小学数学(2)
小学数学 余数性质(二).教师版
1. 学习余数的三大定理及综合运用2. 理解弃9法，并运用其解题一、三大余数定理：1.余数的加法定理 a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．二、弃九法原理在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++=1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
小学数学随堂练 (2)
五年级应用题姓名：评分：
一件工程，甲队独做12天可以完成，甲队做3天后乙队做2天恰好完成一半，现在甲、乙两队合作若干天后，由乙队单独完成，做完后发现两段时间相等。则共用几天？
有两个工程队完成一项工程，甲队每工作6天后休息1天，单独做需要76天完工；乙队每工作5天后休息2天，单独做需要89天完工，照这样计算，两队合作，从1998年11月29日开始动工，到1999年几月几日才能完工？
月球到地球的距离是38.4万千米，一次从地球向月球发射激光信号，约经过2.56秒收到从月球反射回来的信号，光的速度的多少？
两列火车从两个车站同时相向出发，甲车每小时行48千米，乙车每小时行78千米，经过2.5小时两车相遇。两个车站之间的铁路长多少千米？
水波小学每间教室有3个窗户,每个窗户安装12块玻璃,9间教室一共安装多少块玻璃？
希望小学美术小组有25人，比航模小组的人数多1/4，航模小组有多少人？
塑料厂计划生产1300件塑料模件，6天生产了780件。照这样计算，剩下的还要生产多少天才能完成？
电视机厂原计划36天生产彩电1680台，前16天完成了一半。剩下的打算6天完成，平均每天生产多少台？
今年参加“楚才杯”作文竞赛的同学达9800人，比去年的2倍还多380人，去年参加“楚才杯”作文竞赛的有多少人？
小芳和小丽比跳绳，小芳跳的比小丽少30下，小芳跳的是小丽的5/7，两人各跳了多少下？
5个苹果平均分给8个人，每人分得几个？每人分得这些苹果的几分之几？
一个人步行每小时走5千米，骑自行车每1千米比步行少用8分钟，他骑自行车的速度是步行速度的多少倍？
感时思报
小学数学一年级下册第二单元知识点(2)
一、选择题1．小红有17张卡片，小明有9张卡片，小红比小明多（）张卡片。
A. 8B. 9C. 102．淘气有14张卡片，送给了笑笑8张，淘气还剩（）张卡片。
A. 5B. 6C. 73．( )比13少7。
A. 5B. 6C. 74．白兔和黑兔一共15只，黑兔有7只，白兔有几只？（）A. 15+7B. 15-7C. 7+155．从15里减去9，还剩下（）。
A. 6B. 76．12-（）=4，（）里应该填（）。
A. 9B. 87．动物园有小猴14只，大猴6只．大猴比小猴少几只？正确的解答是（）A. 14－8=6(只)B. 14＋6=20(只)C. 14－6=8(只)D. 6＋14=22(只) 8．“15－8 8”，比较大小，在里应填的符号是（）A. ＞B. ＜C. ＝D. ＋9．小明两天共做了15道题，第一天做了7道题，第二天做了多少道题？正确的列式计算是（）A. 15－8=7(道)B. 15－7=8(道)C. 15＋8=23(道)D. 15－7=6(道) 10．“18 13－6”，比较大小，在里应填的符号是（）A. ＞B. ＜C. =D. + 11． 15－8=（）A. 5B. 6C. 7D. 10 12．“15－8 8”，比较大小，在里应填的符号是（）A. ＞B. ＜C. =D. -13．“11－8 2”，比较大小，在里应填的符号是（）A. ＞B. ＜C. ＝D. ＋14．“14－8 9”，比较大小，在里应填的符号是（）A. ＞B. ＜C. ＝D. ＋15．13－9= （）A. 4B. 6C. 7D. 15二、填空题16．从6、7、9、12、15这些数中选出三个数，列出四道算式。
________ ________________ ________17．算14－ 5＝9 时，我是想加法算减法：因为________加________等于14，所以14减5等于________。
18．比一比谁的年龄大。
12-8________13-8 11-4________12-6 15-7________11-416-8________14-7 14-6________11-2 16-9________11-719．有12个小朋友玩捉迷藏的游戏，红红已经捉住了5个小朋友，还有________个小朋友没有捉住。
小学数学综合评价题(二)
Educational Practice and ResearchJ小学毕业复习•数学小学数学综合评价题（二)(考试时间：90分钟总分：120分）一、填空。
（每空1分，共19分）1•一个数由7个百万，6个千，7个0.1和6个0.01组成，这个数写作（），省略“万”位后面尾数约是（）。
2. -^-=0.75=( )-20=( )%=( ):24=()折3. |■的分数单位是（），再添上（）个这样的分数单位后是最小的质数。
4. 一个两位小数，若去掉它的小数点，得到 的新数比原数多47.52。
这个两位小数是（）。
5. 在边长为a厘米的正方形上剪下一个最大 的圆,这个圆与正方形的周长比是（）。
6. —种铁丝1米重1千克，这种铁丝1米重()千克，1千克长（）米。
7•—个圆柱与一个圆锥体积相等，底面积也相等。
已知圆柱的高是12厘米，圆锥的高是（）。
8.如果a和6是不为0的两个连续自然数，那么a，6的最小公倍数是（），最大公因数是()〇9•一块占地2400平方米的蔬菜大棚中，种着青椒、黄瓜、丝瓜+瓜和茄子四种蔬菜，右图表示各种蔬菜的种植面积。
青椒占（）％,茄子比黄瓜少（）平方米。
10•妈妈为孩子存了 2万元三年教育储蓄，年利率是5.22%，教育储蓄所得利息不需纳税，到期后可得本金和利息共（）元。
二、判断题。
（每题2分，共12分）1.把一根长为1米的绳子分成5段，每段长+米。
（）2. 九点半整，这时时针和分针形成的夹角大于90度。
（)3. 小明家在学校的的东南方向，那么学校在小明家的西南方向。
（）4. 圆的半径越大，面积也就越大，所以圆的面积与它的半径成正比例。
（）5. —个微型零件的长是5毫米，画在图上是20厘米，那么这幅图的比例尺是1:40。
（）6.要能清晰地表示北京一年内月平均气温的变化情况，应绘制折线统计图。
（）三、单项选择题。
（每题2分，共12分）1.一件商品先涨价5%,后又降价5%,则（）。
A.现价比原价低B.现价比原价高C.现价和原价一样2. —个三角形最小的锐角是50度，这个三角形一定是（）二角形。
小学一年级数学练习题 (2)
一.口算。
[每小题2分.共26分]6－5＝ 8－6＝ 3－2＝ 6＋2＝ 4＋4＝1＋4＝ 9－0＝ 4＋5＝ 5－5＝4＋[ ]＝8 6－[ ]＝1 [ ]－2＝5 3＋4＜[ ]二.按要求填空。
[每空1分.其中第6题各3分.共30分]1.2.按顺序填数3.7的后面一个数是[ ].前面一个数是[ ]。
4.在〇里填上＜.＞或＝6〇9 8-0〇0 9-7〇2+17〇8 7〇1+6 7+2〇9+05..[1]一共有[ ]只小动物.[2] 排第4 . 排第[ ].[3] 前面有[ ]只小动物. 后面有[ ]只小动物。
[4]从右边起圈出3只小动物。
3 166.排一排1 3 52 9 7[ ]＞[ ]＞[ ]＞[ ]＞[ ]＞[ ]三.比一比.填一填[共12分]1.[1]在多的后面画√.( )( )[2]在最短的后面画√。
[ ][ ][ ](3)哪个人高.在高的下面画√。
一年级优生竞赛测试卷一. 填空题.(1).15里面有()个十和()个一．(2).3个一和1个十合起来是()．[3]苹果比梨多()个.桃比苹果少()个.梨比桃多()个．去掉()个苹果.去掉()个梨.三种水果的个数就同样多．[4] 两个十是[ ].这个数从右边起第一位是[ ]位.第[ ]位是十位。
[5]被减数是14.减数是3.差是[ ]。
两个加数都是9.和是[ ]。
[6] 4+[ ]＝193+[ ]＝126+[ ]＝125+[ ]＝10+4二. 在○里填上“＋”或“－”．11＞8○58○7＜916○4＝2014○4=1014○10＜812＞6○5三.从6.7.8.15四个数中选出三个数,列出两道加法算式．[ ]+[ ]=[ ][ ]+[ ]=[ ][ ]-[ ]=[ ][ ]-[ ]=[ ]四.口算6＋9＝12－10＝8＋8＝18－3＝5＋7＝6＋11＝4-4+3＝18-8-2＝9＋2＋6＝6＋6＋6= 16-10＋4＝五.解决生活中的问题1. [ ]○[ ]=[ ][本]2. 同学们要种14棵树,已经种了10棵,还要种多少棵？[ ]○[ ]=[ ][棵]口答；还要种_____棵．3. 同学们在马路两边各插了8面小旗,一共插了多少面？[ ]○[ ]＝[ ][面]口答；一共插了______面．5.原来有7只猴子.又跑来6只.一年级趣味题1.黑兔.兔和白兔三只兔子在赛跑。
小学数学 (2)
小学数学杨静东北师范大学附属小学朱颖东北师范大学第二附属小学王晓春长春高新第二实验学校苏文玲长春经济技术开发区教师进修学校韩淑红长春净月经济开发区净月南环小学侯健长春市朝阳区明德小学校田媛长春市第二实验东晨小学张健红长春市第一实验小学周莹长春市第一实验中海小学于璐长春市宽城区实验小学臧治长春市南关区西五小学郭艳波长春市双阳区第二实验小学周丽芙长春市双阳区第二实验小学姜海燕长春市双阳区第一实验小学曹丽君长春市双阳区教师进修学校毛鸿娟长春西新经济技术开发区第十二小学孙惠长春西新经济技术开发区第十三小学于欣华榆树市第二实验小学张秀军榆树市第四小学校张立波榆树市培英小学王玉红榆树市实验小学蒋秀艳榆树市五棵树镇中心小学李明霞桦甸市第一实验小学刘桂兰桦甸市站前小学岳晓霞吉林市第一实验小学胡靖吉林市教育学院陆钧吉林市龙潭区第二实验小学校杜冬梅辽源市第一实验小学綦英楠公主岭市温州章汉学校王磊四平市铁西区地直街小学校赵立娟长岭县三县堡中心校王井成扶余县教师进修学校王伟红扶余县实验小学王晓丽吉林油田松江小学卢玉霞前郭县哈萨尔路小学蒋少军前郭县教师进修学校张新宇前郭县前郭尔罗斯镇中心小学张孝红乾安县第一小学唐丽萍松原市宁江区民主小学李春艳松原市宁江区实验小学娄丽红松原市逸夫小学王玉兰辉南县楼街朝鲜族乡板石河中心小学徐霞梅河口市第一实验小学李彩霞通化县教师进修学校王秀清通化县实验小学符云凤白城市洮北区靖安小学徐莉白城市洮北区文化小学郑艳霞大安市长虹小学闫冬梅大安市实验小学陈丽洮南市第七小学门艳辉洮南市蒙古族乡中心小学郭洪策通榆县师进修学校王丽镇赉县新兴小学夏志勇白山市浑江区第二实验小学刘晓青长白县实验小学姜嫦君敦化市第九小学校肖敬民敦化市教师进修学校冯志红和龙市头道镇小学校王芳延边第二特殊教育学校小学语文付淑萍长春市朝阳区解放大路小学校李春影长春市朝阳实验小学刘秀梅长春市第二实验小学王建勋长春市第一实验银河小学郭峤长春市教育局教研室崔瑜长春市宽城区教师进修学校赵霞长春市宽城区柳影小学娄志航长春市宽城区南京小学郝秀丽长春市绿园区绿园小学李萍长春市南关教师进修学校朱辉长春市南关区西五小学刘铁岩长春市树勋小学康婧长春市双阳区第一实验小学李春光长春市一零八学校小学部周丽芝长春西新经济技术开发区第九中学小学部庄颖长春西新经济技术开发区第十三小学耿令新长春西新经济技术开发区实验小学滕淑艳德惠市五台乡中心小学谢淑文九台市工农小学卜秀娟九台市其塔木镇中心校林立莉农安县实验小学卢晓凤吉化第二小学校李雪梅吉化第二小学校王蕴卓吉化第六小学校刘利吉化第一实验小学校邵云鹤吉林市昌邑区林荫路实验小学权奇泰吉林市朝鲜族实验小学校高崇慧吉林市船营区第九小学郑丽吉林市第二实验小学王旭吉林市第一实验小学崔艳伏吉林市丰满区教师进修学校姚力吉林市龙潭区教师进修学校李慧波吉林市龙潭区实验学校房欣蛟河市实验小学孟翔茹磐石市实验小学李吉贤舒兰市实验小学金红岩东丰县实验小学赵秀娟辽源市第一实验小学郭艳霞公主岭市双城堡中心小学孟祥红公主岭市双城堡中心小学于水静梨树县沈洋镇中心小学许广益梨树县十家堡镇中心校刘影双辽市辽东街中心校张玲伊通县实验小学校张宏惠伊通县实验小学校罗晓英长岭县第四小学赵亚军长岭县第一小学姜立辉扶余县实验小学范文新吉林油田钻井小学张风丽前郭县教师进修学校吴国玲前郭县蒙古族实验小学刘杰前郭县前郭尔罗斯镇中心小学梁英华乾安县教师进修学校王丽华乾安县实验小学徐立秋松原市宁江区第六小学旺彩慧松原市宁江区实验小学骆凤波松原市特殊教育学校徐海舟集安市教师进修学校张玉晶柳河县长青小学芮淑萍柳河县实验小学刘云莉梅河口市山城镇中心校高萍通化市东昌区第三实验小学来洁通化市东昌区靖宇小学董玉梅通化市二道江区教师进修学校敖海玉白城市洮北区海明小学刘波白城市洮北区靖安小学邵艳丽白城市洮北区文化小学张艳玲大安市慧阳小学郑视洋大安市实验小学刘庆玲洮南市第四小学王国宏通榆县第二小学张娜通榆县第一小学崔昊通榆县明德小学王亚坤通榆县师进修学校刘建娟镇赉县庆余小学程显娟白山市红旗小学宫斌白山市江源区教师进修学校麦辉白山市外国语学校周红新安图县第三小学吕艳敦化市第三小学校张艳芹龙井市东山实验小学陈志红汪清县教师进修学校姜红延吉市教师进修学校张秀杰长白山保护开发区教育局教研室于晶东北师范大学附属小学吕丽东北师大附属实验学校王语东北师范大学第二附属小学钟鹤童吉林省第二实验学校刘红梅吉林省第二实验学校小学英语刘翠梅长春市朝阳区解放大路小学王伟萍长春市第八十七中学小学部牟忠宇长春市第七十二中小学部王慧妍长春市宽城区天津路小学李志红长春市宽城区浙江路小学杨研研长春市绿园区迎宾路小学孙颖长春市树勋小学陈丽丽长春市双阳区教师进修学校王文华长春西新经济技术开发区教师进修学校闫晓颖吉林市船营区教师进修学校黄健辽源市第一实验小学郝秀丽辽源市多寿路小学杜枫四平市第一实验小学校才虹四平市六马路小学校郑兆静辉南县辉南镇中心小学校朱永杰梅河口市第二实验小学王伟延吉市北山小学小学音乐王会达榆树市弓棚小学校张文颖吉化第三小学校王晓琦伊通县河源镇中心校杜晓丽前郭县乌兰图嘎小学小学体育韩学松长春市朝阳区慧达小学校吴红芝长春市一零八学校石秀芳九台市加工河中心学校杨丽平四平市聋哑学校田昭山松原市宁江区实验小学祝秀艳长春东师中信实验学校小学美术郑伟长春市朝阳区安达小学高蕾长春市树勋小学姜敏长春市一零八学校宫平吉林市船营区松江实验小学校耿业华吉林市丰满区教师进修学校代凤波永吉县口前镇第二小学校施彦秋通榆县向海学校王世国安图县教师进修学校小学品德与生活（社会）宋殊妹长春市二道区教师进修学校赵晶长春市双阳区山河中心小学李莹九台市纪家镇鸡鸣山中心学校张文娟榆树市第二实验小学马昱吉林市第二实验小学刘宏斌蛟河市教师进修学校宋香艳东辽县建安镇第一中心小学王晓艳集安经济开发区中心小学常万珍梅河口市水道学校史成秀安图县万宝镇中心小学校小学信息技术孙方华长春市朝阳区教师进修学校吕大光长春市第二实验通达小学李熹嘉长春市宽城区南京小学孙静波长春市南关区东四小学于鹏通钢第二小学小学综合实践徐营大安市大岗子镇中心校冯国云梅河口市第三中学许凤善和龙市教师进修学校小学科学赵军梅长春市宽城区天津路小学李文静长春市双阳区太平镇中心小学齐欣长春市一零八学校小学部姜丽娟长春西新经济技术开发区实验学校李春艳磐石市宝山乡中心学校田国英梨树县郭家店镇镇郊中心校贺伟通化县快大茂镇中心小学王卓洮南市教师进修学校张晓冬通榆县教师进修学校小学朝鲜语文金春爱永吉县朝鲜族实验小学张信子龙井市北安小学林贞淑龙井市实验小学朴香玉延吉市新兴小学小学汉语文严红梅珲春市第一实验小学校车雪花图们市第二小学中学数学孙东梅长春市第八十七中学吴景军长春市第二实验中学孙桂瑾长春市第四十五中学赵雪梅长春市十一高中薛红利长春市十一高中吕蓉长春西新经济技术开发区第二实验学校谭晓东吉化第三中学校王玉梅吉林市第十二中学校刘彦学吉林市第四中学校曲丽萍吉林市实验中学曹雪松舒兰市第十二中学校王利君舒兰市第一中学张帆东辽县第一高级中学李亚新吉林师范大学附属中学高亚梅四平市第二十中学苏丽宏四平市第三中学校高梅四平市第十七中学熊宇红吉林油田第十二中学韩庆梅白山市第二中学管艳杰白山市外国语学校赵连生敦化市实验中学张建凤延边第二中学张朝阳长春外国语学校黄海燕吉林省实验中学李明瑜吉林省实验中学中学语文王凤来长春市第八十七中学陈岩长春市第一零三中学校付广娟长春市实验中学王淑娟长春市养正高级中学闯霞长春市一零八学校张云杰吉化第三中学校魏妍吉化第一高级中学校苗在华吉林市第二十三中学董正夫吉林市第十八中学李淑莲吉林松花江中学倪华东丰县第二高级中学吕艳芹东丰县实验中学周凤英辽源市实验中学吴成学吉林师范大学附属中学齐红梅四平市实验中学李桂欣吉林油田高级中学陈天骄松原市滨江中学刘建新辉南县第六中学张鹏举柳河县第一中学秦少华梅河口市实验中学张华通化市外国语学校王秀丽通化县第八中学刘启云白城实验高中刘锐白城市第一职业高中刘发琴白山市第二十一中学徐玉芹白山市第一中学金健松长白县实验中学张冬梅抚松县第一中学王淑斌龙井市第三中学唐雪晶东北师大附中明珠学校任燕东北师大附属实验学校孙立权东北师范大学附属中学孔令博吉林省实验中学中学英语黄芳长春高新第一实验学校张苏长春市第八十七中学周文雁长春市第九十八中学于洪梅长春市第四十五中学孔瑞长春市教育局教研室满明余吉林市第一中学校郭轶吉林市教育学院孙雪艳吉林松花江中学李静东丰县第二高级中学王晓妍东辽县实验中学王开宇吉林师范大学实验高级中学周彦才四平辽河农垦管理区第二中学谢辉四平市第三高级中学卢华扶余县第三中学关秀静柳河县第九中学于艳华柳河县第一中学阚惠秋通化市第一中学校刘晓红通化县二密镇中学常青白城市第三中学郑威白山市外国语学校曲梅靖宇县第一中学潘冬玲敦化市第一中学王凤云珲春市第三中学校苏立平吉林省第二实验学校中学物理刘君长春市第六中学李军长春市十一高中郭传昌长春市十一高中金红吉林市第九中学毛淑艳吉林市第七中学彭伟平吉林市田家炳高级中学李吉平吉林市亚桥中学李玉香东辽县教师进修学校姜海波辽源市实验中学张国光公主岭市第一中学常佰慧四平市第三高级中学崔国华四平市第一高级中学范景海北京师范大学宁江附属中学姜帆长岭县第三中学黄河靖宇县第七中学沈静延吉市第九中学李钟琦长春外国语学校王志锋吉林大学附属中学中学化学黄姬顺长春市朝鲜族中学李叶青长春市第八中学战鹰长春市第五中学赵大川长春市教育局教研室闫兆东长春市十一高中王粤敏吉林市第五中学校杨德梅吉林市第一中学校李成永吉县第四中学臧博辽源市第五中学于香伟乾安县水字镇中学兰爱华梅河口市教师进修学校于永清白山市第二中学潘玲敦化市实验中学李丽辉珲春市第四中学胡永才东北师范大学附属中学中学政治杨艳平长春市第二实验中学张欣媚吉林市第二中学校孟庆英四平市实验中学王晓雯乾安县第七中学段晓霞通钢第一中学胡莲花延边第一中学谢新峰东北师大附属实验学校刘永波吉林省第二实验学校中学思想品德李守民扶余县大林子镇中学中学历史何会术长春市第十中学卢立丽长春市希望高中朱承泽东丰县实验中学邵凤丽公主岭市第一中学朴春实柳河县朝鲜族完全中学张玉珠通榆县第一中学王超艳白山市第二中学贺庆国长春外国语学校王洪梅东北师大附中明珠学校林永忱吉林省实验中学中学地理王峰长春市第二十九中学王晓威长春市第二中学刘洪江长春市第九中学郑永才桦甸市第四中学孙永发辉南县第六中学张新玲延边第二中学邵志豪东北师范大学附属中学刘春玲吉大附中实验学校欧炜吉林大学附属中学中学生物吴冬梅长春市第一五八中学申鹏长春市实验中学曲凯吉林市第三中学校朱红梅吉林市第十八中学岳冬燕吉林市毓文中学刘金来扶余县大林子镇中学范青岩松原市第二高级中学张芳玉松原市实验高中苏海波集安市财源中学金今松图们市第一高级中学赵伟涛吉大附中实验学校蔡立格吉林省实验中学中学体育王永纯长春市第二实验中学迟庆兰抚松县外国语学校王春霞长春外国语学校中学音乐王菲九台市教师进修学校中学朝鲜语文金姬玉延边第一中学金仁淑延吉市第十三中学中学汉语文崔英珲春市教师进修学校金春花龙井高级中学学前教育杨海峡长春市绿园区教师进修学校王瑞长春市实验幼儿园丁秋红吉林市昌邑区第二实验小学曹楠吉林市幼儿园张志红蛟河市机关幼儿园孙玲玲磐石市朝鲜族幼儿园郭英华东丰县小四平小学朱天娥东辽县第一幼儿园李萍辽源市实验幼儿园闫敏双辽市幼儿园王丹扶余县教师进修学校宋爱静乾安县教师进修学校桑鸿辉南县教师进修学校于丹集安市第二幼儿园肖翔梅河口市教师进修学校刘艳白城市实验幼儿园马秋林安图县第一幼儿园吕海鹰和龙市第二幼儿园金春梅汪清县第一实验幼儿园韩杰延吉市教师进修学校周敏玲东北师大附属实验学校。
小学数学 数的整除特征(二)
数的整除特征（二）上一讲我们介绍了一个数能被2、5；4、25；8、125；3、9整除的特征，这一讲我们继续讨论一些有关问题.请看下面例题：4239235=4000000+200000+30000+9000+200+30+5=4×（999999+1）+2×（100000+1-1）+3×（9999+1）+9×1000+1-1）+2×（99+1）+3×（10+1-1）+5=4×999999+4+2×（99990+11-1）+3×9999+3+9×（990+11-1）+2×99+2+3×（11-1）+5=（4×999999+2×99990+2×11+3×9999+9×990+9×11+2×99+3×11）+（4+3+2+5）-（2+9+3）上式第一个括号内的每一个数都能被11整除，所以它们的和也能被11整除.如果4239235能被11整除，那么（4+3+2+5）-（2+9+3）也能被11整除.反过来，如果（4+3+2+5）-（2+9+3）能被11整除，那么4239235也能被11整除.而上式第二个括号内的各数正好是4239235的奇数位上的四个数字，第三个括号内的各数正好是4239235的偶数位上的三个数字，从而我们便得到一个数被11整除的特征是：如果一个自然数的奇数位上数字和与偶数位上数字和的差能被11整除，那么这个数便能被11整除.否则这个数便不能被11整除.一个数被11整除还有另外一个特征：如果一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差能被11（7、13）整除，那么这个数就能被11（7、13）整除，否则这个数就不能被11（7、13）整除.例1 将1，2，3，…，30从左到右依次排列成一个51位数123456…2930，试求这个51位数除以11的余数.分析与解前面指出一个数被11整除的特征是：这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和的差能被11整除.从这个特征的导出过程中我们还可以看出：一个数奇数位上数字和与偶数位上数字和的差除以11的余数，与原数除以11的余数是相等的.利用这一性质便可求出问题的结果来.因为51位数123456…282930的奇数位上的数字分别是0，9，8，7，6，5，4，3，2，1，0，9，8，7，6，5，4，3，2，1，0，9，7，5，3，1，这些数字之和为：1+3+5+7+9+（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×2=115这个数的偶数位上的数字分别是3，2，2，2，2，…，2，1，1，…，1，8，6，4，2，这些数字之和为：2×10+1×10+3+8+6+4+2=53115-53=62，62÷11=5 (7)所以这个51位数除以11的余数是7.此题恰巧是奇数位上的数字和大于偶数位上的数字和，所以计算起来比较方便，如果有一个18位数919293949596979899，问这个数除以11的余数是几？上述18位数奇数位上的数字和为（9+8+7+6+5+4+3+2+1=）45，偶数位上的数字和为（9×9=）81.现在是偶数位上的数字和大于奇数位上的数字和，81-45=36，36÷11=3…3.应该怎么计算呢？请同学们动脑筋想一想，告诉你们答案为8，即上述那个18位数除以11余8.例2 将1至9这九个数字，按图1所示的次序排成一个圆圈.请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数（例如，在1和7之间剪开，得到两个九位数是193426857和758624391）.如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是几？分析与解396=4×9×11，而4、9、11两两互质，根据前面提到的有关整除的性质，考虑被396整除，只要分别考虑被4、9、11整除就行了.前面提到如果一个数的各个数位上的数字和是9的倍数，那么这个数一定能被9整除.现在无论从哪两个数字之间剪开，按顺时针或逆时针次序所得到的两个九位数，其各个数位上的数字和，都是1至9九个数字之和45，45能被9整除，因此两个九位数一定能被9整除，那么这两个九位数之差当然也能被9整除.再考虑除以11的情况.考虑一个数能否被11整除，只要考虑这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差除以11的余数.现在无论从哪两个数字之间剪开后所得到的两个九位数，它们数字的顺序恰好是互相颠倒的，因此这两个九位数的奇数位上数字和与偶数位数字和之差是完全一样的，换句话说，这两个九位数除以11的余数相同，从而它俩的差一定能被11整除.最后考虑所得两个九位数之差能否被4整除.从一个数能被4整除的特征可以知道，只要这两个九位数的末两位数字组成的两位数之差能被4整除，那么这两个九位数的差一定能被4整除.因此只需考虑：剪开处左面两个数字组成的两位数与右面两个数字颠倒顺序后组成的两位数之差能否被4整除.只要这个差能被4整除，所得两个九位数之差就能被396整除，否则就不能被396整除.在1与9之间剪开：71-39=32，32能被4整除.在9与3之间剪开：43-19=24，24能被4整除.在3与4之间剪开：93-24=69，69不能被4整除.在4与2之间剪开：62-34=28，28能被4整除.在2与6之间剪开：86-42=44，44能被4整除.在6与8之间剪开：58-26=32，32能被4整除.在8与5之间剪开：75-68=7，7不能被4整除.在5与7之间剪开：85-17=68，68能被4整除.在7与1之间剪开：91-57=34，34不能被4整除.因此本题共有下面六个答案：1×9=9，9×3=27，4×2=8，2×6=12，6×8=48，5×7=35.例3 下面是某校购买72张课桌和77把课椅的发票.由于不小心浸水，烘干后发票上的一些数字都模糊不清了，每一个模糊不清的数字用□表示，请恢复发票中注有□的数字.则有a2+b2=7，a2+b2=16.又因由a2≥7，所以当a2+b2=7时，有a2=7，b2=0；当a2+b2=16时，有a2=7、8、9，b2=9、8、7.这一来课桌的总价可以是70776分，79776分，88776分，97776分.70776+32879=103655，79776+32879=112655，88776+32879=121655，97776+32879=130655，这四个和里只有103655符合要求，所以课桌的总为70776分，70776÷72=983，课桌的单价为983分，恢复后的发票如下：例4 在□内填上合适的数字，使六位数□1991□能被66整除.分析与解用x、y分别代表六位数□1991□的十万位与个位上□内的下面分别加以讨论.否被11整除.这三个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差分别为1、4、7，都不能被11整除，所以y=0时此题无解.519912、819912这三个数能否被11整除.这三个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差分别为0、3、6，只有0能被11整除，所以219912能被66整除.619914、919914这三个数能否被11整除.这三个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差分别为1、2、5，都不能被11整除，所以y=4时此题无解.419916、719916这三个数能否被11整除.这三个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差分别为5、2、1，都不能被11整除，所以y=6时此题无解.519918、819918这三个数能否被11整除.这三个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差分别为6、3、0，只有0能被11整除，所以819918能被66整除.只有1991、1991这两个数能被66整除.从例2到例4的解答中，我们看到掌握“如果一个数能被几个两两互质数中的每一个数整除，那么这个数也能被这几个两两互质数的乘积整除.反过来，如果一个数能被几个两两互质数的乘积整除，那么这个数也能同时被这几个两两互质的数整除”这一结论，对解决一些有关整除的问题，带来了很大的方便，并能在解题过程中，锻炼和培养我们分析问题与解决问题的能力.。
小学数学 带余除法(二).教师版
5-5-2.带余除法（二）教学目标1.能够根据除法性质调整余数进行解题2.能够利用余数性质进行相应估算3.学会多位数的除法计算4.根据简单操作进行找规律计算知识点拨带余除法的定义及性质1、定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当0r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
2、余数的性质⑴被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数；⑵余数小于除数．3、解题关键理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．例题精讲模块一、带余除法的估算问题【例1】修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数。
问修改后的这个数是几？【考点】带余除法的估算问题【难度】3星【题型】解答【解析】本题采用试除法。
823是质数，所以我们掌握的较小整数的特征不适用，31743÷823=38……469，于【解析】是31743除以823可以看成余469也可以看成不足(823-469=)354，于是改动某位数字使得得到的新数比原来大354或354+823n也是满足题意的改动．有n=1时，354+823：1177，n=2时，354+823×2=2000，所以当千位增加2，即改为3时，有修改后的五位数33743为823的倍数．【答案】33743【例2】有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?【考点】带余除法的估算问题【难度】3星【题型】解答【关键词】小学数学夏令营【解析】【解析】由48412÷=，4859.6÷=知，一组是10或11人．同理可知48316÷=，48412÷=知，二组是13、14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一组10人．【答案】10【例3】一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数．【考点】带余除法的估算问题【难度】3星【题型】解答【解析】【解析】因为一个两位数除以13的商是6，所以这个两位数一定大于13678⨯=，并且小于13(61)91⨯+=；又因为这个两位数除以11余6，而78除以11余1，这个两位数为78583+=．【答案】83【例4】在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)【考点】带余除法的估算问题【难度】3星【题型】解答【解析】我们知道18，33的最小公倍数为[18，33]=198，所以每198个数一次．1～198之间只有1，2，3，…，17，198(余0)这18个数除以18及33所得的余数相同，而999÷198=5……9，所以共有5×18+9=99个这样的数．【答案】99【例5】托玛想了一个正整数，并且求出了它分别除以3、6和9的余数．现知这三余数的和是15．试求该数除以18的余数．【考点】带余除法的估算问题【难度】3星【题型】解答【关键词】圣彼得堡数学奥林匹克【解析】除以3、6和9的余数分别不超过2，5，8，所以这三个余数的和永远不超过25815++=，既然它们的和等于15，所以这三个余数分别就是2，5，8．所以该数加1后能被3，6，9整除，而[3,6,9]18=，设该数为a ，则181a m =-，即18(1)17a m =-+（m 为非零自然数），所以它除以18的余数只能为17．【答案】17模块二、多位数的余数问题【例6】2000"2"2222 个除以13所得余数是_____.【考点】多位数的余数问题【难度】3星【题型】填空【解析】方法一、我们发现222222整除13，2000÷6余2，所以答案为22÷13余9。
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