勾股定理和两点间的距离公式讲义
八秋13-勾股定理和两点之间的距离公式(教师版)
初中数学备课组 教师 班级 八年级 学生 日期 上课时间 教学内容： 勾股定理和两点的距离公式 知识点归纳一、勾股定理知识点1. 定理1 在直角三角形中，斜边大于直角边.2. 勾股定理： 直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方.3. 勾股定理的逆定理： 如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三 角形是直角三角形. 二、例题讲解例1. 如图，已知在ABC ∆中，BC AD ⊥,3=AB ,1,2==DC BD ,求AC 的长度. 答案：6解析：因为BC AD ⊥，所以ABD ∆和ACD ∆都是直角三角形.所以在ABD ∆中， 222AB AD BD =+（勾股定理） 所以5232222=-=-=BD AB AD .因为ACD ∆是直角三角形，所以222AC DC AD =+（勾股定理） 所以61522=+=+=DCAD AC例2 如图，在ABC ∆中，AD C ,90 =∠平分BAC ∠,交BC 于点D ,5:13:,10,26===DC BD AC AB ,求点D 到AB 边的距离. 解：作AB DE ⊥于点E .10,26,90===∠AC AB C （已知）， 222AC BC AB +=∴（勾股定理），得.2410262222=-=-=AC AB BC 320185,5:13:==∴=BC CD DC BD AD 平分∴∠,BAC 点D 到AB 边的距离DE 等于点D 到AC 边的距离320=CD . 例 3 如图，在长方形ABCD 中，4,8==BC AB ,将长方形沿AC 折叠，点D 落在'D 处，求重叠部分AFC ∆的面积.解： 长方形ABCD 中，CD AB //（已知） 21∠=∠∴（两直线平行，内错角相等） 由折叠知C AD ADC '∆≅∆,31∠=∠∴ 32∠=∠∴（等量代换），CF AF =∴（等角对等边）设，,x CF AF ==则x FB -=8.DCBAEDCBA321FDCB A在BCF Rt ∆中，222FC BC BF =+（勾股定理），()22248x x =+-∴解方程得：5=x .1021,5=⋅==∴∆BC AF S AF AFC 说明：图形经过翻折、旋转、平移运动后，形状与大小不会改变，因此对这类问题要注意使用全等图形的性质.在解答有关图形的问题时，可以采用代数方法，合理的设定未知数，根据题意或图形的性质列方程来解决.例4 如图，在ABC ∆中，BC AD ⊥于点D ,且DC BD AD ⋅=2.判断ABC ∆是不是直角三角形？ 解： BC AD ⊥于点D （已知），222BD AB AD -=∴ 222DC AC AD -=（勾股定理）()()222222DC BD AC AB AD +-+=∴ DC BD AD ⋅=2,()DC BD DCBD AC AB ⋅⋅=+-+∴22222.22222DC BD DC BD AC AB ⋅++=+∴ ()2222BC DC BD AC AB =+=+∴即222BC AC AB =+, ABC ∆∴是直角三角形（勾股定理的逆定理）例5 如图，在ABC ∆中，M BC AC ACB ,,90==∠ 是ABC ∆内一点，且2,1,3===CM BM AM ,求BMC ∠的度数.解： 作CM CD ⊥，使CM CD =. 联结DM 、DB .90=∠+∠=∠+∠BCM DCB BCM ACM ,ACM DCB ∠=∠∴又()S A S ACM BCD CD CM BC AC ⋅⋅∆≅∆∴==,, ,3==∴AM BD90,2=∠==DCM CM CD . 45,2222=∠=+=∴CMD CM CD DM1359045=+=∠+∠=∠∴BMD CMD BMC巩固练习: 一、填空题1. 等腰三角形的两边长分别为8和6，则其底边上的高为____10____.2. 如果直角三角形的三边长分别为5、12、13，那么这个三角形最大边上的中线为__213___. 3. 如果直角三角形的两直角边长分别为3、4，则斜边上的高为__512____. 4. 直角三角形周长为12cm ，斜边上中线是2.5cm ，则三角形的面积是___26cm _____.DCBAMDCBA5. 已知ABC ∆中，,4,30,90==∠=∠BC C A 那么以AC 为一边的正方形的面积为__12___.6. 已知ABC ∆中，,90 =∠C 若,20,3:4:==c b a 则a =___16_____,=b ___12______.7. 如图，直线l 过正方形ABCD 的顶点A ,点B 、D 到直线l 的距离分别为8、15，则正方形的面积为____289______.(第7题) (第8题)8. 如图，已知在ABC Rt ∆中， 30,90=∠=∠C B ,将ABC ∆绕点A 逆时针旋转 30后得到'''C B A ∆,若1=AB ,则两个三角形重叠部分的面积为____63_____. 9. (1) 若ABC ∆的三条边长a 、b 、c ，满足函数关系式0422224=--+b c a c b a ，则ABC ∆的形状是____等腰三角形或直角三角形_____.(2) 已知a 、b 、c 是ABC ∆的三条边长，若关于x 的方程()()022=---+b a cx x b a 有两个相等的实数根，则ABC ∆的形状是___直角三角形______. 10. 如图，已知在ABC Rt ∆中，,90=∠C 1,30==∠AC B, 点D 在AB 上，且AB BD 41=,那么CD 的长是___27____.二、解答题1. 如图，在四边形ABCD 中，.12,13,4,3,90=====∠BC DC AB AD A 求四边形ABCD 的面积.答案：362. 如图，一架2.5米长的梯子AB ,斜靠在一竖直的墙AC 上，这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7米，如果梯子顶端A 沿墙垂直下滑0.4米至1A ,那么梯足将外移多少米？ 答案：0.8米DCBAl D C BA C'B'CBAC DBA A1A3. 如图，矩形ABCD 中，8,10==AB AD ,将矩形ABCD 沿AE 折叠，使点D 恰好落在边BC 上的点F 处，求EF 及AE 的长.答案：55,5==AE EF4. 如图，AB ABC DC AD BC AB ,90,6,3,3 =∠====交DC 于点E,求DAB ∠的度数. 答案： 155. 已知矩形ABCD 中，E BC AB ,4,3==、F 分别在AC AB ,上，且,1==BF BE 求F 到ED 的距离. 答案：5536. 根据下列三角形的三边a 、b 、c 的值，判断三角形是不是直角三角形，如果是直角三角 形，指出哪个角是直角： （1）;25,24,7===c b a （2）;11,8,7===c b a （3）5:12:13::=c b a答案：（1）是， 90=∠C ;(2)不是；（3）是 90=∠A7. 如果一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，求这个三角形的三边长. 答案：所以此直角三角形的三边长为6,8,10.8. 如图，已知ABC ∆的三边25,20,15===AC BC AB ,求ABC ∆最长边上的高. 答案：12三、两点间的距离公式1.设在数轴上点A 表示数A x ，点B 表示数B x ,则B A x x AB -=2.设在平面直角坐标系中点()11,y x A ，点()22,y x B ，则()()221221y y x x AB -+-=例6 已知()()()2,1,4,3,3,4C B A -，判断ABC ∆的形状.CFEDBACEDBAC FEDBA解答： 90=∠C ,ABC ∆是直角三角形.例7 在直角坐标平面内，点A 坐标为()4,3-，点B 坐标为()6,8，点O 为坐标原点. （1）判断AOB ∆的形状,并说明理由. （2）求OB 边上中线的长.解：（1）直角三角形；（2）25=AC .例8、如图，直角梯形ABCD 中，∠A=90°，AB ∥CD ，且AB=2，AD=23，∠BCD=60°。
两点之间距离公式初中
两点之间距离公式初中在初中学习中，我们会接触到两点之间的距离公式。
两点之间的距离可以用直线距离来衡量，通常使用的公式是勾股定理或者坐标系中的距离公式。
下面将详细介绍这些公式。
1.勾股定理：勾股定理适用于平面上两个点之间的距离计算。
假设有一个直角三角形ABC，其中∠ABC为直角，边AB和AC分别表示直角三角形的两个边。
根据勾股定理，边AB的平方加上边AC的平方等于边BC的平方。
即：AB²+AC²=BC²。
我们可以利用这个定理计算两个点之间的直线距离。
例如，假设在平面上有两个点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，我们可以计算这两个点之间的距离（即边AB的长度）。
距离AB=√[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]其中，(x₂-x₁)表示两个点在x轴上的坐标差，(y₂-y₁)表示两个点在y 轴上的坐标差。
将这些差值的平方相加，然后取平方根，即可得到两个点之间的距离。
2.坐标系中的距离公式：在坐标系中，我们可以计算两个点之间的距离。
假设有两个点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，我们知道两个点之间的水平距离等于x坐标的差值，垂直距离等于y坐标的差值。
因此，我们可以使用以下公式计算两个点之间的距离：距离AB=，x₂-x₁，+，y₂-y₁在计算距离时，我们使用绝对值符号，，取两个坐标差的绝对值，确保结果为正数。
需要注意的是，在计算距离时，我们通常使用绝对值符号来确保结果为正数，因为距离应该是非负的。
总结起来，初中学习中的两点之间的距离公式主要是勾股定理和坐标系中的距离公式。
这些公式可以用来计算平面上两个点之间的直线距离。
在实际问题中，我们可以根据具体的情况选择合适的公式进行计算。
平面上两点间的距离公式
平面上两点间的距离公式在平面上，两点之间的距离可以通过使用勾股定理或坐标公式来计算。
一、勾股定理勾股定理适用于直角三角形，根据该定理，直角三角形斜边的长度可以通过其两条直角边的长度计算得出。
在平面上，两点之间的直线可以看做是直角三角形的斜边，因此我们可以使用勾股定理来计算两点之间的距离。
设两点的坐标分别为P(x1,y1)和Q(x2,y2)，则PQ的距离为d。
根据勾股定理，d的计算公式为：d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)其中，^表示乘方运算，√表示开方运算。
这个公式代表了将两点之间的直线看作斜边，利用两条直角边的长度计算斜边的长度。
二、坐标公式坐标公式是通过计算两点间的水平和垂直距离，然后应用勾股定理来求得两点之间的距离。
这种方法适用于不确定两点坐标的直角坐标系。
假设P(x1,y1)和Q(x2,y2)是两点，横坐标之间的差为Δx，纵坐标之间的差为Δy，d是两点之间的距离，则d的计算公式如下：d=√(Δx^2+Δy^2)=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)这个公式表示了通过计算两点之间的水平和垂直距离，然后应用勾股定理来求得两点之间的距离。
无论使用勾股定理还是坐标公式，最终的计算结果都是两点之间的距离。
这个距离表示了两点之间的直线长度。
这些公式在计算机图形学、几何学和物理学等领域都有广泛的应用。
它们提供了一种简单而有效的方法来计算平面上两点之间的距离。
最后，值得注意的是，上述的距离公式适用于平面上的欧几里得距离。
在一些特殊情况下，如曼哈顿距离或切比雪夫距离等，计算方法可能会有所不同。
这些距离公式适用于特定的应用场景，根据实际情况选择合适的距离公式进行计算。
勾股定理及两点间距离公式B(学生版)
学科教师辅导讲义2． 已知直角三角形的两边长分别是8cm 和6cm ，求它的面积.题型三：【例9】如下图，字母B 所代表的正方形的面积是 ；【例10】如图，在一块用边长为cm 20的正方形的地砖铺设的广场上，一只飞来的鸽子落在A 点处，，鸽子吃完小朋友洒在B 、C 处的鸟食，最少需要走多远？【例11】欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？B16925C B A【例12】如图，有一个高是1.5米、半径是1米的圆柱形油桶，在上地面靠边的地方有一小孔，从孔中插入一根铁棒，已知铁棒在油桶外的部分最短是0.5米，这根铁棒有多长？【例13】中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。
赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。
你能结合这幅“勾股圆方图”证明勾股定理吗？【借题发挥】1．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩的头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？2．如图，每个小方格都是边长为1的正方形，C（1）求图中格点四边形ABCD 的面积和周长。
（2）求∠ADC 的度数。
6．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池中央有一根新生的芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这个芦苇的长度各为多少？题型四：两点间距离公式【例14】求下列两点间的距离：（1）()2,8A -和()3,4B - （2）()2,1C 和()2,3D -（3）()3,2P-和()23,1Q （4）()5,2M-和()2,5N1．在直角三角形ABC 中，3,4a b ==，则c = .2．直角边分别为8cm 和15cm 的直角三角形的斜边上的中线长 cm . 3．等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则它的面积等于 . 4．已知代数式2425x z -+-与代数式21449y y -+的值互为相反数，则以,,x y z 为三边的三角形的形状为三角形,5．如图，在圆O 中，AB 是弦，直径CD 垂直平分AB 于M ，CD 15cm =，:3:5OM OC =,则弦AB 的长为 .解答题：1．在直角坐标平面内，已知点()6,2A -，点()2,4B -，在x 轴上有一点P ，且PA PB =.求点P 的坐标.2．已知：在△ABC 中，26,24,10AB cm AC cm BC cm ===，D 是AB 中点.求线段CD 的长.3．以()()()1,1,0,3,3,1A B C --三点为顶点，能否构成一个三角形？若能，请判断这个三角形的形状;若不能，请说明原因,4．菱形的周长为20cm ，它的一个锐角等于60°，求它的面积.【课堂总结】【课后作业】 一、基础巩固训练填空题：1．如果等腰直角三角形有一条边长2厘米，那么它的另两条边长分别长 厘米.2．如图所示，在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD ⊥AB 于D ，E 为AB 的中点，3,33AC BC ==,则∠DCE 的度数为 .3．点()2,1A -和点()3,2B -之间的距离AB 为 .4．如果边长为3厘米的小正方形的面积之和等于一个大正方形的面积，那么大正方形的边长为 厘米.5．如果点()4,8M 和点(),5N a 之间的距离等于5，那么a 的值为 .选择题：1．以下列各组数为三边长的三角形中，不能组成三角形的是（ ）A.31,31,22+-;B.3.5,4.5,5;C.4,7.5,8.5;D.()221,2,11n n n n -+>.2．在直角三角形中，若斜边上的中线是奇数，一条直角边是偶数，则另一条直角边一定是（ ） A.偶数; B.奇数; C.自然数; D.以上结论都不对. 3．在下列命题中，真命题有（ ）①有一个角等于另外两个角的差的三角熊是直角三角形；②有一条边的平方等于另外两条边的平方和的三角形是直角三角形； ③三条边长分别为10,20,30的三角形是直角三角形；④三个外角的度数之比为3:4:5的三角形是直角三角形. A.4个; B.3个; C.2个; D.1个.4．三角形三个内角的度数比为3:2:1，那么它的三条边的长度之比为（ ） A.3:2:1; B.3:2:1; C.2:3:1; D.9:4:1.5．已知直角三角形有一条直角边长11厘米，另外两条边的长度都是自然数，那么这个三角形的周长为（ ） A.120厘米; B.132厘米; C.144厘米; D.156厘米. 解答题：1．已知：在△ABC 中，AB AC =，D 是底边BC 上任意一点，连结AD .求证：22AB AD BD DC -=⋅.2．如图所示，在△ABC中，∠B=90°，2AB BC a==，AD是BC边上的中线，把点A翻折与点D重合，得到折痕EF，求线段AE与线段BE的长度之比.3．点P、Q为Rt△ABC斜边AB的三等分点.（1）若CP⊥AB，CP=2，求斜边AB的长.（2）若2CP CQ==，求斜边AB的长.二、综合提高训练1．△ABC三边a,b,c为边向外作正方形，正三角形，以三边为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则是直角三角形吗？A BCabcS1S3S2ACabcS2S3BS12．你能用下面的图形也来验证一下勾股定理吗？试一试！。
2点之间距离怎么求
2点之间距离怎么求在几何学中，计算两点之间的距离是一个基本问题。
无论是在平面上还是在三维空间中，我们经常需要计算两个点之间的距离。
本文将介绍一些常见的方法和公式来计算两点之间的距离，旨在帮助读者更好地理解和解决这个问题。
1. 在平面上的两点之间的距离在平面上，给定两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们可以使用勾股定理计算两点之间的距离。
勾股定理表明，对于一个直角三角形，设其两个直角边的长度为a和b，斜边的长度为c，则有：c^2 = a^2 + b^2。
应用到平面上的两点之间，我们可以将该问题转化为计算两个坐标点之间的直线距离，即斜边的长度。
根据勾股定理，可以得到两点之间的距离公式：距离= √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)2. 在三维空间中的两点之间的距离在三维空间中，给定两个点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，我们仍然可以利用勾股定理来计算两点之间的距离。
类似于平面上的情况，我们将该问题转化为计算两个坐标点之间的直线距离。
根据勾股定理，可以得到三维空间中两点之间的距离公式：距离= √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)3. 利用向量计算两点之间的距离除了勾股定理，我们还可以用向量来计算两点之间的距离。
在平面上和三维空间中，我们可以将两个点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)分别表示为向量P和Q。
•在平面上，向量P = (x1, y1)和Q = (x2, y2)，两个向量的差向量为V = Q - P = (x2 - x1, y2 - y1)。
两点之间的距离等于差向量的模，即距离为||V|| = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)。
•在三维空间中，向量P = (x1, y1, z1)和Q = (x2, y2, z2)，两个向量的差向量为V = Q - P = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)。
勾股定理-综合讲义
数学学科辅导讲义教学内容勾股定理教学目标一．考点：1．求线段长；2．最短路径问题；3．两点之间距离公式．教学重点根据已知条件，分析相应图形，并选取合适的方法，求线段长．教学难点1．在应用勾股定理的过程中，注意分清楚直角边和斜边，选择正确的公式来进行计算；2．所对的直角边是斜边的一半，注意分清楚“所对的直角边”和“斜边”．教学过程知识详解一．求线段长求线段长1．直接利用勾股定理：已知直角三角形的两条边，求另外一条；2．通过设未知数，根据勾股定理列方程，解方程；特殊三角形比例关系图1中，图2中，等面积法求高勾股定理与角平分线结合已知，AD为∠CAB的角平分线，则CD=CE，AC=AE已知AD、AC，根据勾股定理，可求出CD勾股定理与折叠问题结合直角三角形ABC中，折叠使点C与点A重合，则AE=CE，C△ABE=AB+BC=9+12=21网格与勾股定理辅助线构造直角三角形（1）与等腰三角形三线合一结合求各边长上图等腰△ABC中，作AD⊥BC，构造出30°、60°、90°的特殊三角形（2）作垂直构造直角三角形，并与特殊角结合下图中，已知任意一边长，可求出图中其他的边长二．勾股定理与最短距离1. 画出立体图形的展开图2. 利用“两点之间线段最短”和“勾股定理”求出最短距离分类思路图示正方体1. 画出平面展开图2. 确定A、B两点的对应点，连接后求解长方体长方体的平面展开图会有两种情况，选择路径更短的求解圆柱 B 点应该在侧面展开图的中间线上缠绕多圈1.圆柱体：看做是多个最短路径的结合2.长方体：展开侧面，连接A 、B 两点即可典型例题进门测：1. 适合下列条件的△ABC 中, 直角三角形的个数为( ) ①;51,41,31===c b a ②,6=a ∠A=450; ③∠A=320, ∠B=580; ④;25,24,7===c b a ⑤.4,2,2===c b aA. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 2. 在⊿ABC 中，若1,2,122+==-=n c n b n a ，则⊿ABC 是（ ）A . 锐角三角形B . 钝角三角形C . 等腰三角形D . 直角三角形3. 直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍, 这个三角形有一个锐角是( )A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°4.已知，如图2，长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）A ．6cm 2B ．8cm 2C ．10cm 2D 12cm 25．如图（第17题）底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从点A 爬到点B ，则蚂蚁爬行的最短距离是( )．A ．10B ．8C ．5D ．4AB EF DC （图2）6．如图（第18题），已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，BC，交AD于点E，AD＝8，AB ＝4，则DE的长为( )．A．3 B．4 C．5 D．67．如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，则CD的长为( )．A．32B．4 C．25D．4.51．点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s，设运动时间为t秒．（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗：若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）连接PQ，①当t=2秒时，判断△BPQ的形状，并说明理由；②当PQ⊥BC时，则t=秒．（直接写出结果）2．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为△ABC内一点，且BD=AD．（1）求证：CD⊥AB；（2）∠CAD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．①求证：DE平分∠BDC；②若点M在DE上，且DC=DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明；③若N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形，直接写出∠CNE的度数．3．如图１，△ABC和△EDC中，D为△ABC边AC上一点，CA平分∠BCE，BC=CD，AC=CE．（1）求证：∠A=∠CED；（2）如图2，若∠ACB=60°，连接BE交AC于F，G为边CE上一点，满足CG=CF，连接DG交BE于H．①求∠DHF的度数；②若EB平分∠DEC，试说明：BE平分∠ABC．随堂检测1．直角三角形两锐角的平分线所成钝角的度数是( )A．115°B．125°C．135°D．无法确定2．有四个三角形，分别满足下列条件：①一个内角等于另外两个内角之和；②三个内角之比为3：4：5；③三边之比为5：12：13；④三边长分别为7，24，25．其中直角三角形有( )A．1个B．2个C．3个D．4个3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，周长为60，斜边与一条直角边之比为13：5，则这个三角形三边长分别为( ) A．5，4，3 B．13，12，5 C．10，8，6 D．26，24，104．一等腰三角形底边长为10 cm，腰长为13 cm，则腰上的高为( )A．12 cm B．6013cm C．12013cm D．135cm6．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为( )A．42 B．32 C．37或33 D．42或32课后练习1．平面直角坐标系中，已知A（8，0），△AOP为等腰三角形且面积为16，满足条件的P点有( ) A．12个B．10个C．8个D．6个2．如图，在△ABC中，已知∠ACB=90°，AB=10cm，AC=8cm，动点P从点A出发，以2cm／s的速度沿线段AB向点B运动．在运动过程中，当△APC为等腰三角形时，点P出发的时刻t可能的值为（）A．5 B．5或8 C．52D．4或52第2题图第3题图3．如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值_________．4．直角三角形三角形两直角边长为5和12，三角形内一点到各边距离相等，那么这个距离为________．4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，作∠ADB的角平分线DE交AB于点E，（1）求证：DE∥BC；（2）若AE=3，AD=5，点P为线段BC上的一动点，当BP为何值时，△DEP为等腰三角形．请求出所有BP的值.选择题专题6．如图，在把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为( )A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm7．如图，一架长2.5 m的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子顶端离地面2.4 m，为了安装壁灯．梯子顶端离地面降至2m，请你计算一下，此时梯子底端应再向远离墙的方向移动( )A．0.4 m B．0.8 m C．1.2 m D．不能确定8．如图，在一个高为3m，长为5m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为( )A．7 m B．8 m C．9 m D．10 m9．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为( )A．600 m B．500 m C．400 m D．300 m。
沪教版八年级上册-勾股定理及两点间距离公式讲义
点 ， 之间所连线段的中点 坐标为（ ， ）
公式对于 和 两点在平面内任意位置都是成立的
热身练习
1、在 中， 那么AC长等于（B）
A. B. C. D.
2、三角形的三边长是9、15、12，它的最长边上的高是（A）
A。7.2 B.6.5 C.10 D无法求出
3、两船分别从港口向东北、西北方向行驶，速度分别为15海里/小时和10海里/小时，若两船同时开出，2小时后相距（A）
，解得 或 ，所以B的坐标是（0，0）或（6，0）；
（2）点B在 轴上，那么可设B的坐标为（0， ）
，解得 或 ，所以点B的坐标是（0，0）或（0，8）；
（3）点B在第一、三象限的角平分线上，那么可设B的坐标为（ ）
，解得 或 ，所以点B的坐标是（0，0）或（7，7）；
（4）点B与 轴的距离等于1，则点B在与 轴平行且分布在 轴两侧的直线上，那么可设B的坐标为（1， ）和（-1， ）
证明：利用面积相等有，
整理得c2＝a2＋b2.
例2、如果一个直角三角形的三边长为三个连续的偶数，求这三角形的三边长。
解：设直角三角形的三边长为 （ 为正整数），显然 最长，则有
，
，
所以直角三角形的三边为6、8、10
例3、如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE= BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问△AEF是什么三角形？请说明理由.
解： 联结AC
在Rt 中，因为 ，AB=12,BC=9
所以AC= （勾股定理）
在 中，AC=15，AD=8，CD=17
而 ，即
所以 为直角三角形，且 （勾股定理逆定理）
所以
例5、已知在直角坐标平面内，A、B两点的坐标为A（2，2）、B（-1，-2），点P在X轴上且
勾股定理及两点间的距离公式
模块一：勾股定理的证明及应用知识精讲1、勾股定理：（1）直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方．利用勾股定理往往构造方程，已达到解决问题的目的；（2）应用勾股定理解决实际问题，要注意分析题目的条件，关注其中是否存在直角三角形，如果存在直角三角形，根据所给的三边条件，建立方程，从而解决问题；如果问题中没有直角三角形，可以通过添加辅助线构造出直角三角形，寻求等量关系，再根据勾股定理建立相应的方程，因此，在解决直角三角形中有关边长的问题时，要灵活的运用方程的思想．例题解析【例1】（1）在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，则AB=_________；（2）在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=3，则AC=_________．【例2】（1）等边三角形的边长是3，则此三角形的面积是___________；（2）等腰三角形底边上的长为2，腰长为4，则它底边上的高为__________．【例3】（1）直角三角形两边长为3和4，则此三角形第三边长为_________；（2）直角三角形两直角边长为3和4，则此三角形斜边上的高为_________；（3）等腰三角形两边长是2、4，则它腰上的高是____________．【例4】（1）若直角三角形的三边长分别为N+1，N+2，N+3则N的值是____________；（2）如果直角三角形的三边长为连续偶数，则此三角形的周长为______________．【例5】 如图，在直角△ABC 中，∠ACB =90°，∠B=60°，D 是斜边AB 的中点，BC =2，求△ADC 的周长．【例6】 如图，已知：R t △ABC 中，∠ACB 是直角，BC =15，AB 比AC 大9，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长．【例7】 已知已直角三角形的周长为4+26，斜边上的中线为2，求这个直角三角形的面积．【例8】 如图，直线MN 是沿南北方向的一条公路，某施工队在公路的点A 测得北偏西30°的方向上有一栋别墅C ，朝正北方向走了400米到达点B 后，测得别墅C 在北偏西75°的方向上，如果要从别墅C 修一条通向MN 的最短小路，请你求出这条小路的长（结果保留根号）．A BCD A BCM MNBC D【例9】 如图，公路MN 和公里PQ 在点P 处交汇，且∠QPN =30°，点A 处有一所中学，AP =160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪音的影响?请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度是18千米/时，那么学校受影响的时间是多少秒?【例10】 如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =4，将矩形沿AC 进行翻折，点D 落在E 处，求出重叠部分△AFC 的面积．【例11】 如图，AB 两个村子在河边CD 的同侧，A 、B 两村到河边的距离分别为AC =1千米，BD =3千米，CD =3千米．现在河边CD 建一座水厂，建成后的水厂，可以直接向A 、B 两村送水，也可以将水送一村再转送另一村．铺设水管费用为每千米2万元，试在河边CD 选择水厂位置P 确定方案，使铺设水管费用最低，并求出铺设水管的总费用（精确到0.01万元）．APQMNABCD EF A BC DA B CDP2、 逆定理：（1） 如果三角形一条边的平方等于其他两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形；利用逆定理来判断三角形是否为直角三角形．（2） 在直角三角形的三边中，首先弄清楚哪条边是斜边，另外应用逆定理时，最大边的平方和等于较小两边的平方和．【例12】 下列命题中是假命题的是（）A ． 在△ABC 中，若∠B =∠C -∠A ，则△ABC 是直角三角形 B ． 在△ABC 中，若2()()a b c b c =+-，则△ABC 是直角三角形 C ． 在△ABC 中，若∠B ：∠C ：∠A =3:4:5，则△ABC 是直角三角形D ． △ABC 中，若::5:4:3a b c =，则△ABC 是直角三角形【例13】 （1）将直角三角形的三边都扩大相同的倍数后，得到的三角形是______三角形；（2）若△ABC 的三边A 、B 、C 满足222()()0a b a b c -+-=则△ABC 是________三角形．【例14】 （1）一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，则旗杆折断之前有多少米?（2）如果梯子的底端离建筑物8米，那么17米长的梯子可以到达建筑物的高度是__________米．模块二：勾股定理的逆定理的证明及应用例题解析知识精讲【例15】 ABC ∆的三边分别为A 、B 、C ，且满足222506810a b c a b c +++=++，判断△ABC 的形状．【例16】 如图，公路上A 、B 两点相距25千米，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已知DA =15千米，CB =10千米，现要在公路AB 上建一车站E ．（1） 若使得C 、D 两村到E 站的距离相等，E 站建在离A 站多少千米处? （2） 若使得C 、D 两村到E 站的距离和最小，E 站建在离A 站多少千米处?【例17】 如图，在四边形ABCD 中，AB =BC =2，CD =3，DA =1，且∠B =90°，求∠DAB 的度数．ABCD A BCDE【例18】 如图，已知在△ABC 中，∠B =90°，AB =BC ，AD 是BC 边上的中线，EF 是AD 的垂直平分线，交AB 于点E ，交AC 于点F ，求AE ：BE 的值．3、 距离公式：如果平面内有两点11()A x y ，、22()B x y ，，则A 、B 两点间的距离为：221212()()x x y y -+-．（1） 当11()A x y ，、22()B x y ，两点同在x 轴上或平行于x 轴的直线上，则有12y y =，AB =12||x x -； （2） 当11()A x y ，、22()B x y ，两点同在y 轴上或平行于y 轴的直线上，则有12x x =，AB =12||y y -．【例19】 已知点A （2，2）、B （5，1）．（1） 求A 、B 两点间的距离； （2） 在x 轴上找一点C ，使AC =BC ．例题解析模块三：两点间的距离公式ABCDEF知识精讲【例20】（1）已知A（x，3）、B（3，x+1）之间的距离为5，则x的值是_________；（2）已知点P在第二、四象限的平分线上，且到Q（2，-3）的距离为5，则点P的坐标为_________．【例21】（1）以点A（1，2）、B（-2，-1），C（4，-1）为顶点的三角形是________；（2）已知点A（0，3）、B（0，-1），△ABC是等边三角形，则点C的坐标是_______．【例22】已知直角坐标平面内的点A（4，1）、B（6，3），在坐标轴上求点P，使P A=PB．【例23】已知直角坐标平面内的点P（4，m），且点P到点A（-2，3）、B（-1，-2）的距离相等，求点P的坐标．【例24】已知点A（2，3）B（4，5），在x轴上是否存在点P，使得PA PB的值最小?若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．【例25】已知直角坐标平面内的点A（4，32）、B（6，3），在x轴上求一点C，使得△ABC是等腰三角形．【例26】已知点A（4，0）、B（2，-1），点C的坐标是（x，2-x），若△ABC是等腰三角形，求C的坐标．【习题1】六根细木棒，她们的长度分别是2、4、6、8、10、12（单位：cm）从中取出三根，首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这些木棒的长度分别为（）．A．2、4、8B．4、8、10C．6、8、10D．8、10、12随堂检测【习题2】 已知点A （2，4）B （-1，-3）C （-3，-2），那么△ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上都不是【习题3】 （1）如果等腰直角三角形一边长为2，另外两边长为_________；（2）如果直角三角形两边长为5和12，第三边长度为_______________．【习题4】 如图，将长方形ABCD 沿AE 折叠，使得点D 落在BC 上的点F 处，AB =8，AD =10．求EC 的长．【习题5】 如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB =9，BC =12，CD =15，DA =152．求四边形ABCD 的面积． A B CDABC DEF【习题6】 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，AB =5，AC =3，AD =2．求：△ABC 的面积．【习题7】 若A 、B 、C 是三角形的边长且关于x 的方程222()20x a b x c ab -+++=有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．【习题8】 如图，在一条公路上有P 、Q 两个车站，相距27km ，A 、B 是两个村庄，AP ⊥PQ ，BQ ⊥PQ ，且AP =15km ，BQ =24km ，现在要在公路上建立一个商场M 使得A 、B 两个村庄到商场M 的距离相等，求PM 的长 ．【习题9】 已知点()()2814A B -，，,点C 在y 轴上，使ABC ∆为直角直角三角形，求满足条件的点C 的坐标．AB D CABQP M【习题10】 如图，在ABC ∆中，90ACB AC BC M ∠==o ，，是ABC ∆内一点，且 312AM BM CM ===，，,求BMC ∠的度数．【习题11】 若在△ABC 中，AB =c ，AC =b ，BC =a ，∠ACB =90°，则222a b c +=试用两种方法证明．【作业1】 下列命题中，正确的有()个（1） 腰长及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等 （2） 有一直角边和斜边上对应相等的两个直角三角形全等 （3） 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3课后作业ABCM【作业2】 如图，图中的字母、数代表正方形的面积，则A =______．【作业3】 如图，Rt ABC ∆中，斜边1AB =，则222AB BC AC ++的值是_________．【作业4】 已知点()35A -，，点B 的横坐标为-3，且A 、B 两点之间的距离为10，那么点B 的坐标是____________．【作业5】 现将直角三角形ABC 的直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，C 与E 重合，且AC =3，BC =4，则CD 等于_____________.【作业6】 如果ABC ∆的周长为12，而22AB BC AC AB BC +=-=，，那么ABC ∆的形状是 ____________．【作业7】 已知等腰直角三角形ABC 斜边BC 的长为2，DBC ∆为等边三角形，那么A 、D 两点的距离为_______. 5072A【作业8】 知：如图，已知在Rt ABC ∆中，9030B C ∠=∠=o o ，，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转30o 后得到APQ ∆，若1AB =，则两个三角形重叠部分的面积为_________.【作业9】 已知：如图，四边形ABCD 的三边（AB 、BC 、CD ）和BD 都为5厘米，动点P 从A 出发（A B D →→），速度为2厘米/秒，动点Q 从点D 出发（D C B A →→→）到A ，速度为2.8厘米/秒，5秒后P 、Q 相距3厘米，试确定5秒时APQ ∆的形状.【作业10】 阅读下列题目的解题过程： 已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边，且满足222244a c b c a b -=-，试判断ABC ∆的形状.解：Q 222244a c b c a b -=-（A ），()()()2222222c a b a b a b ∴-=+-(B )222c a b ∴=+(C )，∴ABC ∆是直角三角形.问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出错? 请写出该步的代号：____________； （2）错误的原因：_______________；（3）本题正确的结论为：____________.ABCDQPABCQP【作业11】 如图，一根长度为50CM 的木棒的两端系着一根长度为70CM 的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，求满足条件的点有几个，并且这个点将绳子分成的两段各有多长？【作业12】 在直角坐标平面内，已知()()1054A B -，，，，在坐标轴上求一点P ，使得PAB ∆为直角三角形，求点P 的坐标.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
学习必备 欢迎下载
泽仕学堂学科教师辅导讲义
学员姓名：丁鹏程 辅导科目：数学 年级：初二 学科教师：张先安
授课日期及时段
课
题
勾股定理和两点间的距离公式 重点、难点、考点
1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边
2.运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形 .
.
1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边 .
2.勾股定理的应用 .
学习目标
3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形
.
教学内容
1.勾股定理：
(1)直角三角形两直角边的 ______和等于 _______ 的平方． 就是说， 对于任意的直角三角形， 如果它的两条直角边分别为 a 、 b ，斜边为 c ，那么一定有： ———————————— .这就是勾股定理．
2.勾股定理逆定理
“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为 ________. ”这一命题是勾股定理的逆定理 .它可以帮
助我们判断三角形的形状 .
3.勾股定理的作用：
(1）已知直角三角形的两边，求第三边；
(2）在数轴上作出表示 n
（ n 为正整数）的点．
(3)判断三角形的形状 4.两点间的距离公式
平面直角坐标系中，两点间的距离公式为 d ( x 1 x 2 ) 2 ( y 1 y 2 ) 2 。
知识点和例题讲解
一、勾股定理
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
用字母表示：
a 2
b 2
c 2
A
ABC 中， AD ⊥BC ， AB=3 ， BD=2 ， DC=1. 求 AC 的长度。
例 1、如图所示，已知在△
B D
C
B
D
练习：（ 1）如图，已知在△ ABC 中，∠ACB=90 °，CD ⊥AB 于 D ，如果∠ BCD=30 °， BD=3 ，求 AD 、 AC 、 CD 的长。
A C
（ 2）已知，在△ ABC 中， AB=5,BC=6,AC=7, 求： BC 边上的高AD 和S ABC
A
B C
二、勾股定理的逆定理
如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。
例 2、已知：如图所示，在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12，求证：AB=AC
A
C
B D
练习：（ 1）如图：已知四边形ABCD 的四边 AB 、 BC 、 CD、 DA 的长分别为6，8， 24，26，∠ ABC=90 °，求四边形ABCD 的面积。
B
C A
D
（2）已知在△ ABC 中， AC=8 ，BC=6 ，AB=10 ， BD 平分∠ B 交 AC 于点 D，DE⊥ AB 于 E，求 DE
的长。
三、两点的距离公式
如果直角坐标平面内有两点 A ( x1, y1)、 B ( x2, y2)，那么 A 、B 两点的距离 AB= (x1x2)2( y1 y2 )2.
例 3、在直角坐标平面内，点A坐标为（-3,4），点B坐标为（8,6），点O为坐标原点。
（ 1）
判断△ AOB 的形状，并说明理由；
（ 2）求 OB 边上中线的长。
练习：（ 1）在 x 轴上求一点P，使它到点 A （ 1,2）的距离与它到点B（ -1,1）的距离相等。
（ 2）在直角坐标平面内，有Rt△ABC ，已知 A （ 2,4），B （ 0,-2），点 C 在 x 轴上，求点C 的坐标。
四、实际问题
例 4、如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑 0.4 米，那么梯足将向外移多少米？
A
A 1
B1B C
练习：（1）如图，一根长度为50cm 的木棒的两端系着一根长度为70cm 的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子构成一个直角三角形，这个点将绳子分成的两段各有多长？
基础练习一、填空题：
二、选择题：
三、解答题：
1、有一正方形纸片边长为2，怎样通过折纸，可得线段长为 5 ？画出示意图，并说明理由。
2、在△ ABC 中，∠ B=45 °， AB= 4 2 ，BC=7，求AC的长。
3、在直角坐标平面内，已知 A （ -1,0），B （ 5,4），在 y 轴上求一点P，使得△PAB 为直角三角形，求点P 的坐标。
4、如图：已知在 Rt△ ABC 中，∠ C=90 °， D 是 AC 的中点，求证：AB23BC 24BD 2
A
D
B C
能力提高
三、本次课后作业：
四、学生对于本次课的评价：
○特别满意○满意○一般○差
学生签字：
五、教师评定：
1、学生上次作业评价：○ 好○较好○一般○差
2、学生本次上课情况评价：○好○较好○一般○差
主任签字：
泽仕学堂教务处。