”或“-”填入空格处）（2）由上表可知，当x满足时，（x+2）（x+1）（x-3）（x-4）<0；（3）运用你发现的规律，直接写出当x满足时，（x-7）（x+8）（x-9）<0．x<-2-2<x<-1-1<x<33<x<4x>4x+2-++++x+1--+++x-3---++x-4----+（x+2）（x+1）（x-3）（x-4）+-+164．某市2006年的污水处理量为10万吨/天，2007年的污水处理量为22万吨/天，2007年日平均污水排放量比2006年日平均污水排放量多5万吨，若2007年每天的污水处量率比2006年每天的污水处理率高20%×100%）．（污水处理率=污水处理量污水排放量（1）求该市2006年，2007年的日平均污水排放量分别是多少万吨？（2）如果自2006开始，该市每年的日平均污水排放量的年增长率相同，该市为创建旅游城市，计划2009年每天的污水处理率不低于60%，那么该市2009年每天的污水处理量在2007年每天污水处量的基础上至少需要增加多少万吨，才能达到预期目标？165．市政公司为绿化建设路风景带，计划购买甲乙两种树苗600株，甲种树苗每株50元，乙种树苗每株70元．有关统计表明，甲乙两种树苗的成活率分别为80%和95%．（注：成活率=种植树苗成活的数×100%）．种植树苗的总数（1）若购买树苗的钱不超过40000元，应如何选购甲、乙两种树苗；（2）若希望这批树苗的成活率不低于90%，且购买树苗的费用最低，应如何选购甲、乙两种树苗并求出最低费用是多少元．166．学校举行百科知识抢答赛，共有20道题，规定每答对一题记10分，答错或放弃记-4分．九年级一班代表队的得分目标为不低于88分．问这个队至少要答对多少道题才能达到目标要求？167．陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处王老师交账说：“我买了两种书，共105本，单价分别为8元和12元，买书前我领了1500元，现在还余418元．”王老师算了一下，说：“你肯定搞错了．”（1）王老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释；（2）陈老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本．但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于1 0元的整数，笔记本的单价可能为多少元？168．襄江中学组织九年级部分学生到古隆中参观，租用的客车有50座和30座两种可供选择．学校根据参加参观的学生人数计算可知：若只租用30座客车x辆，还差10人才能坐满；若只租用50座客车，比只租用30座客车少用2辆，且有一辆车没有坐满但超过3 0人．（1）写出九年级参观的学生人数y与x的关系式；（2）求出此次参观的九年级学生人数；（3）若租用一辆30座客车往返费用为260元，租用一辆50座客车往返费用为400元，如何选择租车方案费用最低？169．2007年5月19日起，中国人民银行上调存款利率．人民币存款利率调整表项目调整前年利率%调整后年利率%活期存款0.720.72一年期定期存款 2.79 3.06储户的实得利息收益是扣除利息税后的所得利息，利息税率为20%．（1）小明于2007年5月19日把3500元的压岁钱按一年期定期存入银行，到期时他实得利息收益是多少元？（2）小明在这次利率调整前有一笔一年期定期存款，到期时按调整前的年利率2.79%计息，本金与实得利息收益的和为2555.8元，问他这笔存款的本金是多少元？（3）小明爸爸有一张在2007年5月19日前存人的10000元的一年期定期存款单，为获取更大的利息收益，想把这笔存款转存为利率调整后的一年期定期存款．问他是否应该转存？请说明理由．约定：①存款天数按整数天计算，一年按360天计算利息．②比较利息大小是指从首次存入日开始的一年时间内．获得的利息比较．如果不转存，利息按调整前的一年期定期利率计算；如果转存，转存前已存天数的利息按活期利率计算，转存后，余下天数的利息按调整后的一年期定期利率计算．（转存前后本金不变）170．绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨．（1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地有几种方案？（2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？171．某体育用品商场采购员要到厂家批发购进篮球和排球共100只，付款总额不得超过11815元．已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如右表，试解答下列问题：品名厂家批发价（元/只）市场零售价（元/只）篮球130160排球100120（1）该采购员最多可购进篮球多少只？（2）若该商场把这100只球全部以零售价售出，为使商场获得的利润不低于2580元，则采购员至少要购篮球多少只，该商场最多可盈利多少元？172．某工程机械厂根据市场需求，计划生产A、B两种型号的大型挖掘机共100台，该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元，且所筹资金全部用于生产此两种型号挖掘机，所生产的此两种型号挖掘机可全部售出，此两型挖掘机的生产成本和售价如下表：型号A B成本（万元/200240台）售价（万元/250300台）（1）该厂对这两型挖掘机有哪几种生产方案？（2）该厂如何生产能获得最大利润？（3）根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价将会提高m万元（m>0），该厂应该如何生产获得最大利润？（注：利润=售价-成本）173．某软件公司开发出一种图书管理软件，前期投入的开发、广告宣传费用共50000元，且每售出一套软件，软件公司还需支付安装调试费用200元．（1）试写出总费用y（元）与销售套数x（套）之间的函数关系式；（2）如果每套定价700元，软件公司至少要售出多少套软件才能确保不亏本？174．某商店在一次促销活动中规定：消费者消费满200元或超过200元就可享受打折优惠．一名同学为班级买奖品，准备买6本影集和若干支钢笔．已知影集每本15元，钢笔每支8元，问他至少买多少支钢笔才能打折？175．天宇便利店老板到厂家购进A，B两种香油，A种香油每瓶进价6.5元，B种香油每瓶进价8元，购进140瓶，共花了1000元，且该店销售A种香油每瓶8元，B种香油每瓶10元．（1）该店购进A，B两种香油各多少瓶？（2）将购进140瓶香油全部销售完可获利多少元？（3）老板打算再以原来的进价购进A，B两种香油共200瓶，计划投资不超过1420元，且按原来的售价将这200瓶香油销售完成获利不低于339元，请问有哪几种购货方案？176．某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元．打折前一次性购物总金额优惠措施不超过300元不优惠超过300元且不超过400元售价打九折超过400元售价打八折（1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件恰好用去2700元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？（2）该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润（利润=售价-进价）不少于750元，且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案；（3）在“五•一”黄金周期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销的活动．按上述优惠条件，若小王第一天只购买甲种商品一次性付款200元，第二天只购买乙种商品打折的一次性付款324元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？（通过计算求出所有符合要求的结果）177．某工厂计划招聘A，B两个工种的工人120人，已知A，B两个工种的工人的月工资分别为800元和1000元．（1）若工厂每月所支付的工资为110000元，那么A，B两个工种的工人各招聘多少人？（2）若要求B工种的人数不少于A工种人数的2倍，那么招聘A工种的工人多少人时，可使每月所支付的工资最少？178．深受海内外关注的沪杭磁悬浮交通项目近日获得国务院批准，沪杭磁悬浮线建成后，分为中心城区段与郊区段两部分，其中中心城区段的长度为60千米，占全程的40%．沪杭磁悬浮的票价预定为0.65元/千米～0.75元/千米，请你估计沪杭磁悬浮的全程票价的范围．179．某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，售价14.5万元；每件乙种商品进价8万元，售价10万元，且它们的进价和售价始终不变．现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于190万元，不高于200万元．十字形的/满足什么条件时，才能使车人不相撞．如××十字路口长约64米，。
江苏省常州市八年级(上)期中数学试卷
八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.如图，△ABC≌△DEF，BE=1，EC=4，则BF的长是（）A. 5B. 6C. 7D. 82.如图，在四边形ABCE中，D是BC的中点，连接AD，AC．若AB=AC，AE=CD，AD=CE，则图中的全等三角形共有（）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对3.如图，∠CAB=∠DBA，再添加一个条件，不一定能判定△ABC≌△BAD的是（）A. AC=BDB. ∠1=∠2C. AD=BCD. ∠C=∠D4.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD等于（）A. 18∘B. 36∘C. 54∘D. 64∘5.下列三条线段不能组成直角三角形的是（）A. 3，4，5B. 6，8，10C. 5，12，13D. 5，12，156.在Rt△ABC中，∠C=90°，周长为24，斜边与一直角边之比为5：4，则这个直角三角形的面积是（）A. 20B. 24C. 28D. 307.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（）A. 48∘B. 36∘C. 30∘D. 24∘8.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，CF＝6cm，则DE的长是（）A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）9.若等腰三角形的一个外角是80°，则等腰三角形的底角是______°．10.等腰三角形两边长分别是5和12，则这个等腰三角形的周长是______．11.如图，已知△ABC中，D为BC边上一点，且AB=AC=BD，AD=CD，则∠BAC=______°．12.等腰△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，若∠BDC=120°，则∠A=______．13.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AD与BE相交于点H，且BH=AC，DH=DC，则∠ABC=______°．14.如图，五边形ABCDE中有一等边三角形ACD．若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，则∠BAE的度数是______°．15.如图，在△ABC中，AB2-BC2=AC2，点D是边BC上一点，点E、F分别是AB、AD的中点．若AB=12，AD=10，EF=2，则△CEF的周长是______．16.在△ABC中，AB=AC=5，BC=6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是______．17.在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，连接AD．若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为___________18.如图，在△ABC中，BC=15cm，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，PD∥AC交BC于点D，PH⊥AB于H，若PH=3cm，BH=6cm，则△PBD的面积是______cm2．三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）19.如图，在△ABC中，利用直尺和圆规按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）：（1）在BC边上作点P，使得点P到AB和AC的距离相等；（2）在射线AP上作点Q，使得AQ=CQ．20.如图，在8×8的正方形网格中，已知△ABC的三个顶点在格点上．（1）在图中画出△ABC关于直线l的轴对称图形△A1B1C1；（2）将图中点A1沿网格线横向或纵向平移一次到格点O，使得△OB1C1为等腰三角形，试在图中画出格点O的位置．21.如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2．求证：△ABC≌△ADE．22.如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF．23.如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，折叠纸片的一角，使点B与点A重合，展开得折痕DE，求DE的长．24.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，分别以BC、BA为边作等边三角形BCD和等边三角形BAE，连接ED并延长交AC于点F．求证：（1）∠BDE=90°；（2）AF=DE-DF．25.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，直线MN⊥BC于B，直角三角板的直角顶点P落在射线AB上，一直角边始终经过点C，另一直角边交直线MN于点D．（1）求∠A的度数；（2）若AP2=2，求△ACP的面积；（3）绕点C转动直角三角板，若△ACP≌△BPD，求∠ACP的度数．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF，∴BE=CF，∴BF=BC+CF=BE+EC+BE=1+4+1=6．故选：B．由三角形全等的性质可知BC=EF，结合条件可求得BF的长．本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．2.【答案】C【解析】解：∵D是BC的中点，∴BD=CD，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS），在△AEC和△CDA中，，∴△AEC≌△CDA（SSS），∴△ABD≌△CAE，∴图中的全等三角形共有3对，故选：C．首先证明△ABD≌△ACD，再证明△AEC≌△CDA，进而得出△ABD≌△CAE．本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3.【答案】C【解析】解：A、∵AC=BD，∠CAB=∠DBA，AB=AB，∴根据SAS能推出△ABC≌△BAD，故本选项错误；B、∵∠CAB=∠DBA，AB=AB，∠1=∠2，∴根据ASA能推出△ABC≌△BAD，故本选项错误；C、根据AD=BC和已知不能推出△ABC≌△BAD，故本选项正确；D、∵∠C=∠D，∠CAB=∠DBA，AB=AB，∴根据AAS能推出△ABC≌△BAD，故本选项错误；故选：C．根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）判断即可．本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．4.【答案】C【解析】解：∵AB=AC，∠ABC=72°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∴∠A=36°，∵BD⊥AC，∴∠ABD=90°-36°=54°．故选：C．根据等腰三角形的性质由已知可求得∠A的度数，再根据垂直的定义和三角形内角和定理不难求得∠ABD的度数．本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．5.【答案】D【解析】解：A、32+42=52，故是直角三角形，故不符合题意；B、62+82=102，故是直角三角形，故不符合题意；C、52+122=132，故是直角三角形，故不符合题意；D、52+122≠152，故不是直角三角形，故符合题意．故选：D．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．6.【答案】B【解析】解：设斜边是5k，直角边是4k，根据勾股定理，得另一条直角边是3k．∵周长为24，∴4k+5k+3k=24，解得：k=2．∴三边分别是8，6，10．所以三角形的面积公式=，故选：B．由斜边与一直角边比是5：4，设斜边是5k，则直角边是4k，根据勾股定理，得另一条直角边是3k，根据题意，求得三边的长，进而得出三角形面积即可．本题考查的是勾股定理，用一个未知数表示出三边，根据已知条件列方程即可，要求能熟练运用勾股定理．7.【答案】A【解析】解：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD=24°，∵∠A=60°，∴∠ACB=180°-60°-24°×2=72°，∵BC的中垂线交BC于点E，∴BF=CF，∴∠FCB=24°，∴∠ACF=72°-24°=48°，故选：A．根据角平分线的性质可得∠DBC=∠ABD=24°，然后再计算出∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得BF=CF，进而可得∠FCB=24°，然后可算出∠ACF的度数．此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．8.【答案】B【解析】解：∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，CF=6cm，∴△ABC的面积==2△ADC的面积=，∴CF=2DE，∴DE=3cm，故选：B．根据等腰三角形的性质和三角形的面积公式解答即可．本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，利用面积公式得出等式是解题的关键．9.【答案】40【解析】解：与80°角相邻的内角度数为100°；当100°角是底角时，100°+100°＞180°，不符合三角形内角和定理，此种情况不成立；当100°角是顶角时，底角的度数=80°÷2=40°；故此等腰三角形的底角为40°．故答案为：40．首先判断出与80°角相邻的内角是底角还是顶角，然后再结合等腰三角形的性质及三角形内角和定理进行计算．本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．10.【答案】29【解析】解：5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、12，∵5+5=10＜12，∴不能组成三角形，5是底边时，三角形的三边分别为5、12、12，能组成三角形，周长=5+12+12=29，综上所述，这个等腰三角形的周长为29．故答案为：29．分5是腰长和底边长两种情况讨论求解，再利用三角形的任意两边之和大于第三边进行判断，然后根据周长公式列式计算即可得解．本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．11.【答案】108【解析】解：∵AD=CD∴设∠DAC=∠DCA=x°，∵AB=AC=BD∴∠BDA=∠BDA=∠DAC+∠C=2x°，∠B=∠C=x°，∴∠BAC=3∠C=3x°，∵∠B+∠BAC+∠C=180°∴5x=180，∴∠C=36°∴∠BAC=3∠C=108°，故答案为：108由AD=CD得∠DAC=∠DCA，由AB=AC=BD得∠BDA=∠BAD=2∠C，∠DAC=∠C，从而可推出∠BAC=3∠C，根据三角形的内角和定理即可求得∠C 的度数，从而不难求得各个内角的度数．此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用能力；求得角之间的关系利用内角和求解是正确解答本题的关键．12.【答案】100°【解析】解：∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2=∠ABC，又∵AB=AC，∴∠C=∠ABC，∴∠C=2∠1，而∠2+∠C=180°-∠BDC，且∠BDC=120°，∴3∠1=60°，即∠1=∠2=20°，又∵∠BDC=∠A+∠1，∴∠A=∠BDC-∠1=120°-20°=100°．故答案为：100°．由在△ABC中，AB=AC，根据等边对等角，可得∠ABC=∠C，又由BD平分∠ABC，∠BDC=120°，可求得∠1的度数，然后根据三角形内角和定理，即可求得∠A的度数．此题考查了等腰三角形的性质、角平分线的定义、三角形的外角性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．13.【答案】45【解析】解：∵AD⊥BC，∴∠BDH=∠ADC=90°，在Rt△BDH和Rt△ADC中，，∴Rt△BDH≌Rt△ADC（HL），∴AD=BD，∴∠BAD=∠ABD，∵∠ADB=90°，∴∠ABC=×（180°-90°）=45°．故答案为45．求出∠BDH=∠ADC=90°，根据HL证Rt△BDH≌Rt△ADC，推出AD=BD，推出∠BAD=∠ABD即可．本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，垂直定义，全等三角形的性质和判定的应用，注意：直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．全等三角形的对应边相等，对应角相等．14.【答案】125【解析】解：∵正三角形ACD，∴AC=AD，∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，在△ABC与△AED中，∴△ABC≌△AED（SSS），∴∠B=∠E=115°，∠ACB=∠EAD，∠BAC=∠ADE，∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°-115°=65°，∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°，故答案为：125根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等，进而得出∠B=∠E，利用多边形的内角和解答即可．此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等．15.【答案】13【解析】解：∵AB2-BC2=AC2，∴∠ACB=90°，∵点E、F分别是AB、AD的中点，AB=12，AD=10，∴CE=AB=6，CF=AD=5，∵EF=2，∴△CEF的周长=CE+CF+EF=13，故答案为：13．根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根据直角三角形斜边上的中线定义斜边的一半得到CE=AB=6，CF=AD=5，于是得到结论．本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，三角形的周长的计算，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．16.【答案】4.8【解析】解：根据垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，过A作AD⊥BC，交BC于点D，∵AB=AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点，又BC=6，∴BD=CD=3，在Rt△ADC中，AC=5，CD=3，根据勾股定理得：AD==4，又∵S△ABC=BC•AD=BP•AC，∴BP===4.8．故答案为：4.8．根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当BP垂直于AC时，BP的长最小，过A作等腰三角形底边上的高AD，利用三线合一得到D为BC的中点，在直角三角形ADC中，利用勾股定理求出AD的长，进而利用面积法即可求出此时BP的长．此题考查了勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，三角形的面积求法，以及垂线段最短，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．17.【答案】130°或90°【解析】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=40°，∵点D在BC边上，△ABD为直角三角形，∴当∠BAD=90°时，则∠ADB=50°，∴∠ADC=130°，当∠ADB=90°时，则∠ADC=90°，故答案为：130°或90°．根据题意可以求得∠B和∠C的度数，然后根据分类讨论的数学思想即可求得∠ADC的度数．本题考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答．18.【答案】15【解析】解：∵CP平分∠ACB，∴∠1=∠2，∵DP∥AC，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴DP=CD，过P作PE⊥BC于E，∵PH⊥AB，BP平分∠ABC，PH=3cm，∴PE=PH=3cm，∵由勾股定理得：BH2=BP2-PH2，BE2=BP2-PE2，PH=PE，∴BH=BE，∵BH=6cm，∴BE=6cm，设DE=xcm，∵BC=15cm，∴PD=CD=（15-6-x）cm=（9-x）cm，在Rt△PED中，由勾股定理得：PE2+DE2=DP2，32+x2=（9-x）2，解得：x=4，即DE=4cm，∴BD=BE+DE=6cm+4cm=10cm，∴△BPD的面积S===15cm2，故答案为：15．过P作PE⊥BC于E，求出CD=PD，根据角平分线的性质求出PE=PH，根据勾股定理得出关于x的方程，求出x的值，再根据面积公式求出即可．本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识点，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．19.【答案】解：（1）如图，点P即为所求；（2）如图，点Q即为所求；【解析】（1）作∠BAC的平分线AM交BC于点P，点P即为所求；（2）作线段AC的垂直平分线EF交AP于点Q，点Q即为所求；本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20.【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）如图所示，点O′或点O″即为所求．【解析】（1）作出点A，B，C关于直线l的对称点，再顺次连接即可得；（2）根据等腰三角形的定义，结合网格的特点可得点O的位置．此题主要考查了轴对称变换和勾股定理以及其逆定理等知识，正确得出对应点位置是解题关键．21.【答案】证明：∵∠1=∠2，∵∠DAC+∠1=∠2+∠DAC∴∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，∠B=∠DAB=AD∠BAC=∠DAE，∴△ADE≌△ABC（ASA）．【解析】依据∠1=∠2，即可得出∠BAC=∠DAE，根据ASA证明△ADE≌△ABC即可．本题考查了全等三角形的判定，解题时注意：两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．22.【答案】证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，∴BF=CE，在△ABF和△DCE中AB=DC∠B=∠CBF=CE∴△ABF≌△DCE（SAS），∴∠GEF=∠GFE，∴EG=FG．【解析】求出BF=CE，根据SAS推出△ABF≌△DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论．本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．23.【答案】解：∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=AC2+BC2=10∵折叠∴AE=BE=5，AD=BD在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2．∴36+（8-AD）2=AD2．∴AD=254在Rt△ADE中，DE=AD2−AE2=154【解析】由题意可求AB=10，根据折叠的性质可求AD=BD，AE=5，根据勾股定理可求AD的长，再勾股定理可求DE的长．本题考查了折叠问题，勾股定理，熟练运用折叠的性质解决问题是本题的关键．24.【答案】证明：（1）∵BCD和BAE是等边三角形，∴BD=CD，BE=BA，∠DBD=60°-∠DBA=∠CBA，∴△ABC≌△EBD（SAS），∴∠ABC=∠BDE=90°，DE=AC；（2）∠CDF=180-∠BDE-∠BDC=30°，∠DCA=∠BCA-∠BCD=30°，∴CF=DF，AC=AF+CF=AF+DF，而DE=AC，∴AF=DE-DF．【解析】（1）证明△ABC≌△EBD（SAS）即可；（2）∠CDF=180-∠BDE-∠BDC=30°，∠DCA=∠BCA-∠BCD=30°，则：CF=DF，再用DE=AC，即可证明．本题考查的是全等三角形的判断与性质，主要是通过等边三角形的边角关系确定全等的三角形即可证明．25.【答案】解：（1）∵CA=CB，∠ACB=90°，∴∠A=∠ABC=45°．（2）作PH⊥AC于H，则AH=PH．∵AH2+PH2=PA2=2，∴PH=1，∴S△APC=12•AC•PH=12×4×1=2．（3）∵△ACP≌△BPD，∴AC=PB，∵AC=BC，∴BC=BP，∵∠CBP=45°，∴∠PCB=∠BPC=67.5°，∴∠ACP=90°-67.5°=22.5°．【解析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题；（2）作PH⊥AC于H，求出PH即可解决问题；（3）只要证明BC=PB，即可推出∠PCB=67.5°即可解决问题；本题考查旋转变换、等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题，属于中考常考题型．。
江苏省常州市溧阳市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题
江苏省常州市溧阳市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ A．B．C．D．A ．B ．C ．D ． 8．如图，D 为等腰Rt ABC △的斜边AB 的中点，E 为BC 边上一动点，连接ED 并延长交CA 的延长线于点F ，过D 作DH EF ⊥交AC 于G ，交BC 的延长线于H ，则以下结论：①DE DG =；②DGC DAF ∠=∠；③DF DH =；④DHC BDE ∠=∠．其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④二、填空题15．如图，已知△ABC 是等边三角形， ∠BCD ＝90°，BC ＝CD ，则∠BAD ＝16．已知一个等腰三角的两个角度数分别是22()x -︒，35()x -︒，则这个等腰三角形的顶角的度数为．17．如图，四边形ABCD 中，AB DC ∥，230AC AB BAC DAC =∠=∠=︒，，则AB 与AD 的数量关系是．三、解答题(1)求证：ADC CEB △≌△；(2)求证：CD BE ∥．21．如图，90ACB ADB ∠=∠=︒，M N ，分别是AB ，CD 的中点．(1)求证：MCN MDN ∠=∠；(2)若50AB =，48CD =，求MN 的长．22．（1）如图1，将两块全等的含30︒的直角三角板拼接成一个ABD △，则ABD △是_____三角形，写出AB 与BC 的数量关系；（2）如图2，将三块全等的含30︒的直角三角板拼接成如图所示的四边形，连接BE ，若2AB =，求BE 的长．23．2023年9月5日，台风“海葵”在福建东山登陆，台风中心由东向西沿MN 路线直插内地（如图所示）．市坐落在这条笔直路线MN 的一侧点A 处，到登陆路线MN 的距离AB为600公里，假使台风中心P 周围1000公里以内均能被台风影响；台风中心P 以200公里/小时的速度在登陆路线MN 上沿PN 方向行进时，请问该市是否会受台风影响?若能，请求出该市总共影响多长时间若不能，请说明理由．24．如图，在正方形的网格中，点A 、B 、C 均在格点上．(1)若小正方形的边长为1，则BC =______，AC = ______．(2)仅用无刻度的直尺完成以下作图，画图过程用虚线表示．①在图1中，在AC 上找一点E ，使得BE 是ABC ∠的角平分线；②在图2中，点．P 为线段．．．BC 与网格线的交点．．．．．．．，分别在线段AC AB 、上画M 、N ，连接PM MN 、，使得PM MN +最小．25．如图，长方形ABCD 中，点P 在DC 边上，分别以AP BP 、为折线将D 、C 向AB 的方向折过去，使点D 落在点E 处，点C 落在点F 处；若P 、E 、F 在一直线上．(1)APB ∠= _______°；(2)若21AD DP ==，，求AB 的长；(3)若AD a AB b ==，()2a >，求EF 的长（用含a 、b 的代数式表示）．。
江苏省常州市北郊初级中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题
江苏省常州市北郊初级中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．．下列各式中，正确的是（．93±=±B ．(-393-=-．已知ABC 的三条边分别为，三个内角分别为A ∠、列条件的ABC 不是直角三角形的是（．=1a ，2b =，3c =222a cb -=C ．∠．A B C∠-∠=∠．已知()ABC AC BC <△，用尺规作图的方法在BC 上确定一点则符合要求的作图痕迹是（．．C ．D ．．下列命题：①到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；②角是轴对称图形，对称轴是角平分线；③有两个内角相等的三角形是等腰三角形；④其中真命题的个数为（）A．BC BD=7．如图，长方形ABCD长为半径作弧交数轴于点A．101-B．5-8．如图，边长为a的等边ABC中，在AD的右侧作等边ADEV，连接A．1223a b+B．12a+二、填空题9．2的平方根是.10．一个正数的两个平方根分别是11．等腰三角形的一个角是100︒12．一个三角形两条边长为3和13．有一个数值转换器，原理如下：当输入的14．如图，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，2AD =，BC 则BCD △的面积为．15．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝50°，以点弧，交AB 于点D ，连接CD ，则∠ACD 的度数是16．点A ，B ，C ，D ，E 是如图所示的正方形网格中网格线的交点，则︒．17．勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形正方形MNKT 的面积分别为213S S S ++=．18．如图，在Rt ABC △中，906C BC AB ∠=︒==，，在边AC 上，将ADM △沿DM 所在的直线翻折，点么CE =．三、解答题19．计算．(1)()()()0223520231-+--；(2)325168-+--20．求x 的值：21．利用网格作图。
2023-2024学年江苏省常州市天宁区第二十四中学八年级上学期期中数学试题
2023-2024学年江苏省常州市天宁区第二十四中学八年级上学期期中数学试题1.我国杨秉烈先生在上世纪八十年代发明了繁花曲线规画图工具，利用该工具可以画出许多漂亮的繁花曲线，繁花曲线的图案在服装、餐具等领域都有广泛运用．下面四种繁花曲线中，是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2.下列数组中，能构成勾股数的是（）A ．1，1，B ．，，C ．6，8，10D ．，，3.如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为（）A ．B ．C ．D ．4.如图，已知，点是其中一边上的点，用尺规作图的方法在另一边上确定一点，使是等腰三角形，则作图痕迹不符合要求是（）A ．B ．C ．D ．5.如图，三条公路把A 、B 、C 三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）A ．在、两边高线的交点处B ．在、两内角平分线的交点处C．在、两边中线的交点处D．在、两边垂直平分线的交点处6.若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足+|b﹣4|=0，则该直角三角形的第三边长为（）A．5B．C．4D．5或7.下列说法中，正确的是（）A．如果两个三角形全等，则它们必是关于某直线成轴对称的图形B．等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形C．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形D．线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形8.如图，在中，，，面积是24，的垂直平分线分别交、边于、点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（）A．8B．10C．12D．149.16的算术平方根是___________．10.如图，已知，，要使，还需添加的条件是_______（只需填一个）．11.如图，与关于直线对称，则的度数为____．12.已知一个正数的两个平方根分别是x和，则这个正数等于______．13.如图，在中，，点D为边的中点，，则________．14.等腰三角形的两条边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长是______．15.如图，为内任意一点，分别画出点关于，的对称点，，连接．交于点，交于点．若，则的周长为__________．16.如图，已知，的平分线与的平分线相交于点，于点，若，则两平行线与间的距离为__________．17.如图，长方形的长和宽分别、，、分别是两边上的点，将四边形沿直线折叠，使点落在点处，则图中阴影部分的周长为__________．18.如图，在中，，，是的中点，如果在和上分别有一个动点、在移动，且在移动时保持．若，则最小值为__________．19.求下列各式中的值：(1)；(2)．20.方格纸中每个小方格都的边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．(1)在图1中确定格点，并画出一个以、、、为顶点的四边形，使其为轴对称图形；(2)在图2中画一个格点正方形，使其面积等于17．21.已知：如图，AB、CD相交于点E，且E是AB、CD的中点．求证：．22.如图，已知在中，，，，，，求的面积．23.如图，在中，，D是上的一点，，过点D作的垂线交于点E，连接、．(1)求证：垂直平分；(2)若，求证：是等边三角形．24.【概念呈现】：当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”；当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”．(1)【概念理解】如图①，若，，，则四边形__________（填“是”或“否”）真等腰直角四边形；(2)【性质应用】如图①，如果四边形是真等腰直角四边形，且，对角线是这个四边形的真等腰直角线，当，时，__________；(3)【深度理解】如图②，四边形与四边形都是等腰直角四边形，且，，，对角线、分别是这两个四边形的等腰直角线，试说明与的数量关系，并说明理由．25.（1）如图1，四边形的对角线、交于点，．证明：．（2）如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，连结、、．①，，求的值．②若分别取，的中点、，连接，，，判断的形状为__________．（3）如图3，对于任意，以和为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，连结、、，分别取，的中点、，连接，，，则②的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．。
江苏省常州市2022-2023学年八年级上学期期中数学试题
江苏省常州市2022-2023学年八年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图形是几家电信公司的标志，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列条件中，不能判断ABC为直角三角形的是（）A．2221,2,3a b c===B．::3:4:5a b c=C．A C B∠+∠=∠D．::3:4:5A B C∠∠∠=3．如图，△ABC是等边三角形，P为BC上一点，在AC上取一点D，使AD＝AP，且∠APD＝70°，则∠PAB的度数是()A．10°B．15°C．20°D．25°4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（）A．5B．6C．12D．135．如图是一个平分角的仪器，其中,AB AD BC DC==．将点A放在角的顶点，AB和AD 沿着角的两边固定，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线．此仪器的原理是（）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS 6．如图，P 为ABC 内一点，过点P 的线段MN 分别交AB 、BC 于点M 、N ，且M 、N 分别在PA 、PC 的中垂线上．若80ABC ∠=︒，则APC ∠的度数为（）A ．120︒B ．125︒C ．130︒D ．135︒7．如图，ABC 的面积为212cm ，AP 垂直于ABC ∠的平分线BP 于P ，则PBC 的面积（）A ．29cmB ．28cmC ．26cmD ．25cm 8．如图，ABC 中，4,5,6AB BC AC ===，D 、E 分别是线段AB 和线段BC 上的动点，且BD DE =，F 是线段AC 上一点，且EF FC =，则DF 的最小值为（）A ．3B ．2.5C ．2D ．4二、填空题9．在ABC 中，90,15,12C AB BC ∠=︒==，则AC =______．10．在ABC 中，1068AB AC BC ===，，，D 是AB 边的中点，则CD =______．11．ABC 中，AB BC =，且80A ∠=︒，则B ∠大小为______︒．12．等腰三角形腰长为5cm ，周长为16cm ，则该等腰三角形的底边长为______cm ．13．如图，点P 是AOB ∠内一点，PE OA ⊥，PF OB ⊥，垂足分别为E 、F ，若PE PF =，且70OPF ∠=︒，则AOB ∠的度数为_________°．14．如图，AD 是ABC 的高，70AD BD BE AC BAC ==∠=︒，，，则DBE ∠大小为_____︒．15．如图，点C 是线段AB 上的一点，分别以AC BC 、为边向两侧作正方形．设6AB =，两个正方形的面积和1220S S +=，则图中BCD △的面积为_____．16．如图，将ABC 绕点A 逆时针旋转到ADE V 的位置，B 、D 、C 在一条直线上．若70B ∠=︒，则BAD ∠的大小为_____︒．17．如图，在ABC 中，4,60,AB BC ACB BD ==∠=︒是ABC ∠的平分线，若M 、N 分+取最小值时，BN的值是____．别是BD和BC上的动点，当CM MN18．如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点为格点，点A，∠-∠=__________．B，C为格点，点D为AC与网格线的交点，则ADB ABD三、解答题∆关于MN对称的图形△(1)作出与ABC(2)若小正方形的边长为1，则20．如图，AC=DC，BC=EC21．如图，∠ADB＝∠ADC（1）求证：AB＝AC；（2）连接BC，求证：AD22．如图，ABC 中，,120AB AC BAC =∠=︒．点D ，E 在BC 边上，且,AD AC AE AB ⊥⊥．(1)求C ∠的度数；(2)求证：ADE V 是等边三角形．23．如图，在四边形ABCD 中，201572490AB BC CD AD B ====Ð=°，，，，．(1)求证：CD AD⊥(2)求四边形ABCD 的面积．24．如图，ABC 中，,AB AC =AD 、CE 是高，连接DE ．(1)求证：DE BD =；(2)若50BAC ∠=︒，求BED ∠的度数．25．如图，A 、B 两点分别在射线,OM ON 上，点C 在MON ∠的内部，且AC BC =，,CD OM CE ON ⊥⊥，垂足分别为D ，E ，且AD BE =．(1)求证：OC 平分MON ∠；(2)若3,4AD BO ==，求AO 的长．26．如图，在ABC 中，90106∠=︒==，，ACB AB BC ，点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A B C --运动，运动到点C 时停止．设点P 的运动时间为t 秒（0t >）．(1)求斜边AB 上的高．(2)①当点P 在BC 上时，PC 的长为_______．（用含t 的代数式表示）②若点P 在BAC ∠的角平分线上，则t 的值为_______．(3)在整个运动过程中，直接写出PBC 是等腰三角形时t 的值．。
江苏省常州市天宁区正衡中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷(含解析)
2023-2024学年江苏省常州市天宁区正衡中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题2分，共16分）1．（2分）2023年9.23﹣10.8日，19届亚运会在杭州如火如荼地进行，运动健儿们摘金夺银，全国人民感受到一波强烈的民族自豪感．下列图案表示的运动项目标志中，是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．（2分）满足下列条件的△ABC是直角三角形的是（ ）A．BC＝2，AC＝3，AB＝4B．BC＝2，AC＝3，AB＝3C．BC：AC：AB＝3：4：5D．∠A：∠B：∠C＝3：4：53．（2分）据统计，2020年国家公务员考试最终过审人数达1437000人，数据1437000精确到万位，并用科学记数法可表示为（ ）A．144×104B．1.44×106C．1.44×104D．1.43×106 4．（2分）估计2+的值在（ ）A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间5．（2分）如图，小亮和小明分别用尺规作∠APB的平分线PQ，则关于两人的作图方法，下列判断正确的是（ ）A．小亮、小明均正确B．只有小明正确C．只有小亮正确D．小亮、小明均不正确6．（2分）三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（ ）A．三条角平分线的交点B．三边中线的交点C．三边上高所在直线的交点D．三边的垂直平分线的交点7．（2分）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）A．22023B．22024C．2023D．20248．（2分）如图所示，边长为2的等边三角形ABC中，D点在边BC上运动（不与B、C重合），点E在边AB的延长线上，点F在边AC的延长线上，AD＝DE＝DF．点D在BC 边上从B至C的运动过程中，△BED周长变化规律为（ ）A．不变B．一直变小C．先变大后变小D．先变小后变大二、填空题（每小题2分，共20分）9．（2分）4的平方根是 ．10．（2分）已知点M（2a﹣1，a+2）在x轴上，则点M到y轴的距离为 ．11．（2分）如图所示，两个三角形全等，则∠1的度数为 °．12．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB＝5，AC＝4，则△ADE的周长为 ．13．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若CD＝2，AB＝5，则△ABD 的面积为 ．14．（2分）如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，点E为AB的中点，AD＝6，DE＝5，则线段BD的长等于 ．15．（2分）如图，∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2，则OD2＝ ．16．（2分）如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为10，小正方形面积为4，则（a+b）2的值为 ．17．（2分）如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，AE平分∠BAC，BE⊥AE，且BE ＝3．则△ABD的面积是 ．18．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，点E为BC上一点，连接AE，∠BAE＝∠CAD，连接DE．下列结论中正确的是 ．（填序号）①AC⊥DE；②∠ADE＝∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE＝CE+2BE．三、解答题19．（4分）计算：．20．（4分）求x的值：4（x﹣2）2＝16．21．（8分）如图，A，B，C，D是同一条直线上的点，AC＝BD，AE∥DF，∠1＝∠2．求证：BE＝CF．22．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）．（1）在平面直角坐标系中画出△ABC；（2）若将点C向左平移6个单位到点D，则点D的坐标为 ；（3）在（2）的条件下，在x轴上存在点E，使得CE+DE最小，则点E的坐标为 ；（4）将点C绕着原点逆时针旋转90°到点F，则点F的坐标为 ．23．（8分）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝5千米，CH＝4千米，HB＝3千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：CH与AB是否垂直？）请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC的长．24．（10分）（1）如图1，已知以△ABC的边AB、AC分别向外作等腰直角△ABD与等腰直角△ACE，∠BAD＝∠CAE＝90°，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC 交BE于点G，求证：BE＝DC，且BE⊥DC．（2）探究：若以△ABC的边AB、AC分别向外作等边△ABD与等边△ACE，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于G，如图2，则BE与DC还相等吗？若相等，请证明，若不相等，说明理由；并请求出∠BOD的度数？25．（10分）大家知道是无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即2＜＜3，∴的整数部分为2，小数部分为﹣2．（1）整数部分是 ，小数部分是 ；（2）如果的整数部分为a，的整数部分为b，求7a+2b的立方根；（3）已知9+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的值．26．（12分）如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4．（1）试说明：△ABC是等腰三角形；（2）已知，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），①若△DMN的边与BC平行，求t的值；②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，直接写出t的值；若不能，请说明理由．2023-2024学年江苏省常州市天宁区正衡中学八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共16分）1．（2分）2023年9.23﹣10.8日，19届亚运会在杭州如火如荼地进行，运动健儿们摘金夺银，全国人民感受到一波强烈的民族自豪感．下列图案表示的运动项目标志中，是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意；故选：B．2．（2分）满足下列条件的△ABC是直角三角形的是（ ）A．BC＝2，AC＝3，AB＝4B．BC＝2，AC＝3，AB＝3C．BC：AC：AB＝3：4：5D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5【解答】解：A．若BC＝2，AC＝3，AB＝4，则BC2+AC2≠AB2，故△ABC不是直角三角形；B．若BC＝2，AC＝3，AB＝3，则BC2+AC2≠AB2，故△ABC不是直角三角形；C．若BC：AC：AB＝3：4：5，则BC2+AC2＝AB2，故△ABC是直角三角形；D．若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则∠C＝180°×＝75°＜90°，故△ABC不是直角三角形．故选：C．3．（2分）据统计，2020年国家公务员考试最终过审人数达1437000人，数据1437000精确到万位，并用科学记数法可表示为（ ）A．144×104B．1.44×106C．1.44×104D．1.43×106【解答】解：1437000≈1440000＝1.44×106．故选：B．4．（2分）估计2+的值在（ ）A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间【解答】解：∵2＜3，∴4＜2+＜5，故选：C．5．（2分）如图，小亮和小明分别用尺规作∠APB的平分线PQ，则关于两人的作图方法，下列判断正确的是（ ）A．小亮、小明均正确B．只有小明正确C．只有小亮正确D．小亮、小明均不正确【解答】解：如图，PE＝PF，EC＝FC，PC＝PC，∴△EPC≌△FPC（SSS），∴∠EPC＝∠FPC；∴小亮作图正确；由作图可知PE＝PF，∵C是线段PE，PF垂直平分线，∴PC＝CE＝CF，∴△EPC≌△FPC（SSS），∴∠EPC＝∠FPC，小明作图正确；故选：A．6．（2分）三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（ ）A．三条角平分线的交点B．三边中线的交点C．三边上高所在直线的交点D．三边的垂直平分线的交点【解答】解：∵三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，∴为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的三边的垂直平分线的交点，故选：D．7．（2分）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）A．22023B．22024C．2023D．2024【解答】解：由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积＝1∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，……∴“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2024，故选：D．8．（2分）如图所示，边长为2的等边三角形ABC中，D点在边BC上运动（不与B、C重合），点E在边AB的延长线上，点F在边AC的延长线上，AD＝DE＝DF．点D在BC 边上从B至C的运动过程中，△BED周长变化规律为（ ）A．不变B．一直变小C．先变大后变小D．先变小后变大【解答】解：∵AD＝DE＝DF，∴∠DAE＝∠DEA，∠DAF＝∠DFA，∵∠DAE+∠DAF＝∠BAC＝60°，∴∠DEA+∠DFA＝60°，∵∠ABC＝∠DEA+∠EDB＝60°，∴∠EDB＝∠DFA，∵∠ACB＝∠CFD+∠CDF＝60°，∴∠CDF＝∠BED，且∠EDB＝∠DFA，DE＝DF，∴△BDE≌△CFD（AAS），∴BD＝CF，BE＝CD，∴△BED周长＝BD+BE+DE＝BD+CD+AD＝BC+AD，∴点D在BC边上从B至C的运动过程中，∴AD的长先变小后变大，∴△BED周长先变小后变大，故选：D．二、填空题（每小题2分，共20分）9．（2分）4的平方根是 ±2 ．【解答】解：∵22＝4，（﹣2）2＝4，∴4的平方根为±2，故答案为：±2．10．（2分）已知点M（2a﹣1，a+2）在x轴上，则点M到y轴的距离为 5 ．【解答】解：∵点M（2a﹣1，a+2）在x轴上，∴a+2＝0，解得a＝﹣2，∴2a﹣1＝﹣2﹣1＝﹣5，∴点M到y轴的距离为|﹣5|＝5．故答案为：5．11．（2分）如图所示，两个三角形全等，则∠1的度数为 62 °．【解答】解：∵两个三角形全等，∴∠1＝62°，故答案为：62．12．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB＝5，AC＝4，则△ADE的周长为 9 ．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，∵DE∥BC，∴∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠OCB，∴∠ABO＝∠DOB，∠ACO＝∠EOC，∴DB＝DO，EO＝EC，∵AB＝5，AC＝4，∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+DO+OE+AE＝AD+DB+EC+AE＝AB+AC＝9，故答案为：9．13．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若CD＝2，AB＝5，则△ABD 的面积为 5 ．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝CD＝2，∴△ABD的面积＝AB•DE＝×5×2＝5．故答案为：5．14．（2分）如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，点E为AB的中点，AD＝6，DE＝5，则线段BD的长等于 8 ．【解答】解：∵BD⊥AC于D，点E为AB的中点，∴AB＝2DE＝2×5＝10，∴在Rt△ABD中，BD＝＝＝8．故答案为：8．15．（2分）如图，∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2，则OD2＝ 7 ．【解答】解：∵∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2，∴OB2＝OA2+AB2＝22+12＝5；同理，OC2＝OB2+BC2＝5+1＝6，∴OD2＝OC2+CD2＝6+1＝7．故答案为：7．16．（2分）如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为10，小正方形面积为4，则（a+b）2的值为 16 ．【解答】解：设直角三角形的斜边为c，则c2＝a2+b2＝10，（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝4，∴2ab＝10﹣4＝6，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝10+6＝16，故答案为：16．17．（2分）如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，AE平分∠BAC，BE⊥AE，且BE ＝3．则△ABD的面积是 9 ．【解答】解：分别延长AC、BE交于点F，如图：∵AE平分∠CAB，∴∠EAB＝∠EAF，∵BE⊥AE，∴∠AEB＝∠AEF＝90°，在△ABE与△AFE中，，∴△ABE≌△AFE（ASA），∴BE＝FE，∴BF＝2BE＝6，∵∠ACB＝∠AEB＝90°，∠ADC＝∠EDB，∴∠CAD＝∠CBF，在△ACD与△BCF中，，∴△ACD≌△BCF（ASA），∴AD＝BF＝6，∴△ABD的面积＝•AD•BE＝×6×3＝9．故答案为：9．18．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，点E为BC上一点，连接AE，∠BAE＝∠CAD，连接DE．下列结论中正确的是 ②③④ ．（填序号）①AC⊥DE；②∠ADE＝∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE＝CE+2BE．【解答】解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M，∵∠ABC＝90°，∴AB⊥GE，∴AB垂直平分GE，∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE，∴∠BAE＝∠GAE，∵∠BAE＝∠CAD，∴∠GAE＝∠CAD，∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，∴∠GAC＝∠EAD，在△GAC与△EAD中，，∴△GAC≌△EAD（SAS），∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，∴②是正确的；∵AG＝AE，∴∠G＝∠AEG＝∠AED，∴AE平分∠BED，当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE，当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，∴①是不正确的；设∠BAE＝x，则∠CAD＝2x，∴∠ACD＝∠ADC＝×（180°﹣2x）＝90°﹣x，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x，∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝90°﹣x﹣x＝90°﹣2x，∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°﹣2x+2x＝90°，∴AE⊥AD，∴③是正确的；∵△GAC≌△EAD，∴CG＝DE，∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，∴DE＝CE+2BE，∴④是正确的，故答案为：②③④．三、解答题19．（4分）计算：．【解答】解：原式＝3+6+2＝11．20．（4分）求x的值：4（x﹣2）2＝16．【解答】解：4（x﹣2）2＝16，则（x﹣2）2＝4，∴x﹣2＝±2，解得：x＝4或x＝0．21．（8分）如图，A，B，C，D是同一条直线上的点，AC＝BD，AE∥DF，∠1＝∠2．求证：BE＝CF．【解答】证明：∵AC＝AB+BC，BD＝BC+CD，AC＝BD，∴AB＝DC，∵AE∥DF，∴∠A＝∠D，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（ASA），∴BE＝CF．22．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）．（1）在平面直角坐标系中画出△ABC；（2）若将点C向左平移6个单位到点D，则点D的坐标为 （﹣2，3） ；（3）在（2）的条件下，在x轴上存在点E，使得CE+DE最小，则点E的坐标为 （1，0） ；（4）将点C绕着原点逆时针旋转90°到点F，则点F的坐标为 （﹣3，4） ．【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求．（2）由题意得，点D的坐标为（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．（3）如图，取点D关于x轴的对称点D'，连接D'C，交x轴于点E，连接DE，此时CE+DE最小，则点E的坐标为（1，0）．故答案为：（1，0）．（4）由旋转的性质，画出点F如图所示，∴点F的坐标为（﹣3，4）．故答案为：（﹣3，4）．23．（8分）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝5千米，CH＝4千米，HB＝3千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：CH与AB是否垂直？）请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC的长．【解答】解：（1）CH是为从村庄C到河边的最近路，理由如下：∵42+32＝52，∴CH2+BH2＝BC2，∴△BCH是直角三角形，且∠CHB＝90°，∴CH⊥AB，∴CH是从村庄C到河边的最近路；（2）设AC＝x千米，则AB＝x千米，∴AH＝AB﹣HB＝（x﹣3）千米，在Rt△ACH中，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2，即x2＝（x﹣3）2+42，解得：x＝，答：原来的路线AC的长为千米．24．（10分）（1）如图1，已知以△ABC的边AB、AC分别向外作等腰直角△ABD与等腰直角△ACE，∠BAD＝∠CAE＝90°，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC 交BE于点G，求证：BE＝DC，且BE⊥DC．（2）探究：若以△ABC的边AB、AC分别向外作等边△ABD与等边△ACE，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于G，如图2，则BE与DC还相等吗？若相等，请证明，若不相等，说明理由；并请求出∠BOD的度数？【解答】（1）证明：∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形（已知）∴AB＝AD，AE＝AC（等腰直角三角形定义）又∵∠BAD＝∠CAE＝90°（已知）∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠DAC＝∠BAC，∴△ABE≌△ADC∴BE＝DC（全等三角形的对应边相等）∠ABE＝∠ADC（全等三角形的对应角相等）又∵∠BFO＝∠DFA，∠ADF+∠DFA＝90°（直角三角形的两个锐角互余）∴∠ABE+∠BFO＝90°（等量代换）∴∠BOF＝∠DAF＝90，即BE⊥DC．（2）解：结论：BE＝CD．理由：如图2，∵以AB、AC为边分别向外做等边△ABD和等边△ACE，∴AD＝AB，AE＝AC，∠ACE＝∠AEC＝60°，∠DAB＝∠EAC＝60°，∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴CD＝BE，∠BEA＝∠ACD，∴∠BOC＝∠ECO+∠OEC＝∠DCA+∠ACE+∠OEC＝∠BEA+∠ACE+∠OEC＝∠ACE+∠AEC＝60°+60°＝120°．∴∠BOD＝60°．25．（10分）大家知道是无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即2＜＜3，∴的整数部分为2，小数部分为﹣2．（1）整数部分是 6 ，小数部分是 ﹣6 ；（2）如果的整数部分为a，的整数部分为b，求7a+2b的立方根；（3）已知9+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的值．【解答】解：（1）∵36＜37＜49，∴6＜＜7，即整数部分是6，小数部分是﹣6，故答案为：6；﹣6；（2）∵9＜11＜15＜16，∴3＜＜＜4，∴a＝3，b＝3，则7a+2b＝7×3+2×3＝27，那么7a+2b的立方根为3；（3）∵4＜5＜9，∴2＜＜3，∴11＜9+＜12，∵9+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，∴x＝11，y＝9+﹣11＝﹣2，那么x﹣y＝11﹣+2＝13﹣．26．（12分）如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4．（1）试说明：△ABC是等腰三角形；（2）已知，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），①若△DMN的边与BC平行，求t的值；②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，直接写出t的值；若不能，请说明理由．【解答】（1）证明：设BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，则AB＝BD+AD＝5x，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC＝＝5x，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：①∵S△ABC＝×5x×4x＝90cm2，x＞0，∴x＝3cm，∴BD＝6cm，AD＝9cm，CD＝12cm，AC＝15cm．∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，当MN∥BC时，∠ANM＝∠ACB，∠AMN＝∠B，若△DMN的边与BC平行，∴∠ANM＝∠AMN，∴AM＝AN，即15﹣t＝t，∴t＝7.5；当DN∥BC时，同理得：AD＝AN＝9cm，∴t＝9；综上所述，若△DMN的边与BC平行时，t值为7.5或9；②△MDE能成为等腰三角形，理由如下：∵BD＝6cm，AD＝9cm，CD＝12cm，AC＝15cm，点E是边AC的中点，∴DE＝AE＝CE＝7.5cm，当点M在BD上，即0≤t＜6时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE，当t＝6时，点M运动到点D，不构成三角形，当点M在DA上，即6＜t≤15时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．如果DE＝DM，则t﹣6＝7.5，∴t＝13.5；如果ED＝EM，则点M运动到点A，∴t＝15；如果MD＝ME＝t﹣6，如图，过点E作EF⊥AD于F，∵DE＝AE，EF⊥AD，∴AF＝DF＝4.5，在Rt△AEF中，EF2＝AE2﹣AF2＝7.52﹣4.52＝36，∴EF＝6（负值已舍去），∵BM＝t，BF＝BD+DF＝6+4.5＝10.5，∴MF＝t﹣10.5，在Rt△EMF中，EF2+MF2＝EM2，∴62+（t﹣10.5）2＝（t﹣6）2，∴t＝12.25，综上所述，符合要求的t值为13.5或15或12.25．。
江苏省常州市八年级上学期期中数学试卷
江苏省常州市八年级上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）以下轴对称图形中，对称轴条数最少的是（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·港南模拟) 下列运算正确的是（）A . ﹣3a+a=﹣2aB . a6÷a3=a2C . + =10D . （﹣2a2b3）2=4a4b53. （2分） (2017八上·康巴什期中) 点P（4,5）关于y轴对称点的坐标是（）A . （-4，-5）B . （-4，5）C . （4，-5）D . （4，5）4. （2分）(2019·葫芦岛) 如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（）A . 70°B . 55°C . 45°D . 35°5. （2分）如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（）A . POB . PQC . MOD . MQ6. （2分） (2018八上·无锡期中) 如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（）A . 80°B . 70°C . 60°D . 50°7. （2分）如下图，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，不正确的等式是（）A . AB=ACB . ∠BAE=∠CADC . BE=DCD . AD=DE8. （2分） (2017七下·石景山期末) 下列运算正确的是（）A .B .C .D .9. （2分）如图，等腰梯形ABCD的对角线AC、BD相交于O，则图中共有全等三角形（）A . 1对B . 2对C . 3对D . 4对10. （2分） (2018八上·焦作期末) 小莹和小博士下棋小莹执圆子，小博士执方子如图，棋盘中心方子的位置用表示，左下角方子的位置用表示，小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形，她放的位置是A .B .C .D .11. （2分） (2016九上·仙游期末) 如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心。