安徽省中考数学二轮复习题型四：规律探索题(含答案)
2019安徽中考数学专题训练——规律探索题 初高中知识衔接
初高中知识衔接1. 我们根据指数运算，得出了一种新的运算，下表是两种运算对应关系的一组实例：根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log 216＝4，②log 525＝5，③log 212＝－1.其中正确的是( )A . ①②B . ①③C . ②③ D. ①②③B 【解析】①∵24＝16，∴log 216＝4，故①正确；②∵52＝25，∴log 525＝2≠5，故②不正确；③∵2－1＝12，∴log 212＝－1，故③正确；应选B .2.阅读理解：如图①，在平面内选一定点O ，引一条有方向的射线Ox ，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M 的位置可由MOx 的度数θ与OM 的长度m 确定，有序数对（θ，m ）称为M 点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”.应用：在图②的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA 在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（ ） A .（60°，4） B .（45°，4） C .（60°，22） D .（50°，22）图① 图②第2题图A 【解析】如解图，连接AC ，∵正六边形的每个内角为120°，∴∠AOC =60°，AC ⊥OA ，∴∠ACO =30°，根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半得：OC =2OA =4，∴六边形的顶点C 的极坐标应记为（60°，4），故应选A .第2题解图3.阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1，记为i 2=-1①，这个数i 叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a +b i （a ,b 为实数），a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部.如果只把i 当成代数，则i 将符合一切实数运算规则，但要根据①式变通来简便运算.（不要把复数当成高等数学，它只是一个小学就学过的代数而已！它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.） 例题1：i i i ⋅=23=i i -=⋅-1；1)1(34=--=⋅-=⋅=i i i i i ； 例题2 ：（2+i ）+（3-4i ）=（2+3）+（1-4）i =5-3i ;()()2432015435i i i i i -+-=-⨯+i i 171941715-=+-=;同样我们也可以化简i i 22)1(4422=⨯=-⨯=-，也可以解方程x 2=-1，解为x 1=i ，x 2=-i .读完这段文字，请你解答以下问题：（1）填空：i 5= ,i 6= ; （2）计算：（2+i ）2；（3）在复数范围内解方程：x 2-x +1=0. 解：（1）i ，-1;【解法提示】i 5=（i 2）2·i =i ，i 6=（i 2）3=-1. （2）原式=4+4i +i 2=4i +4-1=3+4i ; （3）x 2-x +1=0，12114)1()1(2⨯⨯⨯--±--=x 2312312ii ±=±=， 解得2311i x +=，2312ix -=.4. 阅读下面的材料：如果函数y ＝f (x )满足：对于自变量x 的取值范围内的任意x 1，x 2. (1)若x 1＜x 2，都有f (x 1)＜f (x 2)，则称f (x )是增函数： (2)若x 1＜x 2，都有f (x 1)＞f (x 2)，则称f (x )是减函数． 例题：证明函数f (x )＝2x (x ＞0)是减函数． 证明：假设x 1＜x 2，x 1＞0，x 2＞0，f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－2x 2＝2x 2－2x 1x 1x 2＝2（x 2－x 1）x 1x 2，∵x 1＜x 2，且x 1＞0，x 2＞0， ∴x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0，∴2（x 2－x 1）x 1x 2＞0，即f (x 1)－f (x 2)＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)，∴函数f (x )＝2x (x ＞0)是减函数． 根据以上材料，解答下面的问题：(1)函数f (x )＝1x 2(x ＞0), f (1)＝112＝1, f (2)＝122＝14.计算， f (3)＝________，f (4)＝________，猜想f (x )＝1x 2(x ＞0)是________函数(填“增”或“减”)；(2)请仿照材料中的例题证明你的猜想． (1)解：19，116，减；【解法提示】∵f (x )＝1x 2(x ＞0)，f (1)＝211＝1，f (2)＝122＝14，∴f (3)＝132＝19，f (4)＝142＝116，∵19＞116， ∴猜想f (x )＝1x 2(x ＞0)是减函数.(2)证明：假设x 1＜x 2，且x 1＞0，x 2＞0，f (x 1)－f (x 2)＝1x 21－1x 22＝x 22－x 21x 21x 22＝()x 2－x 1()x 2＋x 1x 21x 22， ∵x 1＜x 2，且x 1＞0，x 2＞0，∴x 2－x 1＞0，x 2＋x 1＞0，x 21·x 22＞0，∴()x 2－x 1()x 2＋x 1x 21x 22＞0，即f (x 1)－f (x 2)＞0， ∴f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )＝1x 2(x ＞0)是减函数．5.阅读材料：各类方程的解法.（1）问题：方程0223=-+x x x 的解是01=x ，2x = ，3x = ； （2）拓展：用“转化”思想求方程x x =+32的解；（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD 的长AD =8 m ，宽AB =3 m ,小华把一根长为10 m 的绳子固定在点B ，沿草坪边沿BA 、AD 走到点P 处，把长绳PB 段拉直并固定在点P ，然后沿草坪边沿PD 、DC 走到点C 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C ，求AP 的长.第5题图解：（1）1，-2； （2） x x =+32， 两边平方，得232x x =+， 移项，得0322=--x x ，解此方程，得1,321-==x x ， ∵032≥+x ，∴23-≥x ， 当1-=x 时，1132-≠=+x ， 当3=x 时，3932==+x ， ∴原方程的根为3=x ；（3）设AP =x m ，∵AD =8 m ，∴PD =（8-x ）m ， 在Rt △ABP 中，PB = 22AB AP +=223+x =92+x m ， 在Rt △PCD 中，PC =22CD PD +=()2238+-x =73162+-x x m ， ∵PB =10-PC ，∴92+x =10-73162+-x x ，两边平方，化简得573162+-x x =41-4x ，再次两边平方，整理得到01682=+-x x ，即()042=-x ， 解得4=x ，经检验，4=x 满足题意. ∴AP 的长为4 m .6.请阅读以下材料：已知向量()11,y x a =，()22,y x b = 满足下列条件：①2121y x a += ，2222y x b += ；②b a ⊗=αcos b a ⨯（角α的取值范围是︒︒900＜α＜）；③b a⊗=2121y y x x +. 利用上述所给条件解答问题：如：已知()3,1=a，()3,3-=b ，求角α的大小.解：∵2121y x a +==()2231+=2，2222y x b += =()2233+-=23，∴b a ⊗=αcos b a⨯=2×23αcos =43αcos ， 又∵b a⊗=2121y y x x +=1×（-3）+3×3=23，∴32cos 34=α，∴21cos =α，∴α=60°， ∴角α的值为60°.请仿照以上解答过程，完成下列问题：已知()0,1=a，()1,1-=b ，求角α的大小. 解：∵()0,1=a，()1,1-=b ，∴2121y x a += =2201+=1，2222y x b += =()2211-+=2，∴b a ⊗=αcos b a⨯=1×2αcos =2αcos ， 又∵b a⊗=2121y y x x +=1×1+0×（-1）=1，∴1cos 2=α， ∴22cos =α，∴α=45°， ∴角α的值为45°.7.阅读材料：基本不等式2ba ab +≤（a ＞0，b ＞0），当且仅当a =b 时，等号成立.其中我们把2ba +叫做正数a 、b 的算术平均数，ab 叫做正数a 、b 的几何平均数，它是解决最大（小）值问题的有力工具.例如：在x ＞0的条件下，当x 为何值时，xx 1+有最小值，最小值是多少？ 解：∵x ＞0，x1＞0，∴xx x x 121⋅≥+，即x x 1+x x 12⋅≥， ∴xx 1+≥2，当且仅当x =x 1，即x =1时，x x 1+有最小值，最小值为2.请根据阅读材料解答下列问题：（1）若x ＞0，函数xx y 12+=，当x 为何值时，函数有最值，并求出其最值； （2）当x ＞0时，式子211122≥+++x x 成立吗？ 解：（1）∵x ＞0， ∴2x ＞0，x1＞0，∴xx x x 12212⋅≥+， 即2x +x1≥2 xx 12⋅，∴2x +x1≥22，当且仅当2x =x1，即x =22时，2x +x1有最小值，最小值为22； （2）不成立， 当且仅当11122+=+x x ，即x =0时等号才成立. ∵x ＞0， ∴不等式不成立.8. 在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程x 2－5x ＋2＝0，操作步骤是：第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A (0，1)，B (5，2)；第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A ，另一条直角边恒过点B ；第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x 轴上点C 处时，点C 的横坐标m 即为该方程的一个实数根(如图①)；第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x 轴上另一点D 处时，点D 的横坐标n 即为该方程的另一个实数根．(1)在图②中，按照“第四步”的操作方法作出点D (请保留作出点D 时直角三角板两条直角边的痕迹)；(2)结合图①，请证明“第三步”操作得到的m 就是方程x 2－5x ＋2＝0的一个实数根；(3)上述操作的关键是确定两个固定点的位置．若要以此方法找到一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，b 2－4ac ≥0)的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；(4)实际上，(3)中的固定点有无数对，一般地，当m 1，n 1，m 2，n 2与a ，b ，c 之间满足怎样的关系时，点P (m 1，n 1)，Q (m 2，n 2)就是符合要求的一对固定点？第8题图解：(1)作图如解图①，第8题解图①【作法提示】先作出AB 的中点O 1，以O 1为圆心，12AB 长为半径画圆．x轴上另外一个交点即为D 点.（2）证明：如解图①，过点B 作x 轴的垂线交x 轴于点E ， ∵∠ACB ＝90°， ∴∠ACO ＋∠BCE ＝90°， ∵∠OAC ＋∠ACO ＝90°， ∴∠OAC ＝∠BCE ， ∵∠AOC ＝∠CEB ＝90°， ∴△AOC ∽△CEB ， ∴AO CE ＝OC EB ，即15－m ＝m2，∴m 2－5m ＋2＝0，∴m 是x 2－5x ＋2＝0的一个实数根； （3）(0，1)、(－b a ，ca )(答案不唯一)；【解法提示】∵方程ax 2＋bx ＋c ＝0可化为02=++ac x abx ，⎪⎭⎫⎝⎛--=--=x a b x x x a b a c 2，∴xa b a c x -=1，∴固定点坐标可以为（0,1），(－b a ，c a ). （4）如解图②，点P 在AD 上，Q 在BD 上，过P ，Q 分别作x 轴的垂线交x 轴于M ，N ，第8题解图②易得△PMD ∽△DNQ ， ∴PM DN ＝MDNQ ，即n 1m 2－x ＝x －m 1n 2，∴x 2－(m 1＋m 2)x ＋m 1m 2＋n 1n 2＝0与ax 2＋bx ＋c ＝0有相同解， ∴－b a ＝m 1＋m 2，ca ＝m 1m 2＋n 1n 2.。
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专题复习(四) 规律探索题类型1数式的变化规律1．(2016·邵阳)如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律,根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是（B）A．y＝2n＋1 B．y＝2n＋nC．y＝2n＋1＋n D．y＝2n＋n＋12．（2016·娄底)“数学是将科学现象升华到本质认识的重要工具”．比如在化学中，甲烷的化学式是CH4，乙烷的化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8,…,设碳原子的数目为n(n为正整数），则它们的化学式都可用下列哪个式子来表示（A)A．Cn H2n＋2B．CnH2nC．Cn H2n－nD．CnHn＋33．（2016·合肥十校联考一模)古希腊数学家把数1,3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2，…，第n个三角数记为a n，则a n＋a n＋1＝(D）A．n2＋n B．n2＋n＋1C．n2＋2n D．n2＋2n＋14．（2015·孝感)观察下列等式：1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42,…，则1＋3＋5＋7＋…＋2 015＝1_016_064或1_0082．5．(2015·安徽）按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28,213，…,若x,y,z表示这列数中的连续三个数，猜测x，y,z满足的关系式是xy＝z．6．(2016·桐城模拟）计算下列各题:错误!，错误!，错误!，错误!，…,观察所得结果，总结存在的规律,应用得到的规律可得错误!＝n，则m＝8_068，n＝2_018．7．(2016·合肥高新区一模）观察下列等式:30＝1，31＝3，32＝9，33＝27,34＝81,35＝243，36＝729，37＝2 187,…,解答下列问题：3＋32＋33＋…＋32 015的末位数字是9．8．(2016·合肥六大名校押题卷）观察下列等式：①11×2×3＝错误!－错误!，②错误!＝错误!－错误!，③错误!＝错误!－错误!，…。
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1 / 3文档根源为 :从网络采集整理.word 版本可编写 .支持 .专题复习 ( 四)规律探究题种类 1 数式的变化规律1．(2016 ·邵阳 ) 如下图，以下各三角形中的三个数之间均拥有同样的规律，依据此规律，最后一个三角形中y与 n 之间的关系是 ( B )A ． y ＝ 2n ＋ 1． y ＝2n ＋ nBC ． y ＝ 2n ＋1＋ nD ． y ＝2n ＋ n ＋ 12．( 2016·娄底 ) “数学是将科学现象升华到实质认识的重要工具”．比方在化学中，甲烷的化学式是 CH 4，乙烷的化学式是 C 2H 6，丙烷的化学式是 C 3H 8， ，设碳原子的数量为 n(n 为正整数 ) ，则它们的化学式都可用以下哪个式子来表示 ( A )ACHB CH． n 2n ＋ 2． n 2nC ． C n H 2n － nD ．C n H n ＋ 33．(2016 ·合肥十校联考一模 ) 古希腊数学家把数 1，3，6，10， 15，21， 叫做三角数，它有必定的规律性．若把第一个三角数记为 a 1，第二个三角数记为 a 2， ，第 n 个三角数记为 a n ，则 a n ＋ a n ＋ 1＝ ( D )A ． n 2＋ nB ． n 2＋ n ＋ 1C． n 2＋ 2n ． n 2＋ 2n ＋ 1D4．(2015 ·孝感 ) 察看以下等式： 22 221＝ 1 ，1＋3＝2 ，1＋ 3＋ 5＝3 ，1＋ 3＋ 5＋ 7＝ 4 ， ，则 1＋ 3＋ 5＋ 7＋ ＋ 2 015 ＝ 1_016_064 或 1_0082．5．(2015 ·安徽 ) 按必定规律摆列的一列数： 21， 22，23， 25， 28， 213， ，若 x ，y ， z 表示这列数中的连续三个数，猜想 x ， y ， z 知足的关系 式是 xy ＝ z ．6．(2016 ·桐城模拟 ) 计算以下各题： 2 2 2 25 ＋24，6 ＋28，7 ＋32，8 ＋ 36， ，察看所得结果，总结存在的规律，应用获得的规律可得2 016 2＋ m ＝n ，则 m ＝8_068， n ＝ 2_018．7．(2016 ·合肥高新区一模 ) 察看以下等式： 30＝ 1，31＝3，32＝ 9，33＝ 27，34＝ 81，35＝ 243，36＝ 729，37＝ 2 187， ，解答以下问题：2＋3 32 015的末位数字是 9．3＋ 3 ＋ ＋ 38．(2016 ·合肥六大名校押题卷 ) 察看以下等式：① 1 2 1 ，② 1 3 1 ，＝ － ＝ －1×2×3 3 2 2×3×4 8 31 4 1③ ＝ －， .3×4×5 15 4依据此规律，解决以下问题：(1) 达成第④个等式；(2) 写出你猜想的第 m 个等式 ( 用含 m 的式子表示 ) ，并证明其正确性．15 1解： (1) 4×5×6＝ 24－ 5.1 m ＋ 1 1(2)m （ m ＋ 1）（ m ＋2） ＝ （ m ＋1） 2－ 1－m ＋ 1.证明：（ m ＋1） 2－ [ （ m ＋ 1） 2－ 1]右侧＝（ m ＋1） [ （ m ＋ 1） 2－ 1]1＝（m ＋ 1）（ m 2＋ 2m ）1 ＝m （ m ＋ 1）（ m ＋ 2）＝左侧．∴ 1m ＋ 1 1＝ 2－. m （ m ＋ 1）（ m ＋ 2） （ m ＋ 1） － 1 m ＋ 19．(2016 ·阜阳九中三模 ) 察看以下对于自然数的等式：23 －4×1＝ 4＋ 1 ① 52－4×2＝ 16＋ 1 ②1文档采集于互联网，已整理， word 版本可编写 .2 / 3文档根源为 :从网络采集整理 .word 版本可编写 .支持.72－4×3＝ 36＋ 1 ③依据上述规律解决以下问题：(1) 达成第④个等式： (9) 2 －4×(4) ＝ (64) ＋ 1；(2) 写出你猜想的第 n 个等式 ( 用含 n 的式子表示 ) ，并考证其正确性．解： (2n ＋ 1) 2－ 4n ＝ (2n) 2＋ 1.考证：左侧＝ (2n ＋ 1) 2－ 4n＝ 4n 2＋ 4n ＋ 1－ 4n ＝ 4n 2＋ 1＝右侧．∴等式建立种类 2 图形的变化规律10．(2016 ·宁国调研 ) 将一些同样的图形“”按如下图的规律挨次摆放，察看每个图形中“ ”的个数，若第 n个图形中有 272 个“ ”，则 n 的值是 ( C )A ．88B ． 89C ．90D ． 9111．(2016 ·阜阳颍泉区二模 ) 如图，图①由 4 个正三角形和 3 个正六边形拼成，图②由 8 个正三角形和 5 个正六边 形拼成，图③由 12 个正三角形和 7 个正六边形拼成， 依此规律，则第n 个图案中，正三角形和正六边形的个数分别是 ( D )A ． n 2＋ n ＋2， 2n ＋ 1B ． 2n ＋2， 2 n ＋ 1C ． 4n ， n 2－ n ＋ 3D ． 4n ，2n ＋ 112．(2016 ·内江 ) 一组正方形按如下图的方式搁置，此中极点B 在 y 轴上，极点C ，E ，E ，C ，E ，E ，C ，11122 343在 x 轴上，已知正方形 A B C D 的边长为 1，∠ B C O ＝ 60°， B 1C ∥B C ∥ B C ，则正方形AB CD的边长1 11 11 112 2332 016 2 0162 016 2 016是( D )1 20151 2016A . 2B . 2C .3 2016D .3 20153313．(2016 ·宁波 ) 以下图案是用长度同样的火柴棒按必定规律拼搭而成的，图案①需 8 根火柴棒，图案②需15 根火柴棒， ，按此规律，图案⑦需50 根火柴棒．14．(2016 ·合肥十校联考 ) 察看以下图形规律：当 n ＝ 11 时，图形“△”的个数是“●”的个数的 2 倍．15．(2016 ·马鞍市当涂县五校联考 ) 如图，一个 3×2的矩形 ( 即长为 3，宽为 2) 能够用两种不一样方式切割成3 或 6个边长是正整数的小正方形，即小正方形的个数最多是6 个，最少是 3 个．(1) 一个 5×2的矩形用不一样的方式切割后，小正方形的个数最少是 4 个，最多是 10 个；(2) 一个 7×2的矩形用不一样的方式切割后，小正方形的个数最少是 5 个，最多是 14 个；(3) 一个 (2n ＋1) ×2的矩形用不一样的方式切割后，小正方形的个数最多是 4n ＋2 个，最少是 n ＋ 2 个． (n 是正整数 ) 16．(2016 ·马鞍山二模 ) 如图，将边长分别为 1， 2， 3， 5、 的若干正方形按必定的规律拼成不一样的矩形，挨次记作 矩形①，矩形②，矩形 ③，矩形④， 那么按此规律．(1) 构成第 n 个矩形的正方形的个数为 n ＋ 1 个；(2) 求矩形⑥的周长．解：①的周长为 2×(1 ＋ 2) ，②的周长为 2×(2 ＋ 3) ，③的周长为 2×(3 ＋ 5) ，④的周长为 2×(5 ＋ 8) ，由 此可推出 第 n 个矩形的宽为第 n － 1 个矩形的长，第 n 个矩形的长为第 n － 1 个长方形的长和宽的和． ∴：第⑤个矩形的周长为2×(8 ＋ 13) ，第⑥个矩形的周长为2× (13 ＋ 21) ＝68.17．(2016 ·芜湖南陵县一模 ) 正方形 ABCD 内部有若干个点，用这些点以及正方形ABCD 的极点 A ， B ， C ， D 把原正2文档采集于互联网，已整理，word版本可编写.文档根源为 :从网络采集整理.word 版本可编写 .支持. 方形切割成一些三角形( 相互不重叠 ) ．(1)填写下表：正方形 ABCD内点的个数 1 2 3 4 n切割成的三角形的个数 4 6 8 10 2(n ＋ 1)(2) 原正方形可否被切割成 2 016 个三角形？若能，求此时正方形ABCD内部有多少个点；若不可以，请说明原因．解：能 .1 007 个点．设点数为n，则2(n ＋ 1) ＝ 2 016 ，解得 n＝ 1 007.答：原正方形能被切割成 2 016 个三角形，此时正方形ABCD内部有 1 007 个点．种类 3 点的坐标规律18．(2016 ·河南 ) 如图，已知菱形OABC的极点 O(0， 0) ，B(2 ，2) ，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第 60 秒时，菱形的对角线交点 D 的坐标为 ( B)A ．(1，－1) B．(－1，－1)C ．( 2， 0) D．(0，－2)19．(2016 ·岳阳 ) 如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为 1 个单位长， P ，P ， P ，均在格点上，1 2 3其次序按图中“→”方向摆列，如：P1(0 ， 0) ， P2(0 ， 1) ， P3(1 ， 1) ， P4(1 ，－ 1) ， P5( － 1，－ 1) ， P6( － 1， 2) ，，依据这个规律，点 P2 016 的坐标为 (504 ，－ 504) ．20．(2016 ·鄂州 ) 如图，直线 l ：y＝－3x，点 A 坐标为 ( － 3，0) ．过点 A 作 x 轴的垂线交直线l 于点 B ，以原点 O4 1 1 1为圆心， OB1长为半径画弧交x 轴负半轴于点A2，再过点 A2作 x 轴的垂线交直线l 于点 B2，以原点 O为圆心， OB2长为半径画弧交 x 轴负半轴于点3 2 016 52 015 A，，按此做法进行下去，点 A 的横坐标为－32 014 ．21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点 M0的坐标为 (1 ，0) ，将线段 OM0绕原点 O逆时针方向旋转 45°，再将其延伸到 M1，使得 M1M⊥ OM，获得线段OM；又将线段 OM绕原点 O 逆时针方向旋转 45°，再将其延伸到M2，使得0 0 1 1MM⊥OM，获得线段 OM；这样下去，获得线段 OM， OM， OM，，依据以上规律，请直接写出OM 的长度为2 1 1 2345 2 01621_008．22．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△ OA1B1，第二次将△ OA1B1变换成△ OA2B2，第三次将△ OA2B2变换成△OAB ，已知 A(1， 3)，A (2 ，3)，A (4 ， 3)，A (8 ，3)，B(2，0)，B (4 ，0) ，B (8 ，0)，B (16 ，0)．3 3 1 2 3 1 2 3(1) 察看每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将△OA 3B3 变换成△OA4B4，则A4 的坐标是(16，3)．(2)若按 (1) 中找到了规律将△ OAB 进行了 n 次变换，获得的△ OA n B n，比较每次变换中三角形极点坐标有何变化，找出规律，推出 B n的坐标是 (2 n＋1， 0) ．3文档采集于互联网，已整理，word 版本可编写 .3 / 3。
安徽中考数学复习专题全辑 专题四 规律探索题
【方法点拨】对于图形规律探索题常按以下步骤操作：①写序号：记每组图形 的序数为“1，2，3，…，n”；②数图形的个数：在图形数量变化时，要标记 出每组图形表示的个数；③寻找图形数量与序号 n 的关系：在寻找第 n 个图形 表示的数量时，先将后一个图形表示的个数与前一个图形表示的个数进行比对， 通过作差(商)来观察是否有恒定量的变化，然后按照定量变化推导出具体某个 图形的个数；④验证：代入序号验证所归纳的式子是否正确．
211 4. 解：(1)第 6 个等式： ＝ ＋
11 6 66
21
1
(2) ＝ ＋
2n－1 n n（2n－1）
1
1
2n－1＋1 2
证明：∵右边＝ ＋
＝
＝ ＝左边，∴等式成立．
n n（2n－1） n（2n－1） 2n－1
5．解：(1)第 5 个式子为：(11＋9)2－(11－9)2＝4×11×9.
(2)第 n 个式子：[(2n＋1)＋(2n－1)]2－[(2n＋1)－(2n－1)]2＝4(2n＋1)(2n－ 1)， 证明：左边＝(4n)2－22＝4[(2n)2－12]＝4(2n＋1)(2n－1)＝右边，等式成立． 类型二 【例 2】 (1)42 n2 (2)2n＋1 2n2＋2n＋1 [解法提示]由(1)可知题图中第(n＋1)行的黑球个数为 2n＋1；1＋3＋5＋…＋ (2n－1)＋(2n＋1)＝(n＋1)2＝n2＋2n＋1，1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，n2＋2n ＋1＋n2＝2n2＋2n＋1. 跟踪训练 1．解：(1)9 (2n－1) (2)2n－1＝2 019，n＝1 010. 2．解：60 6n (1)61 3n2－3n＋1 (2)依题意得 3n2－3n＋1＝271， 解得 n1＝10，n2＝－9(不合题意，舍去)． 所以小圆圈的个数会等于 271，是第 10 个点阵． 3．解：(1)100 40 (2)n2＋4n [解法提示]第 1 个图形：白色小正方形 1 个，黑色小正方形 4×1＝4 个，共有 1 ＋4＝5 个； 第 2 个图形：白色小正方形 2×2＝4 个，黑色小正方形 4×2＝8 个，共有 4＋8 ＝12 个；
2024年中考数学复习重难点题型训练—规律探索题(含答案解析)
2024年中考数学复习重难点题型训练—规律探索题（含答案解析）类型一数式规律1．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：2345,a ，第n 个单项式是（）AB1n -CnD1n -【答案】Ca ，指数为1开始的自然数，据此即可求解．【详解】解：按一定规律排列的单项式：2345,a ，第nn ，故选：C ．【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键．2．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--，34131111n n na a a a a a +++==-- ，，，若12a =，则2023a 的值是（）A ．12-B ．13C ．3-D ．2【答案】A【分析】根据题意可把12a =代入求解23a =-，则可得312a =-，413a =，52a =……；由此可得规律求解．【详解】解：∵12a =，∴212312a +==--，3131132a -==-+，411121312a -==+，51132113a +==-，…….；由此可得规律为按2、3-、12-、13四个数字一循环，∵20234505.....3÷=，∴2023312a a ==-；故选A ．【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律．3．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为()11122113223114233241……A ．2003B ．2004C ．2022D ．2023【答案】C【分析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致．【详解】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故202023在第20列，即20b =；向前递推到第1列时，分数为201912023192042-=+，故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行，则2042a =．∴2042202022.a b -=-=故选：C ．【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．4．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x ，规定2()1xf x x =+，例如：224(2)213f ⨯==+，1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，233(3)312f ⨯==+，1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++= （）A ．199B ．200C ．201D ．202【答案】C【分析】通过计算11(1)1,(2)2,(3)223f f f f f ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，⋯可以推出11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭结果．【详解】解：2(1)1,11f ==+ 12441212(2),,(2)2,112323212f f f f ⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+122331113(3),,(3)2,113232313f f f f ⨯⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+…2100200(100)1100101f ⨯==+，1212100()11001011100f ⨯==+，1(100)(2100f f +=，11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21001=⨯+201=故选：C ．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键．5.（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（）A．23-B．13C．12-D．23【答案】D 【分析】当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现呈周期性出现，即可得到2021a 的值．【详解】解：当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现是以：213,,32-，循环出现的规律，202136732=⨯+ ，2021223a a ∴==，故选：D ．【点睛】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．6.（2021·湖北随州市·中考真题）根据图中数字的规律，若第n 个图中的143q =，则p的值为（）A．100B．121C．144D．169【答案】B 【分析】分别分析n 的规律、p 的规律、q 的规律，再找n 、p 、q 之间的联系即可．【详解】解：根据图中数据可知：1,2,3,4n =，……22221,2,3,4,p =……222221,31,41,51,q =----……则2p n =，2(1)1q n =+-，∵第n 个图中的143q =，∴2(1)1=143q n =+-，解得：11n =或13n =-(不符合题意，舍去)∴2=121p n =，故选：B ．【点睛】本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键．7.（2021·山东济宁市·中考真题）按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（）A．23B．511C．59D．12【答案】D 【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，根据规律即可得到答案．【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，∴第n 个数据为：2211n n -+当3n =时W 的分子为5，分母为23110+=∴这个数为51102=故选：D ．【点睛】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．8.（2021·湖北十堰市·）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025B．2023C．2021D．2019【答案】B 【分析】根据数字的变化关系发现规律第n 行，第n 列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，故选：B．【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．9.（2020•天水）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（）A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2【分析】根据已知条件和2100＝S，将按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，求和，即可用含S的式子表示这组数据的和．【解析】∵2100＝S，∴2100+2101+2102+…+2199+2200＝S+2S+22S+…+299S+2100S＝S（1+2+22+…+299+2100）＝S（1+2100﹣2+2100）＝S（2S﹣1）＝2S2﹣S．10．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是．【答案】()21n n n n -=-【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数，等式的右边为这个数乘以这个数减1，即可求解．【详解】解：∵21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…∴第n （n 为正整数）个等式是()21n n n n -=-，故答案为：()21n n n n -=-．【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．11．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……按照上述规律，2n =．【答案】()()111n n -++【分析】根据已有的式子，抽象出相应的数字规律，进行作答即可．【详解】解：∵21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……∴()()2211n n n ++=+，∴()()2111n n n -++=．故答案为：()()111n n -++【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律．12．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m ，n 的平方差，且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，221653=-，16就是一个智慧优数，可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是；第23个智慧优数是．【答案】1545【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．【详解】解：依题意，当3m =，1n =，则第1个一个智慧优数为22318-=当4m =，2n =，则第2个智慧优数为224214-=当4m =，1n =，则第3个智慧优数为224115-=，当5m =，3n =，则第5个智慧优数为225316-=当5m =，2n =，则第6个智慧优数为225221-=当5m =，1n =，则第7个智慧优数为225324-=……6m =时有4个智慧优数，同理7m =时有5个，8m =时有6个，12345621+++++=第22个智慧优数，当9m =时，7n =，第22个智慧优数为2297814932-=-=，第23个智慧优数为9,6m n ==时，2296813645-=-=，故答案为：15，45．【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．13．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5；()7,10；()13,17；()21,26；()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n 个数对：．【答案】()221,22n n n n ++++【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第n 个数对的第一个数为：()11n n ++，第n 个数对的第二个位：()211n ++，即可求解．【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…即：121⨯+，231⨯+，341⨯+，451⨯+，561⨯+，…则第n 个数对的第一个数为：()2111n n n n ++=++，每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…即：221+；231+；241+；251+；261+…，则第n 个数对的第二个位：()221122n n n ++=++，∴第n 个数对为：()221,22n n n n ++++，故答案为：()221,22n n n n ++++．【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题．14．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）点Q 的横坐标为一元一次方程37322x x +=-的解，纵坐标为a b +的值，其中a ，b 满足二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，则点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为___________．【答案】()5,4--【分析】先分别解一元一次方程37322x x +=-和二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，求得点Q的坐标，再根据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解．【详解】解：37322x x +=-，移项合并同类项得，525x =，系数化为1得，5x =，∴点Q 的横坐标为5，∵2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩①②，由2+⨯①②得，3=12b -，解得：4b =-，把4b =-代入①得，24=4a +，解得：0a =，∴=04=4a b +--，∴点Q 的纵坐标为4-，∴点Q 的坐标为()5,4-，又∴点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为()5,4--，故答案为：()5,4--．【点睛】本题考查解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q 的坐标是解题的关键．15．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：2-，4，8-，16，32-，64，……①0，7，4-，21，26-，71，……②根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为．【答案】1024202422024-+【分析】通过观察第一行数的规律为(2)n -，第二行数的规律为(2)1n n -++，代入数据即可.【详解】第一行数的规律为(2)n -，∴第①行数的第10个数为10(2)1024-=；第二行数的规律为(2)1n n -++，∴第①行数的第2023个数为2023(2)-，第②行数的第2023个数为2023(2)2024-+，∴202422024-+，故答案为：1024；202422024-+．【点睛】本题主要考查数字的变化，找其中的规律，是今年考试中常见的题型.16.（2021·湖南怀化市·中考真题）观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002=m ，用含m 的代数式表示这组数的和是___________．【答案】100(21)m -【分析】根据规律将1002，1012，1022，……，1992用含m 的代数式表示，再计算0199222+++ 的和，即可计算1001011011992222++++ 的和．【详解】由题意规律可得：2399100222222++++=- ．∵1002=m∴23991000222222=2m m +++++== ，∵22991001012222222+++++=- ，∴10123991002222222=++++++ 12=2m m m m =+=．102239910010122222222+=++++++ 224=2m m m m m =++=．1032399100101102222222222=++++++++ 3248=2m m m m m m =+++=．……∴1999922m =．故10010110110199992222222m m m ++++=+++ ．令012992222S ++++= ①12310022222S ++++= ②②-①，得10021S-=∴10010110110199992222222m m m ++++=+++ =100(21)m -故答案为：100(21)m -．【点睛】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．17.（2022·湖南怀化）正偶数2，4，6，8，10，……，按如下规律排列，2468101214161820……则第27行的第21个数是______．【答案】744【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数••••••••第n行有n个数，则前n行共有(1)2n n+个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几．【详解】解：由图可知，第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，•••••••第n行有n个数．∴前n行共有1+2+3+⋯+n=(1)2n n+个数．∴前26行共有351个数，∴第27行第21个数是所有数中的第372个数．∵这些数都是正偶数，∴第372个数为372×2=744．故答案为：744．【点睛】本题考查了数字类的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出其中的规律，再结合其他已知条件求解．18.（2021·四川眉山市·中考真题）观察下列等式：1311 212x===+⨯；2711623x ===+⨯；313111234x ===+⨯；……根据以上规律，计算12320202021x x x x ++++-= ______．【答案】12016-【分析】根据题意，找到第n 个等式的左边为1与1n(n 1)+的和；利用这个结论得到原式＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021，然后把12化为1﹣12，16化为12﹣13，120152016⨯化为12015﹣12016，再进行分数的加减运算即可．【详解】11(1)n n =++，20201120202021x =+⨯12320202021x x x x ++++- ＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021＝2020+1﹣12+12﹣13+…+12015﹣12016﹣2021＝2020+1﹣12016﹣2021＝12016-．故答案为：12016-．【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．19.（2022·安徽）观察以下等式：第1个等式：()()()22221122122⨯+=⨯+-⨯，第2个等式：()()()22222134134⨯+=⨯+-⨯，第3个等式：()()()22223146146⨯+=⨯+-⨯，第4个等式：()()()22224158158⨯+=⨯+-⨯，……按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；(2)写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并证明．【答案】(1)()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯(2)()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明见解析【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．(1)解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯，故答案为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯；(2)解：第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明如下：等式左边：()2221441n n n +=++，等式右边：[][]22(1)21(1)2n n n n +⋅+-+⋅[][](1)21(1)2(1)21(1)2n n n n n n n n =+⋅+++⋅⋅+⋅+-+⋅[](1)411n n =+⋅+⨯2441n n =++，故等式()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅成立．【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．20.（2021·贵州铜仁市·中考真题）观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________．【答案】12nn +【分析】根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果．【详解】解：根据题意可知：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+，第四项：41144162=+，…则第n 项是12n n +；故答案为：12nn +．【点睛】此题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键．0.618≈这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设12a =，b =11111S a b =+++，2222211S a b =+++，…，10010010010010011S a b=+++，则12100S S S +++= _______．【答案】5050【分析】利用分式的加减法则分别可求S 1=1，S 2=2，S 100=100，•••，利用规律求解即可．【详解】解： 12a =，b =11122ab =⨯=∴，1112211112a ba ba b b ba bS a a ++++=+==+++++++ ，222222222222222222221112a b a b S a b a b a b a b ++++=+=⨯=⨯=+++++++，…，10101001001001010101010010011100100111a b S a b a b a b +++=+=⨯=+++++∴12100S S S +++= 121005050++⋯⋯+=故答案为：5050【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得1ab =，找出的规律是本题的关键．22.（2021·江西中考真题）下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．【答案】3【分析】通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和．【详解】解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律，例如：第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加，即：211=+；第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加，即：321=+；⋅⋅⋅⋅⋅⋅由此规律：故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加，即空缺数为：3，故答案是：3．【点睛】本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题．23.（2022·山东泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对(),n m 表示第n 行，从左到右第m 个数，如()3,2表示6，则表示99的有序数对是_______．【答案】()10,18【分析】分析每一行的第一个数字的规律，得出第n 行的第一个数字为211n +-（），从而求得最终的答案．【详解】第1行的第一个数字：()2111=+-1第2行的第一个数字：()22121=+-第3行的第一个数字：()25131=+-第4行的第一个数字：()210141=+-第5行的第一个数字：()217151=+-…..，设第n 行的第一个数字为x ，得()211x n =+-设第1n +行的第一个数字为z ，得21z n =+设第n 行，从左到右第m 个数为y 当99y =时221(1)991n n +-≤<+∴22(1)98n n -≤<∵n 为整数∴10n =∴21182x n =+-=（）∴9982118m =-+=故答案为：()10,18．【点睛】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质．24.（2022·浙江舟山）观察下面的等式：111236=+，1113412=+，1114520=+，……(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．【答案】(1)1111(1)n n n n =+++(2)见解析【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++．（2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++，用分式的加法计算式子右边即可证明．(1)解：∵第一个式子()1111123621221=+=+++，第二个式子()11111341231331=+=+++，第三个式子()11111452041441=+=+++，……∴第（n+1）个式子1111(1)n n n n =+++；(2)解：∵右边=111111(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n ++=+==+++++=左边，∴1111(1)n n n n =+++．【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律．类型二图形规律25．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A ．39B ．44C ．49D ．54【答案】B 【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．【详解】解：第①个图案用了459+=根木棍，第②个图案用了45214+⨯=根木棍，第③个图案用了45319+⨯=根木棍，第④个图案用了45424+⨯=根木棍，……，+⨯=根，第⑧个图案用的木棍根数是45844故选：B．【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．25．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（）A．14B．20C．23D．26【答案】B【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.=⨯-；【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，2311=⨯-；第②个图案中有5个圆圈，5321=⨯-；第③个图案中有8个圆圈，8331=⨯-；第④个图案中有11个圆圈，11341…，⨯-=；所以第⑦个图案中圆圈的个数为37120故选：B.【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为31n -是解题的关键.27．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1234100+++++ 时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到100(1100)12341002⨯++++++= ．人们借助于这样的方法，得到(1)12342n n n ++++++= （n 是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y ，其中1,2,3,,,i n = ，且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+，如1(0,0)A ，即120,(1,0)a A =，即231,(1,1)a A =-，即30,a = ，以此类推．则下列结论正确的是（）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-【答案】B 【分析】利用图形寻找规律()211,1n A n n ---，再利用规律解题即可．【详解】解：第1圈有1个点，即1(0,0)A ，这时10a =；第2圈有8个点，即2A 到()91,1A ；第3圈有16个点，即10A 到()252,2A ，；依次类推，第n 圈，()211,1n A n n ---；由规律可知：2023A 是在第23圈上，且()202522,22A ，则()202320,22A 即2023202242a =+=，故A 选项不正确；2024A 是在第23圈上，且()202421,22A ，即2024212243a =+=，故B 选项正确；第n 圈，()211,1n A n n ---，所以2122n a n -=-，故C 、D 选项不正确；故选B ．【点睛】本题考查图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．28.（2022·江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．12【答案】B 【分析】列举每个图形中H 的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H 的个数为4，第2个图中H 的个数为4+2，第3个图中H 的个数为4+2×2，第4个图中H 的个数为4+2×3=10，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H 的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H 是解题的关键．29.（2022·重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32B．34C．37D．41【答案】C 【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n 个图形的算式，然后再解答即可．【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n 个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．30.（2021·广西玉林市·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用n Y 表示，则94Y Y -=（）A．4152⨯B．4312⨯C．4332⨯D．4632⨯【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21nn Y =-，代入规律求解即可．【详解】解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B．【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答31.（2021·黑龙江大庆市·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n 条直线相交最多有的交点个数公式：1(1)2n n -．【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点；4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点；5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点；⋯20条直线相交最多有120191902⨯⨯=．故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n 条直线相交最多有1(1)2n n -．32．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为．【答案】1226C H 【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解．【详解】解：甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个，十二烷的化学式为1226C H ，故答案为：1226C H ．【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键．33．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n 个图案中有个白色圆片（用含n 的代数式表示）【答案】()22n +【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，可得第(1)n n >个图案中有白色圆片的总数为22n +．【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，∴第(1)n n >个图案中有()22n +个白色圆片．故答案为：()22n +．【点睛】此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律．34．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++ 的值时，发现：1100101+=，299101+= ，从而得到123100++++= 101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作11a =；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作25a =；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作39a =；按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）【答案】22n n -/22n n -+【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=-，进而即可求解．【详解】解：依题意，()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-，，∴123n a a a a ++++= ()21432122n n n n n n +-==-=-，故答案为：22n n -．【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．35.（2022·山东泰安）观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n 的值为____________．【答案】不存在【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n 个图形中“•”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n 个“○”的个数是()12n n +；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n 的值是多少即可．【详解】解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；n=2时，“•”的个数是6=3×2；n=3时，“•”的个数是9=3×3；n=4时，“•”的个数是12=3×4；……∴第n 个图形中“•”的个数是3n；又∵n=1时，“○”的个数是1=1(11)2⨯+；n=2时，“○”的个数是2(21)32⨯+=，n=3时，“○”的个数是3(31)62⨯+=，n=4时，“○”的个数是4(41)102⨯+=，……∴第n 个“○”的个数是()12n n +，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022()1320222n n n +∴-=①，()1320222n n n +-=②解①得：无解解②得：12n n ==故答案为：不存在【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．36.（2022·四川遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．【答案】127【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），.....．∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），故答案为：127．【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．37.（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有11⨯个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有22⨯个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有33⨯个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)【答案】2n 2+2n【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n 个图案的规律为S n =4n+2n ×(n-1)，得出结论即可．【详解】解：观察图形可知：第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数141221,S =⨯=⨯⨯第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数262232,S =⨯=⨯⨯第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数383243,S =⨯=⨯⨯第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数4104254,S =⨯=⨯⨯…由此发现规律是：第n 个图案由n 2个小正方形组成，共用的木条根数()22122,n S n n n n =+=+ 故答案为：2n 2+2n．【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．38.（2021·黑龙江绥化市·中考真题）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第n 个图形中三角形个数是_______．【答案】21n n +-【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n-1)，下方规律为n 2，结合两部分即可得出答案．【详解】解：将题意中图形分为上下两部分，则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1，下半部规律为：12、22、32、42……n 2，∴上下两部分统一规律为：21n n +-．故答案为：21n n +-．【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究．类型三与函数有关规律39．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形123PA A A ，正方形456,PA A A ⋯，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A ---，()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（）。
中考数学《规律探索》专题复习试题含解析
中考数学《规律(Lv)探索》专题复习试题含解析一(Yi)、选择题1. 如图，将一张等边(Bian)三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按(An)同样方式再剪成4个小三(San)角形，共得到7个小(Xiao)三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得(De)到10个小三角形，称为第三次操(Cao)作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A．25 B．33 C．34 D．50【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n次操作后三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个，根据题意得3n+1=100，求得n的值即可．【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；当3n+1=100时，解得：n=33，故选：B．2.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角【考点】规律型：点的坐标．【分(Fen)析】根据图形中对应的数字和各个(Ge)数字所在的位置，可以推出数2016在第多少个正方形和它所在的位置，本(Ben)题得以解决．【解(Jie)答】解(Jie)：∵2016÷4=504，又(You)∵由题目中给出的几个(Ge)正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0，0在(Zai)右下角，然后按逆时针由小变大，∴第504个正方形中最大的数是2015，∴数2016在第505个正方形的右下角，故选D．3．（2016.山东省临沂市，3分）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（）A．2n+1 B．n2﹣1 C．n2+2n D．5n﹣2【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第1个图形中小正方形的个数是22﹣1、第2个图形中小正方形的个数是32﹣1、第3个图形中小正方形的个数是42﹣1，可知第n个图形中小正方形的个数是（n+1）2﹣1，化简可得答案．【解答】解：∵第1个图形中，小正方形的个数是：22﹣1=3；第2个图形中，小正方形的个数是：32﹣1=8；第3个图形中，小正方形的个数是：42﹣1=15；…∴第n个图形中，小正方形的个数是：（n+1）2﹣1=n2+2n+1﹣1=n2+2n；故选：C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键．二、填空题1．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为4n﹣3 ．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】结合题意，总结可知，每(Mei)个图中三角形个数比图形的编号的(De)4倍(Bei)少(Shao)3个三角形，即可(Ke)得出结果．【解(Jie)答】解：第(Di)①是(Shi)1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：4n﹣3．【点评】此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系．2．如图，直线l：y=－x，点A1坐标为（－3，0）. 过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x 轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为 .【考点】一次函数图像上点的坐标特征，规律型：图形的变化类．【分析】由直线l：y=－x的解析式求出A1B1的长，再根据勾股定理，求出OB1的长，从而得出A2的坐标；再把A2的横坐标代入y=－x的解析式求出A2B2的长，再根据勾股定理，求出OB2的长，从而得出A3的坐标；…，由此得出一般规律．【解(Jie)答】解(Jie)：∵点(Dian)A1坐(Zuo)标为（－3，0），知(Zhi)O A1=3，把(Ba)x=－3代入(Ru)直线(Xian)y=－x中，得y= 4 ，即A1B1=4.根据勾股定理，OB1===5，∴A2坐标为（－5，0），O A2=5；把x=－5代入直线y=－x中，得y=，即A2B2=.根据勾股定理，OB2====，∴A3坐标为（－3512，0），O A3=3512；把x=－3512代入直线y=－x中，得y=，即A3B3=.根据勾(Gou)股定理，OB 3====，∴A 4坐标(Biao)为（－3523，0），O A 4=3523；……同理(Li)可得(De)A n 坐(Zuo)标为（－，0），O A n =3521--n n ；∴A 2016坐(Zuo)标为（－，0）故(Gu)答案为：（− 3520142015，0）【点(Dian)评】本题是规律型图形的变化类题是全国各地的中考热点题型，考查了一次函数图像上点的坐标特征. 解题时，要注意数形结合思想的运用，总结规律是解题的关键. 解此类题时，要得到两三个结果后再比较、总结归纳，不要只求出一个结果就盲目的匆忙得出结论。
中考安徽规律探索专题
魏中(杨3昊)指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向．向上
2019/-53/-1270
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安徽历年中考 类型三：图形规律
8.（2016•安徽省,第16题8分）观察下列图形与 等式的关系，并填空：
魏中杨昊 2019/-53/-1270
42 n2
16/20
安徽历年中考
类型二：图形规律
(2)观察下图，根据(1)中结论，计算图中黑球 的个数，用含有n的代数式填空：
7.观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去， 可以得到第n个图形中所有的个数为_____(_n（+1用)2含 n的代数式表示） 函数思想
n
1
2
3 4 …n
y 4 9 16 25 … ？
魏中杨昊 2019/-53/-1270
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安徽历年中考
类型三：图形规律
7.（ 2011•安徽省,第16题8分）在平面直角坐标系中，
（2）对应的思想
（3）拆分的思想
（4）函数的思想
魏中杨昊 2019/-53/-1270
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• 作业．(原创)观察下列图形的规律并解答：
• (1)第6个图形中一共有__________个小三角形；
• (2)用三根火柴棒可摆出一个小三角形，现用 165根火柴棒摆出具有上面规律的图形，问： 这个图形中共有多少个小三角形？
类型三：图形规律
7.观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去， 可以得到第n个图形中所有的个数为_____(_n（+1用)2含 n的代数式表示）
拆分思想
序号 1
2
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…
n
点的 个数
1+3 1+3+5 1+3+5+7
2024中考数学复习专题 规律探索题 (含答案)
2024中考数学复习专题规律探索题类型一数式规律1. (2023鄂州)生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n 来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，请你推算22023的个位数字是()A. 8B. 6C. 4D. 22. (2023泰安)将从1开始的连续自然数按以下规律排列：…若有序数对(n，m)表示第n行，从左到右第m个数，如(3，2)表示6，则表示99的有序数对是________．3. (2022怀化)观察等式：2＋22＝23－2，2＋22＋23＝24－2，2＋22＋23＋24＝25－2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代数式表示这组数的和是________．4. (2023张家界)有一组数据：a1＝31×2×3，a2＝52×3×4，a3＝73×4×5，…，a n＝2n＋1n（n＋1）（n＋2）.记S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n，则S12＝________．5. (2023达州)人们把5－12≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设a＝5－12，b＝5＋12，记S1＝11＋a＋11＋b，S2＝21＋a2＋2 1＋b2，…，S100＝1001＋a100＋1001＋b100，则S1＋S2＋…＋S100＝________．6. (2023安徽)观察以下等式：第1个等式：(2×1＋1)2＝(2×2＋1)2－(2×2)2，第2个等式：(2×2＋1)2＝(3×4＋1)2－(3×4)2，第3个等式：(2×3＋1)2＝(4×6＋1)2－(4×6)2，第4个等式：(2×4＋1)2＝(5×8＋1)2－(5×8)2，…按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：____________________；(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并证明．类型二图形规律考向1累加型7. (2023重庆B卷)把菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第①个图案中有3个菱形，第①个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第①个图案中菱形的个数为()第7题图A. 15B. 13C. 11D. 98. (2023济宁)如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点…按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是()第8题图A. 297B. 301C. 303D. 4009. (2023青海省卷)木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第n个图中共有木料________根．第9题图源自人教七上P70第10题10. (2022常德)如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有1×1个小正方形，所有线段的和为4，第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有3×3个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格中所有线段的和为________．(用含n的代数式表示)第10题图11. (2023遂宁)“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为________．第11题图12. (2023德阳)古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：第12题图其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是1＋2＝3，第三个三角形数是1＋2＋3＝6，…图①的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是1＋3＝4，第三个正方形数是1＋3＋5＝9，……由此类推，图①中第五个正六边形数是________．考向2成倍递变型13. (2023威海)由12个有公共顶点O 的直角三角形拼成如图所示的图形，①AOB ＝①BOC ＝①COD ＝…＝①LOM ＝30°.若S ①AOB ＝1，则图中与①AOB 位似的三角形的面积为( )第13题图A. (43 )3B. (43 )7C. (43 )6D. (34)6 14. (2023荆州)如图，已知矩形ABCD 的边长分别为a ，b ，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD 各边的中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1；第二次，顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边的中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2；…如此反复操作下去，则第n 次操作后，得到四边形A n B n C n D n 的面积是( )A. ab 2nB. ab 2n －1C. ab 2n ＋1 D. ab22n第14题图15. (2023烟台)如图，正方形ABCD 边长为1，以AC 为边作第2个正方形ACEF ，再以CF 为边作第3个正方形FCGH ，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为( ) A. (22 )5 B. (22 )6 C. (2 )5 D. (2 )6第15题图16. (2023广安)如图，四边形ABCD 是边长为12的正方形，曲线DA 1B 1C 1D 1A 2…是由多段90°的圆心角所对的弧组成的．其中，弧DA 1的圆心为A ，半径为AD ；弧A 1B 1的圆心为B ，半径为BA1；弧B1C1的圆心为C，半径为CB1；弧C1D1的圆心为D，半径为DC1….弧DA1、弧A1B1、弧B1C1、弧C1D1…的圆心依次按点A、B、C、D循环，则弧C2023D2023的长是________(结果保留π).第16题图17. (2023绥化)如图，①AOB＝60°，点P1在射线OA上，且OP1＝1，过点P1作P1K1①OA 交射线OB于K1，在射线OA上截取P1P2，使P1P2＝P1K1；过点P2作P2K2①OA交射线OB 于K2，在射线OA上截取P2P3，使P2P3＝P2K2；…；按照此规律，线段P2023K2023的长为________.第17题图考向3周期变化型18. (2023玉林)如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF 的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2023秒钟后，两枚跳棋之间的距离是()A. 4B. 23C. 2D. 0第18题图19. (2023河南)如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O 重合，AB①x轴，交y轴于点P.将①OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为()A. (3，－1)B. (－1，－3)C. (－3，－1)D. (1，3)第19题图20. (2023毕节)如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点A1(1，1)；把点A1向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点A2(－1，3)；把点A2向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点A3(－4，0)；把点A3向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点A4(0，－4)；…；按此做法进行下去，则点A10的坐标为________．第20题图类型三与函数图象结合21. (2023龙东地区)如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，A4…在x轴上且OA1＝1，OA2＝2OA1，OA3＝2OA2，OA4＝2OA3…按此规律，过点A1，A2，A3，A4…作x轴的垂线分别与直线y＝3x交于点B1，B2，B3，B4…记①OA1B1，①OA2B2，①OA3B3，①OA4B4…的面积分别为S1，S2，S3，S4…则S2023＝________．第21题图22. (2022菏泽)如图，一次函数y ＝x 与反比例函数y ＝1x(x ＞0)的图象交于点A ，过点A 作AB ①OA ，交x 轴于点B ；作BA 1①OA ，交反比例函数图象于点A 1；过点A 1作A 1B 1①A 1B 交x 轴于点B 1；再作B 1A 2①BA 1，交反比例函数图象于点A 2，依次进行下去…，则点A 2022的横坐标为________．第22题图23. (2023盐城)《庄子·天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如图，直线l 1：y ＝12x ＋1与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线交直线l 2：y ＝x 于点O 1，过点O 1作y 轴的平行线交直线l 1于点A 1，以此类推，令OA ＝a 1，O 1A 1＝a 2，…，O n －1A n －1＝a n ，若a 1＋a 2＋…＋a n ≤S 对任意大于1的整数n 恒成立，则S 的最小值为________．第23题图类型四 与实际问题结合24. (2022安徽)某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图①表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．【观察思考】当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块(如图①)；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块(如图①)；以此类推．第24题图【规律总结】(1)若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加________块；(2)若一条这样的人行道一共有n(n为正整数)块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为______(用含n的代数式表示)；【问题解决】(3)现有2022块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？参考答案与解析1. C 【解析】21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，则2的1，2，3，4次方的个位上的数分别为2，4，8，6，每4个一次循环，而22022中2022÷4＝550……2，∴个位上的数为4.2. (10，18) 【解析】按照规律可得每一行的最后一个数为行数的平方，第n 行有(2n －1)个数．∵92＝81，102＝100，∴99是第10行，第18个数，∴表示99的有序数对是(10，18).3. m 2－m4.201182 【解析】∵a n ＝2n ＋1n （n ＋1）（n ＋2） ＝n ＋n ＋1n （n ＋1）（n ＋2） ＝n n （n ＋1）（n ＋2） ＋n ＋1n （n ＋1）（n ＋2） ＝1（n ＋1）（n ＋2） ＋1n （n ＋2） ＝1n ＋1 －1n ＋2 ＋12 (1n －1n ＋2)，∴S 12＝12 －13 ＋13 －14 ＋…＋113 －114 ＋12 ×(1－13 ＋12 －14 ＋…＋112 －114 )＝12 －114 ＋12 ×(1＋12 －113 －114 )＝12 ＋12 ＋14 －126 －114 －128 ＝201182. 5. 5050 【解析】∵a ＝5－12 ，b ＝5＋12 ，∴ab ＝1，∵S 1＝11＋a ＋11＋b ＝2＋a ＋b 1＋a ＋b ＋ab ＝2＋a ＋b 2＋a ＋b ＝1，S 2＝21＋a 2 ＋21＋b 2 ＝2（2＋a 2＋b 2）1＋a 2＋b 2＋a 2b 2 ＝2（2＋a 2＋b 2）2＋a 2＋b 2＝2，…，S 100＝1001＋a 100 ＋1001＋b 100 ＝100（2＋a 100＋b 100）1＋a 100＋b 100＋a 100b 100 ＝100（2＋a 100＋b 100）2＋a 100＋b 100＝100，∴S 1＋S 2＋…＋S 100＝1＋2＋…＋100＝100×（100＋1）2＝5050. 6. 解：(1)(2×5＋1)2＝(6×10＋1)2－(6×10)2；(2)(2n ＋1)2＝[2n (n ＋1)＋1]2－[2n (n ＋1)]2.证明：等式左边＝4n 2＋4n ＋1，等式右边＝4n 2(n ＋1)2＋1＋4n (n ＋1)－4n 2(n ＋1)2＝4n (n ＋1)＋1＝4n 2＋4n ＋1，∴左边＝右边，∴等式成立．7. C 【解析】经分析可得，第个图案的菱形个数为2n －1，∴第⑥个图案中菱形个数为2×6－1＝11(个).8. B 【解析】第一幅图中圆点的个数是4＝1×3＋1；第二幅图中圆点的个数是7＝2×3＋1；第三幅图中圆点的个数是10＝3×3＋1；第四幅图中圆点的个数是13＝4×3＋1；…；按照此规律，第n 幅图中圆点的个数是3n ＋1，∴第一百幅图中圆点的个数是3×100＋1＝301.9. n （n ＋1）2【解析】∵第1个图中有木料1根，第2个图中有木料1＋2＝3根，第3个图中有木料1＋2＋3＝6根，第4个图中有木料1＋2＋3＋4＝10根，…，∴第n 个图中有木料1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n （n ＋1）2根． 10. 2n 2＋2n 【解析】观察图形可知：第一个图形由1个小正方形组成，所有线段的和为4×1＝2×2×1, 第二个图形由4个小正方形组成，所有线段的和为6×2＝2×3×2, 第三个图形由9个小正方形组成，所有线段的和为8×3＝2×4×3, 第4个图形由16个小正方形组成，所有线段的和为10×4＝2×5×4，…由此发现规律是：第n 个图形由n 2个小正方形组成，所有线段的和为2(n ＋1)·n ＝2n 2＋2n .11. 127 【解析】第一代勾股树中正方形个数＝20＋21；第二代勾股树中正方形个数＝20＋21＋22；第三代勾股树中正方形个数＝20＋21＋22＋23；第四代勾股树中正方形个数＝20＋21＋22＋23＋24，…，∴第六代勾股树中正方形个数＝20＋21＋22＋23＋24＋25＋26＝127.12. 45 【解析】由题图可知，题图④前三层点数分别是：1＝4×1－3，5＝4×2－3，9＝4×3－3，…，∴第n 层的点数是4n －3，∴第n 个正六边形数是1＋5＋9＋…＋4n －3＝4×1－3＋4×2－3＋4×3－3＋…＋4n －3＝2n 2－n ，∴题图④中第五个正六边形数是2×52－5＝45.13. C 【解析】在Rt △AOB 中，∠AOB ＝30°，∵cos ∠AOB ＝OA OB ，∴OB ＝23OA .同理可得OC ＝23 OB ，∴OC ＝(23 )2OA ，…，∴OG ＝(23)6OA ，由题图可知△GOH 与△AOB 位似且位似比为(23 )6.∵S △AOB ＝1，∴S △GOH ＝[(23 )6]2＝(43 )6. 14. A 【解析】第一次操作后S 四边形A 1B 1C 1D 1＝12 S 矩形ABCD ＝12ab ，第二次操作后S 四边形A 2B 2C 2D 2＝12 S 四边形A 1B 1C 1D 1＝12 ×12 ab ＝ab 22 ，第三次操作后S 四边形A 3B 3C 3D 3＝12S 四边形A 2B 2C 2D 2＝ab 23 ，…，第n 次操作后S 四边形A n B n C n D n ＝ab 2n . 15. C 【解析】∵正方形ABCD 边长为1，∴AB ＝BC ＝1，∴AC ＝2 ，∴以AC 为边作第2个正方形ACEF 的边长为2 ；∵CF 是正方形ACEF 的对角线，∴CF ＝2 ×2 ＝(2 )2＝2，∴以CF 为边作第3个正方形FCGH 的边长为2；又∵GF 是正方形FCGH 的对角线，∴GF ＝2 ×2 ×2 ＝(2 )3＝22 ，以GF 为边作第4个正方形FGMN 的边长为22 ，…∴依此规律可知下一个正方形的边长是原来正方形边长的2 倍，即第n 个正方形的边长为(2 )n －1，∴第6个正方形的边长为(2 )5.16. 2022π 【解析】由题图可知，题图中由一段90°的弧组成的，弧所在圆的半径每次增加12 ，则弧C 1D 1的半径＝12 ×4＝12 ×4×1，弧C 2D 2的半径＝12 ×8＝12×4×2，弧C 3D 3的半径＝12 ×12＝12 ×4×3…，弧C 2022D 2022的半径＝12×4×2022＝4044，∴弧C 2022D 2022的长＝90π180×4044＝2022π. 17. 3 (1＋3 )2022 【解析】∵∠AOB ＝60°，OP 1＝1，∴P 1K 1＝3 OP 1＝3 ，∴P 1P 2＝P 1K 1＝3 ，∴OP 2＝1＋3 .∵P 2K 2＝3 OP 2，∴P 2K 2＝3 (1＋3 )，∴OP 3＝(1＋3 )2，∴P 3K 3＝3 OP 3＝3 (1＋3 )2，…，∴依此规律可得P 2023K 2023＝3 (1＋3 )2022.18. B 【解析】根据两枚跳棋跳动规则可知，红跳棋每过6秒钟跳动回顶点A ，黑跳棋每过18秒钟跳动回顶点A ，∵2022÷6＝337，∴经过2022秒后，红跳棋在顶点A 处；∵2022÷18＝112……6，6÷3＝2，∴经过2022秒钟后，黑跳棋在顶点E 处．如解图，连接AE ，过点F 作FG ⊥AE 于点G ，∵六边形ABCDEF 是边长为2的正六边形，∴∠AFE ＝120°，FE ＝AF ，∴∠F AE ＝30°，∴AG ＝EG ＝AF ·cos 30°＝2×32 ＝3 ，∴AE ＝23 ，即两枚跳棋之间的距离是23 .第18题解图19. B 【解析】如解图，连接OB ，∵AB ∥x 轴，∴AB ⊥y 轴，∵六边形ABCDEF 是正六边形，点O 是中心，∴OB ＝OA ，∠AOB ＝60°，∴∠AOP ＝30°，AP ＝12AB ＝1，∴OP ＝3 ，∴点A (1，3 )，将△AOP 绕点O 顺时针每次旋转90°，则第1次结束点A 的坐标为(3 ，－1)，第2次结束点A 的坐标为(－1，－3 )，第3次结束点A 的坐标为(－3 ，1)，第4次结束点A 的坐标为(1，3 )，…，∴每4次一个循环，∵2022＝4×505＋2，∴第2022次旋转结束时，相当于第2次结束，∴点A 的坐标为(－1，－3 ).第19题解图20. (－1，11) 【解析】由图象可知，A 5(5，1)，将点A 5向左平移6个单位，再向上平移6个单位，可得A 6(－1，7)，将点A 6向左平移7个单位，再向下平移7个单位，可得A 7(－8，0)，将点A 7向右平移8个单位，再向下平移8个单位，可得A 8(0，－8)，将点A 8向右平移9个单位，再向上平移9个单位，可得A 9(9，1)，将点A 9向左平移10个单位，再向上平移10个单位，可得A 10(－1，11).21. 240433 【解析】∵S 1＝1×32 ＝ 20×32 ，S 2＝2×232 ＝ 22×32，… ，依此规律可得S n ＝ 22(n －1)×32 ，∴S 2023＝ 22×(2023－1)×32＝ 240433 . 22. 2021 ＋2022 【解析】∵点A 是函数y ＝x 与y ＝1x的图象在第一象限的交点，∴点A 的坐标为(1，1)，又∵AB 垂直于直线y ＝x ，∴点B 坐标为(2，0)，又∵BA 1∥OA ，∴BA 1的解析式为y ＝x －2，与y ＝1x 联立，解得x ＝1＋2 (负值已舍)，即点A 1的横坐标为1＋2 ；同理可得B 1的横坐标为22 ，∵B 1A 2∥BA 1，∴B 1A 2的解析式为y ＝x －22 ，与y ＝1x 联立，解得A 2的横坐标为2 ＋3 (负值已舍)；…；依此按规律可得A 2021的横坐标为2021 ＋2022 .23. 2 【解析】由题可得a 1＝OA ＝1，而y ＝x 与y 轴的正方向的夹角是45°，O 1A ⊥y 轴，∴O 1A ＝OA ＝1，∴ 点O 1的横坐标是1，对于y ＝12 x ＋1，当x ＝1时，y ＝32，∴a 2＝O 1A 1＝12 ，∴tan ∠A 1AO 1＝O 1A 1O 1A ＝12 ，依次得出A 1O 2＝A 1O 1＝12 ，a 3＝A 2O 2＝12 A 1O 2＝(12)2，…，可以得出A n －1O n －1＝(12 )n －1，∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ＝1＋12 ＋…＋(12 )n －2＋(12)n －1①，①×2得2×(a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n )＝2＋1＋12 ＋…＋(12 )n －3＋(12)n －2②，②－①得a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ＝2－(12 )n －1，∴S ≥2－(12)n －1，∴S 的最小值是2. 24. 解：(1)2；【解法提示】观察题图②与题图③，每增加1块正方形地砖，则增加2块等腰直角三角形地砖．(2)2n ＋4；【解法提示】在题图②中，正方形地砖1块，等腰直角三角形地砖(4＋2)块；在题图③中，正方形地砖2块，等腰直角三角形地砖(4＋2×2)块；正方形地砖若有3块，则等腰直角三角形地砖(4＋2×3)块；…；依此按规律可得正方形地砖若有n 块，则等腰直角三角形地砖有(4＋2n )块．(3)设需要正方形地砖n块，∴2n＋4≤2021，解得n≤1008.5，∵n为正整数，∴n最大取1008，答：需要正方形地砖1008块．。
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题型四规律探索题类型一数式规律探索1. (2018霍邱县一模)如下数表是由1开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题的解答：(1)第9行的最后一个数是________；(2)第n行的第一个数是________，第n行共有________个数；第n行各数之和为____________．2. (2018安庆二模)观察下列等式：(1)1－12＋11×2＝1；(2)12－14＋13×4＝13；(3)13－16＋15×6＝15；…根据上述规律解决下列问题：(1)写出第(4)个等式：(________)－(________)＋(________)＝(________)；(2)写出你猜想的第(n)个等式，并证明．3. 观察下列等式：①11＋12－12＝11；②13＋14－112＝12；③15＋16－130＝13；④17＋18－156＝14；…(1)请根据以上规律写出第5个等式：__________________________；(2)猜想并写出第n个等式，并验证其正确性．4. 观察下列由连续的正整数组成的宝塔形等式：第1层1＋2＝3；第2层4＋5＋6＝7＋8；第3层9＋10＋11＋12＝13＋14＋15；第4层16＋17＋18＋19＋20＝21＋22＋23＋24；…(1)填空：第6层等号右侧的第一个数是________，第n层等号右侧的第一个数是________(用含n的式子表示，n是正整数)，数字2017排在第几层？请简要说明理由；(2)求第99层右侧最后三个数字的和．5. (2018太和县模拟)观察下列等式：①1＋2＝3；②4＋5＋6＝7＋8；③9＋10＋11＋12＝13＋14＋15；④16＋17＋18＋19＋20＝21＋22＋23＋24；…(1)试写出第五个等式；(2)根据你的发现，试说明145是第几行的第几个数？6. 按如下方式排列正整数，第1行有1个数，第2行有3个数，第3，4行分别有7个、13个数．依此规律，解答下列问题：12 3 43 4 5 6 7 8 94 5 6 7 8 9 10…15 16…(1)第10行有________个数，第n行有________个数(结果用含n的式子表示)；(2)第2，3，4行都含有数4，其中第2行最先出现4，那么2019最先出现在第几行？7. 已知下列等式：①32－12＝8，②52－32＝16，③72－52＝24，…(1)请仔细观察，写出第4个式子；(2)根据以上式子的规律，写出第n个式子，并用所学知识说明第n个等式成立；(3)利用(2)中发现的规律计算：8＋16＋24＋…＋792＋800.8. 【问题提出】观察下列图形，回答问题：第8题图由此可以得出第1个图形中所有线段的长度的和是1，第2个图形中所有线段的长度的和是4，第3个图形中所有线段的长度的和是10，第4个图形中共有________条线段，所有线段的长度的和是________；【规律探索】在计算第1，2，3个图形中所有线段的长度的和的时候，得出了下列等式：1×1＝1×2×36； 1×2＋2×1＝2×3×46； 1×3＋2×2＋3×1＝3×4×56；第4个等式为____________； …【问题解决】求第n 个图形中所有线段的长度的和．9. (2017安徽19题)我们知道，1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2，那么12＋22＋32＋…＋n 2结果等于多少呢？在图①所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12；第2行两个圆圈中数的和为2＋2，即22；……；第n 行n 个圆圈中数的和为n ＋n ＋…＋n ,\s \do 4(n个n ))，即n 2.这样，该三角形数阵中共有n （n ＋1）2个圆圈，所有圆圈中数的和为12＋22＋33＋…＋n 2.第9题图①【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图②所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第n －1行的第一个圆圈中的数分别为n －1，2，n )，发现每个位置上三个圆圈中数的和均为________．由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3(12＋22＋32＋…＋n 2)＝________，因此，12＋22＋32＋…＋n 2＝________．第9题图②【解决问题】根据以上发现，计算12＋22＋32＋…＋201721＋2＋3＋…＋2017的结果为________．类型二图形规律探索1. 下列各图形中的“”的个数和“△”的个数是按照一定规律摆放的：第1题图(1)观察图形，填写下表：时，“△”的个数是“2. 用同样大小的“”按如图所示的规律摆放：第2题图(1)第5个图形有多少枚“”？(2)第几个图形有2018枚“”？请说明理由．3. 如图，图①中小黑点的个数记为a1＝4，图②中小黑点的个数记为a2＝8，图③中小黑点的个数记为a3＝13，…第3题图根据以上图中的规律完成下列问题：(1)图④中小黑点的个数记为a4，则a4＝________；(2)图n中小黑点的个数记为a n，则a n＝________(用含n的式子表示)；(3)第几个图形中的小黑点的个数为43个？4. (1)观察下列图与等式的关系，并填空：算最上面有几个圆圈？5. (2018安徽名校大联考)如图，下列每个图案均是由若干边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成，探究规律，解答问题．第5题图(1)请根据你的探究直接写出：第10个图案中共有______个小正方形，第n 个图案中共有______个小正方形；(2)是否存在有37个小正方形的图案？若存在，请求出是第几个图案；若不存在，请说明理由．6. 观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：(1)认真观察图①，并填写出第4个点阵图相应的等式．(2)结合(1)观察图②，并填写出第5个点阵图相应的等式．第6题图②(3)通过猜想，直接写出(2)中与第n个点阵图相对应的等式．7. (2018怀远县模拟)如图，正方形ABCD内部有若干个点，用这些点以及正方形ABCD的顶点A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形(互相不重叠)：(1)填写下表：内部有多少个点？若不能，请说明理由.8. (2018合肥包河区一模)如图，每个图形可以看成由上下左右4个等腰梯形组成或者是由外围大正方形减去正中间的正方形(阴影部分)所得，而每个等腰梯形又由若干个更小的全等正方形和全等等腰直角三角形组成，且等腰直角三角形的面积正好是小正方形面积的一半，设小正方形的面积为1，则第1个图形的面积为4×(2×1＋4×12)＝16，第2个图形的面积为4×(5×1＋5×12)＝30，第3个图形的面积为4×(9×1＋6×12)＝48，…根据上述规律，解答下列问题：(1)第4个图形的面积为：4×(____×1＋____×12)＝____，(2)第n个图形的面积为：4×[____×1＋____×12](用含n的式子填空)；(3)上面的图形还可看成一个大正方形再减去中间1个小正方形组成，这时，第1个图形的面积为(32)2－2，第2个图形的面积为(42)2－2，第3个图形的面积为(52)2－2，…再根据这个规律，完成下列问题：①按此规律，第n个图形的面积为：[____]2－2(用含n的式子填空)；②比较两个猜想，写出你发现的结论并验证．第8题图9. (2016安徽)(1)观察下列图形与等式的关系，并填空：第9题图①(2)观察下图，根据(1)中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋(________)＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1＝________．参考答案类型一数式规律探索1. 解：(1)81；【解法提示】根据题意，观察发现：第1行的最后一个数为12＝1，第2行的最后一个数为22＝4，第3行的最后一个数为32＝9，第4行的最后一个数为42＝16，第5行的最后一个数为52＝25，第6行的最后一个数为62＝36，…，∴第n行的最后一个数为n2，∴第9行的最后一个数是81.(2)(n－1)2＋1，2n－1, (n2－n＋1)(2n－1)．【解法提示】观察发现：第1行的第一个数为(1－1)2＋1＝1，第2行的第一个数为(2－1)2＋1＝2，第3行的第一个数为(3－1)2＋1＝5，第4行的第一个数为(4－1)2＋1＝10，第5行的第一个数为(5－1)2＋1＝17，第6行的第一个数为(6－1)2＋1＝26，…，∴第n行第一个数为(n－1)2＋1；观察发现：第1行共有1个数，第2行共3个数，第3行共5个数，第4行共7个数，第5行共9个数，第6行共11个数，…，∴第n行共(2n－1)个数；由(1)知第n行的最后一个数为n2，∴第n行的各数之和为（n－1）2＋1＋n22·(2n－1)＝(n2－n＋1)(2n－1)．2. 解：(1)14，18，17×8，17；【解法提示】观察上述等式发现：第(1)个等式：1－12×1＋11×（1＋1）＝12×1－1＝1；第(2)个等式：12－12×2＋1（2×2－1）×（2×2）＝12×2－1＝13；第(3)个等式：13－12×3＋1（2×3－1）×（2×3）＝12×3－1＝15；∴第(4)个等式为：14－12×4＋1（2×4－1）×（2×4）＝12×4－1＝17.即14－18＋17×8＝17. (2)第(n )个等式为1n －12n ＋12n （2n －1）＝12n －1.证明： 左边＝2（2n －1）－（2n －1）＋12n （2n －1）＝4n －2－2n ＋1＋12n （2n －1）＝12n －1＝右边．∴原式成立．3. 解：(1)19＋110－190＝15；【解法提示】观察发现：第①个等式：12×1－1＋12×1－1（2×1－1）（2×1）＝11；第②个等式：12×2－1＋12×2－1（2×2－1）（2×2）＝12；第③个等式：12×3－1＋12×3－1（2×3－1）（2×3）＝13；第④个等式：12×4－1＋12×4－1（2×4－1）（2×4）＝14；∴第⑤个等式：12×5－1＋12×5－1（2×5－1）（2×5）＝15，即19＋110－190＝15；(2)根据上述规律，得第n 个等式为12n －1＋12n －12n （2n －1）＝1n.证明：左边＝2n＋2n－1－12n（2n－1）＝2（2n－1）2n（2n－1）＝1n＝右边，∴等式成立．4. (1)43，n2＋n＋1；2017排在第44层，理由略；(2)第99层右侧最后三个数字的和为29994.5. 解：(1)根据题意可得，第五个等式为25＋26＋27＋28＋29＋30＝31＋32＋33＋34＋35；(2)根据已知等式得，第n行的第1个数为n2，∵122＝144，∴145是第12行的第2个数.6. 解：(1)91，n2－n＋1；【解法提示】根据题意可知，第2行最后一个数为4＝22，数字个数是22－1；第3行最后一个数为9＝32，数字个数是32－2；第4行最后一个数为16＝42，数字个数是42－3；…，∴第10行最后一个数为102＝100，数字个数是102－9＝91；第n行最后一个数为n2，数字个数是n2－(n－1)＝n2－n＋1.(2)∵第44行最后一个数是442＝1936，第45行第一个数字是45，而最后一个数字是452＝2025，45＜2019＜2025，∴2019最先出现在第45行．7. 解：(1)∵第1个式子为：32－12＝(2×1＋1)2－(2×1－1)2＝8×1；第2个式子为：52－32＝(2×2＋1)2－(2×2－1)2＝8×2；第3个式子为：72－52＝(2×3＋1)2－(2×3－1)2＝8×3；∴第4个式子为：(2×4＋1)2－(2×4－1)2＝92－72＝8×4＝32；即第4个式子为：92－72＝32；(2)由(1)的推理过程可得，第n个式子为：(2n＋1)2－(2n－1)2＝8n；证明：∵左边＝4n2＋4n＋1－4n2＋4n－1＝8n＝右边，∴所写等式成立；(3)8＋16＋24＋…＋792＋800＝32－12＋52－32＋72－52＋…＋2012－1992＝2012－1＝40400.8. 解：【问题提出】10，20；【规律探索】1×4＋2×3＋3×2＋4×1＝4×5×66；【问题解决】n（n＋1）（n＋2）6.9. 解：【规律探究】2n＋1，n（n＋1）（2n＋1）2，n（n＋1）（2n＋1）6；【解法提示】第n－1行的第一个圆圈中的数分别为n－1，2，n，则n－1＋2＋n＝2n＋1；3(12＋22＋32＋…＋n2)＝(1＋2＋3＋…＋n)(2n＋1)＝n（n＋1）（2n＋1）2；12＋22＋32＋…＋n2＝n（n＋1）（2n＋1）2·13＝n（n＋1）（2n＋1）6.【解决问题】1345.【解法提示】12＋22＋32＋…＋20172 1＋2＋3＋…＋2017＝2017×（2017＋1）（2×2017＋1）62017×（2017＋1）2＝2×2017＋13＝1345.类型二图形规律探索1. 解：(1)完成表格如下：”的【解法提示】根据题意知n（n＋1）2＝2×3n，解得n＝0(舍去)或n＝11,∴当n＝11时，“△”的个数是“”的个数的2倍．2. 解：(1)图①有2枚“”，2＝2×12，图②有8枚“”，8＝2×22，图③有18枚“”，18＝2×32，…图⑤有2×52＝50，∴第五个图形有50枚“”；(2)由(1)可得第n 个图形有(2n 2)枚“”，令2n 2＝2018， 此方程无整数解，∴没有哪个图形有2018枚“”． 3. 解：(1)19；【解法提示】根据题意知a 4＝1＋2＋3＋4＋5＋4＝19. (2)12n 2＋52n ＋1；【解法提示】a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＋n ＋1＋n ＝n （n ＋1）2＋2n ＋1＝12n 2＋52n＋1.(3)当12n 2＋52n ＋1＝43时，解得：n ＝7(负值舍去)，∴第7个图形中的小黑点的个数为43个. 4. 解：(1)12×52，30，2n ，3n （n ＋1）2； (2)由题意得，3n （n ＋1）2＝165，解得n 1＝10，n 2＝－11(舍去)，即最上面有10个圆圈． 5. 解：(1)56，n （n ＋1）2＋1(或n 2＋n ＋22)；【解法提示】观察发现：第1个图案有1＋1＝2个小正方形；第2个图案有1＋2＋1＝4个小正方形；第3个图案有1＋2＋3＋1＝7个小正方形；第4个图案有1＋2＋3＋4＋1＝11个小正方形；…∴第10个图案有1＋2＋3＋4＋…＋10＋1＝56个小正方形；第n个图案有1＋2＋3＋4＋…＋n＋1＝n（n＋1）2＋1个小正方形.(2)存在．理由如下：令n（n＋1）2＋1＝37，解得n＝－9(舍去)，或n＝8，∴存在有37个小正方形的图案，是第8个图案．6. 解：(1)1＋2＋3＋4＝（1＋4）×42＝10；(2)10＋15＝52；(3)由(1)(2)可知，n（n－1）2＋n（n＋1）2＝n2.【解法提示】可以将(2)中点阵图分为两部分，一部分与(1)的点阵图完全相同，剩余部分与(1)中前一部分的点阵图完全相同，因此可以得出(2)中第n个点阵图等于(1)中第n个点阵图和n－1个点阵图之和，∴n2＝n（n－1）2＋n（n＋1）2.7. 解：(1)填写下表：2个点时，内部分割成4＋2＝6个三角形；有3个点时，内部分割成4＋2×2＝8个三角形；有4个点时，内部分割成4＋2×3＝10个三角形；…∴有n个点时，内部分割成4＋2×(n－1)＝(2n＋2)个三角形；(2)能．令2n＋2＝2008，解得n＝1003.即此时正方形ABCD内部有1003个点．8. 解：(1)14，7，70；(2)(2＋3＋4＋…＋n＋n＋1)(形式不唯一)，n＋3；(3)①(n＋2)2；【解法提示】观察图形可知，第1个图形的面积为[(1＋2)2]2－2＝(32)2－2；第2个图形的面积为[(2＋2)2]2－2＝(42)2－2，第3个图形的面积为[(3＋2)2]2－2＝(52)2－2，…∴第n个图形的面积为[(n＋2)2]2－2.② 4[(2＋3＋4＋…＋n＋n＋1)×1＋12(n＋3)]＝[(n＋2)2]2－2.证明：右边＝2n2＋8n＋6；左边＝4[n（n＋3）2＋n＋32]＝2(n＋3)(n＋1)＝2n2＋8n＋6，∴左边＝右边．即4[(2＋3＋4＋…＋n＋n＋1)×1＋12(n＋3)]＝[(n＋2)2]2－2.9. 解：(1)42；n2；【解法提示】观察每一行图形变换，可以发现，当小球有4行时，小球的总个数＝4×4＝42(个)，∴第一个空填“42”；根据此规律可知，当小球有n行时，小球的总数＝n·n＝n2，∴第二个空填“n2”．(2)2n＋1；2n2＋2n＋1.【解法提示】在连续的奇数中，2n－1后边的数是2n＋1，∴第一个空填“2n ＋1”；由第(1)小题的结论可知，在等式的左边的数中，“2n－1”前面的所有数之和等于n2，后面的所有的数之和也等于n2，∴总和＝n2＋(2n＋1)＋n2＝2n2＋2n＋1，∴等式的右边填“2n2＋2n＋1”．。