第三章 统计参数

刻划变量出现（一组数据）的分散程度
，即数据分布的离散程度。
第一节 集中量数
• • • • 一、众数 二、中数 三、算数平均数 四、其他集中量数 （一）几何平均数 （二）加权平均数 （三）调和平均数
一、众数（Mode）
1、定义
又称密集数、通常数，符号Mo，它指在 一组数中出现次数最多的那个数。 2、计算方法 直接找出现次数最多的那个数。
■例2 [时间固定]
在一个学习实验中，统计了6名被试在2个
小时内完成的解题量，依次为24题、 20题、 16题、12题、 8题、 4题，试问这6名被试 每小时的平均解题量是多少？
■ 例子
三个不同被试对某词的联想速度如下表，
求三个被试的平均联想速度。
被试
A B
联想词数
13 13
wenku.baidu.com时间（分）
2 3
C
13
二、中数（Median）
1、定义
又称中位数，符号Mdn,是指位于一组数 据中较大一半与较小一半中间位置的那个
数。中数所处的位置以表示。
■注：这个数可能是数据中的某一个，也 可能根本不是原有的数据。
2、计算方法及分类
⑴ 未分组数据求中数的方法（无重复数据）
是将数据依大小次序排列： ◆若数据个数为奇数，则取数列中间的 那个数为中数； ◆若数据个数为偶数，则取中间两个数 的平均数为中数。
■例子
３、６、７、7、7、9、20、60
3、皮尔逊经验公式（数据偏态分布）
M
o
3Mdn 2 X
皮尔逊经验法只有当次数分布呈现正态或接近正态时， 才能使用。
4、应用范围 ◆一组数据出现不同质的情况 ◆一组数据中出现极端数据，也用众数 作为集中量数的粗略估计。 ◆当数据属于称名变量时我们必须使用众数。
x
i
CX
4、平均数的意义
应用最广泛的一种集中量数。是总体均
值（或“真值”）的最佳估计。
X n
依概率1

■通俗的理解
设共有n个观察数据，第i个为 X i ，设真
值或总体均值为 ，则有：
观察值与真值的差为：
d i X
i

d X
i
i
n
d
n
i
X
n
d
n
i
■例
①求数据３、６、７、9、20的中数；
②求数据３、６、７、9、20、60的中数；
⑵ 未分组数据求中数的方法（有重复数据）
■例子
求数据11、11、11、11、13、13、13、 17、17的中数；（数据个数为奇数）
4 4 12.5 13 13.5
■例子
求数据11、11、11、11、13、13、13、
二、平均差（average deviation）
1、平均差公式（以符号AD表示）
设一组原始数据为
x , x ,, x
1 2
i
n
，
则计算平均差的公式：
X A.D.
i
X
n
x
n
■ xi 是离均差；
■例
有5个被试的错觉实验数据如下，求其平均
差？
1 2 3 4 5 被 试 错觉量（单位：毫秒） 16 18 20 22 17
表3-1 利用公式求分组次数表中中数
组限
65— 60— 55— 50— 45— 40— 35— 次 数 3 4 11 13 8 6 3
自下而 自上而下 上累积 累积次数 次数
i N Md Lb Fb f 2 5 48 49.5 17 13 2 52.19 i N Md La Fa f 2 5 48 54.5 18 13 2 52.19
上一个常数C则所得到的新数组的平均数为原
来数组的平均数加上常数C，即：
1 n C) X C ( x i n i 1
③性质3
给一组数据中
x , x ,, x
1 2
n
的每一个数乘
上一个常数C，则所得到的新数组的平均数 为原来数组的平均数（设为 X ）乘以常数 C，即：
1 n C n i 1
f
Md
◆ Lb 为中数所在组的精确下限；
◆ F b 为中数所在组以下各组的累积次数；
◆ f Md 为中数所在组数据的个数；
◆ i 为组距；
■等价公式2
Md La
◆
N F a 2 i
f
Md
L 为中数所在组的精确上限； ◆ F 为中数所在组以上各组的累积次数；
a a
◆ f Md 为中数所在组数据的个数；
数的一定百分比。第m位百分位数就是指
在数值Q以下包含了分布中全部数据的百
分之m，这个Q就是第m位百分位数。记
作Pm。 ？P50表示什么。
⑵计算公式（次数分布表数据）
1.00 .98 .95 .91 .83 .72 .55
76~
77
||||| ||||| ||||
14
.14
36
.36
3、算术平均数的性质
①性质1
一组数据 x1 , x2 ,, xn 中每一个数与 平均数之差（称为离均差）的总和等于 0，即：
(x
i 1
n
i
X) 0
②性质2
给一组数据 x1 , x2 ,, xn 中的每一个数加
◆估计数据次数分布是否呈偏态；
估计指标
M-Mo>0，正偏态
M-Mo<0，负偏态
7、平均数、中数、众数的关系
⑴正态分布 ⑵偏态分布
Mo
Mdn
M
M
Mdn
Mo
四、其他几种集中量数 （一）几何平均数 1、几何平均数计算
⑴统计学表示法： X g 或 Mg
⑵计算公式
设有一组观察数据
则公式为：
n Xg
x , x ,, x ，

N

1
X
i
■N为数据个数
X
i
是第i个观察数据，或第i个变量值；
2、调和平均数适用范围
调和平均数在描述速度方面的集中趋势
时，优于其他平均数。 ◆工作量固定，记录被试完成相同工作量 所需时间 ◆时间量固定，记录被试完成的工作量
■例1 [工作量固定]
有一学生15分钟学会生词30个，后10分钟学会
生词也是30个，问该生平均学习速度是多少？
欲研究介于
s
1
与
s
2
两感觉之间的感觉的
物理刺激是多少，随机抽取10个被试，让其 调节一个可变的物理量的刺激量，使所产生
的感觉恰好介于 s1 与 s2 之间，然后测量所调
节的物理量，结果如下： 5.7、6.2、6.7、6.9、7.5、8.0、7.6、10.0 、15.6、18.0。求介于
s
1
与
s
2
之间的感
第二章 常 用 统 计 参 数
分布表与分布图在表示变量观察数据分布 时存在先天缺陷。这种缺点可以利用随机变 量分布的数字特征得以克服。
[问题]反映变量次数分布特征主要有哪些呢？
1、集中趋势
指的是数据分布中大量数据向某方向集
中的程度。用以刻划集中程度的统计量，
即集中量数。（平均数等）
2、离中趋势 （离散性）
X甲 100cm X 100cm 甲
X X 100cm 乙 100cm 乙 X丙 X 100cm 丙 100cm
R甲 20cm R乙 8cm R丙 8cm
优点：简便，应用广泛，如说明传染病、食物
中毒的最短、最长潜伏期等。
缺点：只利用了最大值和最小值两个极端值，
不能反映组内其他数据的变异度，且受样本含 量的影响较大。
②观察数据整理成次数分布表后平均的计算
X

f N
X
c
■注
◆公式隐含了观察数据在各分组区间均 匀散布的假设； ◆
X 、f分别是各分组区间的组中值与
c
相应次数
88名高考考生数学成绩统计结果
分组区间 组中值 划记 次数 相对次数 (频率) 累加次 数 累积相对次数
97~ 94~ 91~ 88~ 85~ 82~ 79~
17、17、18的中数；（数据个数为奇数）
5 4 12.5 13 13.5
⑶ 分组数据求中数的方法
①分组数据的中数
当观察数据整理成次数分布表以后， 中数的求取也是取序列中将N（观察数 据总数）平分为两半的那点作为中数。
②中数的计算公式
i、分组次数分布表中数公式
Md Lb
N F b 2 i
一、全距（Range）
又称极差，即一组变量值的最大值与最 小值之差。 R X X
max min
例：三组同龄男孩的身高值(cm)
90 95 105110 110 甲组： 90 95 100 100 105 甲组： 96 98 102104 104 96 98 100 100 102 乙组： 乙组： 96 99 101104 104 96 99 100 100 101 丙组： 丙组：
AD 1.92
2、评价
①它是一个能较好地刻划数据分布离散
程度的差异量数； ②不足之处是它利用了绝对值以致不便于 作进一步代数演算，故其实际应用上被 方差或标准差取代；
三、百分位差
1、百分位差/百分位数（percentile） （1）内涵：
它指的是量尺上的一个点（数），在
此点以下，包括数据分布中全部数据个
1 2 n
x x ... x
1 2
n
2、适用场合 （1）直接应用基本公式计算几何平均数
①当一组数据中存在极端数据，分布呈偏 态时； ②在心理物理学的等距与等比量表实验中，只能用几何 平均数。
（2）一组数据彼此间变异较大，几乎是按一定的 比例关系变化。
■比较适合求平均增长率
■例（心理物理学）
X
g
觉平均物理刺激量是多少?
8.55
■例2（平均增长率）
在一项有关阅读能力的实验中，阅读的遍
数与每遍理解的程度依次是：第一遍：40% 第二遍：52%，第三遍：65%，第四遍：75% 第五遍：86%，第六遍：97%。问在该实验 中被试阅读程度的平均进步率是多少？阅读
理解程度的平均增加比率又是多少？
X 0
X
5、评价 ①优点
*反应灵敏 *确定严密 *简明易解
*计算简单 *适合进一步演算 *较小受抽样变化的影响等优点。 ②缺点 *算术平均数易受极端数据的影响； *无法对模糊数据进行处理；
6、应用平均数的原则
⑴ 同质性原则
⑵ 平均数与个体数据结合的原则 ⑶ 平均数与方差相结合的原则
（二）加权平均数（Mw）
1、计算公式
w X w X w X M w w w
1 1 2 2 n w 1 2 n n
■ wi 即权数，刻划各变量在构成总体
的相对重要性
2、为什么要加权？
在实际测量数据中，有些数据的权重不
一样，此时刻划数据分布的中心位置只能 用加权平均数。（生活例子）
观察数据的平均数
总体均值
2、公式
①未分组观察数据平均数
1 X N
x
i 1
N
i
其中： X 是算术平均数；
N是总体容量；
x 是变量X的第i次观察值；
i
[例]某项研究在一年级学生总体中抽取出10
名被试，测得他们的分数为60、70、65 、78、98、64、89、75、69、75，试 求他们的平均分数。
98 95 92 89 86 83 80
|| ||| |||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||| ||||| ||||| || ||||| ||||| ||||| ||||
2 3 4 8 11 17 19
.02 .03 .04 .08 .11 .17 .19
100 98 95 91 83 72 55
②没有反映所有数据的信息，从而具有较大 的抽样误差，不如平均数稳定．也无法进 行进一步的数学分析。
4、应用
◆出现两极端数据时；
◆ 当次数分布的两端数据或个别数据不清 楚时； ◆ 快速估记时；
三、算 术 平 均 数
简称平均数、均数或均值，为与其它几 种平均数相区别，也称算术平均数。 ■符号表示：M、 、X、 Y
3 7
18
31 39 45 48
48 45 41 30 17 9 3
[例]求下列数据的中数
分组区间 96~99 93~96 90~93 87~90 84~87 81~84 78~81 75~78 次数 2 3 4 8 11 17 19 14
ⅱ、累加曲线求中数示意图
3、中数的特点
①计算简单，不受极端数据影响；
■例子
某课题组在全国8个省区进行了一项调查，
各省区接受调查的人数和平均数如下表，求 该项调查的总平均数。
省区代码 1 2
人数 627 268
平均分数 98 60
3
4 5
400
670 411
82
96 80
6
7 8
314
610 500
65
96 88
（三）调和平均数MH
1、计算公式
M
H

1 1 1 1 1 N XN X1 X 2
25
第二节 差 异 量 数
• A：7 7 8 8 8 9 9 • B：4 5 7 8 9 11 12 • C：1 4 7 8 9 12 15
• 集中量数是指量尺上的一点，而差异量 数是量尺上得一段距离，是趋势。
第二节 差 异 量 数
一、全距 二、平均差 三、百分位差 四、四分位差 五、方差与标准差